直線與圓的關系

知識梳理

⑴直線與圓有唯一公共點時，叫作直線與圓相切.

⑵三角形的外接圓的圓心叫作三角形的外心.

(3)弦切角等于所夾的弧所對的圓心角.

(4)三角形的內切圓的圓心叫作三角形的內心.

⑸垂直于半徑的直線必為圓的切線.

(6)過半徑的外端點并且垂直于半徑的直線是圓的切線.

(7)圓的切線垂直于過切點的半徑.

典型例題

例1

已知0O的面積為971cm5若點O到直線1的距離為5cm,則直線1與。O的位置關系是.

解析該題主要考查點與圓的位置關系.

因為。0的面積為9兀cm?,

所以。0的半徑為3cm.

又因為點0到直線1的距離為5cm且5>3,

所以直線1與。。相離.

例2

如圖所示,AB是。0的直徑，點D在AB的延長線上,DC切。0于點C,若乙4=30。,則/D等于.

解析如圖所示，連接BC,OC.

因為AB是。O的直徑，

所以NBCA=90。.

又因為乙4=30°,

所以/.ABC=60°.

因為OB,OC是。O的半徑，.乙4BC=60°,

所以△OBC為等邊三角形，

所以乙BOC=60°.

又因為DC切。。于點C,

所以“CD=90°,

所以.ND=90°-NBOC=90°-60°=30°.

例3

如圖所示，AB是。O的一條弦，點C是OO上一動點，目.乙4cB=30。,點E,F分別是AC,BC的中點，直線E

F與。O交于G,H兩點.若。O的半徑為7,則(GE+FH的最大值為.

解析如圖所示，連接OA,OB.

根據圓周角定理:/AOB=2/ACB=60。.

例3圖

又因為AO=OB,ZAOB=60°,

所以△AOB為等邊三角形.

因為。。的半徑為7,

所以AB=7.

又因為E,F分別為AC.BC邊的中點，

所以EF=^AB=3.5.

又因為GE+FH=GH-EF,

所以當GH取值最大時，GE+FH的值達到最大.

當GH為0O的直徑時，取得最大值.所以最大值為14-3.5=10.5.

例4

如圖所示,OO的直徑AB=12,AM與BN是它的兩條切線，切點分別為A,B,DC切。O于點E,交AM于點D,交B

N于點C,設AD=x,BC=y，求y與x的函數解析式.

An

解析在題目中已知切線時，通常是過切點的的半徑來作輔助線.廠Tw乂

連接OD,OE,過D作DF,BC于點F./

因為0O切AM于點A,切DC于點E,1°卜、認

所以/OED=/OAD=90。.X^

又因為0D=0D,0A=0E,

例4圖

所以△OED^AOAD,

所以AD=DE=x.

同理連接OQ得到△OBC^AOEC,

所以BC=EC=y.

因為AB為。O的直徑，且AM,BN為。O的直徑，

所以/MAB=NABN=90。.

又因為DFXBC,

所以四邊形ABFD為矩形，

所以AD=BF=x,AB=DF=12.

在RtADFC中,FC=BC-BF=y-x,DC=DE+EC=x+y

則有（%+y）2+（y-x）2=122

解得y=^O>0）.

雙基訓練

1.已知0O半徑為5,直線1與。O不相交，圓心到直線I的距離為d,貝［|（）.

A.d>5B.d=5C.d>5D.0<d<4

2.若0O的半徑為R,點O到直線1的距離為d,且d與R是方程x2-6x+m=0的兩根，且直線1與。O相

切.則m的值為（）.

A.7B.8C.9D.10

3如圖所示，在RtAABC^.ZC=90°,ZB=30°,BC=4遍m,以C點為圓心，以4cm為半徑作圓，則。C與AB

的位置關系是（）,4

A.相離B.相切

C.相交D.相切或相交

4.點A在。O上，根據下列條件，能夠判斷AB與。O相切的是（）.J-----------------、

A.NO=30°,NB=45°B.OB=4,OA=3,AB=7第3題圖

C.cosO=—,sinB=—D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

22

5.已知。O的直徑為8cm,圓心到直線h,1213L的距離分別為4cm,2夜011,4121145%111,3.8?11,則與。0相切

的直線有（）.

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.如圖所示，已知等邊三角形ABC的邊長為2cm,下列以A為圓心的各圓中,半徑為2遍cm的圓是（）.

7.矩形的兩鄰邊長分別為5和10,若以較長一邊為直徑作半圓，則矩形各邊與半圓相切的線段最多有（）.

A.0條B.1條C.2條D.3條

8.在平面直角坐標系中，已知。A的圓心坐標為（2,0）,半徑為企,那么直線y=x與。A的位置關系是（）.

A.相離B.相交C.相切D.不確定

9.如圖所示,AB是。O的弦,BC與。O相切于點B,連接OA,OB.若/ABC=60。,則NA等于（）.

A.15°B.20°

C.30°D.70°

10.已知圓的直徑為12cm,圓心帶直線1的距離為5cm,那么直線1與圓的公共點個數為.

11在4ABC中,/C=9（F,AC=4,AB=5若以點C為圓心，以R為半徑作圓廁當直線AB與。C相切時，則R=—

12在RtAABC中,NC=9（T,AC=5,BC=12,若以A為圓心,R為半徑作圓與線段BC只有一個公共點，則R的取

值范圍是^一.

13.如圖所示,AB與。O相切于B,AO=13,AB=5,則。O的半徑為.

14.如圖所示,。O的半徑0c=5cm直線1_LCO,垂足為H,交。。于A,B兩點,AB=8cm,直線1平移（沿水平方向）_

—時能與。O相切.

第13題圖第14題圖第15題圖

15.如圖所示,AB是。O的切線,A為切點,AC為。O的弦，過O作ODLCA于D,且OA=AC,OB=10,AB=6,則OD

16.如圖所示，已知AB切0O于點A,OB交。O于點匚若仆ABC的面積為12,00的半徑R=4,則BC=

17.如圖所示，以O為圓心的兩個同心圓，設外部大圓的弦AB與小圓相切于C,若設大圓的半徑為Ri,小

圓的半徑為&,%+&=8,弦AB=8,貝U%—R2=

18.如圖所示,AB是。O的直徑,AC為。O的切線,A為切點，連接BC交0O于D,若/ABC=45o,AC=l,則AD=_

19.如圖所示，已知AB是00的一條直徑，延長AB至C點使得.AC=3BC,CD與。0相切，切點為D,若CD

=則線段BC的長度等于—.

20.如圖所示,AB為OO的直徑,ED切。O于點C,交AB延長線于D,且LCDB=45。,則NECA=

能力提升

21.如圖所示.AB為。O的直徑,BC交。O于點D.DEXAC于點E.要使DE是OO切線，還需要補充一個條

件，則補充的條件不正確的是（）.

A.DE=DOB.AB=ACC.CD=DBD.AC〃OD

22.如圖所示，直線AB交。O于C,D兩點,CE為。O的直徑,CF平分/ECA,CF與。O交于F,過F作FGXAB

于G,則下列結論中正確的有（）.

①FG為OO的切線;②連接FO廁FO〃AB;③若FC=FO廁/ECB=60。

第21題圖第22題圖第23題圖

23.如圖所示,AB,AC是。O的兩條弦,ND=30。,過點C的切線與OB的延長線交于點D,則NA=（）.

A.15°B.20°C.25°D.30°

24.如圖所示，已知AB與。O相切于點C,OA=OB,OA,OB與。O分別交于D,E,連接CD,CE,若四邊形ODCE為

菱形，則胃=

第24題圖

25如圖所示，兩同心圓的圓心為O,AB切小圓于P,兩圓的半徑分別為8,4,則圖中陰影部分的面積為一

第26題圖

26.如圖所示,AB_LBC于B.BC=5,AB=12,?0與CA,CB,AB都相切，則。O的半徑為

27.如圖所示,。O的半徑為2,點A的坐標為（（2,2次）,，直線AB為。O的切線，且B為切點，則B點坐標為一

28.如圖所示，點C,D是半圓上的三等分點,CELAB于點E,連接AD交CE于點F,過C作CG〃AD交BA的延

長線于G,判斷直線CG與。O的位置關系.

29.如圖所示,AB為。O的直徑,BC是。O的切線，切點為B,AD\\CO?D為。。上一點.

(1)求證:△ADB^AOBC.

⑵若AB=2,NC=30。,求AD的長.

第29題圖

30.如圖所示，在RtAABC中,/C=9(F,BE平分/ABC交AC于點E,點D在AB邊上，且DE±BE.

⑴試判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并說明理由.

⑵若AD=5,AE=6四求BC的長.，

拓展資源

31.如圖所示，已知乙4BC=30。,,以BA上一點O為圓心,1為半徑作。O使。O與BC相切于點D,設。O與B

O交于點E,連接ED,F是OA上一點，過F作FGXAB交BC于點G.

(1)求小BED的面積.

⑵設OF=x,四邊形EDGF的面積為y,求y與x之間函數關系.(不必寫出x的取值范圍)

第31題圖

32.如圖所示，已知AB為。O的直徑，過。O上的點C的切線交AB的延長線于點E,ADXEC于點D,且交

。。于點F,連接BC,CF,AC.

⑴求證:BC=CF.

⑵若AD=6,DE=8,求BE的長.

(3)求證:AF+2DF=AB.

第32題圖

33.如圖所示，。0的半徑為r=25,,四邊形ABCD內接于。O,AC1BD于點H,P為CA延長線上一點，目.

/-PDA=4ABD.

⑴試判斷PD與。O的位置關系，并說明理由.

(2)若tan/ADB=-,PA=逋三4”,求BD的長.

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(3)在⑵的條件下，求四邊形ABCD的面積.

第33題圖

1-5ACCCB6-9BDCC

10.2個11.yl2.5<R<1313.1214.2cm或8cm

15.4V316.2V13-417.218.V2/219.120.67.5°

21-23ADD

24.|25.16V3-y26.1027.(-l,V3)28.相切

29.(1)因為BC是。O的切線

所以NCBO=90。

因為AB為<30的直徑，且D為圓O上一點

所以/BDA=90。

因為AD/7CO

所以/COB=/DAB

在RtACBO和RtABDA+.ZBDA=ZCBO=90°,ZCOB=ZDAB

所以△ADB^AOBC

(2)因為△ADB^AOBC

所以NC=/DBA=30。

又因為ZBDA=90°,AB=2

所以AD=1

30.(1)取DB的中點為O,連接OE

因為BE平分NABC

所以NCBE=NEBAC

又因為EO=OB

所以NOEB=NEBC

ADOB

因為ZC=90°

第30題答圖

所以/CEB+/EBC=90°

又因為DE_LBE

所以/DEB=90°

所以NDEO+/OEB=90°

因為NCEB+/EBC=90°,ZDEO+ZOEB=90°,ZOEB=ZEBC

所以/CEB=/DEO

又因為/DEO+NOEB=90°,ZCEB=ZDEO

所以/CEB+ZOEB=90°

所以OE±AC

又因為DE±BE,0為DB的中點

所以O為^DBE外接圓的圓心

所以AC與ADBE外接圓相切

⑵設小DBE外接圓的半徑為r

因為AC與小DBE外接圓相切

所以NAEO=90°

所以AE2+E02=A02

2

所以6-\/2+r2=(5+r)2

所以r=總

因為N4E。=90°=ZC

所以華=詈

所以箸=力弋入r=能

b+zrbeIU

所以BC=4

31.(1)連接OD

因為。。與BC相切于點D

所以乙ODB=90°

因為NABC=30。,。。的半徑為1

所以OD=OE=1,OB=2,BD=V3

因為OB=EO+BE

所以E為BO的中點

過E作EM垂直于BC于點MJ

所以SBEDxEN=f

(2)因為FG±AB

所以NBFG=90。

因為BO=2,OF=x

所以BF=2+x

又因為ZBFG=90°,ZABC=30°

所以FG=漁等

SUFG=喬F.FG=如產

??_V3(x+2)273

3四邊形EDGF—-3^UED—Z~T

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32.⑴連接OC,如圖所示.

因為ED切。。于點C,

所以OCXED.

又因為AD±EC,

所以OC〃AD,

所以NOCA=NCAD.

又因為OC=OA,

第32題答圖

所以NOAC=NOCA,

所以NOAC=NCAD,

所以弧BC等于弧CF,

所以BC=CF.

⑵在RtAADE中，因為AD=6,DE=8,

根據勾股定理得AE=10.

又因為OC〃AD,

所以△EOC^AEAD

所二匚I以、IE瓦O=而OC

設OO的半徑為r.所以OE=10-r,

所以誓言

所以r=

所以BE=10-2r=j.

⑶過點C作CGXAB于點G,如圖所示

因為NOAC=NCAD,AD_LEC,

所以CG=CD.

因為AC=AC,

所以RtAAGC^RtAADC,

所以