重難點(diǎn)突破03立體幾何解答題常考模型歸納總結(jié)

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體..................................................2

題型二：立體幾何存在與探索性問題...............................................4

題型三：立體幾何折疊問題........................................................6

題型四：立體幾何作圖問題........................................................7

題型五：立體幾何建系繁瑣問題...................................................10

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題.....................................11

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系.............................................13

題型八：空間中的點(diǎn)不好求.......................................................15

題型九：數(shù)學(xué)文化與新定義問題...................................................17

03過關(guān)測試....................................................................20

方法技巧旦

高考立體幾何解答題常考模型主要包括柱體、錐體、球體、旋轉(zhuǎn)體、多面體等。這些模型常涉及體積、

表面積的計(jì)算，截面問題，以及與其他幾何體的組合或相交問題。此外，空間位置關(guān)系，如平行、垂直的

判斷與證明，也是常考內(nèi)容。空間角的計(jì)算，包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等，

同樣是高考立體幾何的重要考點(diǎn)。最后，空間距離的計(jì)算，如點(diǎn)到平面的距離、兩平行平面間的距離等，

也是解答題中常見的考查點(diǎn)。掌握這些模型的基本性質(zhì)和解題方法，對于提高高考立體幾何的解題能力至

關(guān)重要。

題型歸贏總結(jié)

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

【典例1-1]（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）如圖，側(cè)面BCq耳水平放置的正三棱臺(tái)

ABC-A&￡,AB=2/百=4,且側(cè)棱長為桓.

⑴求證：平面3CC4；

（2）求直線AB和平面ZC4所成角的正弦值.

【典例1-2】（2024?云南昆明?三模）如圖，在三棱臺(tái)/BC-44G中，上、下底面是邊長分別為2和4

的正三角形，平面N3C,設(shè)平面N瓦GC平面N3C=/,點(diǎn)瓦尸分別在直線/和直線8片上，且滿足

EFVI,EF1.

4

⑴證明：川_1平面5。。百；

(2)若直線EF和平面ABC所成角的正弦值為B，求該三棱臺(tái)的高.

3

【變式1-1](2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺(tái)中，V/5C為等邊三角形,

AB=24A=4,/4_L平面48C,點(diǎn)、M,N,。分別為N2,AC,3C的中點(diǎn)，AXB1AC,.

⑴證明：CG〃平面4MN；

(2)求直線AXD與平面4九W所成角的正弦值;

(3)求點(diǎn)D到平面4MN的距離.

【變式1-2](2024?河南周口?模擬預(yù)測)如圖，平行六面體48c48]CR中，底面48。與平面

/BG2都是邊長為2的菱形，4cD=/BCQ=120。，側(cè)面8CC內(nèi)的面積為用.

⑴求平行六面體在CD的體積；

(2)求平面BCCR與平面CDD￡的夾角的余弦值.

題型二：立體幾何存在與探索性問題

【典例2-1]如圖1,VN8C是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)2E分別在線段上，B.AE=1,AD=2,

沿DE將V4DE翻折到△?￡)￡的位置，使得PB=有,如圖2.

(1)求證：平面POE_L平面8CDE；

(2)在線段P3上是否存在點(diǎn)使得〃平面尸CD,若存在，求出置的值；若不存在，請說明理由.

【典例2-2](2024?廣東?t模)如圖所示，四邊形/BCO是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，/C是圓柱的底面

直徑，PC是圓柱的母線，E是NC與BD的交點(diǎn)，AB=AD,ZBAD=6Q°,AC=8.

tI,

(1)記圓柱的體積為匕，四棱錐P-/8C。的體積為匕，求?；

(2)設(shè)點(diǎn)廠在線段4P上，且存在一個(gè)正整數(shù)左，使得尸/=APF,PC=kCE,若已知平面尸CD與平面PCD的

夾角的正弦值為姮，求上的值.

13

【變式2-1】在V/BC中，ZABC=90°,AB=BC=6,D為邊AB上一點(diǎn),AD=2,E為AC上一點(diǎn)、,

DE//BC,將V/DE沿。E翻折，使/到H處，ZDA'B=90°.

(1)證明：48,平面/力￡;

(2)若射線DE■上存在點(diǎn)使詼7=彳詼，且MC與平面/EC所成角的正弦值為g,求九

【變式2-2](2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-N8CD中，底面四邊形/8C〃為菱形，且

NDAB=60°/PAD是邊長為2的等邊三角形，且平面P/D，平面4BCDQ為AD中點(diǎn)、.

P

⑴求證：OB_L平面P4D；

(2)在線段尸C上是否存在點(diǎn)使二面角M-8O-C的大小為60°,若存在，求槳■的值，若不存在，請

說明理由.

題型三：立體幾何折疊問題

【典例3-1】(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖1,在矩形/2CO中，AB=2,BC=2也,將沿矩

形的對角線8。進(jìn)行翻折，得到如圖2所示的三棱錐/-BCD,且N8LCD.

(1)求翻折后線段NC的長；

⑵點(diǎn)M滿足2翔=而5，求CM與平面48。所成角的正弦值.

【典例3-2】(2024?山東?模擬預(yù)測)如圖，在菱形/BCD中，ABAD=60°,E是4D的中點(diǎn)，將

沿直線BE翻折使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)4的位置，F(xiàn)為線段4c的中點(diǎn).

C

(1)求證：。尸〃平面42E；

(2)若平面4BE1平面BCDE,求直線AXE與平面AXBC所成角的大小.

【變式3-1](2024?河南駐馬店?二模)在如圖①所示的平面圖形中，四邊形/CDE為菱形，現(xiàn)沿4C進(jìn)

行翻折，使得平面/CDE,過點(diǎn)E作EF//4B,且跖連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所

示，其中G為線段8。的中點(diǎn)，連接FG.

⑴求證：尸G_L平面48。；

(2)若/C=40=2,直線尸G與平面8C。所成角的正弦值為立，求48的值.

7

【變式3-2】在等腰梯形/BCD中，ABHCD,48=2應(yīng)+2，AD=BC=2,—048=60。，M為48中

點(diǎn)，將叢BMC沿MD,MC翻折，使/,3重合于點(diǎn)E,得到三棱錐M-C0E.

(1)求與平面CDE所成角的大小;

(2)求二面角M-DE-C的余弦值.

題型四：立體幾何作圖問題

【典例4-1](2024?河南信陽?模擬預(yù)測)長方體48co-44CR中，AB=2AA1^3AD,CE=2ED.

/A---——B

(1)過E、2作一個(gè)截面，使得該截面平分長方體的表面積和體積.寫出作圖過程及其理由.

(2)記(1)中截面為a,若a與(1)中過。點(diǎn)的長方體的三個(gè)表面成二面角分別為夕,。，求

cos26+COS2(P+cos2co的值.

【典例4-2】（2024?高三?河北承德?期中）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面是正方形,

E,尸分別是BD,PA,BC的中點(diǎn).

（1）證明：。￡//平面P8C；

PH

⑵若平面a經(jīng)過點(diǎn)尸,D,E,且與棱尸3交于點(diǎn)H.請作圖畫出H在棱尸3上的位置，并求出一的值.

【變式4-1］（2024?遼寧大連?一模）如圖多面體/8CDE/中，面尸48_L面4BCD,為等邊三角形,

3

四邊形ABCD為正方形，EF//BC,S.EF=-BC=3,H,G分別為CE,CD的中點(diǎn).

（2）求平面8CEF與平面歹G"所成角的余弦值；

Ap

⑶作平面FHG與平面/BCD的交線，記該交線與直線交點(diǎn)為尸，寫出最的值（不需要說明理由，保

AD

留作圖痕跡）.

【變式4-2]如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐尸-4BCD中，平面與直線P8和直線ZC平行,

點(diǎn)E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)/在CZ)上，且。尸：尸C=l:2.

(1)求證：四邊形MNG〃是平行四邊形；

(2)求作過EF作四棱錐尸-/BCD的截面，使PB與截面平行(寫出作圖過程，不要求證明).截面的定義:

用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.

【變式4-3](2024?北京?三模)四棱錐尸-/BC。中，底面48co是邊長為2的菱形，

40/8=三./(7C8。=。,且尸。，平面/5。，PO=G，點(diǎn)尸,G分別是線段尸上的中點(diǎn)，E在P4

上.且尸N=3尸瓦

(I)求證：AD〃平面EFG；

(II)求直線與平面EFG的成角的正弦值；

(III)請畫出平面跖G與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

【典例5-1】(2024?山東淄博?二模)已知直角梯形/BCD,ZADC=90°,ABI/CD,

AB=2CD=&,4D=5〃r為對角線/C與BD的交點(diǎn).現(xiàn)以/C為折痕把A4DC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)

尸的位置，點(diǎn)。為四的中點(diǎn)，如圖所示:

⑴證明：/C_L平面PBM；

(2)求三棱錐尸-/C。體積的最大值；

(3)當(dāng)三棱錐尸-4C。的體積最大時(shí)，求直線4B與平面尸所成角的正弦值.

【典例5-2](2024?貴州黔東南?二模)如圖，在四棱臺(tái)ZBCD-4四G"中,。為/C的中點(diǎn),

AAl=A1C,=C1C=j-AC=2.

B

⑴證明：OC"/平面44QQ；

(2)若平面48。/平面/CG4,ABLBC,當(dāng)四棱錐5-44GC的體積最大時(shí)，求CQ與平面44百8夾

角的正弦值.

【變式5-1](2024?重慶?三模)如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱和一個(gè)三棱錐的組合體CG是半圓

柱的母線,。1分別是底面直徑BC和B?的中點(diǎn),3C=B,Q=4闞=CG=2,4是半圓。上一動(dòng)點(diǎn),4是半

圓Q上的動(dòng)點(diǎn),N4是圓柱的母線，延長4/至尸點(diǎn)使得A為4P的中點(diǎn)，連接PB,PC構(gòu)成三棱錐P-ABC.

4fc

BiB

(1)證明:

(2)當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)，求平面ABAX與平面BAXC的夾角.

【變式5-2】已知平面四邊形/BCD,AB=AD=2,4840=60。，/BCD=30°,現(xiàn)將AA8。沿8。邊折

起，使得平面480,平面BCD,此時(shí)40,CD,點(diǎn)P為線段的中點(diǎn).

(1)求證：BP_L平面NCD；

⑵若〃■為CD的中點(diǎn)

①求MP與平面BPC所成角的正弦值；

②求二面角尸-瓦11-1)的平面角的余弦值.

題型六：兩角相等(構(gòu)造全等)的立體幾何問題

【典例6-1](2024?河南?模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐力-BCD中,VA8C是等邊三角

形,ZBAD=NBCD=90。,點(diǎn)P是/C的中點(diǎn)，連接BP,DP.

A

C

(1)證明:平面/CDJ_平面ADP;

(2)若3。=幾，且二面角N-AD-C為120。,求直線4D與平面BCD所成角的正弦值.

【典例6-2】(2024?廣西桂林?二模)如圖，四棱錐尸-/8CD中，底面/BCD為邊長是2的正方形，E,

G分別是C￡>,4尸的中點(diǎn)，N尸=4,NFAE=NBAE,且二面角廠-4E-8的大小為90。.

(1)求證：AELBG；

(2)求二面角B-AF-E的余弦值.

【變式6-1](2024?安徽合肥?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐E-/3CD中，四邊形是邊長為2的菱形,

NDAE=NBAE=45°,/DAB=60°.

D,

E

（1）證明：平面ADE_L平面/BE;

（2）當(dāng)直線DE與平面/BE所成的角為30。時(shí)，求平面DCE與平面/BE所成銳二面角的余弦值.

【變式6-2］（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）如圖，四棱錐E-/3CD中，四邊形/BCO是邊長為2的菱形

ZDAE=ZBAE=45°,ZDAB=60°

（1）證明：平面ADE_L平面；

（2）當(dāng)平面DCE與平面/3E所成銳二面角的余弦值姮，求直線與平面/3E所成角正弦值.

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

【典例7-1】（2024?江蘇南京?二模）如圖，ADUBC,ADJ.AB,點(diǎn)、E、尸在平面/BCD的同側(cè),

CFIIAE,AD=1,AB=BC=2,平面NCFE_L平面ABC。，EA=EC=6

⑴求證：成7/平面/DE；

(2)若直線EC與平面FBD所成角的正弦值為普,求線段CF的長.

【典例7-2】斜三棱柱N2C一出氏。上，側(cè)面44/GC，平面4BC,側(cè)面44/GC是菱形，ZAiAC^60°,

AiC=AC=6BC=6,AB=2,。為5歷的中點(diǎn).

_-----------/

4V=2^-----------二1——>Bi

/\\/?/

(1)求二面角C—4。一G的余弦值；

(2)記△4BC的外接圓上有一動(dòng)點(diǎn)尸，若二面角尸一44/-C與二面角C—4。一。相等，求4P的長.

【變式7-1］如圖，已知四棱錐P-N8CE中，PN_L平面4BCE,平面尸J_平面PBC,且48=1,

BC=2,BE=2電,點(diǎn)A在平面PCE內(nèi)的射影恰為JCE的重心G.

(1)證明：BCLAB-,

(2)求直線CG與平面尸BC所成角的正弦值.

【變式7-2】如圖所示，圓錐的高P0=2,底面圓。的半徑為延長直徑48到點(diǎn)C,使得R,分

別過點(diǎn)4C作底面圓。的切線，兩切線相交于點(diǎn)￡,點(diǎn)。是切線CE與圓。的切點(diǎn).

P

(1)證明：平面尸DE_L平面PQD；

(2)若直線尸E與平面P8D所成角的正弦值為萼，求點(diǎn)/到平面此辦的距離.

題型八：空間中的點(diǎn)不好求

【典例8-1】(2024?山東日照?三模)在五面體N8CDE尸中，CD_L平面4DE,E/_L平面4DE.

⑴求證：AB〃CD；

5

(2)若AB=2AD=2EF=2,CD=3,NADE=90°,點(diǎn)。到平面48FE的距離為與，求二面角/一5c-尸

的余弦值.

【典例8-2】(2024?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知三棱錐/BCD,。在面/8C上的投影為。，。恰好為^

N5C的外心.AC=AB=4,BC=2.

D

(1)證明：BCLAD-,

(2)E為/。上靠近/的四等分點(diǎn)，若三棱錐/-BCD的體積為1,求二面角E-C。-5的余弦值.

【變式8-1](2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-/8CD中，AB=BC=—，

2

AD=CD=AC=2>5,E,尸分別為/C,CO的中點(diǎn)，點(diǎn)G在PF上，且G為三角形尸CD的重心.

C

⑴證明：GE〃平面P8C；

(2)若以=PC,PAVCD,四棱錐尸-48CD的體積為3百，求直線GE與平面尸CD所成角的正弦值.

【變式8-2](2024?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預(yù)測)如圖，平行六面體48co-4片中,

點(diǎn)尸在對角線82上，AC^BD=O,平面NCP〃平面4G。.

7T

(2)若四邊形/BCD是邊長為2的菱形，NB4D=NBAAi=NDAA、,AA1=3,求二面角尸-C大小

的余弦值.

【變式8-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知菱形/BCD中，AB=BD=1,四邊形3。斯為正方形，滿足

2兀

ZABF=—,連接AF,CE,CF.

(1)證明：CFLAE；

(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值.

題型九：數(shù)學(xué)文化與新定義問題

【典例9-1](2024?高三?山東青島?期中)某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)

興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如

圖1,E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊CD、的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角

形如G裁掉，再將剩下的五邊形/8CFG沿著線段斯折起，連接/3、CG就得到了一個(gè)“芻薨”(如圖2)。

(1)若。是四邊形的。尸對角線的交點(diǎn)，求證：/(?//平面GCF；

2

(2)若二面角4-所-8的大小為§兀，求平面。48與平面ABE夾角的余弦值.

【典例9-2】為方便師生行動(dòng)，我校正實(shí)施翔宇樓電梯加裝工程.我們借此構(gòu)造了以下模型：已知正四棱

柱/BCD-4BQR,它抽象自翔宇樓南側(cè)樓心花園所占據(jù)的空間，設(shè)/3=8。=8,=12,。為底面

/BCD的中心，正四棱柱OEC尸-Q&CE與正四棱柱OECF-UEKz乙分別代表電梯井與電梯廂，設(shè)

OO2=2,M為棱M的中點(diǎn)，N,K分別為棱幺4，上的點(diǎn)，AN=8,DK=4.

⑴求證：OM//平面AXCFX；

(2)求直線4。與平面A,CF｝所成角的正弦值；

(3)“你站在橋上看風(fēng)景，看風(fēng)景的人在樓上看你.明月裝飾了你的窗子，你裝飾了別人的夢.”卞之琳詩句

中的情景其實(shí)正在我們的生活中反復(fù)上演，上官瑣艾同學(xué)站在樓心花園的中心(。點(diǎn))，她正目送著倚立在

電梯廂一角的歐陽南德同學(xué)，假定上官同學(xué)的目光聚焦于棱。。2的中點(diǎn)/，此時(shí)，電梯廂中歐陽同學(xué)的目

光正徘徊在位于N點(diǎn)的數(shù)學(xué)辦公室與位于K點(diǎn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，當(dāng)電梯廂向上啟動(dòng)時(shí)，在這時(shí)空里便誕生了

由點(diǎn)。與移動(dòng)著的平面砥所勾勒的動(dòng)人風(fēng)景.現(xiàn)在，請作為“正在看風(fēng)景的人”的你完成以下問題：當(dāng)電

梯廂自底部（平面OECF與平面重合）運(yùn)行至頂端（平面。2石2c2工與平面4gq2重合）的過程中,

點(diǎn)。到平面小區(qū)距離的最大值.

【變式9-1】在陜西漢中勉縣的漢江河與定軍山武侯坪一帶，經(jīng)常出土有銅、鐵扎馬釘?shù)缺魑奈?扎馬釘

（如題21圖（1））是三國時(shí)蜀漢的著名政治家、軍事家諸葛亮所發(fā)明的一種對付騎兵的武器，狀若荊刺,

故學(xué)名蓑藜，有銅、鐵兩種.扎馬釘有四個(gè)鋒利的尖爪，隨手一擲，三尖撐地，一尖直立向上，推倒上尖，

下尖又起，始終如此，使觸者不能避其鋒而被刺傷.即總有一個(gè)尖垂直向上，三尖對稱支承于地.簡化扎馬

釘?shù)慕Y(jié)構(gòu)，如圖（2）,記組成該“釘”的四條等長的線段公共點(diǎn)為。，釘尖為耳3,4）.

圖（1）圖（2）圖（3）

（I）判斷四面體4的形狀特征；

（II）若某個(gè)出土的扎馬釘因年代久遠(yuǎn)，有一尖爪受損，其長度僅剩其他尖爪長度的2（即。4'=*。4），

如圖（3）,將4，4，4置于地面，求與面444所成角。的正弦值.

【變式/2】《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會(huì)源源不斷地落下，落下的水又逆流而

上，荒唐至極，但又會(huì)讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發(fā)現(xiàn)什么不對勁.此

時(shí)，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體

合體”由三個(gè)正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）

圖1圖2

埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個(gè)正方形構(gòu)造，設(shè)邊長均為2,定義正方形4,紇Q。,，

〃=1,2,3的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為只,2,將極點(diǎn)用2，

分別與正方形482c的頂點(diǎn)連線，取其中點(diǎn)記為瑪，外，加=1,2,3,4,如(圖3).埃舍爾多面體可視

部分是由12個(gè)四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點(diǎn)均為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個(gè)“極點(diǎn)”與兩個(gè)“中點(diǎn)”構(gòu)成，

(1)求異面直線44與。當(dāng)成角余弦值；

(2)求平面與平面44E的夾角正弦值；

(3)求埃舍爾體的表面積與體積(直接寫出答案).

0

1.(2024?貴州貴陽?二模)由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，E,F

分別為4D,48的中點(diǎn)，48=2/4=4,側(cè)面BBC。與底面N5CD所成角為45。.

AFB

⑴求證：8，//平面4斯；

(2)線段48上是否存在點(diǎn)使得直線口可與平面4所所成的角的正弦值為哈，若存在，求出線段

的長；若不存在，請說明理由.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，平行六面體/BCD-4耳CQ|中，底面/2CO是邊長為2的正方形，平

面，平面ABC。，AA\=AD'=由,","分別為3耳,/。的中點(diǎn).

(1)判斷與平面的位置關(guān)系，并給予證明;

(2)求平面與平面/用2所成二面角的正弦值.

3.(2024?高三?遼寧沈陽?期末)如圖，在平行六面體/2。。-4月a，中，AB=AD=AA,=1,

___.k5—?—.]

/D4B=90°,cos<AAI,AB>^^~,cos<AAt,AD>=-,點(diǎn)M為8。中點(diǎn).

D\

⑴證明：4”〃平面4。。；

(2)求二面角5--。的正弦值.

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，在直角梯形4BCD中，NN=90°,AD=6,5C=4,AB=2,E,

尸分別是2C,4D上的點(diǎn)，且EFUAB,現(xiàn)將四邊形/3E尸沿￡尸向上折起成直二面角，設(shè)

BE=x(0<x<4),

(1)若x=l,在邊4D上是否存在點(diǎn)尸，滿足AP=4AD,使得CP//平面/8EF?若存在，求出2；若不存

在，說明理由.

(2)當(dāng)三棱錐尸的體積最大時(shí)，求點(diǎn)尸到平面的距離.

5.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐尸-48C中，AB=AC,。為3c的中點(diǎn)，尸。，4。于

O,AP_LBC,已知5C=8,PO=4,AO=3,OD=2.

B

(1)證明：P。，平面ABC；

jr

(2)在線段NP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角的大小為彳？若存在，求出的長；若不存在,

請說明理由.

6.（2024?高三?江蘇南通?期中）如圖，ADIIBCSLAD=2BC,AD±CD,EG//AD且EG=AD,

CD//FG^.CD=2FG,DG_L平面A8CD,DA=DC=DG=2.

⑴設(shè)面BCF與面EFG的交線為/,求證：BC/H-,

(2)證明:/G,EC

(3)在線段BE上是否存在一點(diǎn)尸，使得直線。尸與平面/BE所成的角的正弦值為竽，若存在，求出尸點(diǎn)

的位置，若不存在，說明理由.

7.(2024?福建寧德?三模)在平行四邊形A8CD中，ND=60°，CD=1,NC=百.將V4BC沿/C翻折

到△4PC的位置，使得PD=石.

局\AM\

(2)在線段上是否存在點(diǎn)使得二面角M-PC-/的余弦值為9彳了？若存在，求出血的值;若不存

在，請說明理由.

8.(2024?河北承德?二模)如圖1,在直角△4PB中，N4P3=90°,C為尸8中點(diǎn)，PA=PC=\,取NC

中點(diǎn)。，連接PD,BD,現(xiàn)把△4PC沿著NC翻折，形成三棱錐2-ABC如圖2,此時(shí)尸B=G，取3c中點(diǎn)

E,連接PE,DE,記平面P43和平面尸。￡的交線為/，。為/上異于尸的一點(diǎn).

(1)求證：PZ)_L平面N3C；

(2)若直線AQ與平面PDB所成角的正弦值為巫，求尸。的長度.

9.(2024?山西晉城?二模)如圖1,在V4BC中，/C=3C=4,AB=A6，點(diǎn)。是線段/C的中點(diǎn),

點(diǎn)￡是線段AB上的一點(diǎn)，且。將V4DE沿DE翻折到△/>￡)￡的位置,使得PEL80,連接尸2,

PC,如圖2所示，點(diǎn)尸是線段尸3上的一點(diǎn).

⑴若BF=2PF,求證：CF〃平面尸DE；

⑵若直線B與平面9所成角的正弦值為嚕，求線段時(shí)的長.

10.(2024?貴州黔東南?三模)如圖1所示，在邊長為3的正方形48CD中，將△4DC沿/C折到A4PC

的位置，使得平面工尸。，平面A8C,得到圖2所示的三棱錐尸-/BC.點(diǎn)E,F,G分別在B4,PB,尸C上,

且/E=2EP,PF=2FB,PG=2GC.記平面EFG與平面ABC的交線為/.

(1)在圖2中畫出交線/，保留作圖痕跡，并寫出畫法.

(2)求點(diǎn)A到平面EFG的距離.

11.(2024?山西?二模)如圖，已知多面體E/8CZ廳的底面4BCD是邊長為2的正方形，E4_L底面

ABCD,FDHEA,且=

2

(I)求多面體EN3CA尸的體積；

(II)求直線班與平面EC尸所成角的正弦值；

(III)記線段3c的中點(diǎn)為K,在平面/5CD內(nèi)過點(diǎn)K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡,

但不要求證明.

12.(2024?福建?一模)如圖，三棱柱48C-44。中，/LBXAXA=Z.CXA1A=60°,^^=AC=4,AB=1,

P,0分別為棱的中點(diǎn).

(1)在平面/3C內(nèi)過點(diǎn)A作/M//平面尸。片交于點(diǎn)M,并寫出作圖步驟，但不要求證明.

(2)若側(cè)面?zhèn)让媲笾本€4G與平面國所成角的正弦值.

Cl

__TT

13.（2024?高三?福建漳州?期中）已知四棱錐P-45CD的底面為菱形，ZBAD=~,且尸平面

ABCD,記/為平面尸4D與平面PBC的交線.

⑴證明：///平面4BCD；

（2）設(shè)尸。=/。=2,。為/上的點(diǎn)，當(dāng)尸8與。。所成角最大時(shí)，求平面8。與平面/2CO的夾角大小.

14.（2024?湖北武漢?三模）如圖，在四面體N8CD中，V/8C是正三角形，ANC。是直角三角形,

ZABD=ZCBD,AB=BD.

D

(1)求證：AC1BD-,

(2)已知點(diǎn)￡在棱5。上，且48=2,設(shè)瓦=加麗，若二面角。-/C-E的余弦值為二I,求機(jī).

7

15.如圖，在四面體43C。中，已知NA8。=/CAD=60。，AB=BC=2,

(1)求證：ACJ.BD-,

(2)若平面NAD,平面C2D,且=求一面角C-4D-3的余弦值.

JT

16.(2024?江西南昌?一模)如圖，四棱錐P-4BC。中，底面48CQ是邊長為2的菱形，ZABC=-,

已知E為棱/。的中點(diǎn)，P在底面的投影H為線段EC的中點(diǎn)，M是棱PC上一點(diǎn).

(1)若CM=2MP,求證：尸￡//平面A?。；

(2)若P5LEW,PC=EC,確定點(diǎn)W的位置，并求二面角8-EM-C的余弦直

17.(2024?江西新余?二模)如圖，在四棱錐尸-4BC。中，底面N3C。是直角梯形，AB//CD,

ZABC=9Q°,且P/=PZ)=/。，PC=PB.

(1)若。為/。的中點(diǎn)，證明：平面POCJ_平面A8CD；

⑵若/CD/=60。，AB=^CD=\,線段尸。上的點(diǎn)M滿足^麗，且平面尸CS與平面/CN夾角的

余弦值為亞1,求實(shí)數(shù)％的值.

7

18.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐尸-/2C中，4,4，G分別是側(cè)棱尸4尸3,尸C的中點(diǎn),

ABLBC,&CL平面A8CC.

p

(1)求證：平面42。，平面&8G；

4

(2)如果4c=20,/2=8。=4,且三棱錐片-48C的體積為三，求二面角4-8區(qū)-C的余弦值.

19.(2024?山東棗莊?一模)如圖，在四棱錐尸-4SCA中，底面4BCD為正方形，尸/_L平面48c僅尸。

與底面所成的角為45。，E為尸。的中點(diǎn).

(1)求證：NE_L平面尸CD；

⑵若AB=2,G為ABCD的內(nèi)心，求直線PG與平面PCD所成角的正弦值.

20.“陽馬”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四邊形48。是邊長為3的正方形，SA1AB,SA=SC=3y/2-

(1)證明：四棱錐S-WBC0是一個(gè)“陽馬”；

(2)已知點(diǎn)E在線段/C上，且近=4或，若二面角/-SE-。的余弦值為-回，求2的值.

21.宋元時(shí)期，泉州作為海洋商貿(mào)中心，成為世界第一大港.作為海上絲綢之路的起點(diǎn)，泉州的海外貿(mào)易極

其頻繁，但海上時(shí)常風(fēng)浪巨大，使用原始船出行的風(fēng)險(xiǎn)也大.因此，當(dāng)時(shí)的設(shè)計(jì)師為了海外貿(mào)易的正常進(jìn)行,

便在船只設(shè)計(jì)中才用了楔形零件結(jié)構(gòu)，由此海上出行無需再懼怕船體崩潰，這也為海上貿(mào)易的發(fā)達(dá)作出了

巨大貢獻(xiàn)，而其智慧至今仍熠熠生輝.如圖是從棱長為3的正方體木塊中截出的一個(gè)楔形體/8CD-MVPQ,

將正方體的上底面平均分成九個(gè)小正方形，其中M，N,P,0是中間的小正方形的頂點(diǎn).

(1)求楔形體的表面積;

(2)求平面APQ與平面BNQ的夾角的余弦值.

重難點(diǎn)突破03立體幾何解答題常考模型歸納總結(jié)

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體..................................................2

題型二：立體幾何存在與探索性問題...............................................4

題型三：立體幾何折疊問題........................................................6

題型四：立體幾何作圖問題........................................................7

題型五：立體幾何建系繁瑣問題...................................................10

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題.....................................11

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系.............................................13

題型八：空間中的點(diǎn)不好求.......................................................15

題型九：數(shù)學(xué)文化與新定義問題...................................................17

03過關(guān)測試....................................................................20

方法技巧旦

高考立體幾何解答題常考模型主要包括柱體、錐體、球體、旋轉(zhuǎn)體、多面體等。這些模型常涉及體積、

表面積的計(jì)算，截面問題，以及與其他幾何體的組合或相交問題。此外，空間位置關(guān)系，如平行、垂直的

判斷與證明，也是常考內(nèi)容。空間角的計(jì)算，包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等，

同樣是高考立體幾何的重要考點(diǎn)。最后，空間距離的計(jì)算，如點(diǎn)到平面的距離、兩平行平面間的距離等，

也是解答題中常見的考查點(diǎn)。掌握這些模型的基本性質(zhì)和解題方法，對于提高高考立體幾何的解題能力至

關(guān)重要。

題型歸贏總結(jié)

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

【典例1-1](2024?河南濮陽?模擬預(yù)測)如圖，側(cè)面BCG4水平放置的正三棱臺(tái)

ABC-=24A=4,且側(cè)棱長為桓.

(1)求證：蟲，平面水^遇；

(2)求直線AB和平面/cq所成角的正弦值.

【解析】(1)延長三條側(cè)棱交于一點(diǎn)。，如圖所示.

B

由于NB=24片=4,則44為△(?以的中位線.

又側(cè)棱長為近，所以03=04=2行.所以。82+CM2=16=3/，所以CM_LOB,

同理可得OA1OC,OBVOC.

因?yàn)?3,OC是平面O8C內(nèi)兩條相交直線，所以。4,平面O8C,即平面8CGA.

(2)由(1)可知O4OROC兩兩垂直，可以以。4,所在的直線分別為x軸、＞軸、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則/(0,0,2⑹,8(2在0,0),C(0,2衣0),片(五,0,0),方=(2后,0,-2吟.

設(shè)平面/C4的一個(gè)法向量為萬=(x,y,l),

由于就=(0,272,-272)，福=(0,0,-20),

心就=2岳-20=0,x=2

所以

萬?葩'=瓜-2后=0,y=i

即平面ACB,的一個(gè)法向量為?=(2,1,1),

司一%8臼_2及_立

所以直線AB和平面ACB,所成角的正弦值為卜OS萬

'囤.同4766

【典例1-2】(2024?云南昆明?三模)如圖，在三棱臺(tái)/BC-44G中，上、下底面是邊長分別為2和4

的正三角形，平面N3C,設(shè)平面平面N3C=/,點(diǎn)反廠分別在直線/和直線上，且滿足

EFLl,EF1BBX.

(1)證明：E尸，平面

(2)若直線EF和平面ABC所成角的正弦值為玄，求該三棱臺(tái)的高.

【解析】（1）證明：由三棱臺(tái)/8C-/4G知，8?//平面/3C,

因?yàn)?Gu平面48c,且平面NBCn平面4BC=/,所以4G〃/,

又B￡〃BC,所以"ABC,

因?yàn)樗梗?,所以EF上BC,

又EFLBBi，BCCBB[=B,且BCu平面BCC4,8月u平面2CC0,

所以所，平面BCC4.

（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺(tái)的高為〃，

則網(wǎng)2,2百,0）,名（1,后/0,C（-2,2A/3,0）,Q=（4,0,0）,麗=11,一百，小,

4x=0

設(shè)平面BCG4的法向量為五=（x,y,z）,則廠,,

-x-sl3y+hz=0

令y=〃，則z=VL所以平面gee4的一個(gè)法向量萬=（0,肌@,

易得平面N3C的一個(gè)法向量而=（0,0,1）,

設(shè)E廠與平面/BC夾角為。，由（1）知旃/不，

所以由已知得sine=kos//i|=m'^=r^—=g,

\m\-\n\J/+33

解得力=&，所以三棱臺(tái)的高為指.

【變式1-1]（2024?天津和平?二模）如圖，三棱臺(tái)NBC-/4。中，VN5C為等邊三角形,

48=244=4,44]_L平面N8C,點(diǎn)M,N,。分別為AC,5c的中點(diǎn)，A^IAQ.

B

（1）證明：cq〃平面4跖V；

（2）求直線AtD與平面4"V所成角的正弦值;

（3）求點(diǎn)D到平面4MN的距離.

【解析】（1）因?yàn)閭?cè)棱幺4,底面/BC,V/BC為等邊三角形，所以過點(diǎn)A作則以為點(diǎn)N為

坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，而，44的方向分別為x軸，＞軸，z軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)長為加加>0),則/(0,0,0)，4(。,0,加),8(2,260)孰Q,0,m)

UULLLUULIL

45=(2,2j3,—加)，力q=(2,0,加)，

因?yàn)?B_L/G，所以4小/。1=0，則有4—加2=0，m=2.

所以4(0,0,0),5(2,2百,0),C(4,0,0),C/2,0,2),4(0,0,2),M(l,百,0),N(2,0,0).

UUUIULUULIL_?

證明：因?yàn)?M=(1,6,—2),4^=(2,0,-2),設(shè)平面4"N的法向量為々=(%//),

n,-A,M=x+V3y-2z=0,—()

則」—,令x=l,則々=1,一』，

nx-AXN=2x-2z=0.I3J

UUUL

又因?yàn)镃G=(-2,0,2).

所以cq.左=-2+0+2=0,所以CCJ〃「又因?yàn)镃G<z平面所以cq〃平面

(2)因?yàn)椤橹悬c(diǎn)，所以cr>=2,則。⑶Ji,o),

有4。=(3,百，-2),又嗎=1,事』，設(shè)直線4。與平面4MV所成角為。，

則直線4。與平面AXMN所成角的正弦值為叵.

14

ULlllL-V3

(3)因?yàn)镈N=(-l,-6,0),平面&W的法向量為4=|1,號,1

DM42V21

所以，點(diǎn)。到平面的距離為=?

網(wǎng)7

【變式1-2］（2024?河南周口?模擬預(yù)測）如圖，平行六面體/BQ5-481cl，中，底面/BCD與平面

ABCXDX都是邊長為2的菱形，/BCD=/BCR=120°,側(cè)面BCCXBX的面積為樂.

(1)求平行六面體4BCD-AMB的體積；

(2)求平面BCC圈與平面CDDg的夾角的余弦值.

【解析】(1)連接NC,NG，

因?yàn)榈酌鍭BCD與平面ABCXDX均為菱形，且ZBCD=ZBC^=120°,

所以V/5C與均為等邊三角形，

取的中點(diǎn)O,連接OC,OG，則OC143,OCX1AB,貝I|OC=OG=JJ,

因?yàn)閭?cè)面BCC,B,的面積為V15,

所以ABCG的面積為孚，則gx2x2sin/C8G=孚，

所以sinNCBG=乎，則cosZCBC、=；.

在ABCC[中，CC]2=22+22-2x2x2xi=6,貝l]CG=?,

所以oc2+oc；=cc；,所以oc^oq.

因?yàn)锳BcOC=。，4B,OCu平面/BCD,

所以。G_L平面A8C￡),

故平行六面體/8C。-4臺(tái)iG，的體積/=SABCDOCl=2x2sin60°xV3=6.

(2)由(1)可知，/B,OC,OG兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，以O(shè)3,OC,OG所在直線分別為x軸、y軸、Z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-型.

則3(1,0,0),C(0,6,0),G(0,0,aD(-2,小,0),

=(-1,73,0),西二(0,-6,百)，麗=(—2,0,0),

設(shè)平面8。。蜴的法向量為訪=

設(shè)平面CDQC1的法向量為為=(%