與圓的性質相關的輔助線模型復習講義

與圓的性質有關的題目常用的作輔助線方法一般有以下幾種：連接半徑構造等腰三角形，有弧弦中點則連接圓

心構造垂徑定理，有同弧（或等弦）時作其所對的圓周角（圓心角）找等角，直徑所對的圓周角找直角，求弦長時作弦心

距.此外，題目中有定弦時，對定角轉化為點圓距離求最小值問題也經常出現在中考題中.

模型一有弦弧中點連接圓心，或作弦心距構造直角三角形

場景：如圖，E是弦AB的中點、F是弧CD的中點.

作輔助線方法:連接OE,OF,CD.

結論：OE_LAB,OF_LCD.

一D-D

解題時，可根據題目過圓心作弦的垂線，應用垂徑定理來解答.如果有其他線段的中點時也可以連接圓心，構造

以直徑為一邊的三角形的中位線.

精選例題

例如圖，在半徑為舊的0O中，弦AB與CD交于點E,NDEB=75o,AB=6,AE=l廁CD的長是（）.

A.2V65.2V10D

C.2VT1D.4V3//\

解析

取AB的中點G,連接0G,可知OGLAB,滿足垂徑定理，可根據條件求出0G,0E,結合/DEB=75。,得

到NOED=30。,然后再取DE的中點F,可求OF和DF,進而求出CD.

解如圖，取AB,CD的中點G,F,連接OG,OF,OE,OB,OD,易得OFLCDQGLAB.則DF=CF,AG=BG=1AB=

.\EG=AG-AE=2.

在RtABOG中，OG=>JOB2-BG2=V13-9=2,

EG=OG.AEOG是等腰直角三角形.-G

Z_OEG=45°,OE=V2OG=2V2.

???ZDEB=75°,AOEF=30OF=-OE=V2.

2

在RtAODF中，DF=<OD2-OF2=“3-2=Vil,

CD=2DF=2VT1.

故選c.

精選練習

1.如圖，四邊形ABCD內接。O,連接BD.若AC=BC.A.BDC=50。，則/ADC的度數是（）.

2.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（血），點O是這段弧所在圓的圓心，AB=40m,點C是^AB的中點，點

D是AB的中點，且（CD=107n,則這段彎路所在圓的半徑為（）.

A.25mB.24mC.30mD.60m

3.如圖,AD是。。的直徑,BC是弦,四邊形OBCD是平行四邊形,AC與OB相交于點P.下列結論錯誤的是（

）.

A.AP=20PB.CD=20PC.OB±ACD.AC平分OB

模型二作同弧所對的圓心角或圓周角

場景：如圖，弧AB所對的圓周角為ZC.

作輔助線方法：連接OA,OB,作圓周角.乙D.

結論：乙4cB=乙ADB=^AOB.

例如圖，點A,B,C,D,E在0O上，且AS=50。，則乙E+乙C=.

解析

由NC+Z.DEA="+LDEB+Z.BEA=180。,故只需求出NBE4即可,由模型只需作出弧AB所對的圓心角

和圓周角，由圓心角和圓周角的關系及血的度數，不難求出答案.

解如圖，連接OA,OB,AE.

由筋=50。可知乙4OB=50°.

XVZAOB和/AEB分別為防所對的圓心角和圓周角，

???乙4EB=-^AOB,

2

即乙AEB=25°.

又：四邊形AEDC是。O的內接四邊形，

.-./.ACD+^AED=180°.

又：/AEB=25°,

.-./.ACD+乙BED=180°-25°=155。..故答案為155。.

精選練習

L如圖，點A,B,S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的&倍，則NASB的度數是（）.

D.600

2.如圖,△ABC是OO的內接三角形,NC=30。,。。的半徑為5.若點P是。。上的一點在AABP中,PB=AB,則P

A的長為（）.

A.5B.第C.5V2O.5V3

模型三90。圓周角與直徑構造直角三角形

場景一：如圖,AB是直徑,AC是弦.

作輔助線方法：連接BC.

結論：NC=90°.

場景二：如圖，乙C=90°.

作輔助線方法：連接AB.

結論:AB是直徑.

應用：當題目中已知某個角的度數和某條線段的長度，要求其他線段的長度時，經常作直徑及其所對的圓周角.

精選例題

例如圖.四邊形ABCD內接于。O,AB為直徑AD=CD過點D作DE_LAB于點

3

E.連接AC交DE于點F.若s,\n/.CAB=，。尸=5,則BC的長為（

5

A.8B.10

C.12D.16

解析

已知sm^CAB=|,要求BC,只需求出直徑AB,而在RtAACB中，已知條件不足以求AB,可考慮連接BD,

則/ADB所對的弦是直徑AB,根據條件，圍繞RtAADB求出AB即可.

解如圖，連接BD.

VAD=CD,.\ZDAC=ZACD.

VAB為直徑,，ZADB=ZACB=90°,.\ZDAB+ZABD=90°.

VDEXAB,.'.ZDAB+ZADE=90°,.\NADE=NABD.

NABD=NACD,NDAC=NADE.JAF=DF=5.

在RtAAEF中，sinzCXB=-=

AF5

EF=3,AE=4.DE=3+5=8.

由DE2=AE-EB,得BE=器=?=16.

.?.AB=16+4=20.

在RtAABC中,sin^CAB=^=|.

/.BC=12.

精選練習

1.如圖,△ABC內接于。O,NCAB=3(T,/CBA=45o,CD，AB于點D.若。0的半徑為2,則CD的長為

O€>

第1題圖第2題困

2如圖.△ABC是。O的內接三角形,AB=BC,NBAC=3(F,AD是直徑,AD=8,則AC的長為().

A.4B.4V3C.|V3D.2V3

模型四與圓有關的最值

模型4-1定義法

場景:如圖.點P在運動過程中始終滿足OP=OA=OB=OC=r.

結論：點P的運動軌跡就是以O為圓心、半徑為r的圓.

依據：根據圓的集合定義“在同一平面內，到定點0的距離等于定長r的點的集合，其中定點0叫圓心，定長

r叫半徑”.

P

模型4-2定弦定角

場景：如圖，動點P與定線段AB組成的三角形中，定線段AB所對的乙4PB是定值（此時點P在線段AB

的同側運動）.

結論：動點P的運動軌跡是以AB為弦、乙4PB為圓周角的兩條圓弧，即.△2PB的外接圓.圓心0在線段A

B的垂直平分線上，且滿足（OA=OB=OP..此處只給出一條圓弧，想一想，另一條圓弧是什么？

應用：定邊AB對定角.NP,,點P是動點當“為銳角時，動點P的軌跡是一段過A,P,B三點的優弧AP

B,如下圖.（此時點P在AB的上方，想一想點P在AB的下方是什么情況）

拓展：當NP為鈍角時，動點P的軌跡是一段過A,P,B三點的劣弧AB,如下圖.

定邊48

P

注意：上面的弧所在的圓的圓心在定邊的垂直平分線上.

模型特例定邊對直角模型

場景：如圖，動點P與定線段AB組成的三角形中，定線段AB所對的乙APB=90。不變.

結論：動點P的運動軌跡是以AB為直徑，乙4PB為圓周角的圓,即AaPB的外接圓該圓的圓心O為線段

AB的中點,半徑r=\AB.

依據：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

p

B

應用：如圖，定邊AB對直角/P,這里點P是動點，則動點P的軌跡是以AB為直徑的圓（不包括A,B點）.

P（動點）

P（動點）（P的^^

（定點3'\（定邊）/（定點④

模型4-3點圓最值

場景：如圖，點P是動點，運動軌跡是以0為圓心，r為半徑的圓點A是圓外一個定點，到圓心0的距離

AO=d作射線AO交圓O于點P1,P2.

結論：PA的最小值為線段.Pz4P2A=-P2。=d—r;最大值為線段P1A,P1A=。4+P10=d+r.

應用：解答動點軌跡為圓的有關最值問題，關鍵在于以下幾點：

⑴判斷動點的軌跡是否是圓；

（2）找出圓的圓心及半徑；

⑶利用相關模型求解.

精選例題

例1.如圖,在等腰R3ABC中,/BAC=9（T,AB=AC,BC=4&,點D是AC邊上一動點，連接BD,以AD為直徑

的圓交BD于點E,則線段CE長度的最小值為.

解析

連接AE,AD為已知圓的直徑，所以/AED=/AEB=90。為一定值,AB固定.符合“定弦定角”模型，可以判定點E

在以AB為直徑的圓上.

解如圖，連接AE.

/.AEXBD.

ZAED=ZAEB=90°.

二AAEB為直角三角形.

取AB的中點0,連接E0,

?/A0=B0=0E,

，點E在以點O為圓心、AB為直徑的圓0上.

連接€：0.在4COE中，

CE>C0-0E,

當點E在CO上時,CE=CO-OE,

即CE>CO-OE.

AABC是等腰直角三角形,NBAC=9(r,AB=AC,BC=4V2,

；.AB=AC=4.

.*.AO=BO=OE=2.

???CO=y/AC2+AO2=V42+22=2V5,

CE>0C-OE=2V5-2.

ACE最小值為2遮-2.故答案為2遮-2.

例2.已知邊長為2舊的等邊△ABC,D,E為AB,BC上的動點，滿足AD=BE,AE與CD交于點P,號接BP,則BP

的最小值為.

部解析

計算出NAPC=120。為一定值，且對邊為一定值，可利用“定邊對定角”模型，結合“點圓最值”模型來解答.

解AB=AC,BE=AD,ZABE=ZCAD=60°,

/.AABE^ACAD.

ZBAE=ZACD.

ZAPD=ZACP+ZPAC=ZBAP+ZPAC=60°,

NAPC=120。,即NAPC=120。為定值.

如圖，作△APC的外接圓0,圓心為。，點。在AC的垂直平分線上，連接0B.

貝！IOB_LAC,且OB平分AC,

/ABO=/CBO=30。（等腰三角形“三線合一”）.

ZAPC=120°,

???弧APC所對的圓周角為60°.

ZAOC=120°.

連接0。0人,可得^^人0=/人（30=30。.

ZBCO=ZACB+ZACO=60°+30°=90°.

/.ABCO是直角三角形，且/CBO=30。.

設OC=x，則OB=2x,則

2

0C2+BC2=0B2,x2+（2V3）=（2x）2.

解得xi=2,%2——2（舍去）.

即OC=2,OB=4.

根據前面的例題和模型的結論可知，當P點在OB上時BP的長度最小，其最小值為OB-2=2.故答案為2.

例3.如圖在RtAABC中,BC=2,NBAC=30。,斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM,ON上滑動.下列

結論：①若C,O兩點關于AB對稱，則OA=2禽;②C,0兩點距離的最大值為4;③若AB平分CO,則AB±CO;?

斜邊AB的中點D運動路徑的長為，其中正確的是________(把你認為正確的結論的序號曙R填上￡

oAM

解析

①先根據直角三角形中30。角的性質和勾股定理分別求出AC和AB,由對稱的性質可知，AB是OC的垂直平

分線，所以OA=AC;②CD=OD=2,OCWCD+OD,當OC經過AB的中點D時,OC最大;③當NABO=30。時,易證四邊形

OACB是矩形.此時AB與CO互相平分，由矩形對角線的性質可判斷;④/MON=9(F,AB是R3OAB的斜邊.所以O

D=2為定值根據“定義法”模型，點D在定圓上運動，結合弧長公式進行計算即可.

解在RtAABC中,：BC=2,/BAC=30。,

AB=4,AC=V42-22=2V3.

若C,O兩點關于AB對稱，如答圖1,

???AB是OC的垂直平分線.

貝!IOA=AC^2V3,

所以結論①正確.

②如答圖1,取AB的中點D,連接ODCD.

ZAOB=ZACB=90°,

1

.--0D=CD=-AB=2.

2

當0C經過點D時,OC最大，

則c,O兩點距離的最大值為4.

所以結論②正確.

③如答圖2,當NABO=30。時,NOBC=NAOB=NACB=90。，

..?四邊形AOBC是矩形，

；.AB與OC互相平分，

但AB與0C的夾角為60。,120。,不垂直，

所以結論③不正確.

④如答圖3,斜邊AB的中點D的運動路徑是以O為圓心,以2為半徑的圓周的［，則普

所以結論④不正確.

綜上所述，本題正確的結論有①②.

故答案為①②.

精選練習

1.如圖，在平面直角坐標系中,已知點C(3,4),以點C為圓心的圓與y軸相切.點A,B在x軸上，且OA=OB.

點P為。C上的動點NAPB=90。,則AB長度的最大值為.

2.如圖，點A,B的坐標分別為A(2,0),B(0,2),點C為坐標平面內一點,BC=1,點M為線段AC的中點，連接OM廁

OM的最大值為().

A.V2+1S.V2+IC.2V2+1O.2V2

5.1與圓的性質相關的輔助線模型

精選練習

模型一

1.解:如圖，連接OAQBQC.

ZBDC=50°,

ZBOC=2ZBDC=100°.

???AC=BC,

：.ZBOC=ZAOC=100°.

1

AABC=-/LAOC=50°,

2

AAADC=180°-ZXBC=130°.

故選B.

2.解析:如圖，連接OD.由垂徑定理可知，點O,C,D在同一條直線上,OCLAB.設半徑為r,則OC=OA=r,AD=2

0,OD=OA-CD=r-10.在RtAADO中,由勾股定理知r2=202+(r-10產解得r=25.故選A.

3.解析：：AD是直徑,3ZACD=90°.

四邊形OBCD是平行四邊形，

；.CD〃OB,CD=OB.；.ZCPO=90°.

即OB_LAC,選項C正確.

又；O是AD的中點,.?.OP是小ACD的中位線，

CD=2OP.選項B正確.

.?.CD=OB=2OP,即P是OB的中點.

/.AC平分OB,選項D正確.

AP與OP的數量關系無從得出，選項A錯誤.

答案A.

模型二

1.解析：設圓心為O.如圖，連接OAQB.

???弦AB的長度等于圓半徑的加倍，即.AB=420A,

：.OA2+OB2=AB2.

AAOAB為等腰直角三角形,NAOB=90。.

^ASB=2。B=45。.故選C.

2.解析:連接OA,OB,OP根據圓周角定理求得/APB=NC=30。進而求得NPAB=/APB=3(F,/ABP=120。根據

垂徑定理得到OB，AP,AD=PD,/OBP=/OBA=60。,即可求得4AOB是等邊三角形，從而求得PB=OA=5,解直角三

角形求得PD,即可求得PA.

解:如圖，連接OA,OB,OP,OB交AP于點D.

ZC=30°,

ZAPB=ZC=30°.

VPB=AB,

/.ZPAB=ZAPB=30°.

ZABP=120°.

VPB=AB,

.\OB±AP,AD=PD.

/.ZOBP=ZOBA=60°.

VOB=OA,

.?.△AOB是等邊三角形.

.\AB=OA=5.

...在RSPBD中，PD=cos30°-PB=曰x5=*.

PA=2PD=5V3.

故選D.

模型三

1.解析：連接CO并延長交。。于點E,連接BE,于是得到NE=NA=30o,NEBC=90。,解直角三角形即可得到結

論.

解：如圖，連接CO并延長交。O于點E,連接BE,則/E=/A=30。,NEBC=90。.?.?。0的半徑為2,...CE=4....B

C=|CE=2.CD±AB,ZCBA=45°,A

2.解:如圖，連接CD.

VAB=BC,ZBAC=30°,

ZACB=ZBAC=30°.

ZB=180°-30°-30°=120°.

ZD=180°-ZB=60°.

ZCAD=30°.

；AD是直徑，D

：.ZACD=90°.

VAD=8,

i

CD=-AD=4