第四節一、對面積的曲面積分的概念與性質二、對面積的曲面積分的計算法機動目錄上頁下頁返回結束對面積的曲面積分第十章2/7/2025高等數學課件一、對面積的曲面積分的概念與性質引例:設曲面形構件具有連續面密度類似求平面薄板質量的思想,采用可得求質

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,量M.其中,表示n小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件定義:設為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據此定義,曲面形構件的質量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數,記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和局部區域任意取點,則稱此極限為函數f(x,y,z)在曲面上對面積函數,叫做積分曲面.機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件定理:設有光滑曲面f(x,y,z)在上連續,存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分證明:由定義知機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件而(光滑)機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數方程,只要求出在參數意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉化為對參數的二重積分.(見本節后面的例4,例5)機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例1.

計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例2.

計算其中

是由平面坐標面所圍成的四面體的表面.解:設上的部分,則與原式=分別表示

在平面機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例3.設計算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域為則機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件機動目錄上頁下頁返回結束思考:若例3中被積函數改為計算結果如何?2/7/2025高等數學課件例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:設的方程為利用對稱性可知重心的坐標而用球坐標思考題:例3是否可用球面坐標計算?例3目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例5.計算解:取球面坐標系,則機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例6.計算其中

是球面利用對稱性可知解:顯然球心為半徑為利用重心公式機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例7.計算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:若將曲面分為前后(或左右)則解:取曲面面積元素兩片,則計算較繁.機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例8.

求橢圓柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面

的側面積S.解:取機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件例9.

設有一顆地球同步軌道通訊衛星,距地面高度

h=36000km,機動目錄上頁下頁返回結束運行的角速度與地球自轉角速度相同,試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標系如圖,覆蓋曲面的半頂角為

,利用球坐標系,則衛星覆蓋面積為2/7/2025高等數學課件機動目錄上頁下頁返回結束故通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結果可知,衛星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:此題也可用二重積分求A

(見下冊P109例2).2/7/2025高等數學課件內容小結1.定義:2.計算:設則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧.機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件思考與練習P158題1；3；4(1);7解答提示:P158題1.P158題3.

設則P184題2機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件P158題4(1).在xoy面上的投影域為這是

的面積!機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件P159題7.

如圖所示,有機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件P184題2.設一卦限中的部分,則有().(2000考研)機動目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件作業

P1584(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節目錄上頁下頁返回結束2/7/2025高等數學課件備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上部分

的的面密度質量M.解:

在xoy面上的投影為

故機動目錄上頁下頁返回結