（1）定義：由s×n個(gè)數(shù)aij（i=1,2,s；j=1,2,n）排成s行n列的數(shù)表a11as1，稱為s行n列矩陣，簡記為A=(aij)s×n。asna11as1①A+B=B+Aa11as1④A+(?A)=Oasnkas1kasn③k(lA)=(kl)A。②k(A+B)=kA+kBa11as1④A+(?A)=O=aann①(AB)C=A(BC)③(B+C)A=BA+CA②A(B+C)=AB+AC④k(AB)=A(kB)=(kA)B①AB≠BA②AB=AC，A≠0，?B=C③AB=0?A=0或A=0as1asnan1ans①(A')'=A③(AB)'=B'A'②(A+B)'=A'+B'。①|(zhì)A'|=|A|a11an1中元素aij的代數(shù)余子式，矩陣AlBlAlBl0?1A*A11A*=稱為A的伴隨矩陣。|A|（3）設(shè)A是s×n矩陣，如果P是s×s可逆矩陣，Q是n×n可逆矩陣，那么rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)A10B1A1B10A1+B10A1?10①用一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣的第i行（列）記作ri×k(ci×k)②互換矩陣中i，j兩行（列）的位置，記作ri?rj(ci?cj)。010010的等價(jià)，它稱為矩陣0矩陣；對A作一次初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的n×n初等矩陣。（2）任意一個(gè)s×n矩陣A都與一形式為00100000100把n級(jí)矩陣A，E這兩個(gè)n×n矩陣湊在一起，得到一個(gè)n×2n矩陣(AE)，用初等行f(x1,x2,,xn)=a11x12+2a12x1x2++2a1nx1xn+a22x++2a2nx2xn++annx稱成矩陣形式f(x1,x2,,xn)=X'AX。其中X=(x1,x2,,xn)'，A=(aij)n×n，A'=A。A稱為二次型f(x1,x2,,xn)的矩陣。秩（A）稱為二次型f(x1,x2,,xn)的秩。定理數(shù)域P上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)型定理任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換化成規(guī)范型定理任意一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶木€性替換化成規(guī)范型z12+z++z?z+1??z+q，且規(guī)范形是唯一的，其中p稱為此二次型的正慣性指數(shù)，q=r?p稱為此二次型的負(fù)慣指數(shù)，s=p?q稱為此二次型的符號(hào)差。①正定二次型：實(shí)二次型f(x1,x2,,xn)稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的②正定矩陣：實(shí)對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型X'AX正定。③負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定的二次型：設(shè)f(x1,x2,,xn)是一實(shí)二次型，對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)c1,c2,,cn,如果f(c1,c2,,cn)<0，那么f(x1,x2,,xn)稱為負(fù)定的；如果都有f(c1,c2,,cn)≥0那么稱f(x1,x2,,xn)為半正定的；如果都有f(c1,c2,,cn)≤0，那么f(x1,x2,,xn)稱為半負(fù)定的；如果它既不是半正定的又不是半負(fù)定的，那么f(x1,x2,,xn)就稱為不定的。①f(x1,x2,,xn)是正定的；③f(x1,x2,,xn)的正慣指數(shù)為n；⑤A的各階順序主子式大于零。設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)數(shù)域。在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算；這種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于屬于P中任意數(shù)k與V中任意元素α，在V中都有唯一的元素δ與它們對應(yīng)，稱為k與α的數(shù)量乘積，記為δ=kα。如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的線性空間。（1）α+β=β+α；0稱為V的零元素（4）對于V中的每一個(gè)元素α，都有V中的元素β，使得α+β=0（β稱為α的（8）k(α+β)=kα+kβ。向量，那么V就稱為n維的。如果在V中可以找到任意多個(gè)線性無關(guān)的向量，那么V就x3y2dimVx3y2dimV+dimV=可以用它們線性表出，那么V是n維的，而α1,α2,,αn就是V的一組基。a11an1annan1e1,e2,,en的過度矩陣為A，向量α在這兩組基下的坐標(biāo)分別為(x1,x2,,xn)與y1(y1,y2,,yn)，則2xy3x4y4（2）線性空間V的非空子集W是V的子空間的充分必要條件是W對于V的兩種運(yùn)算的映射σ，具有以下性質(zhì)：①σ(α+β)=σ(α)+σ(β)；②σ(kα)=kσ(α)。其中α，β是V中任意向量，k是P中任意數(shù)，這樣的映射σ稱為同構(gòu)映射。線性空間V的的一個(gè)變換A稱為線性變換，如果對于V中任意元素α，β和數(shù)域P中任意數(shù)k，都有A(α+β)=A(α)+A(β)，A(kα)=kA(α)。設(shè)A，B是數(shù)域P上線性空間V的兩個(gè)線性變換，k∈P。（1）加法：(A(B)(α)=A(α)+B(α)（2）數(shù)乘：(kA)(α)=kA(α)（3）乘法：(AB)(α)=(A)(B(α))（4）逆變換：V的變換A稱為可逆的，如果有V的變換B，使AB=BA=E（V的矩陣y1矩陣y1x1Ae=aε+aε++aεy2=Ax2計(jì)算。換，基向量的象可以被基線性表出：22112222nn，用矩陣來表示是Aen=an1ε1+an2ε2++annεnA(ε1,ε2,,εn)=(Aε1,Aε2,,Aεn)=(ε1,ε2,,εn)A，其中A=按公式對應(yīng)一個(gè)n×n矩陣。這個(gè)對應(yīng)具有以下性質(zhì)：ynxn使得B=X?1AX,就說A相似于B。向量ξ，使得Aξ=λ0ξ,那么λ0稱為A的一個(gè)特征值，ξ稱為A的屬于特征值λ0的一個(gè)特設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，λ是一個(gè)文字，矩陣λE?A的行列式λE?A=λ?a??λ?ann稱為A的特征多項(xiàng)式，這是數(shù)域P上的一個(gè)n次多項(xiàng)式，的充要條件是，A有n個(gè)線性無關(guān)的特征值。根，即A有n個(gè)不同的特征值，那么A在某組基下的矩陣是對角矩陣。設(shè)A，B為數(shù)域P上兩個(gè)n級(jí)矩陣,如果可以找到數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣X,使得B=X?1AX,就說A相似于B，記為A~B.(α,α)稱為向量α的長度，記為αα(α,α)稱為向量α的長度，記為αα,β規(guī)定為αβ(α,α)表示。AV是V的子空間，dim(AV)稱為A的秩，所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，記為A?1(0)。A?1(0)是V的子空間，維（dim(A?1(0))）稱為A的零度。2、設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，ε1,ε2,,εn是V的一組基。在這組基下A的矩陣是A，則3、設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，則dim(AV)+dim(A?1(0))=n。設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果W中的向量在A下的象仍在W中，就稱W是A的不變子空間，簡稱A-子空間。1、設(shè)V是是數(shù)域R上一線性空間，在V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，記為k是任意實(shí)數(shù)，這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間。3、非零向量α，β的夾角α,β=arccos，0≤α,β≤π。4、如果向量α，β的內(nèi)積為零，即(α,β)=0，那么α，β稱為正交或互相垂直，記為α⊥β。5、設(shè)V是一個(gè)n維歐幾里得空間，在V中取一組基ε1,ε2,,εn令aij=(εi,εj)，1、實(shí)數(shù)域R上歐氏空間V與V'稱為同構(gòu)，如果由V到V'有一個(gè)1-1上的映射σ，適合（3）(σ(α),σ(β))=(α,β)；這里α,β∈V，k∈R，這樣的映射σ稱為V到V'的同構(gòu)映射。的α,β∈V都有(Aα,Aβ)=(α,β)設(shè)A是歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面4個(gè)命題等價(jià)：（2）A保持向量的長度不變，即對于α∈V，Aα=α；（1）設(shè)A是歐氏空間V中的一個(gè)線性變換，如果對于任意的α,β∈V，有(Aα,β)=(α,Aβ)則稱A為對稱變換。②設(shè)A是對稱變換，V1是A-子空間，則V1⊥也是A-子空間；③設(shè)A是n維歐氏空間V中的對稱變換，則V中存在一組由A得特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)1,j1,j=i0,j≠i1、長度α?β稱為向量α和β的距離，記為d(α,β)，且2112222nn2an1x1+an2x2++annxn?bn=0ni=13、線性方程組AX=b的最小二乘解即為滿足方程組A'AX=A'b的解X0。(1)設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，f是V到P的一個(gè)映射,如果f滿足：①f(α+β)=f(α)+f(β)②f(kα)=kf(α)其中α,β是V中任意元素，k是P中任意數(shù)，則稱f為V上的一個(gè)線性函數(shù)。（2）設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)n維線性空間。V上全體線性函數(shù)組成的集合記作L(V,P)。用自然數(shù)方法定義L(V,P)中的加法和數(shù)量乘法，L(V,P)稱為數(shù)域P上的線性（3）設(shè)數(shù)域P上n維線性空間V的一組基為ε1,ε2,,εn，作V上n個(gè)線性函數(shù)f1,f2,,fn，使得fi(εi)=i,j=1,2,,n則f1,f2,,fn為L(V,P)的一組基，（2）設(shè)ε1,ε2,,εn及η1,η2,,ηn是線性空間V的兩組基，它們的對偶基分別為f1,f2,,fn及g1,g2,,gn。如果由ε1,ε2,,εn到η1,η2,,ηn的過度矩陣為A，那么由f1,f2,,fn到g1,g2,,gn的過度矩陣為(A')?1。一個(gè)函數(shù)x**如下：x**(f)=f(x)，f∈V*容易驗(yàn)證x**上的一個(gè)線性函數(shù)，因此是V*的對偶空間(V*)*=V**中的一個(gè)元素，映射x|→x**是V到V**的一個(gè)同構(gòu)映射。（1）設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)線性空間，f(α,β)是V上一個(gè)二元函數(shù)。如果f(α,β)有①f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2)；②f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β)；其中α,α1,α2,β,β1,β2是V中任意向量，k1,k2是P中任意數(shù)，則稱f(α,β)為V上的一一組基，則矩陣A=(f(εi,εj))n×n叫做f(α,β)在ε1,ε2,,εn下的度量矩陣。成立可推出α=0，f就叫做非退化的。f(α,β)=f(β,α)則稱f(α,β)為對稱雙線性函數(shù)。如果對V中任意兩個(gè)向量α,β都有f(α,β)=?f(β,α)則稱f(α,β)為反對稱雙線性函數(shù)。（2）設(shè)V是數(shù)域P上線性空間，f(α,β)是V上雙線性函數(shù)。當(dāng)α=β時(shí)，V上函數(shù)f(α,α)稱為與f(α