備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（江蘇專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.已知全集。=~集合M={x[2,21},N={x|xK3},則以cN=（）

A.（-oo,3]B,[0,1]C.[0,3]D.[1,3]

6

2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)（%,%）?=1,2,3,4,5,6）的線性回歸方程為$=2工+3,若?=30,則

Z=1

6

3i=（）

1=1

A.11B.13C.63D.78

3.等差數(shù)列{a“}的首項為1,公差不為0,若外,4，1成等比數(shù)列，則{為}的前5項的和為（）

A.-15B,-5C.5D.25

4.設(shè)府為單位向量，@在B方向上的投影向量為—京，則卜―2可=（）

A.72B.^3C.75D.幣

5.已知￡：0$（^-6]=3（：05（6+1）,貝Usin26=（）

3434

A.-B.-C.--D.——

5555

6.已知拋物線。：丁2=2加（0>0）的焦點為尸，點。（私—2四）在。上.若以尸為圓心，|尸石為半徑的

圓被y軸截得的弦長為2指，則該圓的面積為（）

A.4兀B.6兀C.9兀D.10兀

7.已知函數(shù)/（x）=sinxcosx,將〃尤）圖象向左平移?個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若/⑺和

g（x）在區(qū)間（0J）上均單調(diào)遞增，則7的最大值為（

8.在棱長為2a(a>0)的正方體ABC。—A4GR中，點M，N分別為棱A3,2G的中點.己知動點尸

在該正方體的表面上，且兩.兩=0，則點P的軌跡長度為()

A.12aB.1271aC.24aD.2471a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知Z-Z2為方程%2+2%+3=0的兩根，貝!]()

A.Izj-ZjUlVlB.—+—=-1-

11ziZ23

C.+卜|=2/D.ZJ—z2=+z2

10.下列說法正確的是()

A.設(shè)A,2為兩個事件，且A。8,P⑻>0,則P(A)〈尸(A⑻

B.若在一組數(shù)據(jù)2,3,3,4,6中增加一個數(shù)據(jù)4,則方差變小

C.若變量尤與變量y滿足關(guān)系丁=-3+X,變量y與變量z是正相關(guān)，貝lx與z負(fù)相關(guān)

D.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到力2=3.937,根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢

驗(%.05=3.841),可判斷X與丫有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯的概率不大于0.05

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且『(x+y)+/(x—y)=1/W(y),/(1)=1,則()

A./(O)=2B./(可關(guān)于(3,0)中心對稱

C.八%)是周期函數(shù)D.7(%)的解析式可能為〃x)=2cos]x

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

234567

12.已知(1一+(l+x)7=a0-alx+a2x-a3x+a4x-a5x+a6x-c7x,則/+4+%的值為

13.已知￡,工分別是雙曲線C：?—5=1。〉0)的左、右焦點，是M雙曲線C右支上的一個動點,

且1咋『T叫『”的最小值是8后，則雙曲線C的漸近線方程為.

nh3c

14.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為b,c.若------1------=------，貝！JtanA+tanC的最

cosAcosBcosC

小值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）數(shù)列｛%｝中，％=1,%=9，且4+2+%=2%+i+8,

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）數(shù)列也｝的前〃項和為Sn,且滿足0；=an,bnbn+1<0,求S“.

16.（15分）單位面積穗數(shù)、穗粒數(shù)、千粒重是影響小麥產(chǎn)量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗

田種植了一個小麥新品種，收獲時隨機(jī)選取了100個小麥穗，對每個小麥穗上的小麥粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計得

到如下統(tǒng)計表：

穗粒數(shù)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

穗數(shù)41056228

其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表.從收獲的小麥粒中隨機(jī)選取5組，每組1000粒，分別

稱重，得到這5組的質(zhì)量（單位：g）分別為：38,46,42,40,44.

（1）根據(jù)抽測，這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量（結(jié)果四舍五入

到1kg）；

樣本平均千粒重

公式:畝產(chǎn)量=畝穗數(shù)x樣本平均穗粒數(shù)x

1000

(2)已知該試驗田穗粒數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(〃,cr2),其中〃近似為樣本平均數(shù)，b?近似為樣

本方差.若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的80%,則稱該小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種，試判斷

該試驗田中的小麥品種是否為優(yōu)質(zhì)小麥品種.

參考數(shù)據(jù)：若X近似服從正態(tài)分布則尸(〃—b<X<〃+b)a0.6827.

17.(15分)如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AB=BC=2,AB±BC,CCl=2^,

BE=ABB[(0<A<I).

(1)當(dāng)2=g時，求證：CEL平面ABC］；

(2)設(shè)二面角5—AE—C的大小為。，求sin?的取值范圍.

A

22

18.（17分）已知橢圓E：5+1=1（心6>0）,直線4與E交于聞（-4,0）,N（—2,2）兩點，點尸在線

段上（不含端點），過點尸的另一條直線6與E交于42兩點.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若前=兩，/=（7-4君）而，點A在第二象限，求直線4的斜率；

（3）若直線MA,MB的斜率之和為2,求直線4的斜率的取值范圍.

19.（17分）一個完美均勻且靈活的項鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個項鏈形成的曲線形狀

（X_x\

CAc+Pc

被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程，其

中c為參數(shù).當(dāng)c=l時，就是雙曲余弦函數(shù)ch（x）=^^：,類似地雙曲正弦函數(shù)sh（x）=x,

它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

（1）類比三角函數(shù)的三個性質(zhì)：

①倍角公式sin2x=2sinxcosx；

②平方關(guān)系sin2x+cos2x=l;

-i

(sin%)=cosx,

③求導(dǎo)公式'7,

(cosx)=-sinx

寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個正確的性質(zhì)并證明；

(2)當(dāng)尤>0時，雙曲正弦函數(shù)y=sh(x)圖象總在直線y=Ax的上方，求實數(shù)人的取值范圍;

(3)若%>0,%2>0,證明：

[ch(x2)+sh(x2)-x2_l}[ch(xj+sh(%])]>sin(%；+x2)-siiW1一々cos%].

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（江蘇專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.已知全集。=口,集合M=?21},N={x|xK3},則以cN=（）

A.（-oo,3]B.[0,1]C.[0,3]D.[1,3]

【答案】C

【解析】因為出=卜,21}=卜卜20},N={x|x<3},

所以McN={x[0<x<3}=[0,3].

故選：C.

6

2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)（4yja=l,2,3,4,5,6）的線性回歸方程為g=2x+3,若￡玉=30,則

i=l

6

（）

Xyt=

i=l

A.11B.13C.63D.78

【答案】D

【解析】依題意，

6_on

因為￡西=3°，所以x=—=5,

；=16

因為線性回歸方程為,=2%+3一定過點（三亍），

所以，=27+3=2x5+3=13,

6

所以=6x13=78.

1=1

故選：D.

7

3.等差數(shù)列｛4｝的首項為1,公差不為0,若生，/，。6成等比數(shù)列，貝.見｝的前5項的和為()

A.-15B.-5C.5D.25

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d且dwO,且4=1,

因為％，%，4成等比數(shù)列，可得裙=%%,，即(l+2d)2=(l+d)(l+5d),

即d=—2或d=O(舍去)，

5x4

所以S5=5xl+三一x(-2)=-15.

故選：A.

4.設(shè)方方為單位向量，苕在B方向上的投影向量為―產(chǎn)，則卜—2同=()

A.72B.也D.

【答案】D

1一

【解析】因為方在B方向上的投影向量為-]8，

17-ia-bb1

所以一］〃=〃?j1?二

a\■\b\\b2,

,一2同二"萬一2^)=y/a2+4b2-4a-b=Jl+4-4x

所以有

故選：D

71［巳則

5.已知cos0j=3cos9+J,sin20=()

344

A.-B.-cD.

55--i5

【答案】B

［解析］展開得(cos6+sin9)=3?(cos0-sin6)，

19o

兩邊同時平方有5(cos。+sin6)20=5(cos。-sin9)2,

8

即萬(1+sin20)=-(l-sin23),解得sin29=j,

故選：B.

6.已知拋物線。：爐=2勿(〃>0)的焦點為歹，點尸(加,—20)在。上.若以P為圓心，|尸耳為半徑的

圓被y軸截得的弦長為2&,則該圓的面積為()

A.4兀B.6兀C.9兀D.IOTI

【答案】C

4(4r}

【解析】由于尸(私—2行)在丁=2℃上，故8=2。機(jī)，即加=

PVP)

根據(jù)拋物線的定義，|P目就是點尸到直線x=的距離*+金

4p

從而該圓的半徑為一+《.

P2

4\(

由于圓心尸到y(tǒng)軸的距離為一，故該圓被〉軸截得的弦長為2』

PtP2)加

1z、2z、2

從而據(jù)已知有2.己+2--=2、療，

2J加

\2

故5=&+3-±/心+‘=4+2-,解得夕=2.

2J4

IP2J\P)21p

47742

所以該圓的半徑為一+彳=彳+彳=3,故面積為9Tl.

p222

故選：C.

7.已知函數(shù)7(%)-sinxcosx,將"天)圖象向左平移￡個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若"％)和

g(x)在區(qū)間(0")上均單調(diào)遞增,則方的最大值為()

兀兀兀2兀

A.—B.—C.一D.—

12433

【答案】A

【解析】/(%)=sinxcosx=gsITjr

mix,令---1-2kn<2x<—+2左兀,GZ,解得

22

9

---Fkit,—Fkit，(左￡Z),

4---4v7

717riITI

故/（x）的單調(diào)增區(qū)間為-i++防1，（左eZ）,則/（可在［OqJ上單調(diào)遞增;

7171

將〃龍）的圖象向左平移B個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=—1s?m2cx+—=—1si?nc2x+—

62(6)2{3

-jr-jr-jr5

令---1-2kn<2x+—<—+2kn,eZ,解得xe---n+kn,一+kn，（左eZ）,

232L1212」'，

故g（x）的單調(diào)增區(qū)間為-3兀+而喂+?，（左eZ）,則g（x）在1o,日上單調(diào)遞增；

若“X）和g（%）在區(qū)間（0,r）上均單調(diào)遞增，則t的最大值為..

故選：A.

8.在棱長為2as>0）的正方體—中，點M,N分別為棱A3,2cl的中點.已知動點尸

在該正方體的表面上，且兩'.兩"二。，則點尸的軌跡長度為（）

A.12aB.127ttlC.24aD.2471a

【答案】B

【解析】因為巨法—閑=0，故P點軌跡為以跖V為直徑的球，

如圖，易知中點即為正方體中心。，球心在每個面上的射影為面的中心，

設(shè)。在底面A5CD上的射影為J,又正方體的棱長為2〃，所以MN=2垃a，

易知。。1=〃，01M=a,又動點尸在正方體的表面上運(yùn)動,

所以點尸的軌跡是六個半徑為a的圓，軌跡長度為6x2a=12m，

10

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.己知z-Z2為方程%2+2%+3=0的兩根，貝U()

A.|z]-z21=2^2B.一---=--

11ziZ23

C.|zj+|z2|=2V3D.ZJ-z2=+z2

【答案】BC

【解析】方程%2+2%+3=0的兩根分別為一1+八和—1—八,

且Z]+Zi=-2,z/Zi=3,

所以不妨設(shè)4=—l+0i,z2=-l-V2i,

^=-l+V2i,所以|z「司=卜1+倉卜(―1+")",故A錯誤;

1,1_Zl+Z22

---1-------------故B正確;

Z]z2Z1Z2

閔+閆=2“—1)2=2若，故C正確；

Z]-Z[=-2"\/2i,Z]+z2=-1--\/2i-1+,\/2i=-2,

所以馬-Z2wZi+Z2，故D錯誤.

故選：BC.

10.下列說法正確的是()

A.設(shè)A,8為兩個事件，且A=P(B)>0,貝ijP(A)VP(A忸)

B.若在一組數(shù)據(jù)2,3,3,4,6中增加一個數(shù)據(jù)4,則方差變小

C.若變量x與變量y滿足關(guān)系y=-3+X,變量y與變量z是正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)

D.根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/=3.937,根據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗

(%05=3.841),可判斷X與V有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯的概率不大于0.05

【答案】ABD

【解析】對于A：設(shè)A,B為兩個事件，且則P(A)=P(AB),

11

又尸(A|3)=￡'2/(A3)=尸(A),故A正確;

_11O

對于B：一組數(shù)據(jù)為2,3,3,4,6,貝n=《(2+3+3+4+6)=(，

“I21「/C18\2g1820182182y1846

所以Se=—[(2---)+(3---)+(3---)+(Z,14---)+(6---)21]=--,

?JJJJJJN/J

—111

若在2,3,3,4,6中增加一個數(shù)據(jù)4,貝ijf=—(2+3+3+4+4+6)=—,

63

則S'2=-[(2-—)2+(3-—)2+(3-—)2+(4-—)2+(4-—)2+(6-—)2]=—,

63333339

1446

又一<一,故若在一組數(shù)據(jù)2,3,3,4,6中增加一個數(shù)據(jù)4,則方差變小，故B正確；

925

對于C：若變量x與變量y滿足關(guān)系y=-3+X,則變量x與變量y是正確定關(guān)系，

又變量y與變量Z是正相關(guān)，所以x與z正相關(guān)，故C錯誤；

對于D：因為/=3.937>3.841=%05,有95%的把握判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，即判斷錯誤的概率不大于0.05,

故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,K/(X+y)+f{x-y)=f(x)f(y),/(1)=1,則()

A./(O)=2B.關(guān)于(3,0)中心對稱

C.7(x)是周期函數(shù)D./(%)的解析式可能為/(x)=2cos]x

【答案】ACD

【解析】由/0+丁)+/0-，)=/(幻/(丁)，且函數(shù)/(九)的定義域為R,

對于選項A：令％=1,>=0,可得/⑴+/⑴=")/(0),

且=可得/(0)=2,故A正確；

對于選項c令x=0,則/(y)+/(-y)=/W(y)=2/(y),

貝/(y)=/(—y)，即/(x)=/(-x),可知/⑺為偶函數(shù)，

令y=1,則/(x+1)+/(》—1)=/(x)/(l)=/(%),

可知/(x+2)+/(x)=/(x+l),/(x+3)+/(x+l)=/(x+2),

可得/(x+3)+/(x)=0,則/(%+6)+/(%+3)=0,

12

所以/(x+6)=/(x),可知周期為6,故C正確;

對于選項B：因為由于/(丈)為偶函數(shù)且周期為6,

則/。)=/(-0=/(5)=1，不滿足/(1)+/(5)=0,

所以“X)不關(guān)于(3,0)中心對稱，故B錯誤;

JT

對于選項D：因為〃x)=2cos§x的定義域為R,

+x兀7CI7C2cos?=/(x)/(y),

且/(1+y)f(~y)-2cos—(x+j)+2cos—(x-y)=I2cos—X

3

即〃x)=2cos]x符合題意，所以“力的解析式可能為〃x)=2cos]x,故D正確;

故選：ACD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

*234567

12.已知(1-x)5+(l+x)7=a0-axx+tz2x-a3x+c4x-a5x+a6x-a7x,則%+4+4的值為

【答案】78

【解析】令x=0,可得4=2,

令x=1,可得2’=(ZQ—q+a?—%+...-%①

令x~—1,則2，=a。+q+a[+,..+%②

所以②+①可得：2(%+%+/+“6)=2,+2,=16。,

所以2+g+4+&=80,即生+4+4=78

故答案為：78

22

13.已知耳，罵分別是雙曲線C:?—方=1(6〉0)的左、右焦點，是/雙曲線C右支上的一個動點,

且1叫『-\MF2f”的最小值是8n，則雙曲線C的漸近線方程為.

【答案】y=±^-x

2

13

【解析】不妨設(shè)耳（-C，。），月（c,o）,〃（須，幾），且

2

則阿耳『—眼閭2=（xo+c），y：—（xo-c）+jo=4cx0>8c,

所以8c=8"，解得c=后，b=6,故雙曲線C的漸近線方程為丁=土孝》.

故答案為：V=±X

-2

ab3c

14.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為b,c.若------1--------=-------，貝！JtanA+tanC的最

cosAcosBcosC

小值是______________

Q

【答案】-

3

3c

【解析】因為+——

cosAcosBcosC

由正弦定理得堊4+sinB3sinC

cosAcosBcosC

所以tanA+tanB=3tanC,

又因為C=7i-(A+6),

一…4八ctanA+tanB

所以tanA+tan5=-3-----------------

1-tanAtanB

3

所以1=

tanAtanB-1

即tanAtan6=4.

41\(4、

所以tan3=------,tanC=-(tanA+tanB)=—tanA+

tanA331tanA,

顯然tanA必為正（否則tanA和tanC都為負(fù)，就兩個鈍角），

~4416_8

所以tanA+tanC=—tanAH--------->2.

33tanA~9~3

44ji

當(dāng)且僅當(dāng)一tanA=--------,即tanA=l,A=—取等號.

33tanA4

8

所以tanA+tanC>—.

3

Q

故答案為：—

3

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

14

15.(13分)數(shù)列｛4｝中，%=1,%=9，且4+2+%,=2a“+i+8,

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛2｝的前〃項和為Sn,且滿足b；=an,bnbn+i<0,求S".

【答案】(1)%=4/-4〃+1；(2)答案見解析

【解析】(1)因為q+2+4=2a.+i+8,所以4+2-6,+1=。“+1-4+8,

所以數(shù)列｛%+「凡｝是公差為8的等差數(shù)列，其首項為4-%=8,.................................2分

于是2+1-4=8"，

aa

則n~n-l=8(〃T),-??_2=8-2),L,

%一2=8x2,%—a1=8,

/、(1+〃一1)(〃一1)

所以a,,_%=8(1+2H--I-H-1)=8X-------廣-----=49-4"，.................................5分

所以%=4〃2-4〃+1(〃》2)；而％=1符合該式，故4=4"2-4”+1.................................6分

(2)由⑴問知，%=(21『,則乙=±(2九-1),

又坤向<0,則%12<0,兩式相乘得2言*2>0,即她+2>0,

因此。與2+2同號,..................8分

[2n-1,〃為奇數(shù)

因為6也<0,所以當(dāng)仇=1時，d=一3,此時“=<]2為偶數(shù)，

M—1

當(dāng)"為奇數(shù)時,Sn=(々+?+("+>)+…+(如+%-1)+-=么一2義;一=",

當(dāng)〃為偶數(shù)時，s〃=(4+Z?2)+(4+“)+…+(2_1+2)=-2乂5=-〃；..................io分

當(dāng)偽=-1時，八3,此時“卡…“為奇偶數(shù)數(shù)，..................-分

n—1

當(dāng)n為奇數(shù)時,S'=3+%)+(4+()+…+(4-2+%)+2=勿+2x—=-n,

當(dāng)〃為偶數(shù)時,S"=(4+么)+他+〃)+…+(4-1+%)=2x5="

綜上，當(dāng)偽=1時，s?=(-1)"-'-n；當(dāng)偽=—1時，S?=(-l)n-H.

15

15分

16.（15分）單位面積穗數(shù)、穗粒數(shù)、千粒重是影響小麥產(chǎn)量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗

田種植了一個小麥新品種，收獲時隨機(jī)選取了100個小麥穗，對每個小麥穗上的小麥粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計得到如

下統(tǒng)計表：

穗粒數(shù)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

穗數(shù)41056228

其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表.從收獲的小麥粒中隨機(jī)選取5組，每組1000粒，分別稱重,

得到這5組的質(zhì)量（單位：g）分別為：38,46,42,40,44.

（1）根據(jù)抽測,這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量（結(jié)果四舍五入到1kg）；

樣本平均千粒重

公式：畝產(chǎn)量=畝穗數(shù)X樣本平均穗粒數(shù)x

WOO

（2）已知該試驗田穗粒數(shù)X近似服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,其中〃近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方

差.若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的80%,則稱該小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種，試判斷該試驗田

中的小麥品種是否為優(yōu)質(zhì)小麥品種.

參考數(shù)據(jù)：若X近似服從正態(tài)分布N（〃,b2）,則P（〃一b<X<〃+cr）a0.6827.

【答案】（1）622kg；（2）該試驗田中的小麥為優(yōu)質(zhì)小麥品種.

【解析】（1）該試驗田樣本平均穗粒數(shù)為

y4”10?5622uu8『

15x-----F25x------F35x-------F45x------(■55x----=373分

100100100100100

38+46+42+40+44

樣本平均千粒重為=42(g),5分

5

49

所以這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量的估計值為40x104x37x而=621600（g）=621.6kg?622kg,?,7分

(2)由(1)得〃=37,

41056228

cr92=(15-37)92x一+(25-37)92x一+(35-37)92x一+(45-37)92x—+(55-37)92x一=76,

100100100100100

所以°=廊<9，................1。分

16

由P（X228）>P（X>〃—crX事

P（X>〃一b）=gP（〃一b<XV〃+cr）+0.5=g義0.6827+0.5=0.84135,

故：尸（X228）>80%,

所以該試驗田中的小麥為優(yōu)質(zhì)小麥品種...................15分

17.（15分）如圖，在直三棱柱A3C-4與￡中，AB=BC=2,ABLBC,CCS

BE=2BB^（O<2<1）.

(1)當(dāng)；1=；時，求證：CEL平面ABC1；

(2)設(shè)二面角5—AE—C的大小為。，求sin。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】(1)以前，麗,砥為基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),q(2,0,273),￡(0,0,2盾).

[「2O

當(dāng)；1=七時，E0,0,9,................2分

33

D<丁J

所以刀=(0,—2,0),%=(2,0,26)，CE=-2,0，￥]

所以亞?在=0,風(fēng)?星=0,所以CE，AB,CE，BC].................4分

又ABpIBG=8，ABU平面ABG,BCIu平面ASq,

所以平面ABC「

17

(2)AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2732),

設(shè)平面AEC的一個法向量為］=（x,y,z）,

AC-n^=02x-2y-0

即＜r不妨取］=（百%也41）9分

AE-=0-2y+2v32z=0

因為1平面ABE,所以平面ABE的一個法向量為后=（2,0,0）..................10分

所以做㈣=潟=占'

所以sin*/-8s+..................13分

又因為0<2<1,易知/.）=2（6；+1）在（°，1）上單調(diào)遞減，

所以sin。e..................15分

22

18.（17分）已知橢圓及丁1=1（心比>0）,直線乙與E交于M（-4,0）,"（—2,2）兩點，點P在線

段MV上（不含端點），過點尸的另一條直線4與E交于A,8兩點.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若羽聲=兩，Q=（7-4陋）而，點4在第二象限，求直線6的斜率;

（3）若直線MA,MB的斜率之和為2,求直線6的斜率的取值范圍.

,2,2

土+匕=1⑶-。0,口

【答案】⑴1616⑵」

3

3

【解析】⑴因為M（-4,0）,N（—2,2）兩點在橢圓E上,

18

O

F

2F

〃

22

土;匕=1

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1616-4分

3

⑵設(shè)A(WK),B(x2,y2),設(shè)AB:y=依:+f,

\22

土+匕-1

，得。6左x2+32to+16ft2-g

聯(lián)立《1616

T=0,

y=kx+t

sp+x2+2ktx+=0,

rl3

216

2ktt——

X]+X，2---------T~3

A>0,2尤［尤26分

k+-'/+「

3

3

UUULUUU1/一=\,，/八、

由MP=PN得尸(一3,1),則AB:y=左(％+3)+1,貝卜=3左+1.

玉(

由衣=（7-4百）而得:+7-4131%2

1+7-4^―‘

即玉+(7—4^/3)々=12^/3—24,

2M34+1)(3左+1)2T

代入/=3左+]得，%+々=——1xx

k+—r2

3

解得：％=—2,x2=2^/3,k=——

故直線/,的斜率為左=-1

10分

3

(3)由kAM+kBM=2,可知'+二=2,

^viIIII

19

%（%+4）+乂&+4）

1（石+4）1+4）一‘

即（何+方）（%2+4）+（也+，）（％+4）=2（石+4）（%2+4），

即（2左—2）口%2+（1+4左—8）（石+%2）+8,-32=0,

16

2ktt2——

代入玉+%__瓦工，再馬____3_

二+1’

3

3

得（2左一2）［/一號）—2?+4左一8）比+（8/—32）［左T=。,

即+16k2—8kt+=。，故［1—4k—-4%）=0,

4

故/=4左+§或，二4左...................13分

當(dāng)/=4左時，直線AB過〃（T,0），此時點M,P重合，與條件矛盾，舍去.

當(dāng)r=4左+g時，直線A5過定點K，4,g］,點在線段"N上運(yùn)動，

當(dāng)r=4左+壯時，由A=442/一4k2—3］］左2+2_］〉0,所以%上〈配，即左＜J.

3I3八3）393

從而直線，2的斜率的取值范圍為..................17分

19.（17分）一個完美均勻且靈活的項鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個項鏈形成的曲線形狀

（X_x\