二次函數(shù)的性質(zhì)綜合題

一階方法突破練

1.已知二次函數(shù)y=-ax2+bx+c(a力0)的圖象經(jīng)過A(m,n),B(2,n)兩點(diǎn)，則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直

線()

dc「m+2卜m+n

A.x=nB.x=mC.x=-----D.x=-----

22

2.已知二次函數(shù)y=a(x-l)2+k的圖象經(jīng)過A(m,c),B(n,c)兩點(diǎn)，則m+九的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

3.二次函數(shù)y=-必+2%+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-b2)

4.在平面直角坐標(biāo)系中,不論m取何值時(shí)，拋物線y=Y-2mx-2%+m2+3m+2的頂點(diǎn)一定在下列哪條

直線上()

A.y=xB.y=-xC,y=%+1D.y=x—1

5.已知二次函數(shù)y=x2+bx+3滿足當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)

x=2時(shí),y的值為()

A.0B.3C.8D.11

6.若00三4時(shí),二次函數(shù)丫=-(乂-3)2+6的最大值與最小值的差為111,則111的值為()

A.6B.8C.9D.12

7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于4(-1，0),B(3,0)兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過拋物線的

頂點(diǎn)，則該二次函數(shù)的解析式為—.(設(shè)問源自2022宜賓中考)

8.已知A(-2,a),B(2,b)是拋物線y=-|x2+4x+1上的兩點(diǎn),則ab(填“或

9.已知拋物線y=ax2-2ax+l(a<0),若M(3,m),N(-3,n)是拋物線上兩點(diǎn)，則mn(填“或

2

10.若二次函數(shù)y=x-4x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(5,yj,8(2，%),。(-2，W),則yi,y2,y3的大小關(guān)系為_Ji,y

設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+c{a0))與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D.

⑴若拋物線上有兩點(diǎn)POi/y)(2(如丫2),刀1<2<%2,且Xi+x2>4,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,則yi與y2

的大小關(guān)系是％及()

A.y1>y2B.y!<y2

C.yi=y2D.y-i=-y2

⑵右拋物線上有兩點(diǎn)M(xp%),>2),其中X1<X2)yi<丫2，且%1+%2=4,拋物線的對(duì)稱軸為直線X=t,貝［It

的取值范圍X=t,是()

A.t>2B.t<2

C,t>4D.t<4

(3)若Ag<0),C(0,-1),拋物線的對(duì)稱軸為直線%=2,則在-IWXWI的范圍內(nèi)，y的最大值為()

A.-B.-

1111

C.1D.-1

⑷若"3，%),6(2,372),4(-2，乃),"(-4%)四點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,下列說法一定正

確的是()

A.若y—>。，則y3y4>o

B.若%%>。，則y2y3>o

C.若yiy2<0,則y3y4>0

D.若y2y4<。，則y/3<o

綜合強(qiáng)化練

A.①③B.②④C.①④D.②③

2.已知二次函數(shù).y=mx2+2mx+3（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)

C,下列結(jié)論：

①該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=l；

②（結(jié)合四邊形判定）過點(diǎn)C作CD〃x軸，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D,則當(dāng)四邊形AODC為平行四邊形時(shí)，m=

3

/

③當(dāng)m>0,函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（-3,a）和（2,b）時(shí)，則a>b;

④若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在直線y=2x-l上,則當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.創(chuàng)新題代數(shù)推理已知二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）,若n-l<a<b<n,且當(dāng)x=n-l時(shí),y=w，當(dāng)x=n時(shí)，y=z，則下列關(guān)于w

和z的說法中正確的是（）

A.w<-^z<w<-,z<-B.w<-,z<-

444444

C.w>一44或z>-4或w>4-,z>-4D.w>4-,z>-

4.如圖,拋物線y=x2-2%+m+2（m為常數(shù)）交y軸于點(diǎn)A,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，頂點(diǎn)為B.以

下結(jié)論：

①拋物線y=x2-2x+m+2與直線y=m+l有且只有一^交點(diǎn)；

②若點(diǎn)M（-2，y】）,N在該函數(shù)圖象上，貝<72<乃；

③若x>-n時(shí),y隨x的增大而增大，則n<-l;

④若m--草則當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍為％-［或x>*

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③

5.創(chuàng)新題?開放性試題已知拋物線yax2-4ax+a2-l（a）0）,M（m-7,%）與N（m+l乃）為對(duì)稱軸兩側(cè)拋

物線上的點(diǎn)，若yi>丫2,,則m的值可以為—.

6.創(chuàng)新題?填空雙空題已知拋物線y=x2-2（m-l）x+m2-2m（m為常數(shù)）.

⑴若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（（1，m2）,,則m的值為—;

⑵若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2m,yi）和點(diǎn)（2,yz），且%>y2,，則m的取值范圍是.

一階方法突破練

1.C【解析】由題意知，A,B為縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)，則A,B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

軸為直線％=&詈=等.

2.D【解析】1?二次函數(shù)y=a(久一1尸+人圖象的對(duì)稱軸為直線x=l,且經(jīng)過A(m,c),B(n,c)兩點(diǎn),，A(m,c),B

(n,c)兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,；.”產(chǎn)=1,m+n=2.

3.A【解析】將二次函數(shù)y=-x2+2x+1用配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-(%-1)2+2,..該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(L2).

【一題多解】1?拋物線的對(duì)稱軸為直線%=-^=1,將x=l代入拋物線解析式得y=2，，該拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo)為(L2).

4.A【解析】?y—X2—2mx-2x+m2+3m+2—x2-2(jn+l)x+m2+3m+2—[x—(m+1)]2+m

+1,二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m+l,m+l),.,拋物線的頂點(diǎn)一定在直線y=x上.

5.B【解析】?二次函數(shù)y=/+bx+3,當(dāng)X<1時(shí),y隨x的增大而減小，當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，

二對(duì)稱軸為直線x=1,=1,b=一2,.二次函數(shù)的表達(dá)式為y-x2-2x+3,當(dāng)x-2時(shí),y=4-4+3=3.

6.C【解析】???-1<0,二二次函數(shù)的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為直線x=3，，當(dāng)0<x<4時(shí)，y可以取到最大值

(對(duì)稱軸在x的取值范圍內(nèi))，且最大值為ymax=6,1[直線x=0到對(duì)稱軸直線x=3的距離大于直線x=4到對(duì)稱軸

直線x=3的距離，，最小值在x=0處取得，即yW=-3(將x=0代入二次函數(shù)解析式),，m=6-(-3)=9.

7.y=-3久2+x+1或丫=|一一萬一|【解析】〔?二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-1,O),B(3,O)兩點(diǎn)，，二次函

數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=l,AB=4,?.以AB為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，二圓的半徑為2，二二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(1,2)或(1,-2),當(dāng)頂點(diǎn)為(1,2)時(shí)，設(shè)二次函數(shù)解析式為y=以尤—+2,將A(-1,O)代入得a=-\,：.y=

-|%2+無+|,同理,當(dāng)頂點(diǎn)為(L-2)時(shí),y=|x2x-j.

8.<【解析】?「A(-2,a),B(2,b)是拋物線y=-1x2+4x+1上的兩點(diǎn)，，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式，得a

=-|x(―2)2+4x(-2)+1=—g,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式，得6=Vx22+4x2+l=g,「—g<

—,???a<b.

3

【一題多解】由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為直線%=-心=6,v-|<0,.拋物線開口向下，當(dāng)X

<6時(shí),y隨x的增大而增大,「-2<2<6/.a<b.

9.>【解析】,.拋物線y=a*_2ax+1,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=L；M(3,m),N(-3,n)是拋物線上兩點(diǎn)，二

點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)為(-Lm),；a<0,.?拋物線開口向下在對(duì)稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大,?.?-：!>-

3,..m>n.

10必<y!<y3【解析】二次函數(shù)y=x^-4x+c,l>0〃?該二次函數(shù)的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線

X=-言=2.「二次函數(shù)y=返_4久+C的圖象過點(diǎn)A(5,yJB(2,y2),C(-2,y3)〃?.二次函數(shù)的最小值為y2,且點(diǎn)C

到對(duì)稱軸的距禺大于點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距禺,.>2<為<>3,

二階設(shè)問進(jìn)階練

例⑴A【解析】1?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,%,<2<x2,：.P,Q兩點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸兩側(cè)，???也+打〉

4,.-.空>2,Q點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于P點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，二y】>y2.(拋物線開口向下，則距離對(duì)稱軸越近的

點(diǎn)，y值越大)

(2)A【解析】,.拋物線開口向下，，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，???久1+型=4,.-.生產(chǎn)=2,設(shè)Xi,X3關(guān)

于直線X=t對(duì)稱，則詈=t,.■%!<X2)yi<丫2"?點(diǎn)N距離直線X=t更近X2<%???詈<巖…t>2.

(3)B【解析】??拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,，-/=2,即b=-4a,?.拋物線分別與x軸、y軸交于480),

C(0,-1)兩點(diǎn)，，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a/+bx-l,^^a+lb-1=°解得a—二孑,拋物線的解析式為y=

Ib=-4ab=77

kii

—Q2+*-L：：a<。且在-14X41的范圍內(nèi)時(shí)，y隨x的增大而增大，，當(dāng)x=l時(shí)，y取得最大值，即y=

——9xl2+,—36Xl.-y1=—16,

111111

(4)C【解析】?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,根據(jù)各點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離可得y2>yi>y3>以,.若yiy2>0廁

y3y4>0或y3y4<0,選項(xiàng)A不符合題意;若."%?>0,則y2y3>0或y2y3<0,選項(xiàng)B不符合題意;若為結(jié)<0,則y3y4>0,

選項(xiàng)C符合題意;若y2y八0,則yiy3>。或丫以3<0,選項(xiàng)D不符合題意.

三階綜合強(qiáng)化練

1.A【解析】先觀察表格尋找特殊點(diǎn)坐標(biāo)，如(-2,-3),(0,-3)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等,(1,0)為拋物線與x軸的交點(diǎn).由(-

2,-3),(0,-3)可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=-l,由(0,-3),(1,0)可得x>-l時(shí),y隨x的增大而增大，，拋物線開口向上，二

a>0，，①正確，符合題意；?.?拋物線過點(diǎn)(1,0)，二拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0)/.-3<x<l時(shí),y<0,.?.②

錯(cuò)誤，不符合題意；,「拋物線對(duì)稱軸為直線x=-l,，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-L-4),，③正確，符合題意；?.?拋物線開口向

上,對(duì)稱軸為直線x=-l，且5-(-1)>-1-(-3),.%<丫2,.,.④錯(cuò)誤,不符合題意.

2.A【解析】①該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-襄=-1,故錯(cuò)誤；②當(dāng)m>0時(shí)，不存在四邊形AODC為

平行四邊形，當(dāng)m<0時(shí)，?.過點(diǎn)(：作CDiix軸，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D,1?二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-l,

C(0,3),，D(-2,3),..CD=2,,.四邊形AODC為平行四邊形〃(口=人。=2,.工(2,0),將人點(diǎn)坐標(biāo)代入y=mx2+2mx+

3得rn=-1，故正確；③將點(diǎn)(-3,a)和(2,b)分別代入y=mx2+2mx+3彳導(dǎo)a=3m+3,b=8m+3,：m>0,「.a<b,故錯(cuò)

誤;④由y=mx2+2mx+3=m(x+1)2+3-ni得，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3-m),/該函數(shù)圖象頂點(diǎn)在直線y=2x-l上,

，3-m=2x(-l)-l,，m=6,.?.二次函數(shù)的圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=-l,，當(dāng)x>-l時(shí),y隨x的增大而增大，故錯(cuò)

誤.綜上所述，正確的結(jié)論有1個(gè).

3.A【解析】■/拋物線的解析式為y=(x-a)(x-b),，當(dāng)x=n-l時(shí),w=(n-l-a)(n-l-b),當(dāng)x=n時(shí),z=(n-a)(n-b),「.

wz=(n-l-a)(n-l-b)(n-a)(n-b)=(a-n+l)(b-n+l)(n-a)(n-b)<(巴2±|±匕￡)(匕—九+'—匕)=已故亞，2至少有一

個(gè)小于%'卬<；或z<［或w<［，zVa

【題多解】wz—(n_l_a)(n_l_b)(n_a)(n-b)——九+5)—4G—九+J—.,九—l<a<b<n,古攵

W<a-n+E<4，-然b-n+占卜0<耀<［,故亞=至少有一個(gè)小于打3<［或2<］或0<”<*

4.C【解析】①將兩函數(shù)解析式聯(lián)立才巴y=m+l代入y=x2-2x++2中，得x2-2%+1=0,???b2-4ac

=4-4=0〃?.此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線y=小-2久+爪+2與直線y=m+l有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故①

正確；②?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-f=1,利用拋物線的對(duì)稱性將三點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的同側(cè)，二點(diǎn)P(2,yj關(guān)

于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為Oy3),「a=l>0,.?.當(dāng)