（1）定義：由s×n個數aij（i=1,2,s；j=1,2,n）排成s行n列的數表a11as1，稱為s行n列矩陣，簡記為A=(aij)s×n。asna11as1①A+B=B+Aa11as1④A+(?A)=Oasnkas1kasn③k(lA)=(kl)A。②k(A+B)=kA+kBa11as1④A+(?A)=O=aann①(AB)C=A(BC)③(B+C)A=BA+CA②A(B+C)=AB+AC④k(AB)=A(kB)=(kA)B①AB≠BA②AB=AC，A≠0，?B=C③AB=0?A=0或A=0as1asnan1ans①(A')'=A③(AB)'=B'A'②(A+B)'=A'+B'。①|A'|=|A|a11an1中元素aij的代數余子式，矩陣AlBlAlBl0?1A*A11A*=稱為A的伴隨矩陣。|A|（3）設A是s×n矩陣，如果P是s×s可逆矩陣，Q是n×n可逆矩陣，那么rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)A10B1A1B10A1+B10A1?10①用一個非零的數k乘矩陣的第i行（列）記作ri×k(ci×k)②互換矩陣中i，j兩行（列）的位置，記作ri?rj(ci?cj)。010010的等價，它稱為矩陣0矩陣；對A作一次初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應的n×n初等矩陣。（2）任意一個s×n矩陣A都與一形式為00100000100把n級矩陣A，E這兩個n×n矩陣湊在一起，得到一個n×2n矩陣(AE)，用初等行f(x1,x2,,xn)=a11x12+2a12x1x2++2a1nx1xn+a22x++2a2nx2xn++annx稱成矩陣形式f(x1,x2,,xn)=X'AX。其中X=(x1,x2,,xn)'，A=(aij)n×n，A'=A。A稱為二次型f(x1,x2,,xn)的矩陣。秩（A）稱為二次型f(x1,x2,,xn)的秩。定理數域P上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換化成標準型定理任意一個復系數的二次型經過一適當的非退化的線性替換化成規范型定理任意一個實系數的二次型經過一適當的非退化的線性替換化成規范型z12+z++z?z+1??z+q，且規范形是唯一的，其中p稱為此二次型的正慣性指數，q=r?p稱為此二次型的負慣指數，s=p?q稱為此二次型的符號差。①正定二次型：實二次型f(x1,x2,,xn)稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的②正定矩陣：實對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型X'AX正定。③負定、半正定、半負定、不定的二次型：設f(x1,x2,,xn)是一實二次型，對于任意一組不全為零的實數c1,c2,,cn,如果f(c1,c2,,cn)<0，那么f(x1,x2,,xn)稱為負定的；如果都有f(c1,c2,,cn)≥0那么稱f(x1,x2,,xn)為半正定的；如果都有f(c1,c2,,cn)≤0，那么f(x1,x2,,xn)稱為半負定的；如果它既不是半正定的又不是半負定的，那么f(x1,x2,,xn)就稱為不定的。①f(x1,x2,,xn)是正定的；③f(x1,x2,,xn)的正慣指數為n；⑤A的各階順序主子式大于零。設V是一個非空集合，P是一個數域。在集合V的元素之間定義了一種代數運算；這種運算，叫做數量乘法；這就是說，對于屬于P中任意數k與V中任意元素α，在V中都有唯一的元素δ與它們對應，稱為k與α的數量乘積，記為δ=kα。如果加法與數量乘法滿足下述規則，那么V稱為數域P上的線性空間。（1）α+β=β+α；0稱為V的零元素（4）對于V中的每一個元素α，都有V中的元素β，使得α+β=0（β稱為α的（8）k(α+β)=kα+kβ。向量，那么V就稱為n維的。如果在V中可以找到任意多個線性無關的向量，那么V就x3y2dimVx3y2dimV+dimV=可以用它們線性表出，那么V是n維的，而α1,α2,,αn就是V的一組基。a11an1annan1e1,e2,,en的過度矩陣為A，向量α在這兩組基下的坐標分別為(x1,x2,,xn)與y1(y1,y2,,yn)，則2xy3x4y4（2）線性空間V的非空子集W是V的子空間的充分必要條件是W對于V的兩種運算的映射σ，具有以下性質：①σ(α+β)=σ(α)+σ(β)；②σ(kα)=kσ(α)。其中α，β是V中任意向量，k是P中任意數，這樣的映射σ稱為同構映射。線性空間V的的一個變換A稱為線性變換，如果對于V中任意元素α，β和數域P中任意數k，都有A(α+β)=A(α)+A(β)，A(kα)=kA(α)。設A，B是數域P上線性空間V的兩個線性變換，k∈P。（1）加法：(A(B)(α)=A(α)+B(α)（2）數乘：(kA)(α)=kA(α)（3）乘法：(AB)(α)=(A)(B(α))（4）逆變換：V的變換A稱為可逆的，如果有V的變換B，使AB=BA=E（V的矩陣y1矩陣y1x1Ae=aε+aε++aεy2=Ax2計算。換，基向量的象可以被基線性表出：22112222nn，用矩陣來表示是Aen=an1ε1+an2ε2++annεnA(ε1,ε2,,εn)=(Aε1,Aε2,,Aεn)=(ε1,ε2,,εn)A，其中A=按公式對應一個n×n矩陣。這個對應具有以下性質：ynxn使得B=X?1AX,就說A相似于B。向量ξ，使得Aξ=λ0ξ,那么λ0稱為A的一個特征值，ξ稱為A的屬于特征值λ0的一個特設A是數域P上的一個n級矩陣，λ是一個文字，矩陣λE?A的行列式λE?A=λ?a??λ?ann稱為A的特征多項式，這是數域P上的一個n次多項式，的充要條件是，A有n個線性無關的特征值。根，即A有n個不同的特征值，那么A在某組基下的矩陣是對角矩陣。設A，B為數域P上兩個n級矩陣,如果可以找到數域P上的n級可逆矩陣X,使得B=X?1AX,就說A相似于B，記為A~B.(α,α)稱為向量α的長度，記為αα(α,α)稱為向量α的長度，記為αα,β規定為αβ(α,α)表示。AV是V的子空間，dim(AV)稱為A的秩，所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，記為A?1(0)。A?1(0)是V的子空間，維（dim(A?1(0))）稱為A的零度。2、設A是n維線性空間V的線性變換，ε1,ε2,,εn是V的一組基。在這組基下A的矩陣是A，則3、設A是n維線性空間V的線性變換，則dim(AV)+dim(A?1(0))=n。設A是數域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果W中的向量在A下的象仍在W中，就稱W是A的不變子空間，簡稱A-子空間。1、設V是是數域R上一線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記為k是任意實數，這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間。3、非零向量α，β的夾角α,β=arccos，0≤α,β≤π。4、如果向量α，β的內積為零，即(α,β)=0，那么α，β稱為正交或互相垂直，記為α⊥β。5、設V是一個n維歐幾里得空間，在V中取一組基ε1,ε2,,εn令aij=(εi,εj)，1、實數域R上歐氏空間V與V'稱為同構，如果由V到V'有一個1-1上的映射σ，適合（3）(σ(α),σ(β))=(α,β)；這里α,β∈V，k∈R，這樣的映射σ稱為V到V'的同構映射。的α,β∈V都有(Aα,Aβ)=(α,β)設A是歐氏空間V的一個線性變換，于是下面4個命題等價：（2）A保持向量的長度不變，即對于α∈V，Aα=α；（1）設A是歐氏空間V中的一個線性變換，如果對于任意的α,β∈V，有(Aα,β)=(α,Aβ)則稱A為對稱變換。②設A是對稱變換，V1是A-子空間，則V1⊥也是A-子空間；③設A是n維歐氏空間V中的對稱變換，則V中存在一組由A得特征向量構成的標準1,j1,j=i0,j≠i1、長度α?β稱為向量α和β的距離，記為d(α,β)，且2112222nn2an1x1+an2x2++annxn?bn=0ni=13、線性方程組AX=b的最小二乘解即為滿足方程組A'AX=A'b的解X0。(1)設V是數域P上的一個線性空間，f是V到P的一個映射,如果f滿足：①f(α+β)=f(α)+f(β)②f(kα)=kf(α)其中α,β是V中任意元素，k是P中任意數，則稱f為V上的一個線性函數。（2）設V是數域P上的一個n維線性空間。V上全體線性函數組成的集合記作L(V,P)。用自然數方法定義L(V,P)中的加法和數量乘法，L(V,P)稱為數域P上的線性（3）設數域P上n維線性空間V的一組基為ε1,ε2,,εn，作V上n個線性函數f1,f2,,fn，使得fi(εi)=i,j=1,2,,n則f1,f2,,fn為L(V,P)的一組基，（2）設ε1,ε2,,εn及η1,η2,,ηn是線性空間V的兩組基，它們的對偶基分別為f1,f2,,fn及g1,g2,,gn。如果由ε1,ε2,,εn到η1,η2,,ηn的過度矩陣為A，那么由f1,f2,,fn到g1,g2,,gn的過度矩陣為(A')?1。一個函數x**如下：x**(f)=f(x)，f∈V*容易驗證x**上的一個線性函數，因此是V*的對偶空間(V*)*=V**中的一個元素，映射x|→x**是V到V**的一個同構映射。（1）設V是數域P上一個線性空間，f(α,β)是V上一個二元函數。如果f(α,β)有①f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2)；②f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β)；其中α,α1,α2,β,β1,β2是V中任意向量，k1,k2是P中任意數，則稱f(α,β)為V上的一一組基，則矩陣A=(f(εi,εj))n×n叫做f(α,β)在ε1,ε2,,εn下的度量矩陣。成立可推出α=0，f就叫做非退化的。f(α,β)=f(β,α)則稱f(α,β)為對稱雙線性函數。如果對V中任意兩個向量α,β都有f(α,β)=?f(β,α)則稱f(α,β)為反對稱雙線性函數。（2）設V是數域P上線性空間，f(α,β)是V上雙線性函數。當α=β時，V上函數f(α,α)稱為與f(α