廣東省、河南省名校2023屆下學期高三數學試題高考適應性月考考試試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．i是虛數單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．152．某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．3．已知、是雙曲線的左右焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，則的值構成的集合是（）A． B． C． D．5．二項式的展開式中，常數項為（）A． B．80 C． D．1606．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．7．復數的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．28．設正項等差數列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．369．如圖，內接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．10．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．11．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．512．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數量情況，隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數，得到如下莖葉圖：由此可估計，全年（按360天計算）中，游客人數在內時，甲景點比乙景點多______天.14．設、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則________15．已知向量，，，則__________.16．為了了解一批產品的長度（單位：毫米）情況，現抽取容量為400的樣本進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，根據產品標準，單件產品長度在區間的一等品，在區間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為2，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）設為的左焦點，點為直線上任意一點，過點作的垂線交于兩點，（ⅰ）證明：平分線段（其中為坐標原點）；（ⅱ）當取最小值時，求點的坐標．18．（12分）設，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.19．（12分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.20．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調查市民使用移動支付的年齡結構，隨機對100位市民做問卷調查得到列聯表如下：（1）將上列聯表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡是否有關？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調查，從這10人隨機中選出3人頒發參與獎勵，設年齡都低于35歲（含35歲）的人數為，求的分布列及期望.（參考公式：（其中）21．（12分）已知函數（1）若函數在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）在直角坐標系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程，并判斷曲線C是什么曲線；設直線l與曲線C相交與M，N兩點，當，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】，∴，選B．2．B【解析】

利用某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數等于某一層的總體個數乘以抽樣比，本題是一道基礎題.3．A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯立，可得交點M（，﹣），∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.4．C【解析】

對分奇數、偶數進行討論，利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數時，；為奇數時，，則的值構成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡，誘導公式，分類討論，屬于基本題.5．A【解析】

求出二項式的展開式的通式，再令的次數為零，可得結果.【詳解】解：二項式展開式的通式為，令，解得，則常數項為.故選：A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解，關鍵是熟練應用二項展開式的通式，是基礎題.6．B【解析】

根據拋物線定義得，即可解得結果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.7．B【解析】

對復數進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復數的計算，虛部的概念，屬于簡單題.8．B【解析】

方法一：由題意得，根據等差數列的性質，得成等差數列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數列的公差為d，由等差數列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．9．B【解析】

根據已知證明平面，只要設，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，設，則，所以，所以.又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.故選：B．【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數關系，由基本不等式得最值，或由函數的性質得最值．10．C【解析】

根據拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．11．B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點睛】考查向量的數量積及向量模的運算，是基礎題.12．C【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數.【詳解】設正方體邊長為，建立空間直角坐標系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．72【解析】

根據給定的莖葉圖，得到游客人數在內時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，進而求得全年中，甲景點比乙景點多的天數，得到答案.【詳解】由題意，根據給定的莖葉圖可得，在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數中，游客人數在內時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，所以在全年）中，游客人數在內時，甲景點比乙景點多天.故答案為：.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識，合理推算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14．【解析】

由橢圓的標準方程，求出焦點的坐標，寫出直線方程，與橢圓方程聯立，求出弦長，利用定義可得，進而求出。【詳解】由知，焦點，所以直線：，代入得，即，設，，故由定義有，，所以。【點睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質、以及直線與橢圓位置關系中弦長的求法，注意直線過焦點，位置特殊，采取合適的弦長公式，簡化運算。15．3【解析】

由題意得，，再代入中，計算即可得答案.【詳解】由題意可得，，∴，解得，∴.故答案為：.【點睛】本題考查向量模的計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意向量數量積公式的運用.16．100.【解析】分析：根據頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數．詳解：由題意得，三等品的長度在區間，和內，根據頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數為.點睛：頻率分布直方圖的縱坐標為，因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區間內的頻率，把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）（ⅰ）見解析（ⅱ）點的坐標為．【解析】

（1）由題意得，再由的關系求出，即可得橢圓的標準方程；（2）（i）設，的中點為，，設直線的方程為，代入橢圓方程中，運用根與系數的關系和中點坐標公式，結合三點共線的方法：斜率相等，即可得證；（ii）利用兩點間的距離公式及弦長公式將表示出來，由換元法的對勾函數的單調性，可得取最小值時的條件獲得等量關系，從而確定點的坐標.【詳解】解：（1）由題意得，，所以，所以橢圓方程為（2）設，的中點為，（ⅰ）證明：由，可設直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，所以，則直線的斜率為，因為，所以，所以三點共線，所以平分線段；（ii）由兩點間的距離公式得由弦長公式得所以，令，則，由在上遞增，可得，即時，取得最小值4，所以當取最小值時，點的坐標為【點睛】此題考那可是橢圓方程和性質，主要考查橢圓方程的運用，運用根與系數的關系和中點坐標公式，同時考查弦長公式，屬于較難題.18．（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.【點睛】本題考查基本不等式的應用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.19．（1）；（2）【解析】

（1）分析可得必在橢圓上，不在橢圓上，代入即得解；（2）設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為，可得.則，，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）因為關于軸對稱，所以必在橢圓上，∴不在橢圓上∴，，即.（2）設橢圓上的點（），設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為又∴.，，（不妨設）.故當且僅當，即時等號成立【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.20．（1）列聯表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關；（2）分布列見解析，期望為.【解析】

（1）根據題中所給的條件補全列聯表，根據列聯表求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）首先確定的取值，求出相應的概率，可得分布列和數學期望.【詳解】（1）根據題意及列聯表可得完整的列聯表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）根據分層抽樣，可知35歲以下（含35歲）的人數為8人，35歲以上的有2人，所以獲得獎勵的35歲以下（含35歲）的人數為，則的可能為1，2，3，且，，，其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據的值結合附表數據進行判斷，另外，離散型隨機變量的分布列，在求解的過程中，注意變量的取值以及對應的概率要計算正確，注意離散型隨機變量的期望公式的使用，屬于中檔題目.21．（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）求出函數的導函數，由在處取得極值1，可得且.解出，構造函數，分析其單調性，結合，即可得到的范圍，命題得證；

（2）由分離參數，得到恒成立，構造函數，求導函數，再構造函數，進行二次求導.由知，則在上單調遞增.根據零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調遞減，時，單調遞增，則，即.由得，再次構造函數，求導分析單調性，從而得，即，最終求得，則.【詳解】解：（1）由題知，∵函數在，處取得極值1，，且，，，令，則為增函數，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，，在上單調遞增，且，有唯一零點，且，當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.