試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第21講相似三角形及其應用（思維導圖+2考點+3命題點24種題型（含7種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一相似多邊形考點二相似三角形04題型精研·考向洞悉命題點一相似三角形的性質與判定-基礎?題型01選擇或補充一個條件使兩個三角形相似?題型02選擇合適的方法證明兩個三角形相似?題型03補全判定相似三角形的證明過程?題型04以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程?題型05利用相似三角形的性質求解?題型06利用相似的性質求坐標?題型07相似三角形在網格中的應用?題型08相似三角形的性質與判定綜合命題點二相似三角形的性質與判定-拔高?題型01利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題?題型02利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像?題型03利用相似三角形的性質與判定求線段比值?題型04利用相似三角形的性質與判定求最值?題型05利用相似三角形的性質與判定解決動點問題?題型06利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題?題型07利用相似三角形列函數關系式?題型08利用三點定形法證明比例式或等積式?題型09尺規作圖與相似三角形綜合應用?題型10三角板與相似三角形綜合應用?題型11平移與相似三角形綜合應用?題型12利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題?題型13與相似三角形有關的新考法問題命題點三相似三角形的應用?題型01利用相似測量物體的高度?題型02利用相似測量物體（不易測量）的寬度?題型03其它問題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求相似三角形的性質★★★了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性質定理.相似三角形的有關證明與計算★★★相似三角形的應用★★會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題【考情分析】本專題主要考查相似三角形的判定和性質，利用相似的性質求線段的長度、圖形的面積等，試題形式多樣，難度不一，相似三角形的判定方法較多，合理的選擇方法是解題的關鍵，常見的相似模型有“A”字形、8”字形及“一線三等角”等，熟練掌握這些模型能提升解題速度.【命題預測】相似三角形是中考數學中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點.它不僅可以作為簡單考點單獨考察，還經常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數、特殊四邊形、圓等問題一起考察.而且在很多壓軸題中，經常通過相似三角形的判定以及性質來得到角相等或者邊長間的關系，也是動點問題中得到函數關系式的重要手段，需要考生在復習的時候給予加倍的重視!02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一相似多邊形1.相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.【補充】1）相似圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；2）全等圖形是一種特殊的相似圖形，它們不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形的是不是形狀相同，與其它的因素無關.2.相似多邊形及、性質與判定相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.相似多邊形的表示：兩個相似多邊形可以用符號“∽”，讀作“相似于”.【補充】1）相似多邊形的三個條件：①邊數相同；②對應角相等；③對應邊成比例；2）全等多邊形的相似比是1，即全等圖形是一種特殊的相似圖形；；3）當用符號“∽”表示兩個相似圖形時，對應點必須寫在對應位置.1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，用放大鏡將賀蘭山旅游圖標放大，這兩個圖形之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．相似 B．平移 C．軸對稱 D．旋轉2．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．184．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖?ABCD與?AEFG關于點A成位似圖形，若他們的位似比為2:3，則?ABCD與?AEFG的面積比為（

）A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:35．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖是我國自主研發的某汽車的廣告文案．已知：將矩形對折后所得的矩形如果與原矩形相似，那么原矩形的長與寬之比稱為白銀比，則白銀比的近似值是．（小數點后保留三位）它們的大氣端莊，主要來源于對東方傳統美學中，白銀比例這一規律的運用，和黃金比例相比白銀比例下的作品，更為端正平街也更符合東方審美.考點二相似三角形相似三角形的定義：三個角對應相等，三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.【補充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.【注意事項】符號“∽”表示兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大宇母寫在對應的位置上，如△ABC∽△DEF，表示頂點A與D，B與E，C與F分別對應；【易錯點】如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對應關系.相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比.【補充】相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.常見的基本圖形：圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE//BC，基本結論是△ABC∽△ADE；圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結論是△ABC∽△BDC∽△ADB.相似三角形的判定方法：1）判定三角形相似的常用定理：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．②三邊成比例的兩個三角形相似；③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；④兩角分別相等的兩個三角形相似．2）直角三角形相似的判定方法：①有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.②兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.③斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.相似三角形的性質：1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.【補充】己知兩三角形相似，寫對應角相等，對應邊成比例時，原則是“大對大，小對小；長對長，短對短”.【小技巧】相似多邊形對應邊的比相等是求某條線段的長或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方法時一定要注意找準對應關系.2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.1．（2024·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．2．（2024·青海·中考真題）如圖，線段AC、BD交于點O，請你添加一個條件：，使△AOB∽△COD．3．（2024·云南·中考真題）如圖，AB與CD交于點O，且AC∥BD．若OA+OC+ACOB+OD+BD=12

4．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，點F是OD上一點．連接EF．若∠FEO=45°，則EFBC5．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求證：△ABE∽04題型精研·考向洞悉命題點一相似三角形的性質與判定-基礎?題型01選擇或補充一個條件使兩個三角形相似相似三角形的判定方法：判定三角形相似的常用定理直角三角形相似的判定方法1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似2三邊成比例的兩個三角形相似有一個銳角相等的兩個直角三角形相似3兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似4兩角分別相等的兩個三角形相似解題方法：判定兩個三角形相似需要根據條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；5）條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找底角相等，或找底和腰對應成比例.【拓展】特殊三角形相似的判定：1）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.2）兩個等腰直角三角形一定相似.1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一個條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請添加一個條件，使△ADE∽△ABC．3．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，下列不正確的是（

）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．當AD=時，△ABC∽△ACD．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02選擇合適的方法證明兩個三角形相似1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在△ABC與△A'B'C'中，點D、D'分別在邊BC、B'C'上，且2．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是邊AC上一點，且BE=BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△MBN，連接MA，CN.求證：△ABM∽△CBN.4．（2024·山西呂梁·模擬預測）李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調整過來嗎？證明步驟正確的順序是（）已知：如圖，在△ABC中，點D,E,?F分別在邊AB,?AC,?證明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①5．（2024·北京西城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系內有兩點A?2,0，B12,0，CB所在直線的方程為

(1)求b的值；(2)求證：△AOC∽△COB．6．（2024·廣東惠州·二模）如圖，四邊形ABCD是某學校的一塊種植實驗基地，其中△ABC是水果園，△ACD是蔬菜園．已知AB∥CD，(1)求證：△ABC∽△CAD；(2)若蔬菜園△ACD的面積為80m2，求水果園△ABC?題型03補全判定相似三角形的證明過程1．（2024·山西·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應任務：下面是小華同學，課后學習過程中遇到的一個問題：如圖①，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，CD，BE相交于點P．求證：PEBE小華認真思考后，寫出下面的證明過程：連結DE．∵D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任務：(1)填空：材料中的依據是指：______．(2)將材料中的證明過程補充完整．(3)如圖②，在△ABC中，AB=AC，AD為邊BC的中線．點E，F分別為邊AB，AC的中點，EF與AD交于點O，BF與AD交于點P．則S△POF2．（2024·福建泉州·模擬預測）在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系．請耐心閱讀以下材料：【光學模型】如圖1，通過凸透鏡光心O的光線AO，其傳播方向不變，平行于主光軸MN的光線AC經凸透鏡L折射后通過焦點F'，凸透鏡的兩側各有一個焦點F和F'，焦點到光心的距離稱為焦距，記為【模型驗證】如圖2，平行于主光軸MN的光線AC經凸透鏡L折射后與光線AO的交點為點A'，過點A'作主光軸MN的垂線A'B'，垂足為B已知OB=u，OB'=v，OF'=f，AB=?1，A'B'=?2，當證明：∵A'B'∴A'B'∥AB，∴△AOB∽△同理可得△COF'∽△A'∴uv=②______，∴uv?uf=vf，∴1f請結合上述材料，解決以下問題：(1)在上述證明過程的虛框部分中，得到比例式所用到的幾何知識是___________；(2)請補充上述證明過程中①②所缺的內容（用含v,?(3)如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC并交邊BC于點D，設AD=n，求1AB+13．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，點E在BC上，連接BD、AE，相交于點G，作∠AEF=∠ABD，交BD于點F，設BE=x．【變中不變】（1）明明發現：連接AF，當點E的位置在BC上發生變化時，∠AFE的度數始終不變．經過思考，他整理出如下說理過程，請補充完整．∵∠AEF=∠ABD，且①_______；∴△FGE∽△AGB；∴GFGA=GEGB即：GFGE∴∠3+∠AEF=∠4+∠ABD=∠ABE；在矩形ABCD中，∠ABE=90°；∴∠3+∠AEF=90°；∴∠AFE=③_______°，即∠AFE度數不變．【嘗試應用】（2）若x=32，求【思維拓展】（3）將△EFG繞著點E順時針旋轉90°得到△EF'G'，是否存在這樣的x，使得△EFQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程1．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容．題目測量河流寬度AB目標示意圖測量數據BC=2m，BD=5m(1)下面是小亮借助小明的測量數據求河流寬度AB的過程，小亮檢查自己的解題過程時發現有錯誤，開始出現錯誤的是第______步；解：由已知得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°．

……第一步又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，

……第二步∴ABBD=DE解得AB=6m．

(2)請你求出河流寬度AB的長．2．（22-23九年級上·河北保定·期中）【閱讀與思考】如圖是兩位同學對一道習題的交流，請認真閱讀下列對話并完成相應的任務．在△ABC中，AB=8，BC=5，AC=4，D是線段AB上一點，且DB=6，過點D作DE交AC于點E，使以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，求DE的長．如圖，過點D作DE∥BC，交AC于點E

∴DE

這個解答有兩處錯誤，一處是比例式寫錯了，另一處是解答過程不完整，沒有分類討論．【解決問題】(1)寫出正確的比例式及后續解答．(2)請將另一種情況畫出相應圖形并解答．3．（2022·山西運城·一模）計算：(1)?(2)下面是小明作業中一個題目的解答過程，請你仔細閱讀，并完成相應的任務．如圖，在?ABCD中，點E是BC上一點，BE=13BC，連接BD，AE，AE與BD交于點F，已知?ABCD解：作AG⊥BC于點G．∵S?ABCD=BC?AG=24，∴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥∴∠FBE＝∠ADF，∠FEB＝∠FAD，∴△BEF∽∴BEAD=EF∴S△BEF∴S△BEF任務一：填空：①上面解答過程中，證明三角形相似的依據是______．②小明的作業經過老師批改在S△BEF任務二：請你經過正確計算直接寫出△BEF的面積為______．QUOTE?題型05利用相似三角形的性質求解利用相似三角形的性質可推得成比例線段，從而建立等式求得未知線段的長.在中考題中常常運用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決與幾何圖形面積相關的問題.1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若OA=1，則OG=（

）A．125564 B．12564 C．64272．（2022·云南·中考真題）如圖，在△ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設△ABC的面積為S1，△EBD的面積為S2．則S2S1A．12 B．14 C．34 3．（2022·江蘇連云港·中考真題）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．214．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，則A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm5．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，DEBC(1)若AB=8，求線段AD的長．(2)若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．?題型06利用相似的性質求坐標1．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為?4,0、0,4，點C3,n在第一象限內，連接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，則n=2．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，正比例函數y=?3x與反比例函數y=kxk≠0的圖象交于A，B1,m兩點，點C在

(1)m=______，k=______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．

3．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，以點C0,1為位似中心，將△ABC按相似比2:1放大，得到△DEC，則點A2,?1的對應點D的坐標為4．（2023·陜西西安·模擬預測）已知拋物線W：y=ax2+bx+ca≠0交x軸于點A?1，0(1)求出拋物線W的解析式；(2)已知拋物線的對稱軸為直線l，點P為拋物線W上一點，過點P作l的垂線，垂足為Q，連接PD，若△PQD∽△AOC，求出點P的坐標．?題型07相似三角形在網格中的應用1．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在網格線的交點上．設△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則C1C22．（2020·浙江湖州·中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是．3．（2024·河南洛陽·一模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，在圖①、圖②、圖③給定的網格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法）(1)在圖①中，在線段AB上畫出點M，使AM=3BM.(2)在圖②中，在線段AB上畫出點N，使AN=2BN(3)在圖③中，在線段AB上畫出點Q，使PQ⊥AB.?題型08相似三角形的性質與判定綜合由于相似三角形具有對應邊成比例、對應角相等的特性，因此在求線段的長及角的大小時，可以找出邊、角所在的三角形，然后尋找條件證明三角形相似，再根據相似三角形的性質得出對應邊成比例、對應角相等，進而求出線段的長及角的大小.1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC，BD相交與點O，點E在BC延長線上，OE與CD相交與點F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，則菱形2．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在?ABCD中，點M,N在AD邊上，AM=DN，連接CM并延長交BA的延長線于點E，連接BN并延長交CD的延長線于點F．求證：AE=DF．小麗的思考過程如下：參考小麗的思考過程，完成推理．3．（2024·山東濟南·中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足為D．（1）興趣小組的同學得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴ABAC請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，F為線段CD上一點，連接AF并延長至點E，連接CE，當∠ACE=∠AFC時，請判斷△AEB的形狀，并說明理由．（二）學以致用（3）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面內一點D，滿足AD=AC，連接CD并延長至點E，且∠CEB=∠CBD，當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE4．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上．若∠BAD=∠C，則AB（2）【靈活運用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，點D為邊BC的中點，CA=CD=2，點E在AB上，連接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，點E，F分別在邊AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延長AD，BF相交于點G．若BE=4，DG=6，求FG的長．命題點二相似三角形的性質與判定-拔高?題型01利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題1．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，將矩形沿直線EF折疊，使點A，B分別落在邊AD、BC上的點A'，B'處，EF，A'F分別交AC于點G，H．若GH=2，HC=8，則A．2029 B．2039 2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，點E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點B落在B'處，CB'⊥AD，垂足為F

若CF=4cm，3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H兩點．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的長是．

4．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M落在邊AD上（點M不與點A,D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，折痕分別與邊AB，CD交于點E,F，連接BM．

(1)求證：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的長．5．（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A的對應點P落在邊CD上，點B的對應點為點G，PG交BC于點H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當P為CD的中點，AB=2，AD=3時，求GH的長；(3)如圖3，連接BG，當P，H分別為CD，BC的中點時，探究BG與AB的數量關系，并說明理由．?題型02利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像1．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，在△DEF中，DE=DF=5，EF=8，BC與EF在同一條直線上，點C與點E重合．△ABC以每秒1個單位長度的速度沿線段EF所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，△ABC停止運動．設運動時間為t秒，△ABC與△DEF重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（

A．

B．

C．

D．

2．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．設AB=x，AD=y，則y關于x的函數關系用圖象大致可以表示為（A．B．C．D．3．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關于x的函數圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

4．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=3，BC=4，AD=5，動點P從點A出發，按A→B→C的方向在AB，BC邊上移動，記PA=xx>0，點D到直線PA的距離為y，則y關于xA．B．C．D．QUOTE?題型03利用相似三角形的性質與判定求線段比值1．（2024·福建·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E,BE的延長線交AD于點F．(1)求OEAE(2)求證：△AEB∽△BEC；(3)求證：AD與EF互相平分．2．（2024·安徽·中考真題）如圖1，?ABCD的對角線AC與BD交于點O，點M，N分別在邊AD，BC上，且AM=CN．點E，F分別是BD與AN，CM的交點．(1)求證：OE=OF；(2)連接BM交AC于點H，連接HE，HF．（ⅰ）如圖2，若HE∥AB，求證：（ⅱ）如圖3，若?ABCD為菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD3．（2024·貴州·中考真題）綜合與探究：如圖，∠AOB=90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A．(1)【操作判斷】如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數為______度；(2)【問題探究】如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，求證：OM+ON=2PA；(3)【拓展延伸】點M在射線AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，射線NM與射線PO相交于點F，若ON=3OM，求OPOF4．（2023·浙江湖州·中考真題）【特例感知】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點P在邊AB的延長線上，連接PD，過點D作DM⊥PD，交BC的延長線于點M．求證：△DAP≌【變式求異】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D在邊AB上，過點D作DQ⊥AB，交AC于點Q，點P在邊AB的延長線上，連接PQ，過點Q作QM⊥PQ，交射線BC于點M．已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQ【拓展應用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點P在邊AB的延長線上，點Q在邊AC上（不與點A，C重合），連接PQ，以Q為頂點作∠PQM=∠PBC，∠PQM的邊QM交射線BC于點M．若AC=mAB，CQ=nAC（m，n是常數），求PQQM的值（用含m，

?題型04利用相似三角形的性質與判定求最值1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，△ACD中，AD=10,CD=2,BC⊥AC于點C,AC=2BC，則2．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點A的坐標為2,23，點D是邊OC上的動點，過點D作DE⊥OB交邊OA于點E，作DF∥OB交邊BC于點F，連接EF．設OD=x,△DEF的面積為S

(1)求S關于x的函數解析式；(2)當x取何值時，S的值最大？請求出最大值．3．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點Px0,y0，其中y(3)若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．4．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過點C，直角邊MN恒過點H．(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點M與點B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF=22，當點E在點B、F之間運動時，點M隨之運動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_______．?題型05利用相似三角形的性質與判定解決動點問題對于動態相似圖形問題，一般是已知結論，求使結論成立的條件，可采取逆向思維，把結論視為題設的一部分，再結合已有的條件和圖形進行分析、探究，便可得到所需的條件.1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=4，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且CE=DF．當AE+CF的值最小時，則CE=

2．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，OA=OB=35，點C為平面內一動點，BC=32，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM:MA=1:2．當線段OM

A．35,65 B．3553．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AB的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF取得最小值時，APPC的值是

4．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接(1)當EQ⊥AD時，求t的值；(2)設四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．?題型06利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖像經過原點和點A4,0．經過點A的直線與該二次函數圖象交于點B(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；(2)點P是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線AB上方時，過點P作PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m．①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；②是否存在點P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由．2．（2024·廣東·中考真題）【知識技能】（1）如圖1，在△ABC中，DE是△ABC的中位線．連接CD，將△ADC繞點D按逆時針方向旋轉，得到△A'DC'．當點E的對應點E【數學理解】（2）如圖2，在△ABC中(AB<BC)，DE是△ABC的中位線．連接CD，將△ADC繞點D按逆時針方向旋轉，得到△A'DC'，連接A'B，C【拓展探索】（3）如圖3，在△ABC中，tanB=43，點D在AB上，AD=325．過點D作DE⊥BC，垂足為E，BE=3，CE=323?題型07利用相似三角形列函數關系式解決幾何圖形中的函數關系的問題，往往要用到幾何圖形的特征和相似的性質，尤其是利用相似得到比例式，從而將未知線段用含字母的代數式表示出來.1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，點E是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點A作AF⊥DE于點F．設DE=x，AF=y，則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A．y=9x B．y=12x C．2．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，AB=3，直線CM∥AB，E是BC上的動點（端點除外），射線AE交CM于點D．在射線AE上取一點P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射線AC于點Q．設AQ=x，PQ=y．當x=y時，CD=；在點E運動的過程中，y關于x的函數表達式為．3．（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，點D在AC上，CD=3，連接DB，AD=DB，點P是邊AC上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作AC的垂線，與AB相交于點Q，連接DQ，設AP=x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．(1)求AC的長；(2)求S關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．?題型08利用三點定形法證明比例式或等積式1．（2024·山東淄博·中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．【操作發現】小明作出了⊙O的內接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC邊上任取一點D（不與點B，C重合），連接AD，然后將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACE．如圖①小明發現：CE與⊙O的位置關系是__________，請說明理由：【實踐探究】連接DE，與AC相交于點F．如圖②，小明又發現：當△ABC確定時，線段CF的長存在最大值．請求出當AB=310．BC=6時，CF【問題解決】在圖②中，小明進一步發現：點D分線段BC所成的比CD:DB與點F分線段DE所成的比DF:FE始終相等．請予以證明．2．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC,AD,BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O,B重合），連接OF．

(1)若BE=1，求GE的長．(2)求證：BC(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度數，并證明你的結論．3．（2022·四川攀枝花·中考真題）如圖，直線y=34x+6分別與x軸、y軸交于點A、B，點C為線段AB上一動點（不與A、B重合），以C為頂點作∠OCD=∠OAB，射線CD交線段OB于點D，將射線OC繞點O順時針旋轉90°交射線CD于點E(1)證明：CDDB(2)當△BDE為直角三角形時，求DE(3)點A關于射線OC的對稱點為F，求BF的最小值．（用圖3）4．（2024·山東·模擬預測）如圖，點C是⊙O上的一個動點，點A、B是圓外任意兩點，連接BC、AB、OA、OB，作△ABO的外接圓，OB恰好為外接圓的直徑，且外接圓過點A，點M是BC的中點，A、E、M共線．(1)作△ABO的OB邊上的高，垂足為點H，證明：①AH2=OH?BH(2)若⊙O的半徑為3，AO=5，AB=12，求線段AM的長度的最小值．?題型09尺規作圖與相似三角形綜合應用1．（2021·山東濟寧·中考真題）如圖，已知△ABC．（1）以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交AC于點M，交AB于點N．（2）分別以M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部相交于點（3）作射線AP交BC于點D．（4）分別以A，D為圓心，以大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，（5）作直線GH，交AC，AB分別于點E，F．依據以上作圖，若AF=2，CE=3，BD=32，則A．510 B．1 C．942．（2024·江蘇鎮江·二模）某校課后延時興趣小組嘗試用尺規來“作一條線段的三等分點”，請認真閱讀下面的操作過程并完成相應的學習任務．如圖，①分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑在AB兩側畫弧，四段弧分別交于點C，點D；②連接AC，BC，AD，作射線BD；③以D為圓心，BD的長為半徑畫弧，交射線BD于點E；④連接CE，交AB于點F．點F即為AB的一個三等分點（即學習任務：(1)填空：四邊形ADBC的形狀是；你的依據是；(2)證明：AF=3．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以?ABCD的頂點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC于點E，再分別以點A，E為圓心，大于12AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，畫射線BF，交AD于點G，交CD的延長線于點(1)由以上作圖可知，∠1與∠2的數量關系是_______(2)求證：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面積．4．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知等腰△ABC，AB=AC，作△ABC的外接圓為⊙O，小明同學利用尺規按以下步驟作圖：①以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交AC，②再以點A為圓心，以相同長度為半徑畫弧交AC于點M，③以點M為圓心，以AC，BC兩弧交點間的距離為半徑，交第一個弧于點N；過點C作AC的垂線交射線AN于點D，AE為∠(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若AB=AC=3，BC=2，求?題型10三角板與相似三角形綜合應用1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線y=34x上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線OA交于點B，當點C在x軸上移動時，線段AB2．（2022·浙江麗水·中考真題）一副三角板按圖1放置，O是邊BC(DF)的中點，BC=12cm．如圖2，將△ABC繞點O順時針旋轉60°，AC與EF相交于點G，則FG的長是cm3．（2024·內蒙古包頭·三模）如圖，將一個三角板放在⊙O上，使三角板的一直角邊經過圓心O測得AC=8cm，AB=4cm，則⊙O的半徑長為（

）A．3 B．23 C．5 D．4．（2024·山西運城·一模）綜合與實踐數學活動課上，王老師帶領學生利用手頭的三角板進行了如下的探究：

(1)問題發現：如圖1，將一個足夠大的30°,60°,90°三角板的直角頂點D放在45°,45°,90°三角板的斜邊BC中點處轉動，該三角板的兩直角邊與等腰直角三角板的兩直角邊AB，AC分別交于E、F兩點，則線段DE與DF的數量關系是______；(2)拓展探究：如圖2，將一個足夠大的30°,60°,90°三角板的60°角（∠EDF=60°）頂點D放在30°,60°,90°三角板的斜邊BC中點處轉動，且∠ACB=60°，該三角板的兩邊與BA，CA的延長線分別交于E、F兩點，當DE=DF時，試確定AE與AF的數量關系，并說明理由；(3)類比提升：如圖3，將一個足夠大的45°,45°,90°三角板的直角頂點D放在30°,60°,90°三角板的斜邊BC中點處轉動，且∠ACB=60°，該三角板的兩直角邊與AB，AC分別交于E、F兩點，請直接寫出線段DE與DF的數量關系（無需證明）．?題型11平移與相似三角形綜合應用1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，將△ABC沿其底邊中線AD向下平移，使A的對應點A'滿足AA'2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點A0,?2，B1,0，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標是3．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，將四邊形ABCD向左平移m個單位后，點B恰好和原點O重合，則m的值是（

）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.64．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點G．若BC:EC=3:1．S△ADG=16．則S△CEGA．2 B．4 C．6 D．8?題型12利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題1．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點O，H為AB延長線上的一點，且BH=BD，連接DH，分別交AC，BC于點E，F，連接BE，則下列結論：①CFBF=32；②tan∠H=3?1其中正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點P在對角線BD上，過點P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點M，N，過點M作ME⊥AD交BD于點E，連接EN，BM，DN．下列結論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當

3．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合．DE交BC于點F，交AB延長線于點E．DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM=4，則下列結論，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正確的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④4．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，△ABC和△ADE是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，把△ADE以A為中心順時針旋轉，點M為射線BD、CE的交點．若AB=3，AD=1．以下結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③當點E在BA的延長線上時，MC=3?④在旋轉過程中，當線段MB最短時，△MBC的面積為12其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個?題型13與相似三角形有關的新考法問題1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）主題學習：僅用一把無刻度的直尺作圖【閱讀理解】任務：如圖1，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，僅用一把無刻度的直尺作DE、BC的中點．

操作：如圖2，連接BE、CD交于點P，連接AP交DE于點M，延長AP交BC于點N，則M、N分別為DE、BC的中點．理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以DMBN=AMAN，EMCN=AMAN．所以，DMEM=BNCN．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得DMCN=MPNP，EMBN【實踐操作】請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖3，l1∥l2，點E、①作線段EF的中點；②在①中作圖的基礎上，在直線l2上位于點Ｆ的右側作一點P，使得PF=EF（2）小明發現，如果重復上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數）的線段．如圖4，l1∥l2，已知點P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P【探索發現】請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（3）如圖5，DE是△ABC的中位線．請在線段EC上作出一點Q，使得QE=12．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點D在邊AC上，BD=BC=AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析1BM3．（2021·山西·中考真題）閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應的任務．圖算法圖算法也叫諾模圖，是根據幾何原理，將某一已知函數關系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當于多少華氏度，我們可根據攝氏溫度與華氏溫度之間的關系：F=95C+32得出，當C=10再看一個例子：設有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯后的電阻值是多少？我們可以利用公式1R=1R1+圖算法得出的數據大多是近似值，但在大多數情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進行計算的測量制圖人員，往往更能體會到它的優越性．任務：（1）請根據以上材料簡要說明圖算法的優越性；（2）請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：①用公式1R=1R1+1②如圖，在△AOB中，∠AOB=120°，OC是△AOB的角平分線，OA=7.5，OB=5，用你所學的幾何知識求線段OC的長．4．（2024·江西吉安·模擬預測）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，下面分別對這塊材料進行課題探究：課本再現：（1）在圖1中，若邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，類比探究（2）如圖2，若這塊銳角三角形ABC材料可以加工成3個相同大小的正方形零件，請你探究高AD與邊BC的數量關系，并說明理由．拓展延伸（3）①如圖3，若這塊銳角三角形ABC材料可以加工成圖中所示的4個相同大小的正方形零件，則ADBC②如圖4，若這塊銳角三角形ABC材料可以加工成圖中所示的nm≥3相同大小的正方形零件，求AD命題點三相似三角形的應用?題型01利用相似測量物體的高度利用相似三角形的性質解決問題的關鍵是構造相似三角形，在構造的三角形中，被測物體一般是三角形的一邊，至少有一組對應邊的長度應易測得.1．（2024·四川自貢·中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法．

(1)如圖1，小張在測量時發現，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE．此時，小組同學測得旗桿AB的影長BC為11.3m(2)如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學測得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到鏡面距離EC=2m，鏡面到旗桿的距離(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大．在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面M，N兩點始終處于同一水平線上．如圖5，在支架上端P處，用細線系小重物Q，標高線PQ始終垂直于水平地面．如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并標記觀測視線DA與標高線交點C，測得標高CG=1.8m，DG=1.5m．將觀測點D后移24m到D'處，采用同樣方法，測得C'2．（2023·四川攀枝花·中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內．從標桿EF后退2m到D處（即ED=2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG=4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、

3．（2022·江蘇連云港·中考真題）我市的花果山景區大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區現存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A處測得阿育王塔最高點C的仰角∠CAE=45°，再沿正對阿育王塔方向前進至B處測得最高點C的仰角∠CBE=53°，AB=10m；小亮在點G處豎立標桿FG，小亮的所在位置點D、標桿頂F、最高點C在一條直線上，FG=1.5m，GD=2m．（注：結果精確到0.01m，參考數據：sin53°≈0.799(1)求阿育王塔的高度CE；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED．4．（2023·福建漳州模擬預測）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為5m的視力表，但兩面墻的距離只有3甲乙圖例方案如圖①是測試距離為5m的大視力表，可以用硬紙板制作一個測試距離為3m的小視力表②．通過測量大視力表中“E”的高度（BC的長），即可求出小視力表中相應的“E”的高度（使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖，在相距3m的兩面墻上分別懸掛視力表（AB）與平面鏡（MN），由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調整人的位置，使得視力表AB的上、下邊沿A，B發出的光線經平面鏡MN的上下邊沿反射后射入人眼C處，通過測量視力表的全長（AB）就可以計算出鏡長(1)甲生的方案中如果大視力表中“E”的高是3.5cm，那么小視力表中相應“E(2)乙生的方案中如果視力表的全長為0.8m?題型02利用相似測量物體（不易測量）的寬度利用相似測量物體(不易測量)的寬度的方法是將實際問題轉化為數學問題，并找出包含已知線段和待求線段的兩個相似三角形.然后根據相似三角形的對應邊成比例，求出物體的寬度.1．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠的B點，立一根長為1米的標桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，一條小河兩岸分別有兩棵樹，記為樹A和樹B．小河的寬度未知，為了安全起見，數學興趣小組成員不得通過涉水的方式測量樹A與樹B之間的距離，于是他們采取如下方式：①在樹B所在的河岸邊選擇一點C，觀測對岸的樹A，并記錄下BC的距離為2a；②在樹B所在的河岸內側，選擇兩點D，E，從點D觀測樹A，且A，D以及C三點共線，然后從點E觀測樹B與樹A，并使E，B，A三點共線；③調整D，E的位置，使DE∥BC，記錄下DE的距離為④測量出BE之間的距離大約為27m數學興趣小組的方案能否得出樹A與樹B之間的距離？請通過分析與計算說明．3．（2023·福建三明·一模）下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容，請你借助小明的測量數據，計算河流的寬度AB．題目測量河流寬度AB目標示意圖測量數據BC=1.5m，BD=10mQUOTE?題型03其它問題1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，小杰從燈桿AB的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他在燈光下的影長CD=3米，然后他轉身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米2．（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）AB經小孔O在屏幕（豎直放置）上成像A'B'．設AB=36cm，A'B'=24cm．小孔O到AB的距離為3．（2022·江蘇鹽城·中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現在大拇指左側，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米4．（2022·廣西賀州·中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（A．2cm B．3cm C．4cm

第四章三角形第21講相似三角形及其應用（思維導圖+2考點+3命題點24種題型（含7種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一相似多邊形考點二相似三角形04題型精研·考向洞悉命題點一相似三角形的性質與判定-基礎?題型01選擇或補充一個條件使兩個三角形相似?題型02選擇合適的方法證明兩個三角形相似?題型03補全判定相似三角形的證明過程?題型04以注重過程性學習的形式考查相似三角形的證明過程?題型05利用相似三角形的性質求解?題型06利用相似的性質求坐標?題型07相似三角形在網格中的應用?題型08相似三角形的性質與判定綜合命題點二相似三角形的性質與判定-拔高?題型01利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題?題型02利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖像?題型03利用相似三角形的性質與判定求線段比值?題型04利用相似三角形的性質與判定求最值?題型05利用相似三角形的性質與判定解決動點問題?題型06利用相似三角形的性質與判定解決存在性問題?題型07利用相似三角形列函數關系式?題型08利用三點定形法證明比例式或等積式?題型09尺規作圖與相似三角形綜合應用?題型10三角板與相似三角形綜合應用?題型11平移與相似三角形綜合應用?題型12利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題?題型13與相似三角形有關的新考法問題命題點三相似三角形的應用?題型01利用相似測量物體的高度?題型02利用相似測量物體（不易測量）的寬度?題型03其它問題01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求相似三角形的性質★★★了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性質定理.相似三角形的有關證明與計算★★★相似三角形的應用★★會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題【考情分析】本專題主要考查相似三角形的判定和性質，利用相似的性質求線段的長度、圖形的面積等，試題形式多樣，難度不一，相似三角形的判定方法較多，合理的選擇方法是解題的關鍵，常見的相似模型有“A”字形、8”字形及“一線三等角”等，熟練掌握這些模型能提升解題速度.【命題預測】相似三角形是中考數學中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點.它不僅可以作為簡單考點單獨考察，還經常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數、特殊四邊形、圓等問題一起考察.而且在很多壓軸題中，經常通過相似三角形的判定以及性質來得到角相等或者邊長間的關系，也是動點問題中得到函數關系式的重要手段，需要考生在復習的時候給予加倍的重視!02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一相似多邊形1.相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.【補充】1）相似圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；2）全等圖形是一種特殊的相似圖形，它們不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形的是不是形狀相同，與其它的因素無關.2.相似多邊形及、性質與判定相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.相似多邊形的表示：兩個相似多邊形可以用符號“∽”，讀作“相似于”.【補充】1）相似多邊形的三個條件：①邊數相同；②對應角相等；③對應邊成比例；2）全等多邊形的相似比是1，即全等圖形是一種特殊的相似圖形；；3）當用符號“∽”表示兩個相似圖形時，對應點必須寫在對應位置.1．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，用放大鏡將賀蘭山旅游圖標放大，這兩個圖形之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．相似 B．平移 C．軸對稱 D．旋轉【答案】A【分析】本題考查數學知識解決實際問題，理解相似、平移、軸對稱和旋轉的定義及性質是解決問題的關鍵．根據題意可知，將圖標放大，圖形大小發生了變化，結合平移、軸對稱和旋轉不改變圖形大小可以確定，這兩個圖是相似關系，從而得到答案．【詳解】解：根據相似的定義及性質可知，用放大鏡將石阡旅游圖標放大，兩個圖形的形狀相同，大小不同，因此這兩個圖形的關系是相似，故選：A．2．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題考查相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性質，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．故選D．3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知，四邊形ABCD與四邊形A'由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：SABCD又四邊形ABCD的面積是2，∴四邊形A'故選：D．【點睛】本題考查相似多邊形的性質，屬于基礎題，熟練掌握相似圖形的性質是解決本題的關鍵．4．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖?ABCD與?AEFG關于點A成位似圖形，若他們的位似比為2:3，則?ABCD與?AEFG的面積比為（

）A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:3【答案】A【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據位似圖形的概念得到?ABCD與?AEFG相似，根據相似多邊形的性質計算，得到答案．【詳解】解：∵?ABCD與?AEFG關于點A成位似圖形，他們的位似比為2:3，∴?ABCD與?AEFG相似，他們的相似比為2:3，∴?ABCD與?AEFG的面積比為23故選：A．5．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖是我國自主研發的某汽車的廣告文案．已知：將矩形對折后所得的矩形如果與原矩形相似，那么原矩形的長與寬之比稱為白銀比，則白銀比的近似值是．（小數點后保留三位）它們的大氣端莊主要來源于對東方傳統美學中白銀比例這一規律的運用和黃金比例相比白銀比例下的作品更為端正平街也更符合東方審美【答案】1.414【分析】本題考查相似矩形、折疊性質、新定義問題等知識，讀懂題意，理解白銀比概念，設原來矩形的長為2x，寬為y，由折疊性質及相似多邊形定義得到白銀比的數學表示，求解即可得到答案，讀懂題意，理解白銀比是解決問題的關鍵．【詳解】解：設原來矩形的長為2x，寬為y，根據白銀比定義可得2xy=yx，即∴白銀比為2xy考點二相似三角形相似三角形的定義：三個角對應相等，三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.【補充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.【注意事項】符號“∽”表示兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大宇母寫在對應的位置上，如△ABC∽△DEF，表示頂點A與D，B與E，C與F分別對應；【易錯點】如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對應關系.相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比.【補充】相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.常見的基本圖形：圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE//BC，基本結論是△ABC∽△ADE；圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結論是△ABC∽△BDC∽△ADB.相似三角形的判定方法：1）判定三角形相似的常用定理：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．②三邊成比例的兩個三角形相似；③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；④兩角分別相等的兩個三角形相似．2）直角三角形相似的判定方法：①有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.②兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.③斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.相似三角形的性質：1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.【補充】己知兩三角形相似，寫對應角相等，對應邊成比例時，原則是“大對大，小對小；長對長，短對短”.【小技巧】相似多邊形對應邊的比相等是求某條線段的長或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方法時一定要注意找準對應關系.2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.1．（2024·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷A、C；由相似三角形的判定和性質可判斷【詳解】解：∵點D，E分別為邊∴DE∥BC，BC=2DE，故∵DE∥∴△ADE∽△ABC，故∵△ADE∽∴S△ADE∴S△ADE=1故選：D．2．（2024·青海·中考真題）如圖，線段AC、BD交于點O，請你添加一個條件：，使△AOB∽△COD．【答案】∠C=∠A．(答案不唯一)【分析】有一對對頂角∠AOB與∠COD，添加∠C=∠A，即得結論．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD（對頂角相等），∠C=∠A，∴△ABO∽△CDO．故答案為：∠C=∠A．(答案不唯一)【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．3．（2024·云南·中考真題）如圖，AB與CD交于點O，且AC∥BD．若OA+OC+ACOB+OD+BD=12

【答案】12【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，證明△ACO∽△BDO，根據相似三角形周長之比等于相似比，即可解題．【詳解】解：∵AC∥∴△ACO∽△BDO，∴ACBD=故答案為：124．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，點F是OD上一點．連接EF．若∠FEO=45°，則EFBC【答案】1【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，正方形的性質，先由正方形的性質得到∠OAD=45°，AD=BC，再證明EF∥AD，進而可證明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性質可得EFAD=OE【詳解】解：∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點∴∠OAD=45°，AD=BC，∵點E是OA的中點，∴OEOA∵∠FEO=45°，∴EF∥AD，∴△OEF∽△OAD，∴EFAD=OE故答案為：125．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求證：△ABE∽【答案】見解析【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．根據正方形的性質，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9，進而得出ABEC【詳解】解：∵BE=3，EC=6，∴BC=9，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，∵ABEC=∴又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽04題型精研·考向洞悉命題點一相似三角形的性質與判定-基礎?題型01選擇或補充一個條件使兩個三角形相似相似三角形的判定方法：判定三角形相似的常用定理直角三角形相似的判定方法1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似2三邊成比例的兩個三角形相似有一個銳角相等的兩個直角三角形相似3兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似4兩角分別相等的兩個三角形相似解題方法：判定兩個三角形相似需要根據條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個