'大招瓜豆原理之曲線型

需模型介紹

運(yùn)動(dòng)軌跡為圓

問(wèn)題1.如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是?

解析：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：。點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A。，取A。中點(diǎn)則M點(diǎn)即為0點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是0P一半，任意時(shí)刻，均有△AMQS/XAOP,/一=」■=一.

POAP2

問(wèn)題2.如圖，AAPCJ是直角三角形，/PAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是?

解析：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：-：AP1AQ,；.。點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM_LA。；

又：NP：AQ=2：1,六。點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足A。：AM=2：1.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有AAPOS/\AQM,且相似比為2.

模型總結(jié)

13條件：兩個(gè)定量

（1）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；

（2）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

國(guó)結(jié)論

（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

兩圓半徑之比.

成3例題精講

【例如圖，A是EIB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在配外，已知AB=2,BC=4,I3ACD是等邊三角

形，則△3CD的面積的最大值為

解：以BC為邊作等邊△BCM,連接。

VZ￡）CA=ZMCB=60°,：.ZDCM=ZACB,

\'DC=AC,MC=BC：./\DCM^^CAB（SAS）,；.￡）M=AB=2為定值,

即點(diǎn)。在以M為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)至BC的中垂線與圓的交點(diǎn)時(shí)，

C2邊上的高取最大值為2?+2,此時(shí)面積為4?+4.

【變式17].如圖，線段AB為。。的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4,BC=2,點(diǎn)

P是O。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使NOCP=60°,

連接0。，則。。長(zhǎng)的最大值為（）

A.Vl9B.273C.273+1D.4

解：如圖，作△COE,使得NCEO=90°,/ECO=60°,連接OP,貝!]CO=2CE,OE

=2?,Z0CP=ZECD,

：/CZ）P=90°,ZDCP=60°,

：.CP=2CD,

?.C?—O_—1CP乙

CECD

:AC0Ps/\CED,

?.O?P-_-C-P-乙，

EDCD

即ED=^OP=\（定長(zhǎng)）,

2

:點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，

...點(diǎn)。在半徑為1的OE上，

OD^OE+DE,

：.ODW2^3+1.

：.OD的最大值為W§+1，

故選：C.

【變式1-2].如圖，己知正方形4BCZ)的邊長(zhǎng)為4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是OC

上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)Q,連接BQ,則BQ的

B.472+2c.2V2+4D.273+4

解：連接A。，CP,

J.AD^DC,NAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)得:

DP=DQ,ZQDP=90a,

ZADC-ZQDC=ZQDP-ZQDC,

：.ZADQ=ZCDP,

：./\ADQ^/\CDP(SAS),

；.AQ=CP=2,

.?.點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的圓上，

當(dāng)點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線時(shí)，8。的值最大，如圖所示:

的最大值=42+40=4+2=6,故選：A.

【例2】.四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)尸是平面內(nèi)一點(diǎn).且滿足BPLPC,現(xiàn)將

點(diǎn)P繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值=2+2JR.

AZBPC=90°,

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以BC為直徑的圓，

'：PD.LDQ,PD=QD,

.?.點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，且和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是等圓，圓心。在8A的延長(zhǎng)線上，

（可以利用旋轉(zhuǎn)法證明：取2C的中點(diǎn)E,連接。E,PE,將△OEC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到△ZM。，連接O。，只要證明即可，推出OQ=PE=的值）

在RtZ\BOC中，OC=依24cl/="+$2=2>/13，

當(dāng)點(diǎn)。1在C。的延長(zhǎng)線上時(shí)，CQ1的長(zhǎng)最大，最大值為2+2/石，

故答案為2+2J石.

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，線段AB=4,M為48的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離是1,連接P8,

線段

PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PC,連接AC,則線段AC長(zhǎng)度的最大值是二血.

解：以AB為斜邊向上作等腰直角△A/B,連接CJ,BC.

'：AM=BM,

：.JM=AM=MB,

4JMB是等腰直角三角形，

△PBC是等腰直角三角形，

:.BJ=?BM,BC=4^PB,/MBJ=/PBC=45°,

ZMBP=ZJBC,

..JB=BC

,MB薩，

...AJBCsAMBP,

.?工=?=&,

PMBM

.?.點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)軌跡是以/為圓心，弧為半徑的圓，

'：AJ-亞

2

：.AC^AJ+JC=3y]2故線段AC長(zhǎng)度的最大值為3&.

【變式2-2].如圖，A2=4,。為AB的中點(diǎn)，O。的半徑為1,點(diǎn)尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，以

PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)尸、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校瑒t線段AC的長(zhǎng)

的取值范圍為'2WACW3旅.

AOB

解：如圖，作OK_LAB,在OK上截取OK=OA=OB,連接AK、BK、KC、OP.

；0K=04=0B,OK±AB,

：.KA=KB,ZAKB=9Q°,

:AAKB是等腰直角三角形,

'：ZOBK=ZPBC,

：.ZOBP=ZKBC,

..QB_PB_V2

'BKBCT)

:.△OBPs^KBC,

.?&=匹=&,*.?。尸=1,

OPPB

，KC=&,

.?.點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓,

AK=?OA=2?

；.AC的最大值為3加,AC的最小值

:?近WACW3?

故答案為&WACW372-

1.如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=&在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)8,

x

以A8為斜邊作等腰Rt^ABC,點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷

的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為（）

解：作AOLx軸與點(diǎn)D連接0C,作CELy軸于點(diǎn)E,

「△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

AOC^OA,CO1AO,

：.ZCOE=Z.AOD,

'：ZOEC=ZODA=90°,

...△OEC<△OZM（A4S）,

：.OD=OE,AD=CE,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)A為（y,~x）,

:點(diǎn)A是雙曲線y=2上，

-yx=4,

???町=-4,

...點(diǎn)C所在的函數(shù)解析式為：y=3,

X

故選：C.

2.在中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上

一點(diǎn)，連接8。，M為3。的中點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)度的最大值為（）

A.7B.3.5C.4.5D.3

解：取AB的中點(diǎn)E,連接4￡＞、EM、CE.在直角△ABC中,

E是直角AABC斜邊上的中點(diǎn),

：.CE=—AB=2.5.

2

是3D的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，

：.ME=—AD^\.

2

V2.5-1WCMW2.5+1,

即1.5WCMW3.5.

最大值為3.5,

故選：B.

3.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=4,3C=3,點(diǎn)。是AB的三等分點(diǎn)，半圓0

與AC相切,M,N分別是5C與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是()

A.5B.6C.7D.8

解：如圖，設(shè)。。與AC相切于點(diǎn)。，連接OO,作。尸，BC垂足為尸交。。于凡

此時(shí)垂線段。尸最短，尸尸最小值為。尸-0R

VAC=4,BC=3,

.\AB=5

9：ZOPB=90°,

J.OP//AC

:點(diǎn)。是AB的三等分點(diǎn)，

?CR_2YV10OPOB2

33ACAB3

：.OP=里,

3

???0。與AC相切于點(diǎn)。，

：.OD±AC,

.,.OD//BC,

?OD=OA=_1

"BCAB§，

：.OD^1,

MN最小值為OP-OF=芻-1=2

33

如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與8重合時(shí)，MN經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，

最大值=9+1=衛(wèi)，

33

長(zhǎng)的最大值與最小值的和是6.

故選:B.

4.如圖，一次函數(shù)y=2無(wú)與反比例函數(shù)y=K(k>0)的圖象交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在以C

X

(-2,0)為圓心，1為半徑的。。上，。是A尸的中點(diǎn)，已知0。長(zhǎng)的最大值為3,則

2

解：連接2尸，

由對(duì)稱性得：OA=OB,

是4尸的中點(diǎn),

OQ=—BP,

2

長(zhǎng)的最大值為3,

2

2尸長(zhǎng)的最大值為旦X2=3,

2

如圖，當(dāng)2尸過(guò)圓心C時(shí)，最長(zhǎng),過(guò)2作BDLx軸于D,

VCP=1,

：.BC=2,

?.?8在直線〉=2天上，

設(shè)B(f,2/),則CD=t-(-2)=什2,BD=-It,

在RtzXBCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD1,

：.22=（什2）2+（-2力2,

t=0（舍）或-4，

5

：.B（-A,-A）,

55

..?點(diǎn)8在反比例函數(shù)>=工（％>0）的圖象上，

x

Ak---X（'）=絲；故選：C.

5'5'25

5.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=2,4。=3,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是4。邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到ER則A'C的長(zhǎng)的最小值是()

D

A.B.3C.-713-1D.V10-1

2

解：以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)A'在線段CE上時(shí)，A'C的

長(zhǎng)取最小值，如圖所示.

根據(jù)折疊可知：A'E=AE=—AB=1.

2

在RtaBCE中，BE=^AB=1,BC=3,ZB=90°,

2

CE=VBE2+BC2=，

C的最小值=位-4'￡=5/io-1.

6.如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,NACB=30°,BC=2?,△ADC與△ABC關(guān)

于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、尸分別是邊。C、BC上的任意一點(diǎn)，且。E=CRBE、相交于點(diǎn)

P,則CP的最小值為（）

A.1B.V3C.—D.2

2

解：如圖1,連接8D,

RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2?,

：.AB=2,AC=4,

??AADC與AABC關(guān)于AC對(duì)稱，

:?BC=DC,ZACD=ZACB=30°,

：.ZBCD=60°,

???aBDC是等邊三角形，

:?BD=CD,ZBDC=ZBCD=60°,

■:DE=CF,

:?△BDE/ADCF,

：./BED=NDFC,

VZBE￡)+ZPEC=180°,

AZPEC+ZDFC=180°,

/.ZDCF+ZEPF=ZDCF+ZBPD=1SO°,

?.?NDC/=60°,

：.ZBPD=120°,

由于點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)中保持N5PD=120°,

如圖2,?,?點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為：以A為圓心，A3為半徑的120°的弧,

連接AC與圓弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)。尸的長(zhǎng)度最小，

：.CP=AC-AP=4-2=2,

則線段”的最小值為2；

故選：D.

圖1圖2

7.如圖，。。的直徑AB=4,尸為O。上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,。為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸在圓

上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是27r.

：.AO=2,

?.?。為AP的中點(diǎn)，

OQ±AP,

：.ZAQO=90°,

...點(diǎn)。在以AO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

.?.點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2m故答案為：2P.

8.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)尸是以。為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB.當(dāng)點(diǎn)尸在。。上

運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

解：如圖，連接AO、0P,將40繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得線段A。，，連接。5、OO,,

'：AO^AO',NOAO'=60°,

...△04(7為正三角形，

ZXAPB為正三角形，

AZB4B=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=ZOAO'-ZOAB,

：.Z.PAO=ABAO,

在△APO與△ABO，中，

2。=AO'

乙PAO=Z.BAO'，

.PA=BA

：.△APO^AABO,,

：.OP=O'B=2,

.??O。'即為動(dòng)點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)的路徑，

當(dāng)點(diǎn)P在。。上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是4TT

9.如圖，。。的半徑為3,為圓上一動(dòng)弦，以4B為邊作正方形ABCD求。。的最大

值3+3芯

解：如圖，連接A。，OB,將。4繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,可得4V,連接OA,A'D,

：.OA=AA'=3,ZOAA'=90°,

：.OA'=342>

?..四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAD^ZOAA'^9Q°,

：.ZOAB=ZA'AD,MOA=AA',AB=AD,

：./\OAB^/\A'AD(SAS)

：.A'D=OB=3,

在△OA'D中，OOWOA+A￡>=3&+3,

.?.點(diǎn)A,點(diǎn)。，點(diǎn)。共線時(shí)，。。有最大值為3a+3,

故答案為：3A/2+3.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B(0,4),A(3,0),OA的半徑為2,P為。4上任意

解：如圖，連接A8,取A8的中點(diǎn)H,連接C〃，OH.

,:BC=CP,BH=AH,

：.CH=^-PA=\,

2

.?.點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以以為圓心半徑為1的圓,

:B(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

；?OH=yj22+l.52=2.5,

OC的最大值=OH+CH=2.5+1=3.5,

故答案為：3.5.

11.如圖，點(diǎn)C是半圓篇上一動(dòng)點(diǎn)，以8C為邊作正方形BCDE(使前在正方形內(nèi))，連

OE,若AB=4c機(jī)，則OE的最大值為(2-J2+2)cm.

解：如圖，連接O。，OE,OC,CE,設(shè)。。與。。交于點(diǎn)連接CM,BM,

?..四邊形BCDE是正方形，

：.ZBCD=ZCBE=90°,CD=BC=BE=DE,

"：OB=OC,

：.NOCB=/OBC,

：.ZBCD+ZOCB=ZCBE+ZOBC,即/0C￡>=NOBE,

：./\OCD^/\OBE(SAS),

：.OE=OD,

過(guò)點(diǎn)。作。交0。于點(diǎn)M,連接CM,BM,

則/BCW=2NBOM=45°,

2

?..四邊形BCDE是正方形，

/.ZBCE=45°,

；.C、M,E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M在正方形BCDE的對(duì)角線CE上，

為定值，

...點(diǎn)。在以M為圓心為半徑的圓上，當(dāng)。。過(guò)圓心M時(shí)最長(zhǎng)，即OE最長(zhǎng),

VZMCB=^ZMOB=^X9Q°=45°,

22

ZDCM=ZBCM=45°,

?.?四邊形BCDE是正方形，

；.C、M,E共線，ZDEM=ZBEM,

在AEMD和中，

'DE=BE

<ZDEM=ZBEM-

ME=ME

:.AEMD咨AEMB(SAS),

DM=BM=-7OH2-K）B2=^22+22=2&（cm）,

.?.OD的最大值=（2、歷+2）cm,即OE的最大值=（2、歷+2）cm；

故答案為：（2&+2）.

12.如圖，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，O。的半徑為1,點(diǎn)A(2,0),動(dòng)點(diǎn)2在O。上，連接A8,

作等邊△ABC(A,B,C為順時(shí)針順序)，求OC的最大值與最小值.

解：如圖，以。4為邊，在。4的下方作等邊△OA。，連接BD,OC,BO,

D

,?AABC和△049都是等邊三角形，

：.AC=AB,AO=AD,ZBAC=ZOAD,

.'.ZOAC^ZBAD,

.?.△OAC咨△mg（SAS）,

OC=BD,

\"OB=1,OA=OD=2,

：.2-1W8X2+1,

.?.1WBX3,

...1W0CW3,

；.0C的最小值為1,最大值為3.

13.如圖，點(diǎn)。在線段AB上，。4=1,。2=2,以點(diǎn)。為圓心、04長(zhǎng)為半徑的圓為O。，

在。。上取動(dòng)點(diǎn)P,以尸8為邊作△PBC,使/P8C=90°,tanZPCB=A,p、B、C三

2

點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC,求AC的取值范圍.

解：如圖，作使得8〃=2。3=4,連接。尸，AM,CM.

在RtZXABM中，\'AB=OA+OB=1=2=3,BM=4,

*'?AM=VAB2+BM2=V32+42=5'

?0B=BP

"BMBC'

；NOBM=/PBC=90°,

：.ZOBP=ZMBC,

:.AOBPsdMBC,

?OP=B0=1

■"CMBMT

?；OP=1,

：.CM=2,

'：AM-CM^AC^AM+CM,

；.3WACW7.

14.已知：如圖，A3是O。的直徑，C是O。上一點(diǎn)，ODLAC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作。。的

切線，交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證：AE與O。相切；

(2)連接BD,若ED：。。=3：1,。4=9,求AE的長(zhǎng)；

(3)若A2=10,AC=8,點(diǎn)尸是O。任意一點(diǎn),點(diǎn)M是弦AF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在。。

上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____.

E

(1)證明：如圖1中，連接0C.

E

金

圖1

：.AD=DC,

：.EA=ECf

在△OEC和△0E4中，

0E=0E

0C=。4,

.EA=EC

：.AOEC^/\OEA,

：?/OAE=NOCE,

?「EC是。0切線，

：.ECLOC,

：.ZOCE=90°,

：.ZOAE=ZOCE=90°,

：.OALAEf

JAE是OO的切線.

(2)如圖1中，設(shè)。。=〃，貝ljDE=3〃，

ZAOD=ZAOE,ZODA=ZOAEf

：.AOAD^/\OEAf

.OAOD

??=,

OEOA

4^2=81,

V?>0,

?.ci-5,

???OE=18,

在RtAAOE中，AE=y/OE2-OA2=V182-92=9A/3.

(3)如圖2中，連接OM,取OA的中點(diǎn)。，，連接O'M.

E

圖2

9

：AM=MFf

：.0M1,AF,

'：AOr=OO',OA=OB=5,

1q

：.O'/=方。4=定長(zhǎng)=會(huì)

...當(dāng)點(diǎn)尸在。。上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以。'為圓心|為半徑的圓,

_5

.,.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2n=5ir.

故答案為5n.

15.若AC=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

(1)如圖1,取點(diǎn)8,使△ABC為等腰直角三角形，N8AC=90°,將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到AP.

①點(diǎn)P的軌跡是(填“線段”或者“圓”)；

②CP的最小值是；

(2)如圖2,以AP為邊作等邊△AP。(點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針?lè)较蚺帕?，在點(diǎn)尸運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中，求C。的最大值.

(3)如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)M,連接PM,則CM的最小值為

「△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

J.AC^AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP^AP,ZB4P'=90°,

/.ZB4C=ZP'AB,

AP'=AP

在ZXAB尸和ZViC尸中，z_P'2B=/.PAC,

-AB=AC

：.AABP'^AACP(SAS),

:.BP'=CP=2,即點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離等于定長(zhǎng)，

點(diǎn)尸’的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；

故答案為：圓；

②:△ABC是等腰直角三角形，AC=4,

：.BC=V2AC=4V2,

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，CP最小=BC-BP=4夜—2；

故答案為：4加—2；

(2)以AC為邊長(zhǎng)作等邊△AC。，連接。。、CP,如圖2所示:

△APQ和△ACD是等邊三角形，

：.AP=AQ,AC=AD=CD=4,APAQ=ACAD=6Q0,

：.ZDAQ=ZCAP,

AD=AC

在△ADQ和△ACP中,4DAQ=/.CAP,

,AQ=AP

：./\ADQ^/\ACP(SAS),

：.DQ=CP=2,

當(dāng)C、D、。三點(diǎn)共線時(shí)，C。有最大值=。)+。。=4+2=6；

(3)如圖3所示：M