專題十五函數的圖象與性質

【題型分析】

考情分析：

1.以分段函數、二次函數、指數函數、對數函數為載體，考查函數的定義域、值

域、最值、奇偶性和單調性.

2.利用函數的性質推斷函數的圖象.

3.利用圖象研究函數的性質、方程及不等式的解集.

題型1函數的概念與表示

典例精析

2%+1

(41og；XM'x>l且五附則16-附=().

A.-lB.-3C.-5D.-7

(2)已知函數人2x+l)的定義域為［-1,1),則函數Hl-x)的定義域為.

方法總結：

1.形如/(g(x))的函數求值時，應遵循先內后外的原則.

2.對于分段函數的求值(解不等式)問題，必須依據條件準確地判斷利用哪一段求

解.

G跟蹤訓練

1.已知函數於)=6：+O'”<4則12+叫23)=().

,x34,

A.8B.12C.16D.24

2.函數人為=正三的定義域為.

x-i

題型2函數的圖象

典例精析

例2(1)(2024年全國甲卷涵數/)=i+(exex)sinx在區間［-2.8,2.8］的圖象大

(2)已知函數I/(x)=2x*l,則不等式人勸>0的解集是().

A.(-l,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(0,1)D.(-oo,O)U(1,+oo)

方法總結：

1.確定函數圖象的主要方法是利用函數的性質，如定義域、奇偶性、單調性等進

行判斷，特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.

2.函數圖象的應用主要體現在借助函數圖象的特點和變化規律，求解有關不等式

恒成立、最值、交點、方程的根等問題.

G跟蹤訓練

1.函數“xACAZx-Dlnlxl的大致圖象可能為().

JuvL

—21廣丁。1-i￥

X

：?\

ABCD

2.已知函數五x)="黑2(x-l)|p01，若關于x的方程五x)=機有3個不相等的實數根,

(|3-l|<x<l,

則機的取值范圍是.

題型3函數的性質

考向1J單調性與奇偶性

典例精析

例3已知奇函數人x)在R上單調遞增，且五2)=1,則不等式次x)+l<0的解集為

().

A.(-l,1)B.(-2,2)

C.(-2,+oo)D.(-oo,-2)

方法總結：

奇偶性、單調性的綜合應用

利用函數的奇偶性可將函數式轉化，利用單調性可解決常見不等式問題.在綜合

性題目中，要熟練掌握奇偶性、單調性的性質，適當應用解題技巧化簡求值，解

題時，一定要特別注意函數的定義域.

E跟蹤訓練

已知函數_/(x)=eX-e-x+x,則不等式_/(2"z-2)+yO+l)>0的解集為.

考向2J奇偶性、周期性與對稱性

典例精析

例4多選題已知對任意XGR,都有危)=H-x),且Hx+l)為奇函數，當xG[O,

1)時,於)=尤2,則().

A.函數人為的圖象關于點(1,0)中心對稱

B.?r)是周期為2的函數

c./-l)=o

方法總結：

1.函數圖象的對稱中心或對稱軸

⑴若函數火%)滿足關系式加+x)=/S-x),則函數的圖象關于直線％二警對

稱.

(2)若函數於)滿足關系式=26,則函數的圖象關于點6)對

稱.

2.函數的周期性

⑴若函數人x）滿足Hx+a）=/（x-a）或火x+2a）=*x）（其中a為非零常數）,則函數y=/（x）

的周期為21al.

（2）若xx+a）=-y（x）（或?v+a）=六），其中人乃邦，a為非零常數，則兀v）的周期為

2\a\.

（3）若外）的圖象關于直線x=a和x=6（相鄰）對稱，則外）的周期為2\a-b\.

（4）若Xx）的圖象關于點（a,0）和直線x="（相鄰）對稱，則火為的周期為41adl.

同跟蹤訓練

1.已知定義在R上的函數4%）滿足?r+2）y-x）=-y（x）,當0<爛1時,y（x）=log2（x+l）.

若五a+1）/a）,則實數。的取值范圍是（）.

A（|+4左，-|+4左），k￡ZB.（-l+4左,4k）,左?Z

C.（-1+4jl,1+4%），kGZD.《|+4左,|+4^）,kb

2.（2022年全國乙卷）已知函數人x）,g（x）的定義域均為R,且人x）+g（2-x）=5,g（x）-

22

於-4）=7.若產g（x）的圖象關于直線x=2對稱，g（2）=4,則闔J左）=（）.

A.-21B.-22C,-23D.-24

【真題改編】

1.（2024年新高考全國/卷，T6改編）已知函數危尸卜蒙匕尤16，、公若數列

（e-o十xo,

｛麗｝滿足斯=X〃）（“CN*）,且｛麗｝是遞增數列，則實數a的取值范圍是（）.

A（co,9]B.[00）C.島,0）D.、+co）

2.（2024年新高考全國/卷,T8改編）已知函數人x）的定義域為R,對任意x,y?R,

都有兀什丁）+70丁）=〃》處），則下列結論一定錯誤的是（）.

A<0）=1B<0）=0C.^l）=0D<1）=-2

3.（2022年全國乙卷，文科T8改編）如圖，這是下列四個函數中的某個函數在區

間[-3,3]上的大致圖象，則該函數是（）.

-3/-10|

%-3x

%2+1

_x3+x

x2+l

4.（2021年全國乙卷，理科T4改編）已知定義域為R的函數Hx）的圖象關于點（-1,

-1）對稱，則下列函數為奇函數的是（）.

A.>-1）-1B./OD+1

C./（x+l）-lD./（x+l）+l

5.（2021年全國甲卷，理科T12改編）設函數五x）的定義域為R,4》+1）為奇函數,

火工+2）為偶函數，當xG[l,2]時，_/（%）=。/+6.若犬0）甘；3）=6,則當xG[2,3]時,

人勸的解析式為.

【最新模擬】

（總分：84分單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分）

強基訓練

1.設函數人》）=斤萬，則函數/《）的定義域為（）.

A.（-co,6]B.（-oo,3]

C.[3,+oo）D.[6,+oo）

2.已知函數人x）為R上的奇函數，且當x>0時，火x）=|log汲1,則式-四）=（）.

5544

A.-D.--

9999

3.下列函數中，為奇函數且在（0,1）上為減函數的是（）.

1

A.fix）=4x+-B.於）=x+sinx

c.?=^D.?=VF^

2-i

4.函數Hx）=A的圖象大致是（）.

X

In%x>1,

0,0<%<L若式2〃-1）-1或，則實數a的取值范圍是（）.

（xx<0,

6.已知函數人x)和火*2)均為R上的奇函數，若火-1)=2,則H2025)=().

A.-2B.-lC.OD.2

7.多選題定義在R上的函數;(x)滿足式盯+l)=/a)m)+Hy)+x,則().

A次0)=0B./(l)=0

(2於+1)為奇函數D於)為增函數

8.已知偶函數五的的定義域為。，函數人x)在(0,+8)上單調遞減，且對于任意a,

b￡D,存0,厚0均有人時)=/0)"。)，則符合要求的一個函數人為為.

9.若函數Hx)=ex+ae*(a?R)為奇函數，則不等式人山x)|lnx|)的解集為.

能力提升

io.函數於)=Vf二+豉的最大值為().

A.lB.V2C.V3D.2

11.設?=^3-log2（VPTT-x）,則對任意實數a,b,tta+^<0,,>t?+A^），，<0的

）.

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

12.多選題已知函數人勸對任意實數x均滿足一1)=1,則().

A.1A-x)=/(x)

B.XV2)=1

c.^-l)=|1

D.函數人x)在區間［遮，g］上不單調

13.多選題已知函數Hx)的定義域為R,加+2)+於)=0,且函數_/(2x+l)為偶函數,

則().

A.7(x)是奇函數

B/2024)=1

c.y(x)的圖象關于直線x=i對稱

2024

D.y五左)=2024

14.設而0為定義在整數集上的函數，火1)=1,火2)=0,於1)<0,對任意的整數x,

y,均有於+,)=於次1-,)+犬1-切3)，貝1U55)=.

創新思維

15.多選題(北師大版必修第一冊P73C組T2改編)已知函數人x)對任意m,n￡R,

都有八2附次2〃)=紈冽+切刖力)，且火1)邦，貝M).

A?=l

B.函數火力的圖象與曲線丁=。％。>0且存D經過相同的定點

C.函數人x)的圖象關于原點對稱

D.若人2024)=晨貝1]/-2024)=左

2x+2,x

16.(原倉！J)已知函數fix)-e(-L0],則不等式?>log3(2x+l)的解集

x+2,%.W(0,2],

為

參考答案

專題十五函數的圖象與性質

分類突破題型分析

題型1函數的概念與表示

例1(1)D(2)(-2,2]

【解析】⑴由題意知，當壯1時，加《)=2"-i-8=-12,得2叱1=-4,又2加+1>0,所

以方程2"什1=-4無解；

當機>1時，人附=41(增("2+1)=-12,得logy〃2+l)=-3,即機+1=8,解得m=7,滿

足題意，所以H6-m)=/(-l)=21+i-8=-7.

(2)由函數火2x+l)的定義域為[-1,1),得-1夕<1,則2x+l￡[-l,3),4-1<1-X<3,

解得-2〈止2.

故函數人1-x)的定義域為(-2,2].

跟蹤訓練

1.D

【解析】由l<log23<2,得3<2+log23<4,

所以12+log23)=/(3+R)g23)=23+1°g23=23x21°g23=24.

故選D.

2.[-4,1)U(1,4]

【解析】因為Hx尸匹軍,

X-1

所以164對且x-1和，解得-4M4且存1,故函數人x)的定義域為[-4,1)U(1,

4].

題型2函數的圖象

例2(1)B(2)D

【解析】⑴因為於x)=-x2+(e-x-ex>sin(-x)=-x2+(eX-e-x)sinx=j(x),

又區間[-2.8,2.8]關于原點對稱,所以函數於)在區間[-2.8,2.8]上為偶函數,其

圖象關于y軸對稱，故可排除A,C.

i/(l)=-l+(e--)sinl>>l+(e--)sin?=￡-1>0,

J\e，\6Z2e42e

故可排除D.故選B.

(2)在同一平面直角坐標系中畫出/z(x)=2*,g(x)=x+l的圖象，如圖所示.

由圖象得兩個函數圖象的交點坐標為(0,1)和(1,2).

又危)>0等價于2、>x+l,結合圖象，可得x<0或x>l.

故於)>0的解集為0,0)U(l,+g).故選D.

跟蹤訓練

1.A

【解析】函數段)=(轉2/1)1巾|的定義域為{%-0},故排除B項、D項,

又=-學1若=學112>0,所以排除C項.故選A.

\N'oZo

[1-2]

【解析】由的解析式作出五X)的大致圖象，如圖所示，

方程五》)=機有3個不相等的實數根等價于八工)的圖象與直線尸機有3個不同的

交點，則19iW2.故機的取值范圍是[1,2].

題型3函數的性質

考向1單調性與奇偶性

例3D

【解析】由兀0+1<。，可得兀0<-1，

因為五X)是奇函數，且#2)=1,所以穴x)勺(-2).

因為五x)在R上單調遞增，所以x<-2,

故不等式加0+1<0的解集為(@,-2).

故選D.

跟蹤訓練+oo

【解析】：7(x)的定義域為R,y(-x)=ex-er-x=-y(x),

.4x)為定義在R上的奇函數.

：>=ex,y=-e”與y=x均為R上的增函數，

為定義在R上的增函數.

由fi2m-T)+J[m+1)>0得火2機-2)>十機+1)習(-機-1),

.：2m-2>-m-l,解得機>%.：不等式五2m-2)/機+1)>0的解集為信+oo).

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例4ACD

【解析】由火工+1)為奇函數得於x+D=-_/(x+l)，

即J(-x)+J(x+2)=0,

故Hx)的圖象關于點(1,0)中心對稱，故A正確；

由f(-x)=fix),火-x)+?x+2)=0得fix)=-f(x+2),所以f(x+2)=-fix),

所以於+4)=-於+2)=於)，

即汽x)是周期為4的函數，故B錯誤；

由於x+l)=於+1),

令x=0,得火1)=皿1),所以火1)=0,

故火-D=/Q)=o，故c正確；

當go,1)時，?=x2,

因為五x)的周期為4,且對任意x?R,都有人x)=/(-x),

所以/(1)可(9)=/C)4故D正確.

跟蹤訓練

1.D

【解析】因為所以兀V)為奇函數.

又因為y(x+2)=y(-x),所以y(x)的圖象關于直線x=i對稱.

由於+4)=由x+2)=/G)知於)的一個周期為4.

因為當0<立1時，段)=log2(x+l),所以五X)在(0,1］上單調遞增,

函數五X)的圖象如圖所示，

根據圖象可知，若檢+1)次。)，則->4衣。+1<|+4左，k《Z,

解得-|+4ka<>4瓦kGZ,所以實數a的取值范圍是(-|+4比>4左)，MZ.

故選D.

2.D

【解析】由y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，可得g(2+x)=g(2-x).

在人x)+g(2-x)=5中，用-x替換x,可得於x)+g(2+x)=5,可得於x)=/(x)，貝1J產次0

為偶函數.

在g(x)-fix-4)=l中,用2-%替換x,得g(2-x)=fi-x-2)+l,代入兀x)+g(2-X)=5中，

得人x)+/(-x-2)=-2,所以y=/G)的圖象關于點(-1，-1)中心對稱，所以火1)=A-1)=-

1.

由火-x)=/(x),/(x)+式-x-2)=-2,可得4x)+4x+2)=-2,所以人%+2)+4》+4)=-2,所以

>+4)=/(x),所以函數人x)是以4為周期的周期函數.

由?v)+g(2-x)=5可得>/(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以汽0)=1.又?r)t/(x+2)=-2,所

以汽0)+八2)=-2,得人2)=3

22

又汽3)="1)=-1,汽4)=H0)=1,所以盅八女)=秋1)+較2)+第3)+5液4)=6x(一l)+6x(-

3)+5x(-l)+5xl=-24.

故選D.

分類突破真題改編

1.C

_2ax-a%<6,

【解析】函數人為=當x>6時，?x)=e%-6+ln(/5)單調遞增，又

ex-6+%之6,

癡」(〃)(〃￡N*),且｛〃〃｝是遞增數列,

<2>0,

則-2解得

-2<2X5—a<e°+Ini,

故選C.

2.D

【解析】因為函數丁守⑴對任意x,y?R,都有/(x+y)tAx-y)=?(x)：/(y),所以令

x=y=o,有火0)"0)=次0)次0),即次0)次0)1=0,所以人0)=0或h0)=1.

令x=y=],機為任意實數，有/(加)+式0)=母(引?/(引,即加)=4管)?_/(])由0).

因為，管廿管)為所以火加巨皿0)，

當火0)=0時，人機巨0；當人0)=1時，&n)N-l.

故兀0的值不可能是2

故選D.

3.A

【解析】設/)=穿，則加)=0,故排除B；設貼尸筆當當xG2，0)時，

0<cosx<1,所以〃(x)=嗎等<若口，故排除C；設g(x)=冷呼,貝|Jg(-3)=等>0,

%4+1%乙+1%4+11U

故排除D.故選A.

4.B

【解析】對于A,函數人x)的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位

長度，可得函數五x-D-l的圖象，則函數五x-D-l的圖象的對稱中心為(0,-2)；

對于B,函數次用的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，可

得函數人+1)+1的圖象，則函數人41)+1的圖象的對稱中心為(0,0)；

對于C,函數人》)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，可

得函數兀什1)-1的圖象，則函數Hx+D-l的圖象的對稱中心為(-2,-2)；

對于D,函數人x)的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，可

得函數兀什1)+1的圖象，則函數兀什1)+1的圖象的對稱中心為(-2,0).

故選B.

5/X)=-2(X-4)2+2

【解析】因為於+1)是奇函數，所以火-》+1)=加+1),①

因為人x+2)是偶函數，所以火x+2)=於x+2),②

令X=l,由①M7(0)=皿2)=-(4a+。)，由領人3)=/Q)=a+k

因為人0)47(3)=6,所以-(4a+0)+a+Z?=6,即a=-2,

令元=0,由少得加)=貝),則加)=0，即6=2,所以火X)=-2N+2.

當Xd[2,3]時,4-%e[l,2],^4-x)=-2(4-x)2+2=-2(x-4)2+2,

又八4-x)=A2+2-x)=A2-2+x)=/(x),所以AX)=-2(X-4)2+2.

分類突破最新模擬

。解詢1附

1.A

【解析】由題意得8-2吟0,解得爛3,

則函數焰)滿足泊，解得爛6,

即函數焰)的定義域為(-8,6].

故選A.

2.A

【解析1y(V4)=|log2V4-l=|log223'l=|X|'l

因為汽x)為R上的奇函數，所以於返)=：/(游)=￡.故選A.

3.C

【解析】對于A,於)為雙勾函數，於)是奇函數，於)在(0,當上單調遞減，在(

+oo)上單調遞增，故A不符合；

對于B,兀0的定義域為R,/(-x)=-x+sin(-x)=-x-sinx=-J(x),所以兀0是奇函數，

又八x)=l+cosxNO,所以?v)在R上單調遞增，故B不符合；

對于C,因為2M加，即；#0,所以人功的定義域為{訃由)},又於乃=蕓坦=注=一

f(x),所以火X)是奇函數，又八%)=/2=1+4-在(0,+8)上單調遞減，故C符合；

2-12-1

2

對于D,因為1-必川,所以X201,所以人X)的定義域為[_1,1]；Xy(-x)=Vl-x=j{x),

所以五X)是偶函數，故D不符合.故選C.

4.D

【解析】由題意知火力的定義域為(-8,0)U(0,+8),定義域關于原點對稱，且

y(-x)=i(-x)2-4i=-^L4i=-/(x),

故人X)是奇函數，故A錯誤；

當x>2時，>/<>)=區4=￡坦

XXX

又產x,y=q在(2,+oo)上均單調遞增，

所以人x)=x：在(2,+oo)上單調遞增，故B,C錯誤.

故選D.

5.D

【解析】因為八2-1)-上0,所以裕2a-l)Wl.

①當2%1之1時，f(2a-l)=ln(2a-l)<l,解得—W竽

②當0<2t;-l<l,即三。<1時，y(2tz-l)<l恒成立.

③當2%1<0,即時，汽2a-1)9恒成立.

綜上所述，實數。的取值范圍是(-8,孚］.故選D.

6.A

【解析】因為汽x-2)為奇函數，所以函數人x)的圖象關于點(-2,0)對稱，即汽

4)=0.

又函數兀0的圖象關于原點對稱,所以五-x)=：/(%),所以兀0y%-4),即?x+4)=?x),

所以函數段)的周期為4,故人2025)=/Q+4x506)=/a)=KD=-2.

故選A.

7.BCD

【解析】由題意，火盯+l)=/(x)a)+/(y)+x，

對于A,B,當尤=0,產1時，火1)=犬0)貝)+火1),即即)次1)=0,

解得汽0)=0或火1)=0,

當人0)=0時，令尸0,貝1^1)=/⑴/(O)+M))+x=x,

由于x具有任意性，故人0)=0不成立，

,VU)=0,A錯誤，B正確；

對于C,當y=l時，?v+l)」切⑴切;D+x=x，

：7(x+1)+/(-x+1)=x-x=O,

.憂x+1)為奇函數，C正確；

對于D,由C項可知Hx+l)=x,則火x)=x-l,故人x)為增函數，D正確.

故選BCD.

8.y=-log2|x|(答案不唯一)

【解析】設函數於)=-log,"|x|(/n>l),

當X?(0,+00)時，可得小尸-logmX,此時函數危)在(0,+oo)上單調遞減，

又log"，"=log?itz+\ogmb,所以滿足f(ab)-f(a)+fib),

故y=-log,“|x|(加>1)均滿足要求.

9.(0,1)

【解析】易知兀0的定義域為R，又人》)為奇函數，.40)=0,得。=-1,

?：火工)=?，七"，，:H工)為奇函數且在R上單調遞增.

又7(lnx)</(|lnx|),.：lnx<|lnx|,.：lnx<0,.：0<x<l.故原不等式的解集為(0,1).

能力提升

10.D

【解析】函數#X)=V1-％+V^的定義域為［0,1］，

令a=71_X，b=y/3x,則gagl,0<Z?<V3.

(7=sin0,b=V5cos6(0W光色),可得a+b=2sin(e+1),

當6=2時，取得最大值，最大值為2,

所以函數氏0=，1—久+后的最大值為2.

故選D.

11.C

【解析】由題意知，函數兀0=由-1082(，為2+1-X)的定義域為R,

且f(X)=X3-log2(V%2+1--^)=三+10g2(X+V%2+1)，

232

H-X)=(-X)3+log2(-X+V%+l)=-X-log2(X+V%+1)=^)，

所以fix）=x3+log2（X+，％2+1）為奇函數

因為函數尸一與產x+，％2+1在［0,+CO)上均單調遞增，所以於)在［0,+00)上單

調遞增.

因為函數加0為奇函數，所以五X)在(-00,0)上也單調遞增.

又因為人0)=0,所以函數“X)在R上單調遞增.

由a+6W0,可得aW-b,所以火。)#6)，所以人。)+犬。)或.

反之，由_/(a)+/(b)WO,可得人。)［-。)，解得好力，即a+6W0.

故對任意實數a,b,“a+店0”是％。)+型)WO”的充要條件

故選C.

12.ACD

【解析】在沙口)+火/一1)=1中，

對于A,令-x替換無，則2/(-x)+/x2-l)=l,

所以於%)=於)=1一勺")，故A正確；

對于B,令x=l,則浜1)+X0)=1,

令x=0,貝I］次0)次-1)=肌0)獷1)=1,解得人0)=/⑴=，

令尸也得縱②+H1)=1,則危②=全故B錯誤；

對于C,由A知，於x)=/(x),所以於1)=/⑴故C正確；

對于D,令x=xM,所以％2a1=0,解得％=1土石,

2

令x=l竽,則次節寫以工竽)=1,

所以/(號1)4,因為與1?(四，V3),/(苧)=危②《，

所以函數人x)在區間［四，8］上不單調，故D正確.

故