【考點題型十一二】分數類形討結論合思想

t考點題型十】整體思想

【考點題型九】方案決策問題

【考點題型八】分段計費問題

專題05一元一次方程（考點清單，5個考點清單+12種題型解讀）

【【考清點單題01型】六一】元銷一售次問方題程的概念

［【清單02】等式的基本性質

ah考點清單’【清單03】一元一次方程的解法

《【清單04】一元一次方程的應用

\【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型

【考點題型五】工程問題

【考點題型一】一元一次方程及其解

1考點題型二】等式的性質

一元一次方程【考點題型三】解一元一次方程

【考點題型四】配套問題

點儕單

1等式的兩邊I加（或減）同f數（或式子），結果仍相等

等式的性質2.等式的兩邊乘樂三或除以同Y不為0的數結果仍相

等

只含有一個枷數（無），且含有未知^的式子都是整式，未

知數的讖都是1的方程

1.去分母:方程兩邊都乘各分母的最小公倍數

一元一次方程2去.括號:根據分配律

元解法3移項移鰻變導

次4合.并同類項:依據合并同類項法^

方

5.系數化為1:方程兩邊都除以未知數的系數

程

1.審題2.找相等關系

直接設未知數

3.設我0數

間接設未知數

一元一次方程的應用4列方程5.解方程

（1）是否符合一元一次方程

6.檢驗

（2）是否符合實際

7寫答

【清單01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定義：只含有一個未知數，未知數的次數都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方

程。

細節剖析：

判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：

①只含有一個未知數,未知數的次數為丘_

②未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數.

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清單02】等式的基本性質

等式的性質1等式的兩邊都加上(或都減去)同一個數或式，所得結果仍是等式。

字母表達式為：如果那么a±c=6±c.

等式的性質2等式的兩邊都乘或都除以同一個數或式(除數不能為零)，所得結果仍是等式。

字母表達式為：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(cwO).

CC

細節剖析：

等式的傳遞性如果a=6、b-c,那么a=c。

【清單03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數.

(2)去括號：依據乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

(3)移項：把含有未知數的項移到方程一邊，常數項移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數的項及常數項,把方程化為ax=b(a=0)的形式.

(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數得到方程的解x=±b(aWO).

a

(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解;若方程左右兩邊的值不相等，

則不是方程的解.

【清單04】一元一次方程的應用

首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為X,然后用含

尤的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、歹！J、解、答.

一元一次方程應用題解題一般步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數量之間關系

②設：設未知數（一般求什么，就設什么為X）

③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系

④列：根據這個相等關系列出需要的代數式，進而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數的值

⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型

（1）探索規律型問題；

（2）數字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=今照X100%）；

進價

（4）工程問題（①工作量=人均效率X人數X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作

量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度X時間）；速度義時間=路程；相遇問題：S甲+SjS總；追及問題：S快-S慢

二s相晅；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

題型需單

【考點題型一】一元一次方程及其解

【例1】（2023秋?咸安區期末）【閱讀材料】規定：若關于x的一元一次方程依=6的解為x=b+a,則稱

該方程為“和諧方程”.

例如：方程2x=T的解為彳=-2,

而一2=T+2,

所以方程2x=T為“和諧方程”.

請根據上述規定解答下列問題：

（1）下列關于x的一元一次方程是“和諧方程”的有—；（填寫序號）

①4x=-2；

②-3x」；

4

?-%=--

22

（2）已知關于x的一元一次方程6x=:%是“和諧方程”，求加的值;

（3）已知關于x的一元一次方程4大=m+〃是"和諧方程”，并且它的解是x=”，求機，n的值.

【變式1-1］（2023秋?涪城區期末）下列各式中，屬于方程的是（）

2

A.6+（-2）=4B.-x-2C.7x>5D.2%-1=5

【變式1-2］（2023秋?固始縣期末）若方程2x-辰+l=5x-2的解為-1,則%的值為（）

A.10B.-4C.-6D.-8

【變式1-3］（2023秋?昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x2-4x=3B.2x=0C.x+2y=lD.x-l=—

x

【變式1-4］（2023秋?成安縣期末）已知（加-3）”12=18是關于元的一元一次方程，貝|（）

A.m—2B.m=—3C.m=±3D.m=l

【變式1-5］（2023秋?西安期末）小芳同學在解關于尤的一元一次方程=-1=±口時，誤將x-a抄成

23

x+a,求得方程的解為x=2,請幫小芳求出原方程正確的解.

【變式1-6］（2023秋?東臺市期末）定義：關于x的方程?=0與方程"-a=0（a、Z?均為不等于。的

常數）稱互為“伴生方程”，例如：方程2%-1=0與方程％-2=0互為“伴生方程”.

（1）若關于％的方程2%-3=0與方程3%-c=0互為“伴生方程”，則。=—；

（2）若關于x的方程4工+3m+1=0與方程5尤-〃+2=0互為“伴生方程”，求機、〃的值;

（3）若關于x的方程5x-b=0與其“伴生方程”的解都是整數，求整數6的值.

【考點題型二】等式的性質

7?33

【例2】（2023秋?尋烏縣期末）觀察下列兩個等式：1一女=2xlx±-l,2-3=2x2x±-l給出定義如下:

3355

我們稱使等式a-6=2必-1成立的一對有理數a,6為“同心有理數對"，記為（a,6）,如：數對（1,|）,（2,|）,

都是“同心有理數對”.

（1）數對（-2,1）,（3,；）是“同心有理數對”的是.

（2）若（a,3）是“同心有理數對"，求。的值；

（3）若⑴,〃）是“同心有理數對"，貝!］（-〃,-附—“同心有理數對"（填“是”或“不是”），說明理由.

【變式2-1］（2023秋?懷仁市期末）下列各式進行的變形中，不正確的是（）

A.若3a=2b,貝i」3a+2=2Z?+2B.若3a=2b,貝19a=46

,...Z7b

C.右3a=2/，貝！|3a-5=2/一5D.右3a=2b,則一=—

23

【變式2-2］（2023秋?乳山市期末）等式5-3x=3中，若x是正整數，則整數。的取值是—.

【變式2-3］（2023秋?曲陽縣期末）已知8〃2+3〃+2=4帆+7〃，利用等式的性質比較機與〃的大小關系:

mn（填“>”）.

【變式2-4］（2023秋?皇姑區期末）如圖，標有相同字母的物體的質量相同，若A的質量為15克，則當3

的質量為克時，天平處于平衡狀態.

【變式2-5](2023秋?渝中區期末)如果。=8,那么-L=—也成立時c應滿足的條件是_.

c-1c-1

【考點題型三】解一元一次方程

[例3](2023秋?雨湖區期末)七3班數學老師在批改小紅的作業時發現，小紅在解方程四-1=。+三

24

時，把“2-x”抄成了解得x=8,而且處的數字也模糊不清了.

(1)請你幫小紅求出處的數字.

(2)請你正確地解出原方程.

【變式3-1](2023秋?關嶺縣期末)解方程：

(1)3x+7=-l-2x；(2)2+^-=-.

35

【變式3-2](2023秋?成安縣期末)解下列方程：

3-5龍3x-5

(1)4(2%-1)-3(5x+2)=3(2-x)；(2)1—=-二衛_上

32

【變式3-3](2023秋?泗洪縣期末)--—=3.

0.20.5

【變式3-4](2023秋?通州區期末)已知代數式8》-7的值與代數式6-2x的值互為相反數，求x的值.

若式子主二Z的值比包里的值小2,求尤的值.

【變式3-5](2023秋?沂南縣期末)

23

【變式3-6］（2023秋?明水縣期末）關于x的方程x-2根=-3x+4與2=x的解互為相反數.

（1）求機的值；

（2）求這兩個方程的解.

【變式3-7］（2023秋?潮南區期末）閱讀理解題：

你知道為什么任何無限循環小數都可以寫成分數形式嗎？下面的解答過程會告訴你原因和方法.

閱讀下列材料：

問題：利用一元一次方程將0.7化成分數.

設0.7=元，

由0.1=0.777...,可知10x0）=7.777...=7+0.7,

即7+x=10x.（請你體會將方程兩邊都乘以10起到的作用）

可解得/，即0"=?.

99

（1）填空：將0.4直接寫成分數形式為—.

（2）請仿照上述方法把小數0.力化成分數，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程.

【變式3-8］（2023秋?桂平市期末）本學期學習了一元一次方程的解法，下面是小蒙同學的解題過程:

解方程：￡±1_^±Z=3

24

解：方程兩邊同時乘以4,得：±±1x4-至二x4=3x4…①

24

去分母，得：2（x+l）-3x+2=12...@

去括號，得：2x+2-3x+2=12…③

移項，得：2x-3x=12-2-2...@

合并同類項，得：-x=10…⑤

系數化1,得：x=10...@

（1）以上求解步驟中，第一步的依據是.

（2）上述小蒙的解題過程從第一步開始出現錯誤，錯誤的原因是

（3）請幫小蒙改正錯誤，寫出完整的解題過程.

【考點題型四】配套問題

【例4】（2023秋?東港區期末）2023年8月8日，是全國第15個全民健身日，近年來，日照始終秉持“以

人民為中心”的展思想，不斷擴大城市體育服務供給量，打造“體育生活圈”，某工廠現需生產一批太空漫

步器（如圖），每套設備各由一個架子和兩套腳踏板組裝而成；工廠現共有45名工人，每人每天平均生產支

架60個或腳踏板96套，應如何分配工人才能使每天的生產的架子和腳踏板配套？每天生產多少套太空漫

步器？

【變式4-11（2023秋?黔南州期末）如圖是學校手工藝社團編織的手工花朵，一朵花由1個花心和8個花瓣

構成，已知手工藝社團有30人，據統計，每個學生一節課可以編織5個花心或20個花瓣.安排多少人編織

花心，多少人編織花瓣，才能使一節課編織出來的花心和花瓣剛好配套？

學生手工藝花朵

【變式4-2］（2023秋?九龍坡區期末）某車間有80名工人，負責加工某轎車甲、乙兩種零件的生產任務.每

個工人每天能加工20個甲種零件或加工15個乙種零件，每輛轎車需要4個甲種零件和3個乙種零件.該

車間每天生產的零件正好滿足轎車的配套需求.

（1）每天應安排多少工人加工甲種零件？

（2）每天生產該轎車總加工費為15200元.已知加工一件甲種零件的費用比加工一件乙種零件的費用少2

元，求加工一件乙種零件的費用為多少元？

【變式4-3］（2023秋?榆陽區期末）在社會與實踐的課堂上，劉老師組織七（1）班的全體學生用硬紙板制

作圓柱體（圖1）.七（1）班共有學生50人，其中男生人數比女生人數少2人，并且每名學生每小時剪20

個圓柱側面（圖2）或剪10個圓柱底面（圖3）.

（2）原計劃男生負責剪圓柱側面，女生負責剪圓柱底面，要求一個圓柱側面配兩個圓柱底面，那么每小時

剪出的筒身與筒底能配套嗎？如果不配套，那么男生應向女生支援多少人時，才能使每小時內剪出的側面與

底面配套.

【變式4-4］（2023秋?信州區期末）某工廠現有15/木料，準備制作各種尺寸的圓桌和方桌，如果用部分

木料制作桌面，其余木料制作桌腿.

（1）已知一張圓桌由一個桌面和一條桌腿組成，如果1加木料可制作40個桌面，或制作20條桌腿.要使

制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接寫出制作桌面的木料為多少相I

（2）已知一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成.根據所給條件，解答下列問題：

①如果1加3木料可制作50個桌面，或制作300條桌腿，應怎樣計劃用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？

②如果3行木料可制作20個桌面，或制作320條桌腿，應怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子？

【考點題型五】工程問題

【例5】(2023秋?清原縣期末)某市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程.這個工程

若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成.若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙

隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務？

【變式5-1](2023秋?高陽縣期末)某物業計劃修整小區綠化帶，現有甲乙兩個工程隊均有意愿承接此項工

程.已知甲隊計劃每天修整32平方米，乙隊計劃每天修整48平方米，若單獨完成這項工作，甲隊比乙隊要

多用10天，修整期間，甲乙兩隊的人工費用分別為800元1天和1200元1天.

(1)求這項工程共需修整綠化帶多少平方米？

(2)此項工程先由甲，乙兩隊按原計劃修整速度合作一段時間后，甲隊因事停工，乙隊立刻將自己每天的

修整速度提高25%.且工資隨之上漲了200元1天，獨立完成剩下工作，已知乙隊的全部工作時間是甲隊

工作時間的2倍還多2天，求乙隊共修整多少天？

【變式5-2](2023秋?桂林期末)某水利工程，甲工程隊單獨施工需要40天可以完成，乙工程隊單獨施工

需要60天可以完成.

(1)現在乙工程隊施工10天后，為了加快進度，甲工程隊加入，兩隊合作完成余下的工程，問完成此項水

利工程一共用了多少天？

(2)完成此項水利工程，甲、乙二隊共得到施工費68萬元，如果按每隊完成的工作量計算施工費，那么甲

工程隊可以得到多少萬元？

【變式5-3](2023秋?長清區期末)列方程解應用題:

某縣在創建省級衛生文明城市中，對縣城內的河道進行整治.現有一段長為260米的河道整治任務，由甲、

乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天整治8米，乙工程隊每天整治12米，共用時25天.

（1）求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少天？

（2）雇傭甲工程隊需要800元/天，雇傭乙工程隊需要1000元/天，則共需支付兩個工程隊多少錢？

【變式5-4］（2023秋?鐵東區期末）某學校校辦工廠需制作一塊廣告牌，請來師徒二人，已知師傅單獨完成

需4天，徒弟單獨完成需6天，現由徒弟先做一天，再兩人合作完成這塊廣告牌的制作.

（1）為完成這塊廣告牌的制作，師徒二人共合作了多少天？

（2）若完成后共得到報酬900元，如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配這900元的報酬？

【考點題型六】銷售問題

【例6】（2023秋?哈爾濱期末）杭州亞運會的吉祥物“瓊琮”、“蓮蓮”、“痕底”分別代表了良渚古城遺址、

西湖、世界遺產京杭大運河，以它們的形象制作的紀念品種類很多.麗才紀念品店恰好用3850元購進甲、

乙兩種帶有這三個吉祥物圖案的掛件，其中甲種掛件30個，乙種掛件20個，甲種掛件每個進價比乙種掛

件每個進價少5元，且兩種掛件每個售價均為120元.

（1）求購進甲、乙兩種掛件每個進價分別是多少元？

（2）由于這兩種掛件十分暢銷，麗才紀念品店按原進價再次購進甲、乙兩種掛件，其中甲種掛件的個數是

乙種掛件個數的2倍.若兩次購進的掛件全部售出共獲利4750元，求麗才紀念品店第二次購進甲種掛件多

少個？

【變式6-1］（2023秋?南沼區期末）南得區某學校舉行迎新活動，需要購買燈籠進行裝飾.某商家有A、B、

C三種型號的燈籠，已知A種燈籠的單價比3種燈籠的單價多9元，C種燈籠單價20元/盞.

（1）學校決定購買A種燈籠30盞，3種燈籠40盞，且購買A、8兩種燈籠的費用相同，請問A、5兩種

燈籠的單價分別是多少？

（2）商家節日期間為了促銷，A種燈籠每盞降價6元，3種燈籠每盞降價2元.購買三種燈籠的顧客，所

有商品價格一律九折.根據燈籠價格變化，學校發現在A、3燈籠數量和總經費不變的情況下，可以增加購

買C種燈籠.問C種燈籠可以購買多少盞？

【變式6-2］（2023秋?漢川市期末）新時代超市經銷甲、乙兩種商品，兩種商品相關信息如表:

商品進價（元/件）售價（元/件）利潤率

甲種4060n

乙種50m50%

（1）以上表格中加，”的值分別為

（2）若該超市同時購進甲種商品數量是乙種商品數量的2倍少10件，且在正常銷售情況下售完這兩種商

品共獲利3050元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？

（3）春節臨近，該超市決定對甲、乙兩種商品進行如下的優惠活動：

顧客一次性購商品數量優惠措施

甲種不超過15件不優惠

超過15件全部按售價8.5折

乙種不超過15不優惠

超過15件但不超過25件全部按售價8.8折

超過25件全部按售價8折

小華的爸爸一次性購買包含甲、乙兩種商品共4()件，按上述條件優惠后實付款恰好為2280元；求出小華

的爸爸購買方案.

【變式6-3](2023秋?潛山市期末)潛山市某商場經銷的A、3兩種商品，A種商品每件售價為60元，利

潤率為50%；B種商品每件進價為50元，售價為80元.

(1)A種商品每件進價為一元，每件3種商品利潤率為—.

(2)若該商場同時購進A、3兩種商品共70件，售完之后恰好總利潤為1580元，求購進A種商品多少件？

(3)在“春節”期間，該商場只對A、3兩種商品進行如下的優惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優惠措施

少于等于400元不優惠

超過400元，但不超過600元按總售價打九折

超過600元其中600元部分打八折優惠，超過

600元的部分打七五折優惠

按上述優惠條件，若小明一次性購買商品A、臺優惠后付款總額為531元，若沒有優惠促銷，小明在該商

場購買同樣商品要付多少元？

【變式6-4］（2023秋?和平區校級期末）某直播間購進甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數比甲商品件數的

1少100件，甲、乙兩種商品的進價和售價如表;

3

甲乙

進價（元/件）2030

售價（元/件）2540

（1）該直播間將購進的甲、乙兩種商品全部賣完，交易額為19000元，則該直播間本次獲利多少元？（注:

每件商品獲利=售價-進價）.若要解決上述問題，我們可以設甲商品的進貨量為x件，請完成下面的表格

并作答:

單件售價（元）進貨量（件）交易額

甲①_____X②—

乙40③—④—

（2）經過一段時間后發現乙商品銷量很好，現直播間將乙商品加價10元后再打九折售賣，若要獲得9000

元的利潤，需購進乙商品多少件？

【考點題型七】積分問題

【例7】（2023秋?平江縣期末）為有效開展陽光體育活動，云洱中學利用課外活動時間進行班級籃球比賽，

每場比賽都要決出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分.已知九年級一班在8場比賽中得到13分，問

九年級一班勝、負場數分別是多少？

【變式7-1］（2023秋?云夢縣期末）12月4日是全國法制宣傳日，為增強學生的法律意識與法制觀念，崇

德中學組織了法律知識競賽，共設有20道選擇題，各題分值相同，每題必答.如表記錄了5位參賽學生的

得分情況，根據表中信息回答下列問題：

參賽者答對題數答錯題數得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

（1）這次競賽中答對一題得一分，答錯一題得—分;

（2）參賽學生/得分為70分，求他答錯了幾道題？

（3）參賽學生G說他的得分為60分，你認為可能嗎？請說明理由.

【變式7-212023秋?東西湖區期末）用一元一次方程解決實際問題，第2小問和第3小問用算式解決不得

分.習近平總書記說“綠水青山就是金山銀山”，為了增強中學生環保意識，某學校組織全體中學生進行

環保知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，每題必答，如表記錄了5個參賽者的得分情況.

參賽者答對題數答錯題數得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

（1）填空：每答對一道題得一分，每答錯一道題扣一分.

（2）參賽者尸得76分，他答對了幾道題？

（3）參賽者G說他得83分，你認為可能嗎？請通過計算說明.

【變式7-3].（2023秋?閩侯縣期末）某電視臺組織知識競賽，共設20道題選擇題，各題分值相同，每題必

答，如表記錄了5個參賽者的得分情況.

參賽者答對題數答錯題數得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

根據以上信息，請你算出：

（1）填空：答對一題得—分，答錯一題扣一分；

（2）參賽者F得76分，他答對了幾題？

（3）參賽者G說他得了36分，你認為可能嗎？試說明理由.

【考點題型八】分段計費問題

【例8】（2023秋?余姚市期末）某市電力部門對居民生活用電實行“峰谷電價”和“非峰谷電價”，可由每

戶居民預先自主選擇.具體電價如下：

電價分類時段電價（元/千瓦時）

非峰谷電價全天24小時0.538

峰谷電價高峰時段上午8:00~晚上22:000.568

低谷時段晚上22:00~次日晨8:000.288

現某居民戶10月份用電100千瓦時.

（1）若該居民戶選擇“峰谷電價”，其中低谷時段用電X千瓦時，請用含X的代數式表示該居民戶這個月應

繳納的電費.

（2）若該居民戶選擇“峰谷電價”比“非峰谷電價”少繳電費13.8元，問該居民戶高峰時段用電多少千瓦

時？

【變式8-1]（2023秋?云夢縣期末）有下列兩種移動電話計費方法:

月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/血加）被叫

A套餐381000.2免費

3套餐683000.25免費

（月使用費固定收，主叫不超過限定時間不再收費，主叫超過部分加收超時費，被叫免費）

（1）若張老師選用A套餐，9月份主叫時間150分鐘，則他9月份的通話費用為48元.

（2）若王老師選擇A套餐，李老師選擇B套餐，10月份兩位老師的主叫時間與通話費用恰好都相同，求兩

位老師10月份的主叫時間.

（3）設主叫時間為f分鐘，直接寫出f滿足什么條件時，選擇3套餐省錢.

【變式8-2].（2023秋?海門區期末）某公園門票價格規定如下表:

購票張數1~5。張51~100張100張以上

每張票的價格13元11元9元

某校七年級（1）（2）兩個班共104人去游園，其中（1）班有40多人，不足50人.經估算，如果兩個班都

以班級為單位購票，則一共應付1240元.

（1）求兩個班各有多少學生；

（2）如果兩個班聯合起來，作為一個團體購票，可節省多少錢？

（3）若七年級（1）班單獨組織去游園，請問600元能否滿足全班同學的購票需求？請說明理由.

【變式8-3］（2023秋?臨江市期末）甲、乙兩所幼兒園計劃在“元旦”一起舉辦文藝匯演活動.已知甲、乙

兩所幼兒園一共96人（其中甲幼兒園人數多于乙幼兒園人數，且甲幼兒園人數不足90人）.現準備給每位

小朋友都購買一套演出服裝，服裝廠給出如下價目表：

購買服裝的套數48套以下48套至90套91套及以上

每套服裝的價格65元55元45元

如果兩所幼兒園分別單獨購買服裝，一共應付5680元.

（1）如果甲、乙兩所幼兒園聯合起來購買服裝，那么比各自購買服裝共可以節省多少錢？

（2）甲、乙兩所幼兒園各有多少名小朋友準備參加演出？

（3）如果甲幼兒園有10名小朋友因為校外活動不能參加演出，那么你有幾種購買方案？通過比較，你認為

如何購買服裝才能最省錢？

【變式8-4］（2023秋?惠城區期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校區“悠悠南湖情，拳拳家國心”

元旦文藝晚會在南湖畔上演.一中師生用歌聲舞姿表達熱愛寄托情懷，回首2023,逐夢2024.若1班和2

班共有94名學生（其中1班人數多于2班人數，且1班人數不夠90名），統一購買服裝參加演出，下面是

某服裝廠給出的服裝價格表：

購買服裝的套數1套一46套47套一90套91套及以上

每套服裝的價格60元50元40元

如果兩個班分別單獨購買服裝，一共應付5120元.

（1）若兩班聯合起來購買服裝，則比各自購買服裝共可以節省多少元?

（2）兩個班各有多少名學生準備參加元旦演出？

（3）如果1班有10名學生被調去參加合唱團的節目，不能參加班級演出，請你為這兩個班設計一種最省

錢的購買服裝的方案.

【考點題型九】方案決策問題

【例9】（2023秋?陜州區期末）某種海產品，若直接銷售，每噸可獲利潤1200元；若粗加工后銷售，每噸

可獲利潤5000元；若精加工后銷售，每噸可獲利潤7500元.某公司現有這種海產品140噸，該公司的生產

能力是：如果進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同

時進行，受各種條件限制，公司必須在15天內將這批海產品全部銷售或加工完畢，為此該公司設計了三種

方案：

方案一：全部進行粗加工；

方案二：盡可能多地進行精加工，沒有來得及進行精加工的直接銷售；

方案三：將一部分進行精加工，其余的進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為選擇哪種方案可獲利潤最多，為什么？最多可獲利潤多少元？

【變式9-1］（2023秋?環江縣期末）環江牛角寨瀑布群景區和環江木論喀斯特生態旅游景區是國家4A級旅

游景區，寒假期間擬定門票價格每張30元，團隊票可選擇兩種購票優惠方案.

方案一：全體人員打8折；

方案二：有5人可以免票，剩下的人員打9折.

（1）若某團隊有100人，為節省購票費用，求該團隊應該選擇哪種購票方案？

（2）若某團隊無論選擇哪種方案購票，費用恰好一樣，求該團隊共有多少人？

【變式9-2］（2023秋?武功縣期末）某服裝廠生產夾克和T恤，夾克每件定價100元，T恤每件定價50元.廠

方在開展促銷活動期間，向客戶提供兩種優惠方案：（客戶只能選擇其中一種方案）

方案一：買一件夾克送一件T恤；

方案二：夾克和T恤都按定價的80%付款.

現某客戶要到該服裝廠購買夾克30件，T恤尤件（x>30）.

（1）分別用含x的代數式表示該客戶按方案一、方案二購買所需要的費用；

（2）求該客戶購買多少件T恤，按方案一和方案二購買所需要的費用相同？

【變式9-3].（2023秋?曲陽縣期末）甲、乙兩城相距800千米,一輛客車從甲城開往乙城,車速為G（0<?<100）

千米/小時，同時一輛出租車從乙城開往甲城，車速為90千米/小時，設客車行駛時間為f（小時）

（1）當f=5時，客車與乙城的距離為千米（用含。的代數式表示）

（2）已知a=70,丙城在甲、乙兩城之間，且與甲城相距260千米

①求客車與出租車相距100千米時客車的行駛時間；（列方程解答）

②已知客車和出租車在甲、乙之間的服務站〃處相遇時，出租車乘客小王突然接到開會通知，需要立即返

回，此時小王有兩種返回乙城的方案：

方案一：繼續乘坐出租車到丙城，加油后立刻返回乙城，出租車加油時間忽略不計；

方案二：在加處換乘客車返回乙城.

試通過計算，分析小王選擇哪種方案能更快到達乙城？

【變式9-4]（2023秋?興賓區期末）某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為0.1萬元;

經粗加工后銷售，每噸利潤可達0.5萬元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至0.8萬元.當地一家蔬菜公司收

購這種蔬菜120噸，該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工14噸：如果進行精

加工，每天可加工5噸，但兩種加工方式不能在同一天同時進行，受季節條件限制，公司必須在15天內將

這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此，公司研制了三種可行方案：

方案一；將蔬菜全部進行粗加工.

方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜在市場上直接銷售.

方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為哪種方案利潤最大，為什么？

【變式9-5]（2023秋?青山區期末）某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000

元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當地一家公司收購

這種蔬菜140噸，該公司的加工生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，

每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季節等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷

售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工.

方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售.

方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成.

你認為哪種方案獲利最多？為什么？

【考點題型十】整體思想

【例10】（2024七年級上?全國?專題練習）若x=2是關于x的一元一次方程6+6=4的解，則代數式

（2G+bY+3（2。+6）-1的值是.

【變式10-11（24-25七年級上?全國?單元測試）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法.例如“已知

2a-b=3,求代數式6a-36-1的值.”可以這樣解：6。-36-1=3（2。-6）—1=3x3—1=8.根據閱讀材

料，解決問題：若x=3是關于x的一元一次方程〃zx+〃=2的解，則代數式9"z+3〃+l的值是

【變式10-2]（2024七年級上?全國?專題練習）用整體思想解方程⑶-2A6T=2-⑴；）十2.

i4

【變式10-3］（23-24七年級上.山東濰坊.期末）數學李老師讓同學們解方程”0-2司=6-§（210）.小

亮認為“方程兩邊有分母，應該先去分母”，小穎認為“方程中有10-2%及2尤-10,且互為相反數，應該用

整體思想求解”.請你分別用小亮、小穎的方法求解該方程.

【考點題型十一】分類討論思想

【例1。（21-22七年級上?安徽宣城.期末）已知方程（。+2）/一+3=0是關于x的一元一次方程，則6的值

為（）

A.2B.-2C.-2或2D.0

【變式11-1］（23-24七年級上.山東臨沂?期末）已知（。-1）鏟2+2*+1=0一元一次方程，則”的值為

（）

A.1B.3C.1或3D.0或一3

【變式11-2］（23-24七年級上.全國?單元測試）若關于x的方程〃/1+（〃7-1卜-2=0是一元一次方程，

則m的值為_.

【變式11-3］（2024七年級上?北京?專題練習）已知。是非零整數，關于x的方程加嘰bx2+x-2=0是一

元一次方程，求a+b的值.

【考點題型十二】數形結合思想

【例12】（2023秋?沙市區期末）數形結合思想是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的數學

思想方法.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，