試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁考05乘法公式【考點梳理】1．乘法的平方差公式:2．乘法的完全平方公式:【題型探究】題型一：運用平方差公式計算1．（2022·河北邯鄲·統考二模）若，則n的值是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20202．（2022·江蘇揚州·統考二模）若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·吉林松原·校考一模）小淇將（2021x+2022）2展開后得到a1x2+b1x+c1，小堯將（2022x﹣2021）2展開后得到a2x2+b2x+c2，若兩人計算過程無誤，則c1﹣c2的值為（）A．2021 B．2022 C．4043 D．1題型二：平方差和幾何圖型問題4．（2021·全國·九年級專題練習）在探索因式分解的公式時，可以借助幾何圖形來解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是（）A． B．C． D．5．（2022春·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）在邊長a為的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（如圖1），把余下的部分拼成一個長方形（如圖2），根據兩個圖中陰影部分面積相等，可以驗證（

）A．B．C．D．6．（2020·河北·模擬預測）如圖所示，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的等式為（

）A． B．C． D．題型三：完全平方式的變形求值7．（2022·江蘇南通·統考中考真題）已知實數m，n滿足，則的最大值為（

）A．24 B． C． D．8．（2022·河北張家口·統考一模）若，則的值為（

）A．18 B． C．6 D．9．（2022·四川宜賓·九年級專題練習）已知、是一元二次方程－－7＝0的兩個實數根，則＋4＋的值是（

）A．6 B．2 C．4 D．-13題型四：完全平方公式在幾何的應用10．（2022·廣西·中考真題）如圖，是利用割補法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應的是（

）A． B．C． D．11．（2022·廣東梅州·統考一模）趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設“趙爽弦圖”中直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為14，則小正方形的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022·貴州貴陽·統考一模）把長和寬分別為a和b的四個相同的小長方形按不同的方式拼成如圖1的正方形和如圖2的大長方形這兩個圖形，由兩圖形中陰影部分面積之間的關系正好可以驗證下面等式的正確性的是（

）A． B．C． D．題型五：完全平方式13．（2022·廣東茂名·統考二模）關于m、n的整式m2+kmn+9n2是完全平方式，則k的值為（）A．6 B．-6 C．±6 D．±1814．（2021·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市實驗學校校考一模）若，則的值可以是（

）A． B． C． D．15．（2020·廣東深圳·校考模擬預測）若是完全平方式，則實數的值為（

）A． B． C． D．題型六：乘法公式的綜合問題16．（2022·新疆·模擬預測）計算：(1)；(2)，其中．17．（2022·湖南邵陽·統考模擬預測）先化簡，再求值：，其中，．18．（2022·湖北荊門·統考中考真題）已知x+＝3，求下列各式的值：(1)（x﹣）2；(2)x4+．【必刷基礎】一、單選題19．（2022·寧夏銀川·校考一模）下面等式：，，，，，，其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2022·四川綿陽·校考二模）已知實數滿足．若，且，則的最小值是（

）A．6 B． C．3 D．021．（2022·廣東東莞·校考一模）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．22．（2022·廣東東莞·校考一模）下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．23．（2021·重慶開州·校考一模）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．24．（2022春·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學校考開學考試）三角形的三邊，，滿足，則此三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【必刷培優】一、單選題25．（2018·山東威海·統考中考模擬）已知，，則代數式的值為（

）A．9 B． C．3 D．526．（2021·湖南婁底·統考二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進行因式分解，則m的值為（

）A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，327．（2022·山東濟寧·統考二模）若二次三項式是一個完全平方式，則的可能值是（

）A． B．12 C．6 D．28．（2022·青海·統考中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題29．（2021·四川眉山·校考模擬預測）已知實數a、b滿足，則的值為____________．30．（2022·四川成都·統考二模）已知，則的值是______．31．（2022·山東濟南·濟南育英中學校考模擬預測）已知實數a，b，c滿足，，則_____．32．（2022·河北石家莊·校聯考三模）如圖，圖為邊長為的大正方形中有一個邊長為的小正方形，圖是由圖中陰影部分拼成的一個長方形．（1）以上兩個圖形反映了等式：______；（2）運用（1）中的等式，計算______．33．（2022·浙江麗水·一模）已知，實數m，n滿足，．（1）若，則_______；（2）若，則代數式的值是______________．34．（2021·廣西百色·一模）直接寫出計算結果：(1)______；(2)______；(3)______；(4)______．35．（2022·貴州遵義·統考一模）楊輝三角，又稱賈憲三角，其中揭示了（為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律如下：…則展開式中所有項的系數和是______．三、解答題36．（2022·浙江杭州·杭州育才中學校考模擬預測）利用乘法公式計算：(1)；(2)．37．（2022·重慶·模擬預測）計算：(1)；(2)．38．（2022·河北石家莊·校聯考三模）已知：整式，，，整式．(1)當時，寫出整式的值______（用科學記數法表示結果）；(2)求整式；(3)嘉淇發現：當取正整數時，整式、、滿足一組勾股數，你認為嘉淇的發現正確嗎？請說明理由．39．（2022·廣東佛山·佛山市華英學校校考三模）計算：(1)；(2)．(3)．40．（2022·貴州六盤水·統考中考真題）如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為，的正方形秧田，，其中不能使用的面積為．(1)用含，的代數式表示中能使用的面積___________；(2)若，，求比多出的使用面積．參考答案：1．D【分析】原式先提取公因式，再運用平方差公式進行計算即可．【詳解】解：===∵∴∴∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了整式的運算，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵．2．B【分析】根據完全平方公式化簡根號內的算式，即可求解．【詳解】解：,,故選:B.【點睛】本題考查了求一個數的立方根，完全平方公式與平方差公式，正確的計算是解題的關鍵．3．C【分析】根據完全平方公式展開求出c1，c2，根據平方差公式求值即可．【詳解】解：∵（2021x+2022）2展開后得到a1x2+b1x+c1，∴c1＝20222，∵（2022x﹣2021）2展開后得到a2x2+b2x+c2，∴c2＝20212，∴c1﹣c2＝20222﹣20212＝（2022+2021）×（2022﹣2021）＝4043×1＝4043．故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式與平方差公式，熟練掌握以上公式是解題的關鍵．4．B【分析】由面積相等列式可得答案．【詳解】解：從左圖到右圖的變化過程中，由面積相等可得，故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用兩個圖形的面積相等列式是關鍵，屬于基礎題．5．B【分析】分別計算這兩個圖形陰影部分面積，根據面積相等即可得到結果．【詳解】解：第一個圖形的陰影部分的面積為：，第二個圖形陰影部分的面積為：，則，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確表示出兩個圖形中陰影部分的面積是關鍵．6．A【分析】根據正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發現這兩個圖形陰影部分的面積=a2-b2=（a+b）（a-b）．【詳解】解：左邊圖形的陰影部分的面積=a2-b2右邊的圖形的面積=（a+b）（a-b）．∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了平方差公式．掌握利用圖形面積證明代數恒等式是解本題的關鍵．7．B【分析】先將所求式子化簡為，然后根據及求出，進而可得答案．【詳解】解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值為，故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式的應用，不等式的性質，正確對所求式子化簡并求出的取值范圍是解題的關鍵．8．B【分析】先化簡原式，再將整體代入即可求解．【詳解】解：，將，代入上式可得：原式，故選：B．【點睛】本題考查代數式化簡求值，涉及到完全平方公式，解題的關鍵是正確化簡原式，理解整體思想．9．D【分析】根據根與系數關系定理，結合完全平方公式進行變形計算即可．【詳解】∵、是一元二次方程－－7＝0的兩個實數根，∴，∴==-13故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數關系定理，完全平方公式，熟練掌握定理和靈活進行公式變形是解題的關鍵．10．A【分析】根據大正方形的面積=邊長為a的正方形的面積+兩個長為a，寬為b的長方形的面積+邊長為b的正方形的面積，即可解答．【詳解】根據題意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，用整體和部分兩種方法表示面積是解題的關鍵．11．C【分析】設直角三角形斜邊上為c，根據勾股定理可得，由大正方形的面積為14，可得，根據完全平方公式的變形可得，便可求解．【詳解】設直角三角形斜邊上為c，直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，，大正方形的面積為14，，，，，所以，小正方形的面積為4，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用及完全平方公式的變形，熟練掌握知識點是解題的關鍵．12．D【分析】由圖1可得：陰影部分的面積為：由圖2可得：陰影部分的面積為：再利用陰影部分的面積相等可得答案.【詳解】解：由圖1可得：陰影部分的面積為：由圖2可得：陰影部分的面積為：由陰影部分的面積相等可得：故選D【點睛】本題考查的是利用幾何圖形的面積證明乘法公式，掌握“利用圖形面積的不同的計算方法證明乘法公式”是解本題的關鍵.13．C【分析】根據完全平方式的定義：形如的式子叫做完全平方式，進行求解即可【詳解】解：∵關于m、n的整式m2+kmn+9n2是完全平方式，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的定義是解題的關鍵．14．D【分析】由題意可知為完全平方式，可得，則，代入求解即可【詳解】解：由題意可知為完全平方式由可得，將代入得，則將代入得，則故選D【點睛】此題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．15．C【分析】本題是已知平方項求乘積項，根據完全平方式的形式可得出k的值．【詳解】由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：kx=±2?2x?，解得k=±．故選：C【點睛】本題關鍵是有平方項求乘積項，掌握完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2是關鍵．16．(1)(2)，原式【分析】（1）根據平方差公式和完全平方公式計算即可；（2）先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡，再將的值代入計算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式，當時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值、平方差公式和完全平方公式，能正確根據分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．17．，【分析】先根據分式混合運算順序和運算法則化簡原式，再代入求解即可．【詳解】解：當，時，原式=．【點睛】本題考查了分式的化簡求值、完全平方公式、平方差公式等知識點，解題的關鍵是掌握分式混合運算的順序和運算法則．18．(1)5(2)47【分析】（1）由＝、＝，進而得到﹣4x?即可解答；（2）由＝可得=7，又＝，進而得到＝﹣2即可解答．【詳解】（1）解：∵＝∴＝＝＝﹣4x?＝32﹣4＝5．（2）解：∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．【點睛】本題主要考查通過對完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運用是解答本題的關鍵．19．B【分析】①②⑥為二次根式的運算，③④⑤為整式運算，分別依據運算法則計算即可判斷對錯．【詳解】解：，故錯誤；，故錯誤；，故錯誤；，故正確；，故錯誤；，故正確，正確的有兩個，故選：B．【點睛】本題考查了整式及二次根式的運算，關鍵是掌握運算法則，關注計算過程，提高運算準確性．20．A【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得出，將代數式化簡，然后整體代入求解即可【詳解】解：∵實數滿足，∴、是方程的兩個根，∴，∴∵，且，∴的最小值是，故選：A．【點睛】題目主要考查一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式及求代數式的值，熟練掌握根與系數的關系是解題關鍵．21．D【分析】直接利用積的乘方運算法則、合并同類項、完全平方公式分別判斷得出答案．【詳解】解：A、，故此選項不合題意；B、，故此選項不合題意；C、，故此選項不合題意；D、，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了積的乘方運算法則、合并同類項、完全平方公式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．22．B【分析】根據單項式乘法和同底數冪乘法法則計算并判定A；根據冪的乘方和同底數冪的除法法則計算并判定B；根據積的乘方和冪的乘方計算并判定C；根據平方差公式計算并判定D．【詳解】解：A、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；B、，計算正確，故此選項符合題意；C、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；D、，原計算錯誤，故此選項不符合題意故選：B．【點睛】本題考查整式的運算．熟練掌握整式的運算法則計：單項式乘法和同底數冪乘法法則，冪的乘方和同底數冪的除法法則，積的乘方法則，平方差公式是解題詞的關鍵．23．B【分析】根據整式的加減乘除運算法則進行計算，即可判斷．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，正確，符合題意；C、2x、2y不是同類項，不能合并，故不符合題意；D、，故不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了整式的運算，包含冪的運算，整式的加減與乘除，掌握基本的運算法則是解出此題的關鍵．24．B【分析】將所給出的等式化簡可得，利用勾股定理的逆定理可求解．【詳解】解：三角形的三邊，，滿足，，，三角形為直角三角形．故選：B．【點睛】本題主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握將等式變形為．25．C【分析】計算出m?n及mn的值，再運用完全平方公式可把根號內的算式用m?n及mn的代數式表示，整體代入即可完成求值．【詳解】∵，，∴，mn=-1，∴=3．故選：C．【點睛】本題考查了求代數式的值，二次根式的混合運算，完全平方公式的應用，對被開方數進行變形并運用整體代入法求值是關鍵．26．D【分析】利用完全平方公式的運算判斷即可．【詳解】∵x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進行因式分解，∴m﹣1＝±2，解得：m＝﹣1或m＝3．故選：D．【點睛】此題考查使用完全平方公式的條件，屬于基礎題．27．D【分析】根據完全平方式的概念進行判斷即可．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴m=2×2×3=，故選：D．【點睛】本題考查完全平方式，掌握完全平方式為或是解題關鍵．28．D【分析】根據合并同類項，完全平方公式，平方差公式，因式分解計算即可．【詳解】A.選項，3x2與4x3不是同類項，不能合并，故該選項計算錯誤，不符合題意；B.選項，原式=，故該選項計算錯誤，不符合題意；C.選項，原式=，故該選項計算錯誤，不符合題意；D.選項，原式=，故該選項計算正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了合并同類項，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展開有三項是解題的易錯點．29．【分析】利用非負數的和為0，每個非負數均為0，求出的值，再利，求值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查代數式求值．熟練掌握非負數的和為0，每個非負數均為0，以及整體思想代入求值，是解題的關鍵．30．4【分析】根據，對化簡，再把代入，即可．【詳解】∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查平方差的知識，解題的關鍵是掌握平方差公式：．31．##2.5【分析】靈活運用立方和公式進行轉換，再從中找到相應規律求出的值即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了代數式求值及立方和公式，解題關鍵是找到相應的公式進行轉換．32．

1【分析】根據圖和圖中陰影部分的面積相等列式進行計算即可得出答案；原式可化為，再根據中的結論進行計算即可得出答案．【詳解】解：根據題意可得，圖中陰影部分的面積為：，圖中長方形的長為，寬為，面積為：，則兩個圖形陰影部分面積相等，；故答案為：；（2）．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式的幾何背景問題的解決方法進行求解是解決本題的關鍵．33．

7

42或252##252或42【分析】（1）將已知式子因式分解代入得出，然后利用兩個完全平方公式之間的關系求解即可；（2）利用（1）中結論得出或，然后分兩種情況，將原式化簡代入求值即可．【詳解】解：（1）∵m+n=3，∴，∴，∴，∴，∵m>n，∴，∴；（2），由（1）得或解得：或當m=5，時，∵，∴，∴m+p=2，∴原式；當，n=5時，∵，∴，∴，∴原式；∴代數式的值為42或252；故答案為：①7；②42或252．【點睛】題目主要考查因式分解的運用，求代數式的值及完全平方公式與平方差公式，熟練掌握運算法則進行變換是解題關鍵．34．

【分析】直接利用積的乘方運算法則以及單項式與單項式的除法運算法則計算得出答案；逆用積的乘方法則計算得出答案；直接利用積的乘方運算法則計算得出答案；直接利用平方差公式計算得出答案．【詳解】解：；；；．故答案為：；；；．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．35．1024【分析】根據“楊輝三角”展開式中所有項的系數和規律確定出（a+b）n（n為非負整數）展開式的項系數和為2n，求出系數之和即可．【詳解】解：當n=0時，展開式中所有項的系數和為1=20，當n=1時，展開式中所有項的系數和為2=21，當n=2時，展開式中所有項的系數和為4=22，當n=3時，展開式中所有項的系數和為8=23???由此可知（a+b）n展開式的各項系數之和為2n，則（a+b）10展開式中所有項的系數和是210=1024，故答案為：1024