廣東省肇慶市2025屆高三第一次模擬考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.log318-log32=()

A.4B.210g32C.log32D.2

2.已知集合4=卜€]\h-1)(》-4)<0},B=0cx<3},則()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

3.曲線V=-1)在x=l處的切線方程為()

A.x=lB.y=l

C.y=2x+lD.y=2x-2

/、fInx,x>1/、

4.已知函數/(x)=e「x<i，則不等式/(x)>l的解集為()

A.(T+?0B.(-1,3)

C.(1,+?)D.(-l,l)U(e,+oo)

5.已知復數Z[,z2,則N=z?”是“歸+胃=匕2+中，的()

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知定義在R上的函數g(x)=e，-ef+/(x),其中g(x)是奇函數且在R上單調遞減,

、

/logjX</(2)的解集為()

27

A.F]

B.

cJD.（4,+oo）

7.已知cos[x+；）=w5兀7兀,,,,sinx+cosx/、

正°<了，則嬴Fr<）

4

A.

3

試卷第1頁，共4頁

33…3

c.D.一;或三

444

8.在V/5c中，cosC+cosB(cosZ-sin4)=0且BC=2,若麗=反+(xeR),則

9的最小值為（）

A.交

C.V2D.2

2

二、多選題

9.設正實數冽，幾滿足加＞〃，且加+2〃=4,則下列說法正確的是（）

A.帆-4|+2,-4|=8B.n+^-＜—

m+2m

C.加"的最大值為2D.加2+/的最小值是4

10.將自然數1,2,3,4,5,…按照如圖排列，我們將2,4,7,11,16,…稱為“拐彎數”,

則下列數字是“拐彎數”的是（）

A.37B.58C.67D.79

11.已知/（x）=2cos（0x+/）（。＞0,悶＜兀）在。上是單調函數，對于任意的xeR

滿足小+：=且（爸，則下列說法正確的是（）

71

A.（p=—

3

B.若函數了=〃入）（力＞0）在［0,兀］上單調遞減，則

C.若〃不）-/?）=4,則卜-引的最小值為］

D.若函數小）在上存在兩個極值點，則詈答

填空題

12.若復數z滿足2?(l-2i)=l+i,貝l]z=.

13.已知單位向量［滿足B++B4則向量￡+5在向量讓的投影向量的模

試卷第2頁，共4頁

為.

14.已知函數〃x)=(x+6-l)e，+LG2+M_l(6>0)在R上單調遞增，則如的最大值

2a

為.

四、解答題

15.已知等比數列｛%｝的各項均為正數，且。3=%%，al=a2+2a,.

(1)求數列｛與｝的通項公式；

(2)^^?=—+—+—+???+—,求數列｛6“｝的通項公式.

a2。3。n

16.已知向量加二(百sin西,sing),n=(cos^x,sin^x),co>Q,函數/(x)=冽?〃，且/(x)

的最小正周期為兀.

57r

⑴若xe0,—,求〃尤)的值域；

(2)將［(X)的圖象先向下平移g個單位長度，再向左平移機(m>0)個單位長度，最后將

橫坐標變為原來的兩倍，所得函數圖象與函數y=cosx的圖象重合，求實數機的最小值.

17.記A48c的內角N,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC=-l,ccosB=3.

(1)若6sinC=6，求VN2C的面積；

(2)求/的最大值.

18.已知函數/(x)=^L+ax+L.

XX

⑴當。=0時，求/'(X)的最大值；

(2)若/(x)存在極大值，求。的取值范圍.

19.對于一個給定的數列｛%｝,令2=。,,+。加，則數列｛2｝稱為數列｛%｝的一階和數列，

再令C"=6"+6"+i，則數列｛cj是數列｛%｝的二階和數列，以此類推，可得數列｛為｝的p階

和數列.

⑴若｛。“｝的二階和數列是等比數列，且q=0,%=1，4=0，%=3,求。7；

⑵若％，求｛%｝的二階和數列的前〃項和；

試卷第3頁，共4頁

(3)若｛%｝是首項為1的等差數列，物,｝是｛%｝的一階和數列，且3a

4+&+-+紇=1000,求正整數人的最大值，以及后取最大值時｛%｝的公差.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DADDCBACACACD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】利用對數運算法則得到答案.

【詳解］log318-log32-log39=2.

故選：D

2.A

【分析】解不等式可得/={1,2,3,4},再由交集運算可得結果.

【詳解】由不等式(x-l)(x-4)40,得1VXW4,所以/={1,2,3,4},

又8=卜|0<》<3},可得/c8={l,2}.

故選：A

3.D

【分析】利用導數的幾何意義求出斜率，再代入直線的點斜式方程化簡即可

【詳解】令/(x)=x(x2-l),則/'(x)=3x2_l,即/(1)=2,f⑴=0,

所以曲線在x=l處的切線方程為廣0=2(x-l),即了=2x-2,

故選：D.

4.D

【分析】分工21和x<l兩種情況，結合指數函數和對數函數單調性，得到不等式解集.

【詳解】當時，lnx>l,解得X>e,

卜值>6}與門?21}求交集得{x|x>e},

當尤<1,et+1>1,解得x>-l,

(小>-1}與{司x<1}求交集得{x|-l<X<1},

故/(力>1的解集為(-M)U(e,+s).

故選：D

答案第1頁，共12頁

5.C

【分析】根據復數模長性質和充分不必要條件即可得到答案。

【詳解】因為4=Z2,所以歸+i|="+i|，充分性顯然成立；

對于必要性，只需舉一個反例即可，如句=1,z2=-l,此時區+其=|1+.=應，

H+4=k1+"=S'，

所以“4=z?”是“歸+i卜卜+i卜的充分不必要條件.

故選:C

6.B

【分析】由g(x)是奇函數且在R上單調遞減，函數y=-(e、-ef)也是奇函數且在R上單調

遞減，得/(x)在R上單調遞減，利用單調性解不等式.

【詳解】定義在R上的函數ga)=e;e-，+/(x),

因為g(x)是奇函數，y=e'-eT也是奇函數，所以/'(x)是奇函數.

由〃x)=g(x)-(e=ef).

因為y=e，-ef是增函數，所以?=-⑹-尸)是減函數.

又因為g(x)是減函數，所以/(x)在R上單調遞減.

因為dlogJ</(2),所以解得o<x<]

\2724

故選：B.

7.A

【分析】先由已知和余弦函數值確定二<尤+；<2兀，再由同角的三角函數關系化簡計算即

24

可；

【詳解】因57為r所77r以27?r<%+i￡r<2兀，

12434

E、,,無)33%71

因為cos|x+:],所以:-<x+丁<2兀，

I4J524

答案第2頁，共12頁

71714

所以sinX+—X+-

3

~…sinx+cosx1+tanx71

所以------:-------=tanX-\—

cosx-sinx1-tanx<4)3

故選：A.

8.C

jr

［分析】確定B=~,構造平行四邊形BCDA,借助圖形得到BM的最小值即為點B到直線CD

4

的距離，即可求解.

【詳解】因為cosC+cosB(cos/—sin/)二。，

所以一cos(/+B)+cos5cos/-cosBsin/=0,

BP-cosAcos5+sin^4sinB+cosBcosA-cosBsmA=0,

得sin力(sin5—cos8)=0,因為Z是VABC的內角，

所以sinZwO,故sin5=cos3,HPtanB=\,

TT

所以八7

以BC,BA為鄰邊作平行四邊形BCDA,

由詼=而+.屈=而+x函，

即m在直線CA上,

所以即/的最小值即為點B到直線CD的距離,

TT

因為2=丁，BC=2,過B向CD作垂線，垂足為E,

BE=BCxcos(=e,所以3M■的最小值為近，

故選：C.

9.AC

【分析】對于A,根據題意得0＜〃＜機＜4,化簡后可判斷；對于B,利用作差法即可判斷;

對于C,利用基本不等式可求最值；對于D,由題意得機=4-2〃，代入加2+/得關于〃的

二次函數，進而可求最值.

答案第3頁，共12頁

【詳解】對于A選項，0＜”加＜4,故帆一4|+2]〃一4|=4一加+2（4-@=8,故A正確;

〃+2n加+2)—〃(加+2)2(m—n)

對于B選項，因為需>0,

m(m+2)m儂+2)

所以故B錯誤；

m+2m

對于C選項，因為。=，冽?因（加+2"]=2，當且僅當加=2〃，即加=2,〃=1時,

22^2）

等號成立，故C正確;

對于D選項，因為冽=4-2〃,

16

所以/+1二(4—2n)2+w2=5n2-16?+16=5

T

故當〃=|＞機=1時，/+〃2有最小值],故D錯誤.

故選：AC.

10.ACD

【分析】先根據題中規律，并采用累加法找到拐彎數的通項公式，即可求解.

【詳解】不妨設第〃（neN,）個“拐彎數”為巴,

不隹現q=2,〃2=4=〃]+2,%=7=4+3,。4=11=。3+4,

所以。〃_。“一1=〃(H>2),

w+2w1

利用累加法得an-ax=2+3+--+n=(X~),

當〃=1時，也符合上式，

所以%J，+〃+2（?eN*）.

"2

代入選項驗算可知A,C,D三個選項正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】根據函數/（X）的單調區間以及，可知/（X）關于點管，0]對稱

且7=兀，可得。=2,再由式=當時，/（X）取得最小值可得夕=3即A錯誤，由

126

答案第4頁，共12頁

〃x)=2cos(2x+3并利用整體代換可判斷B正確；根據函數圖象性質可得卜-司最小值

應為半個周期，即C正確；利用余弦函數單調性以及極值點定義可判斷D正確.

【詳解】對于A選項，因為小所以/,+胃+/17/0,

可得/(x)的圖象關于點。］對稱，

又因為對任意xeR,都有〃所以當x=||時，/(x)取得最小值.

因為/'(無)在偌，工］是單調函數，所以建工4=:得7=兀，所以。=§=2,

又因為函數/(X)在X=1|時取得最小值，所以由/1*2cos(*—=_2,

5兀71

得9+——=兀+2E，左EZ.解得。=—+2E，左EZ.

66

TT

又一兀＜。＜兀，所以。=故A錯誤；

6

對于B選項，易知=,所以y=/(/lx)=2cos12/lx+,

當xe［O,7i］時，22x+^-e?,2/1兀+(,若函數(彳＞0)在［0,兀］上單調遞減，

則22"+FWTI,解得故B正確；

對于C選項，最小正周期為7=兀，當/(王)-/優)=4時，

則八國)，/6)分別為函數/'(x)的最大、最小值，所以卜-%L=；，故C正確；

對于D選項，/(x)在上單倜遞增，在一上單調遞減，在-后,—上

單調遞增，

要使「(X)在上存在兩個極值點，要滿足等等，故D正確.

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用所給信息并結合三角函數圖象性質求得函數/(x)的

解析式，再對其單調性、最值、極值點等進行判斷即可.

_13.

12.——+-1

55

【分析】利用復數的除法運算即可得解.

【詳解】因為z-0_2i)=l+i,

答案第5頁，共12頁

1+i(l+i)(l+2i)—1+3i13.

所以z=-———F-1

l-2i(l-2i)(l+2i)----5-------55'

13

故答案為：一,+1i.

13.1

【分析】由B++*可得到￡%=o,再由投影向量的計算公式代入計算即可.

【詳解】因為單位向量入刃滿足|2+可=|￡-@

可得：|Z+彳=*彳，也即/Rh-2abb

貝11Q.B=0，

a-b+b

則向量Z+B在向量g上的投影向量的模為w=1.

故答案為：1

14.-e2

【分析】/'(x)±0在R上恒成立，心0時,不合要求，。＜0時,/'(x)=0,解得占=皿-。),

x2=-b,分Inb,—b<ln(—a)和—6=ln(—a)二種情況，得至!J—6=In(—a),化簡可得

a=-e-b,啦=-/+",由基本不等式求出艙的最大值為-e\

aa

【詳角軍】由題意，得/'(%)=e"+(x+b—l)e*+ax+ab=e"(x+b)+qx+ab=(e"+。)(％+6),

因為/(x)在R上單調遞增，所以/'(x"0在R上恒成立.

當時，e"+a>0,在(f,-?上，r(x)<o,不符合題意；

當a<0時，令/'(x)=0,解得X]=ln(-a),x2=-b.

x

當ln(-a)<-6時,在(in(-a),-6)上，e+a>0,x+b<0,f'(x)<0,不符合題意；

x

當-6<ln(-a)時，在(-6,In(-a))上，e+a<0,x+b>0,f'(x)<0,不符合題意；

當一6=ln(-a)時，在(-co,-6)上，ex+a<0,x+b<Q,/'(x)>0；

在(-6,+oo),e*+a>0，x+b>0,f'(x)>Q-所以r(x)NO.

因此，有-b=ln(-a),化簡可得°=_e-J故/_加工c?

答案第6頁，共12頁

當且僅當）=6,即6=1時，等式成立.

b

故如的最大值為-e?.

a

故答案為：-e2

15.⑴%I

⑵叫2

【分析】（1）利用等比數列定義可求得％=?=；,可得其通項公式；

（2）利用錯位相減法以及等比數列前“項和公式計算可得b,=（"-l）2+i+2.

【詳解】（1）設等比數列｛%｝的公比為4,

aq2=a2q

由題意得xx

ax=%q+

解得％=q=g（＜7=T舍去）,

即數列｛%｝的通項公式為%=[￡].

（2）由（1）矢口勿=工+乙+二+?..+”=k2+2x22+3*2，+…+〃x2〃①，

。2。3a〃

所以26“=1x2?+2x2'+3x2’+…■+（x2+nxT②.

23+12x12

①一②得=2+2+2+???+2'-nxZ=（Z）一”2-

"1-2

=2X（2"-1）-〃X2"M=（1-〃卜2"+1-2

所以也,=-1）x2"+、2.

'3'

16.⑴0,-

喏

【分析】⑴利用向量數量積公式和三角恒等變換得到/'（x）=sin[2sq]+（，根據最小

答案第7頁，共12頁

正周期得到0=1,得到函數解析式，利用整體法求出值域；

（2）利用伸縮和平移變換得到y=sin（x+2m-[J,結合y=cosx=sin[x+]j,得到方程,

冗jr

求出加=7+E,keZ,當左=0時，實數冽取得最小值一.

33

【詳施軍】（1）f（x]=m-n=VJsin<7zrcos^+sin2cox=——sin2處cos2吻+—

v7222

_?八八兀口

—sinZcoxH—.

I6J2

2

因為/（無）最小正周期為兀，所以2。=牛7r=2,解得。=1,

所以/（尤）=5畝（2了-3+；,

Lt、rC5兀LL,、rC兀兀2兀

因為工￡0,--,所以21一工￡,

12J6|_63_

貝Usin2x~—Gr1/

所以/（無）=sin卜,

\6J2[2J1

「57rl「31

所以當xe0,||時，/（x）的值域為0,-.

（2）向下平移3個單位長度得>=5吊,-.，

向左平移機（m>0）個單位長度得〉=$出]2（%+加）-￡1=$出]2》+2加-高，

橫坐標變為原來的2倍得y=sin+2加-J.

因為y=cosx=sin（x+j,

所以要使得V=sin（x+2加-1j與了=cosx的圖象重合，

ITTTTT

則2加——=—+2左兀，kEZ,解得冽=—+為1,keZ

623

TT

當左=0時，實數冽取得最小值三.

17.(1)V3

Tt

【分析】（1）已知6cosc=T,ccosB=3,利用余弦定理化簡得Q=2,結合bsinC=G，

可求V/5C的面積;

（2）解法一：已知Z?cosC=-l,ccos5=3,利用正弦定理得tanC=-3tanB,由

答案第8頁，共12頁

2tan52

tanA=-tan（5+C）=

"3tan?一，+3tan5,利用基本不等式求tan，的最大值，可得

tan5

A的最大值.

解法二：過點4作交5C于點凡CH=bcosZACH=-bcosAACB=1,

4HAHt

BH=ccosB=3,AH=t,則tan//CT/=------=t,tanB=---二一，得

CHBH3

/口人廠tanAACH-tanB2

tanABAC=—————=—利用基本不等式求tan乙g/C的最大值，可得/的

最大值.

【詳解】（1）由余弦定理，得bcosC+ccosB=b?°'---\-c■a+C——=a=-1+3=2，

2ablac

所以邑加■仍sinC=；x2xVi=H

（2）解法一：因為bcosC=-l,ccos5=3,所以ccos5=-36cosC,

_Qh

由正弦定理^---=-----，可得sinCcosB=—3sinBcosC，

sinCsinB

則tanC=-3tanB,因為bcosC=-1<0,所以cosC<0,。是鈍角，所以5是銳角,

tanB+tanC2tanB

所以tan4=tan［兀一（5+C）］=-tan（B+C）=-

1-tanBtanCl+3tan25

2<26

一，+3tan/M一三.

tan5

當且僅當3tan8=—時等號成立，此時，tan2=",B=[.

tanB36

又因為/為銳角，正切函數》=tanx在jo,：]上是增函數，所以0</43，故/的最大值

解法二:

因為6cosc=-1<0,貝IJcosCvO,所以C為鈍角,

如圖，過點/作/HL3C交3c于點區

答案第9頁，共12頁

BH=ccosB=3,

4HAHt

設/〃=，，則tan/4C7/=-----=t,tan5=-----=—,

CHBH3

所以

t

t——

tanAACH-tanB

tanABAC=tan(ZACH-B)=-二3

1+tanZACH-tan5

1+r-

3

當且僅當/=，，即時，等號成立,

又因為角力為銳角，正切函在0,曰上是增函數,

所以0<NB/C〈二，故/A4c的最大值為4.

66

18.(1)1

⑵

【分析】（1）利用函數的導數與單調性、最值的關系求解;

（2）利用導數與極值的關系，結合參數aWO和。>0討論函數單調性，從而解決問題.

【詳解】（1）由題可知/（X）的定義域為（0,+8）,

當°=0時，/(x)=—+-,/'(尤)=*.

令/("=0,解得x=l.

當0<x<l時，r（x）>0,/（x）單調遞增;

當x>i時，r（x）<o,/（X）單調遞減.

所以當x=l時，/■(“取極大值，也是最大值，故/(X)的最大值為/(1)=1.

_xX1-lnx1ax2-Inx

⑵z/(乃二^^+”以=^—?

2

令g(x)=ax-Inx,貝!Ig'{x}=2ax--^2ax一］.

xx

當aWO時，g'(x)<0,g(x)在(0,+oo)上單調遞減，

當x.0時，g（x）f+8；g（2）=4a-ln2<0,根據零點存在定理，得g（無）在（0,2）內存在

唯一的零點％,

答案第10頁，共12頁

在(O,x°)上，g(x)>0,r(x)>0,/(x)單調遞增；

在(％,2)上,5(x)<0,r(x)<0,/(x)單調遞減，/(x)存在極大值.

當°>0時，令g'(x)=0,解得西=(舍去),

2a

上，g'(x)<0,g(x)單調遞減；在上,g'(x)>0,g(x)單調遞增.

工時,g(x)取極小值,也是最小值，故g(無)mi"

所以當x=

2a

11f+8,此時，在0,J—I_b,

當即0<〃時，由于當xf0時,g(x)

22a2e

g(x)必定存在唯一的零點為.

在(0,網)上，g(x)〉o,/'(x)>0,/(X)單調遞增；在再,gO)<0,/'(x)<0,“X)

單調遞減，/(x)存在極大值,

當心^時在(0,+8)上g(x"0,r(x)>0,/(x)單調遞增不存在極大值.

2e

綜上所述，°的取值范圍是1-鞏()

【點睛】利用導函數研究函數極值：通常利用導數研究含參函數的單調性，借助零點存在定

理，同時注意分類討論.

19.(1)12

(2)2/+6