一次函數綜合

知識梳理

1.正比例函數解析式的確定

確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式丫=入(]<加)中的常數k,其基本步驟是：

(1)設出含有待定系數的函數解析式y=kx(WO)；

(2)把已知條件(自變量與函數的對應值)代入解析式，得到關于系數k的一元一次方程；

(3)解方程，求出待定系數k;

(4)將求得的待定系數的值代回解析式.

2.正比例函數與一次函數圖像之間的關系

一次函數丫=入+13的圖像是一條直線，它可以看成是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到的(當b>0時，向上

平移；當b<0時,向下平移).

3.直線y=kx+b的圖像和性質與k,b的關系

k>0,b>0時，圖像經過第一、二、三象限;

k>0,b<0時.圖像經過第一、三、四象限;

k>O,b=O時,圖像經過第一、三象限；

k<0,b>0時，圖像經過第一、二、四象限;

k<0,b<0時，圖像經過第二、三、四象限;

k<O,b=O時，圖像經過第二、四象限；

k>0時，圖像從左到右上升，y隨x的增大而增大；

k<0時，圖像從左到右下降，y隨x的增大而減小.

4.直線yr=kx+b與y2=kx圖像的位置關系

⑴當b>0時，將y2=依圖像向x軸上方平移b個單位，就得至U%=依+6的圖像.

⑵當b<0時，將y2=kx圖像向x軸下方平移-b個單位，就得到了yr=kx+b的圖像.

典型例題

例1

已知直線l:y=-2x+2.

(1)求直線1與坐標軸的交點坐標；

⑵求此一次函數的圖像與兩坐標軸所圍成的三角形的面積

解⑴x=0時,y=2

y=0時,x=l

因此與x軸的交點為(1,0),與y軸的交點為(0,2).

1

(2)-x1x2=1.

21

例2xd

如圖9-1所小，已知直線11經過點A(2,0)與點B(0,l),另一條直線％經過點B,且與x審相阻于點P(a,0),右△AP

B的面積為3,求a的值.________一

1110\力、\x

分析AAPB的面積為；xAPxOB,OB=l,AP=|a-2|解SAPB=jx>lPxOB=jxlx|a42|=3\

a=8或-4

圖9-1

例3

某市實施“限塑令”后，2008年大約減少塑料消耗約4萬噸.調查分析結果髀，從2008笠尹臺，五年內該市因

實施“限塑令”而減少的塑料消耗量y(萬噸)隨著時間x(年)逐年呈直線上升，丫與峰之間的圖9-2所示.

⑴求y與x之間的關系式；4............，：

⑵請你估計，該市2011年因實施“限塑令”而減少的塑料消耗量為多少？

分析由圖像可知函數圖像經過點(2008,4)和(2010,6).設函數的解析式為:y=k^6得電轆甘^胃解得

12力。4,再求出x=20U所對應的函數值圖9-2

解⑴設y=kx+b,由題意狷

(2008k+b=4解得(k=1

l2010fc+b=6'陰g"=-2004

所以y=x-2004;

(2)當x=2011時,y=2011-2004=7,

所以該市2011年因“限塑令”而減少的塑料消耗量約為7萬噸.

黃巖島是我國南沙群島的一個小島，漁產豐富.一天某漁船離開港口前往該海域捕魚才甫撈一段時間后，發現一

外國艦艇進入我國水域向黃巖島駛來，漁船向漁政部門報告，并立即返航.漁政船接到報告后，立即從該港口出發

趕往黃巖島.圖9-3所示是漁政船及漁船與港口的距離s和漁船離開港口的時間t之間的函數圖像.(假設漁船與漁政

船沿同一航線航行.)誨.人

(1)直接寫出漁船離港口的距離s和它離開港口的時間t的函數關系式.150—

(2)求漁船和漁政船相遇時，兩船與黃巖島的距離./i

⑶在漁政船駛往黃巖島的過程中，漁船從港口出發經過多長時間與漁政船力輸3海融.

2113〃小時

分析(1)由圖像可得出漁船離港口的距離s和它離開港口的時間t的函數關漆式，分為三段求函數關系式；

(2)由圖像可知，當8<t<13時，漁船和漁政船相遇，利用“兩點法”求漁政船的函數樊索式,再與這個時間段,

漁船的函數關系式聯立，可求相遇時，離港口的距離，再求兩船與黃巖島的距離；

(3)在漁政船駛往黃巖島的過程中，8<t<13,漁船與漁政船相距30海里，有兩種可能：

circlets,和-s有^用=30;

將函數關系式代入，列方程求t.

解(1)設直線解析式為丫=1?+h

當0<t<5時圖像經過原點，所以b=0,經過點(5,150),代入可得s=30t

當5<t<8時直線平行于x軸,y值都等于150,故s=150

當8<t<13時直線從左往右下降，經過點(8,150)和點(13,0),代入求出s=-301+390

(2)漁政船離港口的距離與漁船離開港口的時間的函數關系式設為s=kt+b

(0=8fc+h

[150=yfc+b

解得:k=45b=-360

所以s=45t-360

fs=45t—360

L=-30t+390

解得t=10,s=90

漁船離黃巖島距離為150-90=60（海里）

（3）S漁=-30t+390

S漁政=45t-360

分兩種情況：

①S漁一S漁政=30,—30t+390—（451—360）=30

解得t若

②S漁政-S）fi=30,45t—360—（-30t+390）=30

解得八年

所以當漁船離開港口9.6小時或10.4小時時，兩船相距30海里.

雙基訓練

1.正方形的邊長是a,面積為S,那么S與a之間的函數解析式是（）.

A.S=4aB.S=a2C.S—6a2D.S=a3

2.函數y=高的自變量x的取值范圍是（）.

A.x>lB.x<-1C.x>-1D.x>-l

3.如圖9-4所示，小亮在操場上玩，一段時間內沿M-ATB-M的路徑勻速散步，能近似刻畫小亮到出發點

M的妲離y與時間x之間關系的函數圖像是（）.

4.某一次函數的圖像經過點（-1,2）,且函數y的值隨自變量x的增大而減小，則下列函數符合上述條件的是（

).

A.y=4x+6B.y=-x八

y=-x

C.y=-x+2D.y=-3x-l\A/

5.如圖9-5所示，一次函數圖像經過點A,且與正比例函數尸-x的圖像交于點B,則該二癖勺表達式為（

)./Z-iokx

A.y=-x+2B.y=x+2

圖9-5

C.y=x-2D.y=-x-2

6.兩條直線yi=ax+b與y?=b%+a在同一坐標系中的圖像可能是下列圖中的（）.

7.已知x滿足-5<xW5,%=久+1,>2=-2%+4對任意一個x,m都取,y2中的較小值，則m的最大值

是().

A.lB.2C.24D.-9

8.甲、乙兩輛摩托車分別從A、B兩地出發相向而行，圖9-6中I1,k分別表示甲、乙兩輛摩托車與A地的距

離s(千米)與行駛時間t(小時)之間的函數關系.則下列說法：

①A,B兩地相距24千米；

②甲車比乙車行完全程多用了0.1小時；

③甲車的速度比乙車慢8千米/時；

④兩車出發后，經過盤小時兩車相遇.

其中正確的有().

9.若P(-7,3a+2)在直線y=x上廁a=

10.如圖9-7所示，一次函數y=kx+b(k<0)的圖像經過點A.當y<3時,x的取值范圍是__.

11.如圖9-8所示,已知一條直線經過點A(0,2)、點B(l,0),將這條直線向左平移與x軸、y軸分別交與點C、點

D.若DB=DC,則直線CD的函數解析式為.

12.如圖9-9所示,一系列“黑色梯形”是由x軸、直線y=皆比和過x軸上的正奇數1,3,5,7,9,…所對

應的點且與y軸平行的直線圍成的.從左到右，將其面積依次記為S1,S2，S3,…，

Sn,則Si=,S回=.

13.已知一次函數y=kx+b的圖像經過點A(2,0)與B(0,4).

⑴求一次函數的表達式，并在直角坐標系內畫出這個函數的圖像.

⑵如果(1)中所求的函數y的取值范圍為-4SyS4,求相應的x的取值范圍.

14.如圖9-10所示，直線y=2x+3與x軸相交于點A,與y軸相交于點B.

(1)求A,B兩點的坐標.

⑵過點B作直線BP與x軸相交于P,且使OP=2OA或AABP的面積.

15.已知y與x+2成正比例，且x=l時,y=-6.

⑴求y與x之間的函數關系式.

⑵若點(a,2)在函數的圖像上，求a的值

16.直線y=kx+b過點(-2,2)且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1,求直線的解析式.

17.一次函數y=七刀-4與y=七%都經過(2,-1)點,求這兩個函數的圖像與x軸所圍成的三角形的面積

圖9-11

19.已知A,B的坐標分別為(-2,0),(4,0),點P在直線y="+2上.

⑴如果△ABP的面積為12,求點P的坐標

(2)如果△ABP為直角三角形，求點P的坐標.

20.為提醒人們節約用水，及時修好漏水的水龍頭，兩名同學分別做了水龍頭漏水實驗，他們用于接水的量筒

最大容量為100毫升.

實驗一：

小王同學在做水龍頭漏水實驗時，每隔10秒觀察量筒中水的體積，記錄的數據如表9-1所示(漏出的水量精確

到1毫升):

表9-1

1234567

時間t/秒

0000000

1112

漏出的水量V/毫升258

1470

⑴在圖9-12所示的坐標系中描出表9-1中數據對應的點.

(2)如果小王同學繼續實驗，請求出多少秒后量筒中的水會滿溢出(精確到1秒).

(3)按此漏水速度，一小時會漏水一千克(精確到0.1千克).

/毫升■力毫升

20200

18180

16160

140

120

100

8--r-r-r-T-T-TT-n-n--i80

6-r-r-r-T-T-TT-?-n--?--i--r-r-i60T-T

40

2—L-L-1-1-1-J-J-J.J.20

010203040506070〃秒020406080100120140〃秒

圖9-12圖9-13

實驗二：

小李同學根據自己的實驗數據畫出的圖像如圖9-13所示，為什么圖像中會出現與橫軸“平行”的部分?

能力提升

21.直線卜.y=k1X+6與直線/2:y=比久在同一平面直角坐標系中的圖像如圖9-14所示，則關于x的不等式

krx+b>七x的解為（）.

A.x>-lB.x<-lC.x<-2D.無法確定

22.如圖9-15所示，一次函數圖像經過點A,且與正比例函數.y=-久的圖像交于點B,則該一次函數的表達

式為（）.

A.y=-x+2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x—2

23.定義（p,q）為一次函數y=px+q的特征數.若特征數是（2,k-2）的一次函數為正比例函數，則k的值是（）.

A.OB.-2C.2D.任何數

24.如圖9-16所示，一次函數與反比例函數的圖像相交于A,B兩點，則圖中使反比例函數的值小于一次函數

的值的x的取值范圍是—.

25.如圖9-17所示，圖中I1反映了某公司產品的銷售收入與銷售量的關系，12反映了該公司產品的銷售成本

與銷售量的關系，根據圖中信息可知，若該公司要贏利（收入大于成本），則x的取值范圍是____.

26在同一個直角坐標系中，對于函數①y=-x--l,②y=x+l,③y=-x+l,④y=-2（x+l）的圖像下列說法：

⑴經過點(-1,0)的是①和③；

⑵交點在y軸上的是②和④；

(3)相互平行的是①和③；

(4)關于x軸對稱的是②和③.

其中正確的是(填序號)

27.已知直線l：y=-2x+2,且點T(t-1)在直線1上，

⑴求OT所在直線的解析式.

(2)求直線1和直線OT與x軸所圍成的圖形面積.

28.如圖9-18所小，已知直線11經過點A(-l,0)和點B(2,3),另一條直線L經過點B,且與x軸相父于P(m,0).

(1)求直線11的解析式.

⑵若△APB的面積為3,求m的值.

29.如圖9-19所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=-|x+1的圖像與x軸、y軸分別交于A,B兩點.

(1)求點A,B的坐標.

⑵點C在y軸上，當SABC=2s40B時，求點C的坐標.

圖9-19

30.已知直線li過點A(0,2),B(2,-2)兩點,且直線12過點A且直線11L與x軸圍成的三角形的面積為4,求直線

11,12的解析式.

拓展資源

3L如圖9-20所示把RtAABC放在直角坐標系內，其中/CAB=9(T,BC=5,點A,B的坐標分別中(1,%4,0),將4A

BC沿x軸向右平移，當點C落在直線y=2x-6上時線段BC掃過的面積為().?V

D.8&

32.如圖9-21所示，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-梟+8與x軸、y軸分別交于點以？-點B,點D在y

軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊點B恰好落在x軸正半軸上的點C處.

(1)求AB的長和點C的坐標.\

(2)求直線CD的解析式.\/

圖9-21

33.如圖9-22所示，已知直線PA是一次函數.y=x+幾(九＞0)的圖像，直線PB是一次函數y=-2x+m(m)n)

的圖像

(1)用m,n表示出A,B,P點的坐標.

⑵若點Q是直線PA與y軸的交點,且四邊形PQOB的面積為1,AB=2,試求點P的坐標，并寫出直線PA與P

O

B的解析式.

ffl9-22

34.如圖9-23所示，已知直線Ei經過點A（2,0）與點B（0,1）,如果在第二象限內有一點P（嗎）,且△4PB的面積

35.⑴操作發現

如圖9-24所示，在等邊.A力BC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B,C）,連接AM,以AM為邊作等邊△

力MN,.連接CN,猜想NABC與/ACN有何數量關系？并證明你的結論.

⑵類比探究

如