專題03面積比例問題

一、知識導航

除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結論，對面積比例的分析，往往

比求面積要復雜得多，這也算是面積問題中最難的一類.

大部分題目的處理方法可以總結為兩種：(1)計算；(2)轉化.

本文結合19年各地中考題，簡要介紹關于比例條件的一些運用方法.

策略一：運用比例計算類

綜合與探究：如圖，拋物線y=&+/?+6經過點A(-2,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線

上一個動點，設點。的橫坐標為租(1＜加＜4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數表達式；

3

(2)ABCD的面積等于AAOC的面積的一時，求加的值；

4

【分析】

(1)可重設解析式為交點式：y=〃(x+2)(x-4),展開得：y=ax2-2ax-Sa,常數項對應相等，-8〃=6,

2

解得：a=--,故拋物線解析式為：y=--x+-x+6.

442

(2)考慮△AOC和△BCD并無太多關聯，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導

△BCD的面積.

S2x6=6,

339

SBCD=工義SAOC=丁6=5,

此問題變為面積定值問題，就不難了.

【小結】利用面積比計算出所求三角形面積，再運用處理面積定值的方法即可解決問題.

策略二：轉化面積比

如圖，B、D、C三點共線，考慮△A3。和△AC。面積之比.

轉化為底：

共高，面積之比化為底邊之比：則S鉆。：SAS=8D：C￡).

更一般地，對于共邊的兩三角形△A8D和△ACD,連接BC,與交于點E,則

SADRLD)：SArn=BM:CN=BE:CE.

A

B

7M

策略三：進階版轉化

在有些問題中，高或底邊并不容易表示,所以還需在此基礎上進一步轉化為其他線段比值，比如常見有：“A

字型線段比、“8”字型線段比.

“A”字型線段比：S^-.SACD=BD-CD=BA:AM.

"8'字型線段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019連云港中考填空壓軸為例：

[2019連云港中考】

如圖，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以點C為圓心作C與直線助相切，點尸是C上一個動點,

AP

連接AP交班＞于點T,則一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP.AT均為動線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉化線段.

構造字型線段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值為——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:構造"8"字型線段比是否可行？

4PTPTP

雖然問題是一的比值，為便于構造“8”字，可轉化為“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

過點尸作尸0〃A3交8。延長線于。點，可得：IL=fQ；考慮到AB是定線段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本題尸點在圓上運動，故很難分析出點尸在何位置，尸。取到最大值，若尸點換個軌跡路線，或許就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知拋物線y=奴？+bx+3經過點A(1,O)和點5(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內拋物線上的動

點.

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點坐標為;

(2)如圖，連接OP交BC于點。，當乂。。：5ABM,=1:2時，請求出點。的坐標.

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;頂點坐標為(-1,4).

(2)根據&迪：5兇如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。點是線段8c靠近點C的三等分點，又8(-3,0)、C(0,3),

二。點坐標為(-1,2).

例二、

如圖，拋物線y=a、2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點3(點A在原點的左側，點3在原點的右側)，與y

軸交于點C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數解析式.

(2)如圖，連接3C,點。是直線3c上方拋物線上的點，連接C?,CD.OD交BC于點、F,當

S&COF:SACDF=3:2時，求點。的坐標?

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）顯然△C。尸和△口）/共高，可將面積之比化為底邊之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:轉化底邊之比為"A”字型線段比

在y軸上取點E（0,5）,（為何是這個點？因此此時OC:CE=3:2）

過點E作BC的平行線交無軸于G點，

EG與拋物線交點即為所求。點，

根據平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。點坐標為（1,4）或（2,3）.

思路2:轉化底邊之比為“8”字型線段比

過點。作。G//y軸交8C邊于點G,則一=——,又0c=3,故點G滿足。G=2即可.這個問題設。點

FDDG

坐標即可求解.

也可以構造水平"8"字，過點。作。G//x軸交3c于點G,則為=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議.

y

其實本題分析點的位置也能解：

思路3:設點D坐標為+2m+3）,

/QOAQ、

根據。尸：DF=3:2,可得尸點坐標為一八一―m2+-m+-

[5555y

點、F在直線BC上,將點坐標代入直線3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。點坐標為（1,4）或（2,3）.

這個計算的方法要求能理解比例與點坐標之間的關系，即由。點坐標如何得到F點坐標.

三、中考真題演練

1.（2023?山東青島?中考真題）許多數學問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察

撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y

軸上，坐標原點。為傘骨。4,的交點.點C為拋物線的頂點，點A,8在拋物線上，OA,08關于y

軸對稱.OC=1分米，點A至晨軸的距離是0.6分米，A,8兩點之間的距離是4分米.

圖①圖②

⑴求拋物線的表達式；

（2）分別延長A。，3。交拋物線于點RE,求E,尸兩點之間的距離；

（3）以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S-將拋物線向右平移；”（加＞0）個單位，得到一條

新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為邑.若邑=：3岳，求”的值.

2.(2023?吉林長春?中考真題)在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線＞=-/+法+2"是常數)

經過點(2,2).點A的坐標為(m,0),點8在該拋物線上，橫坐標為其中相＜0.

(1)求該拋物線對應的函數表達式及頂點坐標；

⑵當點8在x軸上時，求點A的坐標；

(3)該拋物線與x軸的左交點為尸，當拋物線在點P和點B之間的部分(包括P、3兩點)的最高點與最低點

的縱坐標之差為2-機時，求加的值.

(4)當點8在無軸上方時，過點5作軸于點C,連結AC、BO.若四邊形AO3C的邊和拋物線有兩個

交點(不包括四邊形49BC的頂點)，設這兩個交點分別為點E、點線段3。的中點為。.當以點C、

E、。、D(或以點C、F、。、D)為頂點的四邊形的面積是四邊形AO3C面積的一半時，直接寫出所

有滿足條件的機的值.

3.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，拋物線丁=以2+版+3與工軸交于4（-3,0）,8（1,0）兩點，交V軸于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線上是否存在一點P,使得SpBc=gsMe，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理

由.

4.（2023.湖北十堰?中考真題）4知拋物線了=加+在+8過點8（4,8）和點。（8,4）,與，軸交于點A.

（1）求拋物線的解析式；

⑵如圖1,連接點。在線段A3上（與點A,8不重合），點F是。4的中點，連接ED,過點。作

DE上FD交BC于點E,連接E尸，當Q即面積是△>1￡）尸面積的3倍時，求點。的坐標