最值問題

第1節探尋軌跡

一、直線軌跡

【直線軌跡】共點相似三角形，一個點在直線上運動，則另一個點軌跡是直線.

238.[☆☆]矩形ABCD,AB=4,4。=3,等腰RtAAEF.AE=EF,,E在BD上，當E從B運動到D時,F的路徑長是

().

【簡釋】等腰】RtA2BG,黃0[S4S）tana=*當E從B到D時,F從G到H

旋轉角.=乙BAD=90°,HA=3vxGII=5企=F路徑長

239.【☆☆☆】正△ABC邊長為4,D在邊AC上運動，等腰Rt△BDP/BPD=90。,則AP的最小值是（）.

【簡釋】【軌跡法】D初始位置在C,等腰RtBCQ.AQ=2遍-2,綠藍s[SAS]ZBQP=ZBCD=60°

【法1。=75°,AP>AH=/l(2cos75°=(2V3-2)^^=V2

【法2】作正△BQK.ABAK^>ABDP,ZAKQ=30°,AK=KB=BQ

AP>AH=^AK=V2

二、圓形軌跡

【圓形軌跡】共點相似三角形，一個點在圓上運動，另一個點軌跡就是圓；與斜邊中線相關的動點軌跡是圓形.

240.[☆]（8下）正方形ABCD邊長為2,E在CD上（E不與C點或D點重合）,F在BC±（F不與B點或C點重合）,A

E±DF,L為垂足，則LC取值范圍是（）.

【簡釋】[L在（一。。（不含端點O、D）上運動】斜邊中線LG=1

GCV5,LC>V5-1,/.LDC<45°<Z.CLD

LC<CD=2,故V5-1<LC<2

241.[☆☆]正方形ABCD邊長為2,正方形DEFG,AE、BF交于H,P是BC中點，求PH的最大值.

【簡釋】

【《平幾綱目》264題】

灰黃Awa[S2S）a今8=45°

【旋轉法】綠△三[S4S]

4AHD=^ARB=135°

BH1HD,斜邊中線OH=也

OP=1,PH<1+y/2

242.[☆☆]四邊形ABCD,BC=4,/BAC=NADC=90。,AD=DC,求BD的最大值.

【分析】

等腰RtACAD初始位置為等腰RtACBE

A、B、C、E共圓,E在射線DA上，斜邊中線OD

D在以O為圓心，以OD為半徑的圓上

【簡釋】

作倆%灰黃△s[AA]相似比是V2,CE=2V2

【斜邊中線10D=VXNBCE=45,OB=V10

BD<OD+OB=V2+V10

第2節旋轉法

243.【☆☆】（8下）.AB=4,AC=等腰RtABCD,BC=CD,,則AD的最大值是（）.

【簡釋】

［法1］【牽手名】等腰】RtAC4Q,綠黃△三［SASIAD=BQ<QA+AB=6

【法2】【牽手s】等腰RtABAQ,藍黃/△3［SaS］4D=2,4。WAQ+QD=6

244.(8下)P在等腰RtAABC內，ABPC=135。,=135。,則色的最小值是().

【簡釋】

【法1】藍黃0〃*=祭=|

【法2】黃當S4S4a+S=45°,PA=^-PD>^-PH=^-^PC=1PC

【法3］藍黃0IAAIPC=V2AD>24“蕓=；

1CNAHN

245.](8下)矩形ABCD,AB=3,BC=4?E在BC上，等腰RtADEF,DE=EF廁FA的最小值是().

【簡釋】

【法1】黃藍△=,EM=DC=3,EC=4-1=FM

FX2=(3+t)2+(7-t)2=2產-8t+58>50

[法21【旋轉法】構造藍黃as,DH=3V2,a+p=90°,ZHDN=45°

等腰RtAHDN,DN=6,AN=10.AM=5V2,AF>AM=5V2

246.[☆☆☆]直角坐標系中,A(3,4),直線y=-1上一動點P,以AP為斜邊向上作等腰RtAAPM,則OM的最小

【簡釋】【旋轉法】等腰R3ABN,藍灰△s【SAS】NMBA=/PNA=45噂腰RtOHB,C(3，-l),

OC=V10,tana=三,BC=當=OBOMNOH—與

247.[☆☆☆]正方形ABCD邊長為1,E、F分別在BC、CD上,tanzFXF=j,FMBC交AE于M廁FM的最小值

【簡釋】【旋轉法】黃邊銳角]倆a,MF=m+n,—=—,MV=4mn4mn+n+m=l=?m=

BEAB

k=FM=m+n=4n+1,4n2—4kn+1—/c=0>0=>fc2+fc—l>0,/c>

4n+l4n+l2

248.【☆☆】AB=2,M在以AB為直徑。O上,AM逆時針旋轉990。得到AN;則ON的取值范圍是（）.

【簡釋】【旋轉法】綠^^ASA-/2,-l=OP-PN<ON<ON<ON<ON<d2+1249.[☆☆]OO

半徑為L等腰Rt△ABC,AB=AC,A.B在。O上，求OC的最小值.

【簡釋】【旋轉（直角頂點A）]等腰RtA4。。,黃a[SASIOC>OD-CD=42-1

第3節對稱法

250.（8下）AB=4,AB中點P,AM=1,BN=4/MPN=135。,,則MN的最大值是（）.

【簡釋】【對稱法】T、A對稱,V、B對稱，等腰RtAPTV

MN<MT+TV+VN=S+2/

251.[☆☆☆]（8下）Rt△力BCjACB=90。,AB=2,等腰Rt△4DE,AD1DE,E在AB延長線上,C在DE上,F在A

D上,”=&8E,則CF的最小值是（）.

【簡釋】【斜邊中線法與垂線對稱法組合】作等腰RtABP.AF=V2BF=EQ則DF=DQ=DP,CF=C

P>GP-GC=V5-1

第4節斜邊中線與垂線段法

252.（8下）等腰RtAABC,AB=AC=1,P在AC上移動,PQ1BP交BC于Q,BQ的最小值是（）.

【簡釋】【斜邊中線1OP=OB=k,OC=￡-k,OK=\-崇OPNOK,k

>>2-V2

PK

253.等腰Rt△ABC繞點A旋轉得到對應等腰Rt△ADE,AB=BC=2?0是AC中點，則S0DE取值范圍是

【簡釋】O.H>AH-0A>AD-0A=2-y/2,0H<0D<0A+AD=2+"2,2-V2<S0DE<

2+V2

第5節中位線與斜邊中線法

AC=4,BP=2?K是PC中點，則AK的最大值是（).

【中位線法】AK<KD+AD1+2^2

255.[☆☆]（8下）正方形ABCD邊長為4,P在AD上,正方形APMN,O是BM中點，求0P的最小值.

【簡釋】

【法1】【8字名】OP=OQ,【中位線】DK||4M,【斜邊中線。P=2AH=/

【法2】MP延長線交AC于Q?PQ=PA=PM,中位線OP*BQ*BH=近

第6節大角對大邊法

256.（8下）正方形ABCD邊長為1,M在AD延長線上,MC、AB延長線交于N,MDgBN,求MN的最小值.

tBNNBC=BE

【斜邊中線法】AKNAC=a,MN=2AK>2V2

第7節將軍飲馬

257.[☆]（8下）等腰RtAABC,AB=AC=3,D在AB上,AD=1,P在BC上廁PA+PD的最小值是（）.

【簡釋】【兩點間線段最短】

倆定點（A、D）中任取一點，作其關于動點（P）所在直線的

對稱點，該對稱點與另一個定點連線段長即為所求（共點

兩線段和PA+PD）最小值

【左圖】\PA+PD=PA+PD'>AD'=V13

【右圖】PA+PD=PA'+PD>A'D

=V13

258.（8下）四邊形ABCD,AB=BC=6,ZB=ZC=90°,CD=9,E是AB中點,EF_LCD于F,M、N在EF上移動,M

N=2,求MA+ND的最小值.

【簡釋】□MBPN,MA=MB=PN

MA+ND=PN+ND>PD=A/97

FCD”D

259.【☆☆】等腰RtAABC,AC=BC=1,等腰RtABMP?P在AC±,PB=PM,求MA+MB的最小值.

DS1]【旋轉法】等腰RSBDA,藍黃0/S4S)M4=<2PD

【將軍飲馬】E、D關于AP對稱

MA+MB=V2(PD+PB)=&(PE+PB)>V2BE=V10

【法2】【同旁45。】藍黃[SAS]NBEM=90。,斜邊中線OE

中位線OD,MA+MB=2(OD+OE22DE=V10

【法3【軌跡法】△BPM初始是△BAD,藍黃△00[S4S)乙4DM=90°

【將軍飲馬】E、A關于MD對稱,MA+MBME+MB>BE=V10

第8節胡不歸

260.(8下)直角坐標系中,A(-l,0),B(0,2),在y軸上找一點C,使也AC+BC最小,求出點C坐標并證明.

【簡釋】D(2,0),AH±BD于H,并交y軸于C,C(0,l)

近AC+BC=V2XC+V2CH=近AH

除點C外任取點GWilBD

近AC、+BCi=4cl+V2C1H1>V2AFI

第9節費馬點

261.(8下)等腰RtAABC內一點D,AB-AC=2,求DA+DB+DC的最小值.

【法1】作正△ABP,作正△ADQ,AD=QD,連接PC,灰、三(SAS)PQ=DBDA+DB+DC=PQ+

QD+DC>PC=78+4A/3=逐+/

【法2】作中垂線AOP,BP=BC,1EABCP作正△BDQ,黃△三［S4S

DA+DB+DC=AD+DQ+QP>AP=y/6+42

說明：與小任頂點線段和最小的點稱為費馬點；向外作倆正△,連線交點即是.

262.[☆☆☆]正方形ABCD內一點P,AB=4廁P4++：PC的最小值是（）.

44

【簡釋】CM=3,構造CMN…C8P,MN=-PB,CN=-CP,PN=-PCPA+-PB+-PC=PA+MN+

44444

PN>AM=V65

第10節定邊定角

263.[☆☆]（8下）四邊形ABCD,AC=4,CB=3,NACB=90。,NADC=45。,求BD的最大值.

【簡釋】【外接圓轉化】AD、DC中垂線交于G等腰RL4GC,GD

=GA=2V2,GB=V29BD<GD+GB=2或+V29

264.（8下）D在△ABC內,AC=4,CB=3,NACB=9（r,/ADC=135。,求BD的最小值.

【簡釋】【外接圓轉化】

AD、DC中垂線交于G

等腰RtAGC,GD=GA=2VxGB=V29

BD>GB-GD=V29-2V2

BE、CH,AB=2,DE=短則CH的最大值是（

AQHBAGHB

【簡釋】CDA-oCEBIAA）—=—,CDE?CABISAS）—=—=—,ZXCD=45

CECBCAAB2

【法1】取△ABC外心O,等腰RtAOB,OC=OA=42,OG=1CH<OC+OG=

V2+1

【法2】取CF=AG=GB=1,綠會【SAS】，黃4三[SAS]正方形GEFDFH<FGV2,CH

<V2+1

266.【☆☆】（8下）四邊形ABCD,BD=2,/ABC=75o,NADC=6（T,AD=DC,求四邊形ABCD面積的最小值.

【簡釋】

作正△DBE^A=[SAS]p+y=225°

ZBAE=135°,AH最大即可

AB、AE中垂線交于F,a+Q=135。

四邊形ABFE,/BFE=90。,等腰RtAFBE

矩形FNHM,NH=FM=1

AH+1=AN<AF=42

AH和水錐側=也一棱錐側=正T

或有常數=加水水

SABCDS7tBDE_S=V3-V2+1

267.BC是半圓。O的直徑,BC=2,A在半圓上,AB=AC,P在一AC上,ADLAP交BP于D,連接CD廁CD的

最小值是（）.

【簡釋】

等腰RtAADP,a+p=135°

AD、DB中垂線交于K

,等腰RtAAKB,KD=KB=1

',RtAKBC中,.KC=乘

OCCD>KC-KD=V5-1

268.[☆☆]四邊形ABCD,AD//BC,ZACB=45°,BC=4V2,AC=3,AADC外接圓交BD于E,求AE的最小值.

【簡釋】

H45°,ZBEC=135°

BE、EC中垂線交于F

等腰RtABCF,FE=FC=4

RtAACF中,FA=5

AE>FA-FE=1

第11節定形對等邊

269.【☆☆】(8下)正^ABC邊長為1，高AF,AE=CD廁BD+CE的最小值是().

【簡釋】【等邊造名】

【法1】黃藍△=［SSS］等腰IRtBCG,BD+CE=BD+DG>BG=42

【法2】灰綠△三［SSS］等腰IRtGAC,BD+CE=GE+CE>CG=42

第12節外接圓法

270.[☆☆]正方形ABCD邊長為2,E在BC上移動，等腰Rt△DEF,DE=EF,⑴求AF的最小值;(2)SAAEP最小值

是().

【簡釋】

(1)【軌跡法】△DEF最終位置是△DCG,綠0［S4S〃F>AH=3^2

(2)［法1］【函數法】2S_=m2-2m+4>3

琢

【法2】【圓形切割線定理】【外M型】1尸//=四,25廣=而1”=54?川人口是4人6口外接圓直徑切

底

線EL,.EA.-EG=EL2=OE2-OL2>OK2-X=3

第13節勾股定理法

271.(8下)P在邊長為2的正方形ABCD內,PE，AB,PF，AD,QE=QF=短PQ<1,,則QA的最小值是().

Arp

r|\【簡釋】AM=FN=h,【勾股定理】

22222222222222

^/\kQA=m+h,QP=n+k,QE=m+k,QF=n+h2A+QP=

.........QE2+QF2,QP2=4-QA2<1,QA>V3.

M\mQ〃7

B

第14節最值與黃金分割比

272.［八☆］（8下）等腰RtAABC,48=4C,,D、E分別是AB、AC上的動點若AD=CE廁差的最小值是（）.

【簡釋】斜邊中線AM=k，黃△三［SSS］

a+0=90°,DN=V5fc

CD<DN+NC(yfS+i)k

DE>2_V5-1

CD-V5+1-2

273.【☆☆☆】正方形ABCD,E、F分別在邊AB、CD上移動，且EF始終經過中心O,當看最小時，詈=（）.

【簡釋】【8字義】BE=DF=m,EA=CF=BH=n

HE=|n-m|,令詈=?=k

EF22m2+2n22k2+2

W=—=-------------------=-------------

FB2m2+2mn+2n2k2+2k+2

(w—2)fc2+2wk+2w—2=0

△>0=>w2—6w+4<0

之一層，或放對側=—屏,=卓

W33k

274.【☆☆☆】正方形ABCD邊長為2,P在BC延長線上移動，求