第2章傳感器的基本特性2.1傳感器的靜態特性

2.2傳感器的動態特性

思考題與習題

2.1傳感器的靜態特性

傳感器的靜態特性是指輸出量與輸入量都不隨時間變化的關系特性，其輸出量與輸入量的關系特性可以用數學表達式、曲線或數據表格等形式來表示。

2.1.1傳感器的靜態數學模型

傳感器的靜態數學模型是在輸入量為靜態量時，即輸入量對時間的各階導數等于零時，其輸出量與輸入量關系的數學模型。如果不考慮遲滯和蠕變效應，傳感器的靜態數學模型一般可用多項式來表示，即

y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn (2.1)式中：x——傳感器的輸入量；

y——傳感器的輸出量；

a0——輸入量x為零時的輸出量，即零位輸出量；

a1——線性項的待定系數，即線性靈敏度；

a2,a3,…,an——非線性項的待定系數。

多項式(2.1)中的各項系數決定了傳感器靜態特性曲線的具體形式。在研究傳感器的線性特性時，可以不考慮零位輸出量，即取a0=0，則式(2.1)由線性項和非線性項疊加而成。靜態特性曲線過原點，一般可分為四種情況，如圖2.1所示。圖2.1傳感器的靜態特性曲線

1.理想線性特性

當a2=a3=…=an=0時，多項式(2.1)中的非線性項為零，靜態特性曲線為理想的線性特性，如圖2.1(a)所示。此時

y=a1x (2.2)

其靜態特性曲線是一條過原點的直線，直線上所有點的斜率相等，傳感器的靈敏度為(2.3)

2.非線性項僅有奇次項

當a2=a4=…=0時，多項式(2.1)中的非線性項的偶次項為零，僅有奇次非線性項，即

y=a1x+a3x3+a5x5+… (2.4)

此時的靜態特性曲線關于原點對稱，在原點附近有較寬的線性范圍，如圖2.1(b)所示。這是比較接近理想線性的非線性特性。差動式傳感器具有這種特性，可以消除電器元件中的偶次分量，顯著地改善非線性，并可使靈敏度提高一倍。

3.非線性項僅有偶次項

當a3=a5=…=0時，多項式(2.1)中的非線性項的奇次項為零，僅有偶次非線性項，即

y=a1x+a2x2+a4x4+… (2.5)

此時的靜態特性曲線過原點，但不具有對稱性，線性范圍較窄，如圖2.1(c)所示。傳感器設計時很少采用這種特性。

4.一般情況

多項式(2.1)中的非線性項既有奇次項，又有偶次項，即

y=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn (2.6)

此時的靜態特性曲線過原點，也不具有對稱性，如圖2.1(d)所示。

傳感器的靜態數學模型究竟取幾階多項式，這是一個數學處理問題。通過理論分析建立靜態數學模型是非常復雜的，有時甚至難以實現。在實際應用中，往往利用靜態標定數據來建立靜態數學模型或繪制靜態標定曲線，根據靜態標定曲線來描述傳感器的靜態特性，這是目前普遍采用的一種方法。2.1.2傳感器的靜態標定

1.靜態標定的條件

傳感器靜態標定的條件主要有標定環境和標定設備。

1)標定環境

(1)無加速度、無振動、無沖擊(除非這些量本身就是被測量)；

(2)環境溫度一般為(20±5)℃；

(3)相對濕度不大于85%；

(4)大氣壓力為0.1MPa。

2)標定設備

(1)標定設備和傳感器的確定性系統誤差較小或可以消除，只考慮它們的隨機誤差時，應滿足如下條件

式中：σb——標定設備的隨機誤差；

σc——傳感器的隨機誤差。(2.7)

(2)標定設備和傳感器的隨機誤差較小，只考慮它們的系統誤差時，應滿足如下條件

式中：εb——標定設備的系統誤差；

εc——傳感器的系統誤差。(2.8)

2.靜態標定的過程

(1)根據靜態標定的條件，將傳感器、標定設備以及測量儀器連接好；

(2)在傳感器超載20%的全量程范圍內分成若干等份，保持一定時間均勻地進行逐級加載和卸載，并逐點記錄傳感器的靜態標定數據；

(3)將靜態標定數據用表格列出或繪出標定曲線，然后進行分析處理，從而確定傳感器的靜態特性。2.1.3傳感器的靜態性能指標

描述傳感器的靜態特性主要有線性度、靈敏度、滯后量、重復性、精度、分辨率、穩定性、漂移等靜態性能指標。

1.線性度(非線性誤差)

線性度是指傳感器的輸出量y與輸入量x之間能否保持理想線性特性的一種度量。如果多項式(2.1)中的非線性項的階次不高，在輸入量變化范圍不大的條件下，可以用一條直線來近似代替傳感器的靜態標定曲線，如圖2.2所示。這種方法稱為傳感器非線性特性的線性化，所采用的直線稱為擬合直線，傳感器在全量程范圍內靜態標定曲線與擬合直線的接近程度稱為線性度。線性度γL用靜態標定曲線與擬合直線之間最大偏差的絕對值ΔLmax與滿量程輸出值YFS的百分比來表示，即

設擬合直線方程為

式中：——輸出量的估計值；

a0——零位時的輸出量；

a1——擬合直線的斜率，即線性靈敏度。(2.10)(2.9)擬合直線的確定方法很多，其原則是獲得盡量小的非線性誤差，同時考慮使用方便和計算簡單。需要指出的是，即使是同一種傳感器，用不同方法得到的擬合直線是不同的，計算的線性度也有所不同。常用的擬合方法有端點直線法、端點平移直線法、平均法和最小二乘法等。

1)端點直線法

端點是指量程上、下極限值對應的點，通常取零位輸出值作為直線的起點，滿量程輸出值作為直線的終點，兩個端點的連線就是擬合直線。這種擬合方法與靜態標定曲線的分布無關，其優點是簡單方便，但缺點是ΔLmax較大，擬合精度較低，只能作粗略估計，一般用于靜態特性曲線非線性較小的傳感器。

2)端點平移直線法

在端點直線法的基礎上，將端點直線平行移動，移動間距為ΔLmax的一半，使靜態標定曲線分布在擬合直線的兩側。這種擬合方法不僅簡單方便，而且非線性誤差減小了一半，提高了擬合精度。

3)平均法

平均法確定擬合直線的實質是：選擇合適的待定系數a0和a1，使靜態標定曲線與擬合直線之間偏差的代數和為零，即擬合直線方程中有兩個待定系數a0與a1，為了求它們，首先把靜態標定數據按輸入量x由小到大依次排列，然后分成個數近似相等的兩組。第一組為x1,x2,…,xk，第二組為xk+1,xk+2,…,xn，建立相應的兩組方程，并將兩組方程分別相加得

解此聯立方程便可求出待定系數a0與a1，從而確定擬合直線方程。(2.11)如果傳感器的靜態標定數據過零點，則取待定系數a0=0，擬合直線過原點，即

由平均法確定的擬合直線斜率為

平均法的優點是計算簡單，擬合精度較高，其缺點是對靜態標定數據的統計規律考慮不夠深入，常用于要求不是很高的傳感器。(2.13)(2.12)

4)最小二乘法

最小二乘法確定擬合直線的實質是：選擇合適的待定系數a0和a1，使靜態標定曲線與擬合直線偏差的平方和為最小，即

為最小。由于偏差的平方均為正值，偏差的平方和為最小，就意味著擬合直線與靜態標定曲線的偏離程度最小。按最小二乘法確定待定系數，就是要求出能使Q取最小的a0與a1值。為此，將Q分別對a0和a1求偏導數，并令其等于零

由此解得

式中： ——輸入量的算術平均值；

——輸出量的算術平均值。(2.14)由式(2.14)求出待定系數a0與a1后，就可確定擬合直線方程。

值得注意的是，將

代入擬合直線方程

得

該式表明擬合直線通過 點，這對作擬合直線是很有幫助的。(2.15)同理，如果傳感器的靜態標定數據過零點，待定系數a0=0，擬合直線過原點，則由最小二乘法確定的擬合直線斜率為

最小二乘法擬合精度很高，但計算相對繁瑣，一般用于較為重要場合的傳感器。(2.16)

2.靈敏度

靈敏度是傳感器對被測量變化的反應能力，是反映傳感器基本性能的一個指標。當傳感器輸入量x有一個變化量Δx，引起輸出量y也發生相應的變化量Δy，則輸出變化量與輸入變化量之比稱為靈敏度，常用S表示，其表達式為(2.17)顯然，靈敏度就是傳感器靜態標定曲線的斜率。對于線性傳感器，靜態標定曲線與擬合直線接近重合，故靈敏度為擬合直線的斜率，它是一個常數，即S=a1=常數。對于非線

性傳感器，靈敏度為一變量。一般希望傳感器的靈敏度高，在全量程范圍內是恒定的，即傳感器的靜態標定曲線為一條直線。

在工程應用中，由于能量控制型傳感器(無源傳感器)的輸出量與外部提供的電源有關，故其靈敏度必須考慮電源的影響。例如，用于骨外固定力測量的微型S梁拉壓力傳感器，四個電阻應變片接成差動全橋，當供橋電壓(電源電壓)為1V，滿量程為100N時，電橋輸出電壓為100mV，則該傳感器的靈敏度為1mV/(N·V)。由于外界干擾因素的影響，傳感器的靈敏度也會發生變化，從而產生靈敏度誤差。靈敏度誤差用相對誤差來表示，其表達式為

式中：γS——靈敏度的相對誤差；

ΔSmax——靈敏度的最大變化量。(2.18)

3.滯后量(遲滯或回程誤差)

當輸入量x由小增大(正行程)，而后又由大減小(反行程)時，同一個輸入量傳感器會產生不同的輸出量。在全量程范圍內，傳感器正反行程最大輸出差值的絕對值稱為滯后量;滯后量是用來描述傳感器正反行程的不重合程度的，如圖2.3所示。滯后量γH用正反行程最大輸出差值的絕對值ΔHmax與滿量程輸出值YFS的百分比來表示，即(2.19)圖2.3滯后量

4.重復性

重復性表示輸入量x按同一方向變化，傳感器在全量程范圍內重復進行測量時所得到各特性曲線的重復程度，如圖2.4所示。重復性γR一般采用輸出最大不重復誤差的絕對值ΔRmax與滿量程輸出值YFS的百分比來表示，即

傳感器的重復性反映隨機誤差的大小，其中不重復誤差也可以用標準偏差σ來代替，即(2.20)(2.21)隨機誤差服從正態分布，標準偏差σ根據貝塞爾公式來計算，其表達式為

式中：yi——多次重復測量的測得值；

——測得值的算術平均值；

n——重復測量的次數。(2.22)圖2.4重復性

5.精度

精度反映傳感器測量結果與真值的接近程度。它與誤差的大小相對應，因此可以用誤差的大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，反之，誤差大則精度低。精度可分為精密度、正確度和準確度(精確度)。

(1)精密度表示多次重復測量中，傳感器測得值彼此之間的重復性或分散性大小的程度。它反映隨機誤差的大小，隨機誤差愈小，測得值就愈密集，重復性愈好，精密度愈高。

(2)正確度表示多次重復測量中，傳感器測得值的算術平均值與真值接近的程度。它反映系統誤差的大小，系統誤差愈小，測得值的算術平均值就愈接近真值，正確度愈高。

(3)準確度(精確度)表示多次重復測量中，傳感器測得值與真值一致的程度。它反映隨機誤差和系統誤差的綜合大小，只有當隨機誤差和系統誤差都小時，準確度才高。準確度也簡稱為精度。

對于具體的傳感器，精密度高時正確度不一定高，而正確度高時精密度也不一定高，但準確度高，則精密度和正確度都高。在消除系統誤差的情況下，精密度與準確度才是一致的。現以圖2.5所示的打靶結果——子彈落在靶心周圍的三種情況來說明傳感器精度的高低。圖2.5(a)表示系統誤差大而隨機誤差小，即正確度低而精密度高，彈孔較密集但偏離靶心較遠；圖2.5(b)表示系統誤差小而隨機誤差大，即正確度高而精密度低，彈孔分散但接近靶心；圖2.5(c)表示系統誤差和隨機誤差都小，正確度和精密度都高，即準確度高，彈孔既集中又接近靶心，這是希望得到的結果。圖2.5精度為了確保傳感器測量結果的準確可靠，要求傳感器的線性度好(非線性誤差小),滯后量和重復性誤差小,靈敏度和精度高。由于線性度、靈敏度、滯后量和重復性都是評價傳感器靜態特性的單項性能指標，而精度則是評價傳感器靜態特性的綜合性指標，所以傳感器的精度常用線性度、靈敏度、滯后量、重復性誤差的方和根來表示，其表達式為

在工程應用中，傳感器的精度也常用相對誤差和引用誤差來表示。(2.23)相對誤差

引用誤差

式中：y——測得值；

μ、μn——給定真值和額定真值；

、yn——測得值的算術平均值和測量范圍的上限值(量程)。(2.24)(2.25)傳感器的準確度等級多采用引用誤差的百分數值來表示，即去掉式(2.25)中的百分號(%)就是傳感器的準確度等級，其表達式為

在選用傳感器時，應在合理選用量程的條件下再選擇合適的準確度等級，一般應盡量避免在全量程1/3以下的范圍內工作，以免產生較大的相對誤差。(2.26)

6.分辨率

分辨率表示傳感器能夠檢測到輸入量最小變化的能力。當輸入量緩慢變化，且超過某一增量時，傳感器才能夠檢測到輸入量的變化，這個輸入量的增量稱為傳感器的分辨率。當輸入量變化小于這個增量時，傳感器無任何反應。例如電感式位移傳感器的分辨率為1μm，能夠檢測到的最小位移值是1μm，當被測位移為0.1~0.9μm時，傳感器幾乎沒有反應。

對于數字式傳感器，分辨率是指能引起輸出數字的末位數發生變化所對應的輸入增量。

7.穩定性

穩定性表示在較長的時間內傳感器對于大小相同的輸入量，其輸出量發生變化的程度。一般在室溫條件下，經過規定的時間間隔后，傳感器輸出的差值稱為穩定性誤差，常用相對誤差或絕對誤差來表示。

8.漂移

漂移是指在外界干擾的情況下，在一定的時間間隔內，傳感器輸出量發生與輸入量無關的變化程度，包括零點漂移和溫度漂移。

零點漂移是指在無輸入量的情況下，間隔一段時間進行測量，其輸出量偏離零值的大小。溫度漂移是指在外界溫度(環境溫度)干擾下，傳感器輸出量發生的變化。傳感器的靈敏度誤差主要是由零點漂移和溫度漂移引起的。

例2.1對自行研制的用于骨外固定力測量的微型S梁拉壓力傳感器進行靜態標定。將四個電阻應變片接成差動全橋，用三等標準砝碼的重力作為輸入量，等間隔20N加載和卸載，用靜態電阻應變測量其輸出量(1με=10－6)，傳感器在超載20%全量程范圍內的靜態標定數據如表2.1所示。求該傳感器的靈敏度、線性度和滯后量。表2.1傳感器的靜態標定數據

解把表中數據代入式(2.14)所示的最小二乘法公式，經計算機處理得擬合直線方程為

該傳感器的靈敏度、線性度和滯后量分別為 2.2傳感器的動態特性

2.2.1傳感器的動態數學模型

傳感器的輸入量x(t)、輸出量y(t)和轉換特性h(t)三者之間的關系如圖2.6所示。圖2.6輸入量、輸出量和轉換特性之間的關系傳感器的動態數學模型比靜態數學模型復雜得多，必須根據傳感器的結構、參數與特性建立相應的數學模型。要精確地建立傳感器的動態數學模型是非常困難的，在工程上總是采取一些近似的措施，略去一些影響不大的因素，把傳感器看作時不變線性傳感器，一般用常系數線性微分方程來描述，其輸出量y(t)與輸入量x(t)之間的關系為(2.27)式中：n、m——輸出量與輸入量的微分階次；

ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)——由傳感器結構參數確定的系數。

若以x(t)→y(t)表示傳感器的輸入量與輸出量的對應關系，則時不變線性傳感器具有以下主要性質：

(1)疊加性：若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)，則

［x1(t)±x2(t)］→［y1(t)±y2(t)］ (2.28)

即兩個輸入量共同作用引起的輸出量等同于它們分別作用引起的輸出量的代數和。

(2)比例性：對于任意常數c,都有

cx(t)→cy(t)

(2.29)

即輸入量放大c(常數)倍，則輸出量等同于該輸入量引起的輸出量的c(常數)倍。

(3)微分性：對輸入量微分的響應，等同于對原輸入量響應的微分，即(2.30)

(4)積分性：若傳感器初始狀態為零，則對輸入量積分的響應等同于對原輸入量響應的積分，即

(5)頻率保持性：若輸入量為某一頻率的正弦(或余弦)信號，則傳感器的穩態輸出量將有且只有該同一頻率，只不過幅值與相位發生了變化，即

x0sin(ωt)→y0sin(ωt+φ)

(2.32)

在使用傳感器時應根據被測輸入量的頻率范圍合理選用頻率特性。一般希望在被測輸入量的頻率范圍內，將幅值的變化限制在5%~10%以內，相位的偏移不超過3°～6°。(2.31)傳感器的這些性質，特別是頻率保持性，在動態測量中具有重要作用。例如已知傳感器是線性的，其輸入量的頻率也已知(如穩態正弦激振)，那么測得的輸出量中只有與輸入量頻率相同的成分才可能是由該輸入量引起的振動，而其他頻率成分都是干擾。利用這一性質，采用相應的濾波技術，在很強的干擾下也能把有用的頻率成分提取出來。

對于時不變線性傳感器，常系數線性微分方程式(2.27)是在時域中描述傳感器的動態特性，用經典法求解該微分方程比較困難。因此，通過拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)建立相應的傳遞函數，把時域中的微分方程變換成頻域中的代數方程，不僅易于求解，而且可更簡便地描述傳感器的動態特性。

1.傳遞函數

如果輸入量x(t)是時間變量t的函數，并且在初始條件t≤0時x(t)=0，則它的拉氏變換定義為

由此可得輸入量x(t)的n階微分的拉氏變換為

式中：s——復變量，且s=σ+jω，σ>0。(2.33)(2.34)若傳感器的初始條件為零，即在考察時刻以前(t=0－)，其輸出量與輸入量以及各階微分都為零，此時對式(2.27)進行拉氏變換，可得

(ansn+an－1sn－1+…+a1s+a0)Y(s)=(bmsm+bm－1sm－1+

…+b1s+b0)X(s)

(2.35)

傳感器的傳遞函數定義為：在零初始條件下，傳感器輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，即(2.36)

1)傳遞函數的特點

由式(2.36)可以看出，傳遞函數僅與傳感器的結構參數有關，而與輸入量無關，只反映傳感器輸出量和輸入量的關系，對任意輸入量x(t)都能確定地給出相應的輸出量y(t)，是一個描述傳感器傳遞信息的函數。

傳遞函數是把實際物理結構抽象成數學模型，然后經過拉氏變換得到的，它只反映傳感器的傳輸、轉換和響應特性，而與具體的物理結構無關。同一形式的傳遞函數可能表征著物理結構完全不同的傳感器，它們具有相似的傳遞特性。傳遞函數的分母通常取決于傳感器的結構參數，分子則取決于輸入量的輸入方式。由于在實際的物理結構中，輸入量x(t)和輸出量y(t)常具有不同的量綱，所以用傳遞函數描述傳感器傳輸、轉換特性時，也應該真實地反映這種量綱變換。不同的物理結構可能有相似的傳遞函數，但是系數a0和b0的量綱將由輸入量和輸出量的量綱決定。

2)多個環節構成的傳感器

傳感器由多個環節構成時，如果已知各個環節之間的關系，也可以通過各環節的傳遞函數求出傳感器的動態特性。實際傳感器往往由若干個環節通過串聯或并聯的方式所構成，如圖2.7所示。圖2.7多個環節構成的傳感器圖2.7(a)為兩個環節串聯構成的傳感器，其傳遞函數為

類似地，對于n個環節串聯構成的傳感器，其傳遞函數為(2.37)圖2.7(b)為兩個環節并聯構成的傳感器，其傳遞函數為

對n個環節串聯構成的傳感器，也類似地有(2.38)

2.頻率特性

傳感器的頻率響應是指輸入量為正弦信號時的穩態響應(輸出量)，當由低到高改變正弦輸入量的頻率時，輸出量與輸入量的幅值比及相位差的變化情況稱為傳感器的頻率特性。將s=jω代入式(2.33)得

實際上這是單邊傅里葉變換(簡稱傅氏變換)，相應的式(2.36)將變為(2.39)(2.40)

H(jω)就是傳感器的頻率特性。頻率特性是傳遞函數的一個特例。傳遞函數是通過對式(2.27)兩邊求拉氏變換而得到的，頻率特性也可以通過對式(2.27)兩邊求傅氏變換而得到。

在推導傳遞函數時，曾經強調了傳感器的初始狀態為零。但是，即使傳感器的初始狀態為零，從t=0+所施加的輸入量也是正弦信號，而傳感器的響應也將由瞬態響應和穩態響應

兩部分組成。瞬態響應取決于傳感器的結構參數，反映傳感器固有特性的“自然響應”，穩態響應取決于輸入量的形式。因為傳感器中存在阻尼，瞬態響應部分經過一段過渡過程將趨于零。頻率特性僅反映傳感器的穩態響應。當輸入量為同一頻率的正弦信號時，在時間坐標上前可推溯至t=－∞，后將延續至t=+∞，因此在觀察時刻，瞬態響應部分早已衰減為零。

由此可見，頻率特性不能反映過渡過程，傳遞函數才能反映全過程。頻率特性只是傳遞函數在特定輸入量的情況下的描述，這一點在H(jω)=H(s)|s=jω中就已經充分反映了。

對于時不變線性傳感器，若輸入量為正弦信號，則穩態響應是與輸入量同一頻率的正弦信號。輸出量的幅值和相位通常不等于輸入量的幅值和相位，輸出量與輸入量的幅值比和相位差是輸入信號頻率的函數，這將反映在頻率特性的模和相角上。若將頻率特性的虛部和實部分開，記作

H(jω)=P(ω)+jQ(ω)

(2.41)

則實部P(ω)和虛部Q(ω)都是角頻率ω的實函數。

若將頻率特性寫成模和相角的形式，即

H(jω)=A(ω)ejφ(ω)

(2.42)

則(2.43)(2.44)稱A(ω)為傳感器的幅頻特性函數，φ(ω)為傳感器的相頻特性函數，即輸入量為不同頻率的正弦信號時，輸出量與輸入量的幅值比和相位差。據此畫出的A(ω)-ω曲線和φ(ω)-ω曲線分別稱為傳感器的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

1)零階傳感器的頻率特性

當輸出量和輸入量的微分階次都為零時，式(2.27)中的系數除了a0和b0之外，其他系數都為零，則輸出量和輸入量之間為理想的線性特性，微分方程就變成了簡單的代數方程，即

a0y(t)=b0x(t)該代數方程可改寫成

式中：S=b0/a0——傳感器的靜態靈敏度。

對于時不變線性傳感器，靜態靈敏度S為常數。在動態特性分析中，靈敏度只起著使輸出量增加倍數的作用。為了分析方便，討論任意階傳感器都將靜態靈敏度歸一化為1，歸一化后對式(2.45)求拉氏變換可得零階傳感器的傳遞函數為(2.45)(2.46)零階傳感器的頻率特性、幅頻特性函數和相頻特性函數分別為

A(ω)=1

(2.48)

φ(ω)=0°

(2.49)

零階傳感器的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖2.8所示。(2.47)圖2.8零階傳感器的頻率特性

2)一階傳感器的頻率特性

式(2.27)中的系數除了a1、a0和b0之外，其他系數都為零，則微分方程為

該方程為一階微分方程，可改寫成標準形式

式中：τ=a1/a0——傳感器的時間常數；

S=b0/a0——傳感器的靜態靈敏度。(2.50)將靜態靈敏度S歸一化為1，對式(2.50)求拉氏變換可得一階傳感器的傳遞函數為

一階傳感器的頻率特性、幅頻特性函數和相頻特性函數分別為(2.52)(2.51)

以無量綱系數ωτ為橫坐標，幅頻特性函數A(ω)和相頻特性函數φ(ω)為縱坐標，可得一階傳感器的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖2.9所示。(2.53)(2.54)圖2.9一階傳感器的頻率特性由圖2.9可以看出，只有當ωτ=0時，A(ω)=1，φ(ω)=0°。由此可得，用一階傳感器測量時產生的幅值誤差和相位誤差分別為

當ωτ很小時，傳感器接近于理想狀態，即使時間常數τ值不變，總有一個角頻率ω值確保ωτ足夠小，當輸入量角頻率小于ω值時，輸出量失真就很小，測量結果就足夠準

確。(2.55)(2.56)如果需要測量高頻率的輸入量，則必須要求傳感器的時間常數τ值很小，所以準確地動態測量需要小時間常數的傳感器。在ωτ=1處，輸出量與輸入量幅值比降為0.707，相位滯后45°，只有ωτ遠小于1時，幅值比才接近于1。因此一階傳感器的動態特性參數是時間常數τ，時間常數τ的大小決定了一階傳感器的動態特性。

在工程應用中，用于溫度測量的熱電偶、熱電阻、液柱式溫度計均可看作一階傳感器。

例2.2證明圖2.10所示的液柱式溫度計是一階傳感器。圖2.10液柱式溫度計

證明若用Ti(t)表示溫度計的被測溫度，To(t)表示溫度計的示值溫度，c表示溫度計的熱容量，α表示傳熱系數，則根據熱力學定律，它們之間的關系為

即

該方程為典型的一階傳感器特性方程，時間常數t=c/a,靜態靈敏度S=1，所以液柱式溫度計是一階傳感器。

例2.3用τ=0.2s的一階傳感器來測量復合周期信號

x(t)=sin2t+0.3sin20t

求傳感器的測量結果y(t)=?

解根據時不變線性傳感器的疊加性和頻率保持性，傳感器的測量結果為理想情況下y(t)與x(t)很接近，但本例中兩者相差較大，即該傳感器的測量誤差較大。

若改用τ=0.002s，則y(t)=0.999sin(2t－0.004)+0.299sin(20t－0.04)，y(t)與x(t)較為接近，測量誤差較小，這是希望得到的測量結果。

3)二階傳感器的頻率特性

式(2.27)中的系數除了a2、a1、a0和b0之外，其他系數都為零，則微分方程為該方程為二階微分方程，也可改寫成標準形式

式中： ——傳感器的固有角頻率；

——傳感器的阻尼度；

S=b0/a0——傳感器的靜態靈敏度。(2.57)將靜態靈敏度S歸一化為1，對式(2.57)求拉氏變換可得二階傳感器的傳遞函數為

二階傳感器的頻率特性、幅頻特性函數和相頻特性函數分別為(2.58)(2.59)

以相對角頻率ω/ωn為橫坐標，幅頻特性函數A(ω)和相頻特性函數φ(ω)為縱坐標，可得二階傳感器的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖2.11所示。(2.60)(2.61)圖2.11二階傳感器的頻率特性由圖2.11可以看出，只有當ω/ωn=0時，A(ω)=1，φ(ω)=0°。由此可得，用二階傳感器測量時產生的幅值誤差和相位誤差分別為(2.62)(2.63)二階傳感器固有頻率fn的選擇應與工作頻率f密切聯系。當ω/ωn=f/fn=1時，傳感器將引起共振，此時幅頻特性函數A(ω)=1/2ξ，若阻尼度ξ甚小，則輸出量的幅值將急劇增大，幅值增大的情況與阻尼度成反比。此外，在ω/ωn=1處，不管ξ多大，輸出量與輸入量的相位總是滯后90°，

而在

時接近180°，即輸出量幾乎與輸入量反相。當阻尼度ξ=0.7左右時，幅頻特性曲線平坦的頻率范圍較寬，而增大固有頻率fn將相應增大工作頻率范圍，通常稱ξ=0.7為最佳阻尼度。為了準確測量高頻信號，必須選用更高的固有頻率和最佳的阻尼度。二階傳感器實現相位滯后為零是很困難的，而阻尼度ξ=0.7的相頻特性曲線在較寬頻率范圍內近似于直線，這樣的傳感器不會因為相位滯后而導致輸出量失真。綜上所述，二階傳感器的動態特性參數為固有頻率fn和阻尼度ξ。為了減小測量誤差和提高測量頻率范圍，首先要求傳感器有合適的固有頻率，通常固有頻率至少為被測輸入信號頻率的3～5倍，即fn≥(3～5)f。其次,當固有頻率已定的情況下，應選擇合適的阻尼度，能使失真小、工作頻帶寬的最佳阻尼度為0.6～0.7。

在工程應用中，多數傳感器都是二階系統。如用于振動加速度測量的應變式、電容式、壓電式傳感器和測力彈簧等均屬于二階傳感器，它們都可等效為彈簧、質量、阻尼系統。

例2.4證明圖2.12所示的測力彈簧是二階傳感器。

證明測力彈簧可簡化成彈簧剛度為k、質量為m、阻尼系數為c的機械系統。當被測力xf(t)=0時，調整初始值使輸出位移y(t)=0，根據力平衡方程可得

該方程為典型的二階傳感器特性方程，固有角頻率

，阻尼度 ，靜態靈敏度S=1/k，所以測力彈簧是二階傳感器。圖2.12測力彈簧

例2.5用二階傳感器來測量f=400Hz正弦變化的力，已知該傳感器的固有頻率fn=800Hz，阻尼度ξ=0.4，求幅值誤差和相位誤差。

解因為 ，則用該傳感器測量時產生的幅值誤差和相位誤差分別為

3.瞬態響應

以上討論的都是傳感器對穩態正弦激勵的響應。頻率特性充分描述了在穩態輸出與輸入情況下傳感器的動態特性，它反映了對不同頻率成分的正弦激勵、傳感器輸出量與輸入量的幅值比和相位滯后的變化情況。在討論過程中也曾指出，在正弦激勵剛施加上去的一段時間內，傳感器輸出量中含有瞬態響應，它隨時間的增大逐漸衰減為零。瞬態響應反映傳感器的固有特性，它和激勵的初始施加方式有關，而與激勵的穩態頻率無關。瞬態響應的存在說明傳感器的響應有一個過渡過程。由式(2.36)可知，當已知傳遞函數表達式中H(s)、Y(s)和X(s)的任意兩個量時，就可以求出另一個量。如果傳感器的傳遞函數H(s)已知，輸入量(激勵)也可以用數學表達式x(t)描述，那么就可以對輸入量求拉氏變換得X(s)，從而得到輸出量(響應)的拉氏變換Y(s)，即

Y(s)=H(s)X(s)

(2.64)

1)典型輸入信號

通常采用的典型輸入信號有單位斜坡信號r(t)、單位階躍信號u(t)和單位脈沖信號δ(t)，如圖2.13所示，傳感器對這些典型輸入信號的響應稱為瞬態響應。圖2.13典型輸入信號圖2.13(a)所示為單位斜坡信號，其表達式為

圖2.13(b)所示為單位階躍信號，其表達式為

圖2.13(c)所示為單位脈沖信號(又稱為δ函數)，其表達式為

(2.65)(2.66)(2.67)由圖2.13可以看出，三種典型輸入信號之間有如下微分、積分關系，即

根據時不變線性傳感器的微分性和積分性，三種典型輸入信號的響應之間也同樣存在微分和積分的關系。因此，只要知道傳感器對其中一種典型輸入信號的響應，就可以利用上述微分和積分的關系求出另外兩種典型輸入信號的響應。

2)單位脈沖響應——權函數h(t)

單位脈沖信號也可以從原點移到任意點t0，這時δ(t－t0)滿足

和單位脈沖信號最有用的性質之一就是所謂的采樣性質。若任意函數f(t)在t0處連續，則乘積f(t)δ(t－t0)除了在t=t0點有值外，其他各點處均為零，因此有

利用這個性質，不難求出單位脈沖信號δ(t)的拉氏變換為(2.68)顯然，在初始條件為零的情況下，給傳感器施加一個單位脈沖信號δ(t)，其單位脈沖信號所引起的響應yδ(t)(單位脈沖響應)的拉氏變換可由式(2.64)求得，即

Yδ(s)=H(s)Xδ(s)=H(s)

可見，傳遞函數H(s)的拉氏逆變換就是單位脈沖響應(或權函數)，即

h(t)=L－1［H(s)］=L－1［Yδ(s)］=yδ(t)

(2.69)

反之，單位脈沖響應的拉氏變換就是傳感器的傳遞函數，即

H(s)=L

［h(t)］=L

［yδ(t)］ (2.70)

這是一對拉氏變換對。對于任意輸入信號x(t)，可以用無限多個出現在不同時刻的脈沖來逼近，如圖2.14所示。根據疊加原理，總輸入x(t)引起的響應y(t)為

當t<0時，h(t)=x(t)=0，式(2.71)也可簡寫為

y(t)=x(t)*h(t)

(2.72)(2.71)圖2.14任意輸入信號式(2.72)很簡明，含義也明確，從時域看傳感器的輸出量是輸入量與單位脈沖響應的卷積。但卷積計算比較困難，即使用計算機作離散數字卷積計算，其工作量也相當大。

在頻域上處理問題就比較簡單。式(2.64)已經給出，通過拉氏變換可描述傳感器對任意輸入量的響應，該式的特點是以乘積運算代替式(2.72)中的卷積運算，即兩個信號卷積的拉氏變換為該兩個信號拉氏變換的乘積，這是拉氏變換的一個主要性質。

(1)一階傳感器的單位脈沖響應。

一階傳感器的傳遞函數 ，則單位脈沖響應為(2.73)

(2)二階傳感器的單位脈沖響應。

二階傳感器的傳遞函數 ，則不同阻尼度的單位脈沖響應分別為

在欠阻尼(0<ξ<1)時

在臨界阻尼(ξ=1)時(2.74)(2.75)在過阻尼(ξ>1)時

一階傳感器和二階傳感器的單位脈沖響應曲線如圖2.15所示。(2.76)圖2.15單位脈沖響應曲線

3)單位階躍響應

(1)一階傳感器的單位階躍響應。

假定傳感器在t<0時，輸入量和輸出量都為零，即x(t)=y(t)=0。但當t≥0時，輸入量突然由零增大到1，如圖2.13(b)所示。

輸入量x(t)=u(t)=1的拉氏變換Xu(s)=1/s，將它和一階傳感器的H(s)代入式(2.64)得對Yu(s)求拉氏逆變換可得一階傳感器的單位階躍響應，即

yu(t)=1－e－t/τ

(2.77)

若輸入階躍信號為

在t=0時傳感器處于穩態，則一階傳感器的階躍響應為

yu(t)=A0+(A－A0)(1－e－t/τ)

(2.78)

根據式(2.77)和式(2.78)繪出的階躍響應曲線如圖2.16所示。圖2.16一階傳感器的階躍響應曲線

例2.6用熱電阻溫度計測量熱源的溫度，將該溫度計從20℃的室溫突然插入85℃的熱源時，相當于給溫度計輸入一個階躍信號u(t)，其階躍響應曲線如圖2.16(b)所示，即

已知熱電阻溫度計的時間常數τ=6s，求經過10s后溫度計測得的實際溫度值。

解溫度計測得的實際溫度值可由式(2.78)求出，即

yu(t)=A0+(A－A0)(1－e－t/τ)

=20+(85－20)(1－e－10/6)

=72.7℃

偏離最終示值的相對誤差為

(2)二階傳感器的單位階躍響應。

將單位階躍信號u(t)的拉氏變換和二階傳感器的傳遞函數代入式(2.64)得

對Yu(s)求拉氏逆變換可得二階傳感器在不同阻尼度下的單位階躍響應：

在欠阻尼(0<ξ<1)時(2.79)在臨界阻尼(ξ=1)時

在過阻尼(ξ>1)時

同樣直接對二階傳感器的單位脈沖響應進行積分，也可得出上述表達式。(2.80)(2.81)二階傳感器的單位階躍響應曲線如圖2.17所示。圖2.17二階傳感器的階躍響應曲線

4)單位斜坡響應

根據上述對傳感器的分析，由單位斜坡信號和傳遞函數，或直接對單位階躍響應進行積分，也可直接得到單位斜坡響應。

(1)一階傳感器的單位斜坡響應。

yr(t)=t－τ+τe－t/τ

(2.82)

(2)二階傳感器的單位斜坡響應。

在欠阻尼(0<ξ<1)時(2.83)在臨界阻尼(ξ=1)時

在過阻尼(ξ>1)時(2.84)(2.85)2.2.2傳感器動態特性參數的測定

1.用頻率響應法測定動態特性參數

1)一階傳感器的時間常數

由圖2.9所示的幅頻特性曲線和相頻特性曲線可知，當靜態靈敏度S=1、幅頻特性函數A(ω)=0.707、相頻特性函數φ(ω)=－45°時，所對應的橫坐標ωτ=1，查出該點對應正弦輸入信號的角頻率ωi，就可得到一階傳感器的時間常數τ，即(2.86)

2)二階傳感器的阻尼度和固有角頻率

由圖2.11(a)所示的幅頻特性曲線可知，在阻尼度ξ<0.7的情況下，幅頻特性曲線的共振點在稍偏離固有角頻率ωn的ωi處，且

此時，共振點幅頻特性函數A(ωi)的峰值為(2.87)(2.88)

2.用階躍響應法測定動態特性參數

1)一階傳感器的時間常數

由圖2.16(a)所示單位階躍響應曲線可知，當時間t=τ時，單位階躍響應y(t)=0.632。因此，只要給傳感器施加一個單位階躍信號，記錄輸出波形并找出輸出量等于最終穩態值63.2%的點，該點所對應的時間就等于時間常數τ。不過這樣求取的時間常數，因為未涉及階躍響應的全過程，所得

到的時間常數僅僅取決于某個瞬時值，所以測量結果的可靠性很差，并且也無法判斷該傳感器是否真正是一階傳感器。若用下述方法確定時間常數τ，可以獲得較為可靠的測量結果。一階傳感器的單位階躍響應式(2.77)可改寫為

1－yu(t)=e－t/τ

兩邊取對數

令Z=ln［1－yu(t)］，則

上式表明，Z與t呈線性關系。根據測得的單位階躍響應yu(t)值，作出Z與t的關系曲線，如圖2.18所示。曲線的斜率在數值上等于－1/τ，量取Δt所對應的ΔZ值，可計算得(2.89)這種方法充分考慮了瞬態響應的全過程。若傳感器確實是一個典型的一階傳感器，則Z與t的關系曲線是一條嚴格的直線。當測得單位階躍響應后，取若干組ti、yi(t)的值，計算出相應的Zi并依次在圖2.18上描點，如果所有各點均勻分布在一條直線上，說明該傳感器是一階傳感器，否則就不是一階傳感器。圖2.18一階傳感器的判斷

2)二階傳感器的阻尼度和固有角頻率

從不失真的角度看，二階傳感器均應為欠阻尼傳感器。典型的欠阻尼二階傳感器的單位階躍響應式(2.79)表明，瞬態響應是以 的角頻率作自由衰減振蕩的，ωd稱為單位階躍響應的阻尼振蕩角頻率，其阻尼振蕩周期為

欠阻尼二階傳感器的單位階躍響應曲線如圖2.19所示。(2.90)圖2.19欠阻尼二階傳感器的單位階躍響應按照求極值的通用方法，可以求出各振蕩峰值所對應的時間t=0,π/ωd,2π/ωd,…將t=π/ωd代入式(2.79)，經計算可求得最大過沖量

由此式可得(2.91)從二階傳感器的單位階躍響應曲線上測取最大過沖量M1，將其代入式(2.91)即可求出阻尼度ξ。

如果不僅能測取最大過沖量M1，而且還能測得單位階躍響應的整個瞬變過程，那么就可利用任意兩個過沖量Mi和Mi+n求出阻尼度。

設過沖量Mi對應的時間為ti，過沖量Mi+n對應的時間為ti+n，而且ti與ti+n之間的間隔為n個整數周期nTd，則ti+n可用ti表示成將它們分別代入式(2.79)，即可求得過沖量Mi和Mi+n，由此可得

整理后可得

其中(2.92)計算阻尼度ξ時，首先從二階傳感器的單位階躍響應曲線上直接測取相隔n個周期的任意兩個過沖量Mi和Mi+n，然后將其比值取對數求出δn，再代入式(2.92)便可求出阻尼度δ的數值。

當阻尼度ξ<0.1時， (其誤差小于0.6%)，則

δn≈2nπξ

式(2.92)可簡化為(2.93)若傳感器確實是典型的二階傳感器，則式(2.92)嚴格成立，此時用n=1、2、3…和對應的過沖量Mi、Mi+n分別求出的阻尼度ξ值均應相等。若分別求出的阻尼度ξ值都不相等，則說明該傳感器不是二階傳感器。阻尼度ξ值之間的差別越大，說明該傳感器與二階傳感器的差別就越大。由式(2.90)可求得固有角頻率為(2.94)

例2.7給某加速度傳感器突然加載，得到的階躍響應曲線如圖2.20所示，求該傳感器的阻尼度和固有頻率。圖2.20二階傳感器的階躍響應示例

解由圖中實際測量得：M1=15mm、M3=4mm，在0.01s的標線內有4.1個衰減的波形，則阻尼振蕩周期為

為了計算阻尼度ξ的數值，首先求出

計算中選用了n=2，代入式(2.92)得再將阻尼度ξ和周期Td代入式(2.94)可得固有角頻率為

固有頻率為

計算阻尼度誤差為5%，計算固有頻率誤差為2.5%，其中包括傳感器參數選配誤差和階躍響應曲線的測取誤差。2.2.3傳感器的不失真條件

輸入量經過傳感器后，一般來說輸出量必然與輸入量之間存在差異，這就是說，信號在傳輸、轉換過程中將產生失真。時不變線性傳感器產生的失真一般由兩種因素造成：一種是傳感器對輸入量中各頻率分量的幅值將產生不同程度的放大或衰減，從而使各頻率分量的相對幅值發生變化而引起失真，稱為幅值失真；另一種是傳感器對各頻率分量的相對相位發生變化而引起失真，稱為相位失真。設輸入量為x(t)，輸出量為y(t)，若要求傳感器在傳輸、轉換過程中不失真，則輸出量y(t)與輸入量x(t)應滿足：在幅值上允許差一個比例因子A0，在時間上允許滯后一段時間t0，即

y(t)=A0x(t－t0)

(2.95)

式中，A0和t0都是常數。式(2.95)表明，該傳感器的輸出波形和輸入波形精確地相似，只是幅值放大了A0倍，時間滯后了t0，如圖2.21所示。圖2.21不失真傳輸波形根據式(2.95)來