8.5.2直線(xiàn)與平面平行一、知識(shí)回顧1.基本事實(shí)4(平行線(xiàn)的傳遞性)：2.定理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

在直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的關(guān)系.它不僅應(yīng)用廣泛，而且是學(xué)習(xí)平面與平面平行的基礎(chǔ).

怎樣判定直線(xiàn)與平面平行呢?根據(jù)定義，判定直線(xiàn)與平面是否平行，只需判定直線(xiàn)與平面有沒(méi)有公共點(diǎn).但是，直線(xiàn)是無(wú)限延伸的，平面是無(wú)限延展的，如何保證直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)呢?二、直線(xiàn)與平面平行的判定ABAB

如下左圖，門(mén)扇的兩邊是平行的.當(dāng)門(mén)扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊與墻面有公共點(diǎn)嗎?此時(shí)門(mén)扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與墻面平行嗎?ABCD

如下右圖，將一塊矩形硬紙板ABCC平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中(AB離開(kāi)桌面)，DC的對(duì)邊AB與桌面有公共點(diǎn)嗎?邊AB與桌面平行嗎?二、直線(xiàn)與平面平行的判定ABABABCD

可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論門(mén)扇轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置,因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)的一邊與固定的一邊總是平行的，所以它與墻面是平行的；硬紙板的邊AB與DC平行,只要邊DC緊貼著桌面,邊AB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就不可能與桌面有公共點(diǎn)，所以它與桌面平行，這樣，我們就得到下面定理：二、直線(xiàn)與平面平行的判定二、直線(xiàn)與平面平行的判定

如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行.ab

直線(xiàn)與平面平行的判定定理:線(xiàn)線(xiàn)平行

線(xiàn)面平行

這一定理在現(xiàn)實(shí)生活中有許多應(yīng)用，例如，安裝矩形鏡子時(shí)，為了使鏡子的上邊框與天花板平行，只需鏡子的上邊框與天花板和墻面的交線(xiàn)平行，就是應(yīng)用了這個(gè)判定定理.你還能舉出其他一些應(yīng)用實(shí)例嗎?

定理告訴我們，可以通過(guò)直線(xiàn)間的平行，得到直線(xiàn)與平面平行.這是處理空間位置關(guān)系的一種常用方法，即將直線(xiàn)與平面的平行關(guān)系(空間問(wèn)題)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)間的平行關(guān)系(平面問(wèn)題).它可以用符號(hào)表示:aα，bα，且a//b

a//α

剛才，我們利用平面內(nèi)的直線(xiàn)與平面外的直線(xiàn)平行，得到了判定平面外的直線(xiàn)與此平面平行的方法，即得到了一條直線(xiàn)與平面平行的充分條件.反過(guò)來(lái)，如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，能推出哪些結(jié)論呢?這就是要研究直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)，也就是研究直線(xiàn)與平面平行的必要條件.

下面我們研究在直線(xiàn)a平行于平面a的條件下，直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的直線(xiàn)的位置關(guān)系.

如右圖，由定義，如果直線(xiàn)a//平面α，那么a與α無(wú)公共點(diǎn)，即a與α內(nèi)的任何直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn).這樣，平面α內(nèi)的直線(xiàn)與平面α外的直線(xiàn)a只能是異面或者平行的關(guān)系.那么，在什么條件下，平面α內(nèi)的直線(xiàn)與直線(xiàn)a平行呢?下面我們來(lái)分析一下:a

假設(shè)a與α內(nèi)的直線(xiàn)b平行，那么由基本事實(shí)的推論3,過(guò)直線(xiàn)a、b有唯一的平面β.這樣，我們可以把直線(xiàn)b看成是過(guò)直線(xiàn)a的平面β與平面α的交線(xiàn).于是可得如下結(jié)論：過(guò)直線(xiàn)a的平面β與平面α相交于b，則a//b.三、直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)∴a//b.下面，我們來(lái)證明這一結(jié)論.求證：a//b.a

βb已知：如右圖，a//α，aβ，α∩β=b.證明：∵α∩β=b，又a//α，∴a與b無(wú)公共點(diǎn).∴bα.又aβ，bβ，

一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交,那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行.直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理:

直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理揭示了直線(xiàn)與平面平行中蘊(yùn)含著直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，這也給出了一種作平行線(xiàn)的方法.線(xiàn)面平行

線(xiàn)線(xiàn)平行三、直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)a//α，aβ，α∩β=b

a//b.它可以用符號(hào)表示:例1求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn)平行于經(jīng)過(guò)另外兩邊的平面.四、典型例題

今后要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找出一條與此直線(xiàn)平行的直線(xiàn)就可以了.EF//平面BCDEF已知：如右圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn).求證：EF//平面BCD證明：ABCD連接BD.∵AE=EB，AF=FD∴EF//BD又EF平面BCD，BD平面BCD分析：要經(jīng)過(guò)面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi),實(shí)際上是經(jīng)過(guò)BC及BC外一點(diǎn)P作截面，也就需要找出所作的截面與相關(guān)平面的交線(xiàn).我們可以依據(jù)直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理、基本事實(shí)4和推論1畫(huà)出所需要的線(xiàn)段.ABCA'B'C'D'EF

如上右圖，在平面A'C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)EF，使EF//B'C'，并分別交棱A'B'、D'C'于點(diǎn)E、F.連接BE、CF,則EF、BE、CF就是應(yīng)畫(huà)的線(xiàn).(2)因?yàn)槔釨C平行于平面A'C',平面BC'與平面A'C'相交于B'C',所以BC//B'C'.由(1)知，EF//B'C'，所以EF//BC.而B(niǎo)C在平面AC內(nèi)，EF在平面AC外，所以EF//平面AC.顯然，BE、CF都與平面AC相交.四、典型例題例2如右圖的一塊木料中，棱BC平行面A'C'.(1)要經(jīng)過(guò)面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi),在木料表面應(yīng)該怎樣畫(huà)線(xiàn)?(2)所畫(huà)的線(xiàn)與平面AC是什么位置關(guān)系?解:(1)P四、典型例題例3

已知：如右圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，

D為BC的中點(diǎn).

求證：A1C∥平面AB1D.證明：連接A1B，交AB1于E，再連接DE.由棱柱的概念得四邊形BAA1B1是平行四邊形所以E為BA1的中點(diǎn).又D為BC的中點(diǎn)，所以DE∥A1C.又A1C平面AB1D，DE平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.EB1C1A1BCAD五、課堂小結(jié)

如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行.ab

1.直線(xiàn)與平面平行的判定定理:線(xiàn)線(xiàn)平行

線(xiàn)面平行它可以用符號(hào)表示:aα，bα，且a//b

a//α

2.直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理:

一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交,那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行.線(xiàn)面平行

線(xiàn)線(xiàn)平行a