反比例函數(shù)

知識梳理

1.反比例函數(shù)的定義

形如y=如是常數(shù)，厚0)的形式，那么y就稱為x的反比例函數(shù).

2.反比例函數(shù)的三種不同表達形式

⑴y=X-

(2)y=kx'1.

(3)xy=k.

反比例函數(shù)y=](k*0)的圖像是由兩支曲線組成的，這兩支曲線常稱為雙曲線.

說明：⑴雙曲線的兩個分支不能夠連接起來.

⑵兩個分支無限靠近x軸和y軸，但是永遠與它們不相交.

⑶圖像既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.

(4)畫反比例函數(shù)圖像時通常先畫出一個分支，然后根據(jù)對稱性畫出另一個分支.

3.反比例函數(shù)的性質(zhì)

(1)當k>0時，在每個象限內(nèi)分別是y隨x的增大而減小.

⑵當k<0時，在每個象限內(nèi)分別是y隨x的增大而增大.

典型例題

例1

如果反比例函數(shù)y=B的圖像經(jīng)過點(34),那么k的值是().

43

A.-12B.12C.--D.--

34

分析反比例函數(shù)中函數(shù)與自變量成反比例關(guān)系.

解A

例2

函數(shù)y=40)的圖像過點(2,-2),則此函數(shù)的圖像在平面直角坐標系中的().

A.第一、三象限B.第三、四象限

C.第一、二象限D(zhuǎn).第二、四象限

分析k>0時圖像在一、三象限，k<0時圖像在二、四象限.

解因為k<0,所以圖像在二、四象限，故選D.

例3

若M（—3%）,'（-［，刈）,「（?乃）三點都在函數(shù)y=：（k<0）的圖像上，貝!!.以、小丫3的大小關(guān)系為（）.

472>73>yis.y2>yi>y3

c.y3>yi>y2D.y3>y2>yi

分析本題可利用反比例函數(shù)的性質(zhì)也可由反比例函數(shù)的圖像得出.

解B

例4

點P既在反比例函數(shù)y=-久久〉0）的圖像上，又在一次函數(shù)y=-x-2的圖像上，則點P的坐標是—.

分析交點坐標就是兩函數(shù)解析式聯(lián)立所得的解.

解（1,-3）

雙基訓練

1.下列函數(shù)中，圖像經(jīng)過點（1,-1）的反比例函數(shù)解析式是（）.

1—12—2

A.y=-XBX.y=—XC.y=-DX.y=—

2.已知反比例函數(shù)y=|,則這個函數(shù)的圖像一定經(jīng)過（）.

A.（2,l）B.（2,-l）C.（2,4）?（一注）

3.在反比例函數(shù)y=（圖像的每一支曲線上,y都隨x的增大而減小,則k的取值范圍是（）.

A.k>3B.k>0C.k<3D.k<0

4.某數(shù)學課外興趣小組的同學每人制作一個面積為200平方厘米的矩形學具進行展示.設(shè)矩形的寬為x厘米,

長為y厘米，那么這些同學所制作的矩形長y（厘米）與寬x（厘米）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是（）.

5.對于反比例函數(shù)y=|,下列說法不正確的是（）.

A點（-2,-1）在它的圖像上B.它的圖像在第一、三象限

C.當x>0時,y隨x的增大而增大D.當x<0時，y隨x的增大而減小

6.函數(shù)y=x+m與y=/(TH。0)在同一坐標系內(nèi)的圖像可以是().

7.反比例函數(shù)y=(伏牛0)的圖像經(jīng)過點(2,5),若點(1,n)在反比例函數(shù)的圖像上，則n等于().

1

A.10B.5C.2D.—

10

8.反比例函數(shù)y=其公0)在第一象限內(nèi)的圖像如圖20-1所示，點M是圖像上的一點，MP垂直x軸于點P,

如果△MOP的面積為1,那么k的值是().

A.1B.2

C.4D.V2

圖20-1

9.已知反比例函數(shù)y=-g的圖像經(jīng)過點P(a+1,4)廁a=

10.反比例函數(shù)y=圖像上一個點的坐標是.

11.請寫出一個圖像在第二、四象限的反比例函數(shù)關(guān)系式：—.

12.已知反比例函數(shù)y=其圖像在第一、三象限內(nèi)，則k的值可為(寫出滿足條件的一個k值即可).

13.在△ABC的三個頂點人(2,-3)取-4,-5),€：(-3,2)中,可能在反比例函數(shù))7=久公0)的圖像上的點是—.

14.已知點C為反比例函數(shù)y=-江的一點，過點C向坐標軸引垂線，垂足分別為A,B,那么四邊形AOBC

的面積為.

15.已知點A是反比例函數(shù)y=圖像上的一點.若AB垂直于y軸，垂足為B,貝必AOB的面積為一.

16.如圖20-2所示，點A,B是雙曲線y=:上的點，分別經(jīng)過A,B兩點向x軸、y軸作垂線段，若S陰影=1,

17.如圖20-3所示，反比例函數(shù)y=^(fc<0)的圖像與經(jīng)過原點的直線1相交于A,B兩點,已知點A坐標為(-2,

1),那么點B的坐標為—.

18.已知正比例函數(shù)y=fcixCfci豐0)與反比例函數(shù)y=號也2手0)的圖像交于A,B兩點，點A的坐標為(2,1).

⑴求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式.

⑵求點B的坐標.

19.如圖20-4所示,直線.y=kx+b與反比例函數(shù)y=§Q<0）的圖像相交于點A,B,與x軸交于點C,其

中點A的坐標為（（-2,4）,,點B的橫坐標為-4.

⑴試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；

⑵求△40C的面積

20.如圖20-5所示，已知直線y=jx與雙曲線y=1（k）0）交于A,B兩點，且點A的橫坐標為4.

⑴求k的值.

（2）若雙曲線y.（幻0）上一點C的縱坐標為8,求△40C的面積.

能力提升

21.若函數(shù)y=（m+2）問-3是反比例函數(shù),則m的值是（）.

A.2B.-2C.±2D.0

22.已知點.4（—3,g）,B（-2-y2）,。（3,、3）都在反比例函數(shù)y=用勺圖像上，則（）.

4yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<y1<y2D.y2<yi<乃

23.已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+l和反比例函數(shù)y=;的圖像都經(jīng)過點（2,m）,則一次函數(shù)的解析式是一

24.當x>0時，兩個函數(shù)值y,一個隨x增大而增大，另一個隨x的增大而減小的是（）.

A.y=3x與y=§B.y=-3x與y=：

C.y=-2x+6與y=：D.y=3x-15與y=~~

25.如圖20-6所示，已知反比例函數(shù)y=（的圖像上有點P,過點P分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為

A,B,使四邊形OAPB為正方形，又在反比例函數(shù)圖像上有點P］，過點Pi分別作BP和y軸的垂線，垂足分別為

27.如圖20-8所示，在平面直角坐標系中，一次函數(shù).y="+1的圖像與反比例函數(shù)y=（的圖像在第一象限

相交于點A,過點A分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點B,C.如果四邊形OBAC是正方形，求一次函數(shù)的關(guān)系

式.

圖20-8

28.如圖20-9所示，已知一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=豐0)的圖像在第一象限內(nèi)有兩個不同的公共

點A,B.

(1)求實數(shù)k的取值范圍.

⑵若AAOB的面積為24,求k的值.

29.如圖20-10所示，反比例函數(shù)y=-:與一次函數(shù)y=-x+2的圖像交于A,B兩總求

(1)A,B兩點的坐標.

⑵△AOB的面積.

圖20-10

30.如圖20-11所示,四邊形ABCD是平行四邊形,人(1,0)取3,1),(2(3,3).反比例函數(shù)y=?(盼0)的函數(shù)圖像經(jīng)過點

D,點P是一次函數(shù).y=kx+3-3k(k*0)的圖像與該反比例函數(shù)圖像的一個公共點.

(1)求反比例函數(shù)的解析式.

(2)通過計算，說明一次函數(shù)y=kx+3-3k(k豐0)的圖像一定過點C.

(3)對于一次函數(shù).y=kx+3-3k(k豐0),當y隨x的增大而增大時，確定點P的橫坐標的取值范圍(不必寫出

圖20-11

拓展資源

31.正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=:的圖像相交于A,C兩點AB_Lx軸于B,CD_Lx軸于D,如圖20-12所示,

則四邊形ABCD的面積為

020-12圖20-13

32.如圖20-13所示，P是反比例函數(shù)圖像在第二象限上的一點，且矩形PEOF的面積為8,則反比例函數(shù)的表

達式是

33.在y=成勺圖像中，陰影部分面積為1的有（）.

34.如圖20-14所示,雙曲線y=\⑻0）經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點E,交AB于點D,若梯形ODBC的面

圖20-14

35.如圖20-15所示，點A(m>m++3<m-1)都在反比例函數(shù)y=:的圖像上.

(1)求m,k的值.

(2)若M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A,B,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形，則這樣的四邊

形有幾個?請直接寫出此時平行四邊形的四個頂點的坐標.

第20講

1.B2.A3.A4.A5.C

6.B7.A8.B9.-310.(1,-6)(答案不唯一)

H.y=-：答案不唯一)(12.3(答案不唯一)

13.B14.615.116,417.(2,-1)

18.(l)y=py=：;(2)(_2，_1)

P

19.(l)y=-5;(2)12.

20.(1)8;(2)15.

21.A22.D23.y=x+l24.A25.(牛，雪)

26.(l)/c=4,y=(，所以m=2.

所以一次函數(shù)為y=2x-2.⑵x<-l或0<x<2時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.

27.因為=OB?=9,

防松BAC

所以O(shè)B=AB=3,

所以點A的坐標為(3,3)

因為點A在一次函數(shù)y=kx+l的圖像上,

所以3k+l=3,

所以k號

所以一次函數(shù)的關(guān)系式是y=|%+l.

28.(l)0<k<16;(2)k=7

29.(1)因為一/=-x+2

所以—=—x即x2~

X+2,2%—8=0.

解得x=4,x=-2

所以A(-2,4),B(4,-2)

(2)因為M(2,0)

如答圖20-1所示連接OA和OB

所以^AOB=SMOM+SwM=2^2x4+-x2x2=6

30。)因為四