PAGEPAGE1課時作業9數學證明時間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共7個小題，每小題5分，共35分)1．有如下一段演繹推理：“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”，這個推理的結論明顯是錯誤的，是因為()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤【答案】C【解析】推理形式不完全符合三段論推理的要求，故推出的結論是錯誤的．2．下面幾種推理過程不是演繹推理的是()A．全部的金屬都能導電，鈾是金屬，所以鈾能導電B．一切偶數都能被2整除，22008是偶數，所以22008能被2整除C．由橢圓的基本性質類比得出雙曲線的基本性質D．在一個標準大氣壓下，水的沸點是100℃，所以在一個標準大氣壓下，把水加熱到100℃【答案】C【解析】A，B，D的推理都是以某些一般的推斷為前提，得出一些個別的、詳細的推斷，因而都是演繹推理．選項C是由一類事物的性質類比出另一類事物的性質，是類比推理，屬于合情推理的范疇，故選C.3．“三角函數是周期函數，y＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是三角函數，所以y＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是周期函數．”在以上演繹推理中，下列正確的是()A．推理完全正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．推理形式不正確【答案】C【解析】y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))只是三角函數中的一個特例，不是代表一般的三角函數，故小前提錯誤．4．三段論：“①只有船準時起航，才能準時到達目的港，②這艘船是準時到達目的港的，③所以這艘船是準時起航的”中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③【答案】B5．已知△ABC中，A＝30°，B＝60°，求證：a<b.證明：eq\x(\a\al(∵A＝30°，B＝60°，,∴A<B.))∴a<b.畫線部分是用演繹推理證明a<b中的()A．大前提 B．小前提C．結論 D．三段論【答案】B【解析】用演繹推理證明a<b中，省略了大前提，畫線部分是小前提．6．下面推理中正確的是()A．假如不買彩票，那么就不能中獎．因為你買了彩票，所以你肯定中獎B．因為正方形的對角線相互平分且相等，所以對角線相互平分且相等的四邊形是正方形C．因為a>b，a<c，所以a－b<a－cD．因為a>b，c>d，所以a－d>b－c【答案】D7．下列推理過程屬于演繹推理的為()A．老鼠、猴子與人在身體結構上有相像之處，某醫藥先在猴子身上試驗，試驗勝利后再用于人體試驗B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三條中線交于一點聯想到四面體的四條中線(四面體每一個頂點與對面重心的連線)交于一點D．通項公式形如an＝cqn(c，q≠0)的數列{an}為等比數列，則數列{－2n}為等比數列【答案】D【解析】選項A，C屬于類比推理，選項B屬于歸納推理，選項D屬于演繹推理．二、填空題(本大題共3個小題，每小題7分，共21分)8．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數f(x)＝ax，若實數m，n滿意f(m)>f(n)，則m，n的大小關系為______．【答案】m<n【解析】當0<a<1時函數f(x)＝ax為減函數，(大前提)a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，(小前提)所以，函數f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x為減函數．(結論)故由f(m)>f(n)得m<n.9．全部眼睛近視的人都是聰慧人，我近視得很厲害，所以我很聰慧．下列各項中揭示了上述推理是明顯錯誤的是________．①我是個笨人，因為全部的聰慧人都是近視眼，而我的視力那么好．②全部的豬都有四條腿，但這種動物有八條腿，所以它不是豬．③小陳非常興奮，所以小陳肯定長得很胖，因為興奮的人都長得很胖．④全部尖嘴的鳥都是雞，這種總在樹上待著的鳥是尖嘴的，因此這種鳥是雞．【答案】④【解析】依據④中的推理可得：這種總在樹上待著的鳥是雞，這明顯是錯誤的．①②③符合三段論的形式．10．如圖，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD.證明：在△ABC中，因為CD⊥AB，AC＞BC，①所以AD＞BD，②于是∠ACD＞∠BCD.③則在上面證明的過程中錯誤的是____________．(只填序號)【答案】③【解析】由AD＞BD得到∠ACD＞∠BCD推理的大前提應是“在同一三角形中，大邊對大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD、BD不在同一三角形中，故③錯．三、解答題(本大題共3個小題，11,12題每小題14分，13題16分，共44分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)11.如右圖，在空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB，AD的中點．求證：MN∥平面BCD(寫出大前提，小前提，結論)【證明】①三角形中位線平行于底邊(大前提)∵M、N分別為AB與AD的中點(小前提)∴MN∥BD(結論)②平面外一條直線與平面內一條直線平行，則這條直線與這個面平行(大前提)∵MN?面BCD，BD面BCD.MN∥BD(小前提)∴MN∥平面BCD(結論)12．下面的推理形式正確嗎？推理的結論正確嗎？為什么？(1)因為對數函數y＝logax是增函數，(大前提)而y＝logeq\f(1,3)x是對數函數，(小前提)所以y＝logeq\f(1,3)x是增函數．(結論)(2)因為過不共線的三點有且僅有一個平面，(大前提)而A、B、C為空間三點，(小前提)所在過A、B、C三點只能確定一個平面．(結論)(3)因為金屬銅、鐵、鋁能夠導電，(大前提)而金是金屬，(小前提)所以金能夠導電．(結論)[分析]本題考查三段論推理的應用，在應用三段論推理證明問題時，首先應當明確什么是問題中的大前提和小前提，并且應留意大前提、小前提或推理形式其中之一錯誤，都可能導致結論錯誤．【解析】(1)推理形式是正確的，但大前提是錯誤的．因為對數函數y＝logax的單調性與底數a的取值有關，若0<a<1，則y＝logax為減函數；若a>1，則y＝logax為增函數，所以推理的結論是錯誤的．(2)推理形式是正確的，但小前提是錯誤的．因為若三點共線，則可確定多數個平面，只有不共線的三點才滿意題意，所以推理的結論是錯誤的．(3)推理形式是錯誤的，因為演繹推理是從一般到特別的推理，而銅、鐵、鋁僅是金屬的代表，是特別事例，是特別到特別的推理，所以推理的結論是錯誤的．13．用三段論證明函數f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函數．【分析】證明本例所依據的大前提是增函數的定義，即函數y＝f(x)滿意：在給定區間內任取自變量的兩個值x1、x2，若x1<x2，則有f(x1)<f(x2)．小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞，＋∞)上滿意增函數的定義，這是證明本例的關鍵．【證明】設x1<x2，則x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(xeq\o\al(3,2)＋x2)－(xeq\o\al(3,1)＋x1)＝(xeq\o\al(3,2)－xeq\o\al(3,1))＋(x2－x1)＝(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1))＋(x2－x1)＝(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1)＋1)＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(x1,2)))2＋\f(3,4)x\o\al(2,1)＋1)).因為eq\b\lc\(\rc\)