第2講常用邏輯用語第一章集合、常用邏輯用語與不等式考向預測核心素養主要考查充分、必要條件的判斷、含有一個量詞的命題的否定及真假判斷，題型以選擇題為主，低檔或中檔難度.數學抽象、邏輯推理01基礎知識回顧一、知識梳理1.充分條件、必要條件與充要條件命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題“若p，則q”和“若q，則p”都是真命題推出關系p____qp____qp____q條件關系p是q的______條件，q是p的______條件p不是q的______條件，q不是p的______條件p是q的__________條件，簡稱為______條件??充分充分充分必要必要必要充要2.全稱量詞和存在量詞

全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個存在一個、至少有一個符號??命題含有__________的命題叫做全稱量詞命題含有__________的命題叫做存在量詞命題命題形式“對M中任意一個x，p(x)成立”，可用符號簡記為“_______________”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符號簡記為“_____________”全稱量詞存在量詞?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定命題命題的否定結論全稱量詞命題?x∈M，p(x)____________________全稱量詞命題的否定是______________存在量詞命題?x∈M，p(x)____________________

存在量詞命題的否定是______________?x∈M，?p(x)存在量詞命題?x∈M，?p(x)

全稱量詞命題

常用結論1.p是q的充分不必要條件，等價于?q是?p的充分不必要條件.2.從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現，q以集合B的形式出現，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關于充分條件，必要條件又可以敘述為：(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)若A＝B，則p是q的充要條件；(3)若A

B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.3.含有一個量詞的命題的否定規律：“改量詞，否結論”.二、教材衍化1.(人A必修第一冊P21例3(3)改編)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：因為xy＞0x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0?xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分條件.√2.(人A必修第一冊P31習題1.5T3(1)改編)命題：“?x∈Z，|x|?N”的否定是____________________.答案：?x∈Z，|x|∈N一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(

)(2)q不是p的必要條件時，“p

q”成立.(

)(3)“梯形的對角線相等”是全稱量詞命題.(

)(4)“并非?x∈M，p(x)”是全稱量詞命題.(

)√×√√二、易錯糾偏1.(含一個量詞的命題否定不當致誤)命題p：?x∈(0，＋∞)，sinx＞x的否定為(

)A.?x∈(0，＋∞)，sinx＞xB.?x∈(0，＋∞)，sinx≤xC.?x∈(－∞，0]，sinx＞xD.?x∈(－∞，0]，sinx≥x解析：因為原命題是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即?p：?x∈(0，＋∞)，sinx≤x.√√2.(多選)(充要條件理解不當致誤)設x∈R，則x＞2的一個必要不充分條件是(

)A.x＜1 B.x＞1C.x＞－1 D.x＞33.設x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________條件.答案：必要不充分√02核心考點共研考點一全稱量詞命題與存在量詞命題(綜合研析)復習指導：理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.【解析】

(1)由于存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以改變量詞，否定結論即可.√【答案】

(2)1(1)全稱量詞命題中的量詞可以省略.(2)判斷含量詞的命題的真假有兩種思路：根據量詞的意義從命題本身判斷或利用命題的否定的真假進行判斷.|跟蹤訓練|1.(2022·河南駐馬店高三階段性檢測)已知命題p：?x∈(0，＋∞)，3x>x3，則?p是(

)A.?x∈(－∞，0)，3x≤x3

B.?x∈(－∞，0)，3x>x3C.?x∈(－∞，0)，3x≤x3

D.?x∈(0，＋∞)，3x≤x3解析：根據特稱命題的否定可知，?p：?x∈(0，＋∞)，3x≤x3.√答案：(－∞，－1]考點二充分條件、必要條件的判斷(自主練透)復習指導：理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.1.(2021·高考天津卷)已知a∈R，則“a>6”是“a2>36”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析：由題意，若a>6，則a2>36，故充分性成立；若a2>36，則a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立；所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要條件.故選A.2.設λ∈R，則“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析：當λ＝－3時，兩條直線的方程分別為6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此時兩條直線平行；若直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行，則2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，經檢驗，兩者均符合.綜上，“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要條件，故選A.√3.(2021·高考浙江卷)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件.故選B.√4．(2021·高考北京卷)設函數f(x)的定義域為[0，1]，則“函數f(x)在[0，1]上單調遞增”是“函數f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若函數f(x)在[0，1]上單調遞增，則f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，而f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)，并不能得到f(x)在[0，1]上單調遞增，所以“函數f(x)在[0，1]上單調遞增”是“f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)”的充分而不必要條件．√充分條件、必要條件的2種判斷方法(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷.(2)集合法：根據p，q成立的對應集合之間的包含關系進行判斷.[提醒]

判斷充要條件需注意3點(1)要分清條件與結論分別是什么.(2)要從充分性、必要性兩個方面進行判斷.(3)直接判斷比較困難時，可舉出反例說明.考點三充分條件、必要條件的應用(思維發散)復習指導：通過條件之間的關系探求參數范圍是充分、必要條件的重要應用，解決關鍵是將條件之間的關系轉化為集合之間的關系.(鏈接常用結論2)已知條件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，條件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若p是q的必要條件，求實數m的取值范圍.【解】

由題易知，P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要條件，知S?P.則

所以0≤m≤3.即m的取值范圍是[0，3].1.本例中，若x?P是x?S的必要條件，求實數m的取值范圍.解：若x?P是x?S的必要條件，則x?S?x?P，所以x∈P?x∈S，所以P?S，則所以m≥9，故實數m的取值范圍是[9，＋∞).2.若本例條件不變，問是否存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件.解：若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，所以

方程組無解，即不存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件.根據充分條件、必要條件求解參數范圍需注意以下2點：(1)將條件間的關系轉化為集合間的關系，列出關于參數的不等式；(2)注意端點處函數值的檢驗.

√解析：當a＝0時，f(x)＝－2x＋3，在區間[1，3]上為減函數，所以不合題意，舍去；綜上，函數f(x)＝ax2－2x＋3在區間[1，3]上為增函數的充要條件是a≥1.2.若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因為“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3.答案：303課后達標檢測√

√√√A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件√3.(2022·北京十一學校高一期中)已知命題p：“?a≥0，都有x2＋2ax＋a2≥0”，則命題p的否定是(

)A.?a≥0，使得x2＋2ax＋a2≤0B.?a≥0，使得x2＋2ax＋a2<0C.?a≥0，使得x2＋2ax＋a2<0D.?a<0，使得x2＋2ax＋a2≤0解析：原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結論，所以C選項符合.√A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析：因為p：|2x－3|<1?1<x<2，q：

≤1?1≤x<2，而(1，2)是[1，2)的真子集，所以p是q的充分不必要條件.√5.(2021·高考全國卷甲)等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設甲：q>0，乙：是遞增數列，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：當a1<0，q>1時，an＝a1qn－1<0，此時數列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當數列{Sn}遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要條件.√6.(多選)(2022·常州10月調研)若x2－3x－4<0是－3<x<a的充分不必要條件，則實數a的值可以是(

)A.3B.4C.5D.6解析：由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，令A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|－3<x<a}，由題意得A

B，所以a≥4，故選BCD.√√7.(多選)(2022·漢川市第二中學期中測試)下列說法正確的有(

)A.不等式3x2＋7x＋2<0的解集是B.“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件C.命題p：?x∈R，x2>0，則?p：?x∈R，x2<0D.“a<5”是“a<3”的必要條件√√√

8.若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，

>x＋1”，則命題p可寫為____________________.答案：?x∈(0，＋∞)，

≤x＋19.(202