…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數學上冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、在等比數列{an}中，已知a1=a5=9，則a3=（）

A.1

B.3

C.±1

D.±3

2、由直線與圓相切時，圓心到切點連線與直線垂直，想到平面與球相切時，球心與切點連線與平面垂直，用的是（）A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.其它推理3、【題文】函數的圖像如圖所示，A為圖像與x軸的交點,過點A的直線與函數的圖像交于C、B兩點.則（）

A.-8B.-4C.4D.84、【題文】關于有以下命題；其中正確的個數（）

①若則②圖象與圖象相同；③在區間上是減函數；④圖象關于點對稱.A.0B.1C.2D.35、【題文】在實數集R上隨機取一個數x，事件A=“sinx≥0,x∈[0，2]”，事件B=“”，則P（B︱A）=（）A.B.C.D.6、【題文】扇形的周長是16，圓心角是2弧度，則扇形的面積是（）A.B.C.16D.327、【題文】連擲兩次骰子得到的點數分別為m和n，記向量與向量的夾角為θ，則的概率是（）A.B.C.D.8、下列函數中，在內為增函數的是（）A.y=sinxB.y=C.D.y=lnx-x9、已知鈻?ABC

的周長是16A(鈭?3,0)B(3,0)

則動點C

的軌跡方程是(

)

A.x225+y216=1

B.x225+y216=1(y鈮?0)

C.x216+y225=1

D.x216+y225=1(y鈮?0)

評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)10、已知橢圓的左右焦點為若存在動點滿足且的面積等于則橢圓離心率的取值范圍是.11、設向量若則等于___________12、世衛組織規定，PM2．5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標．清遠市環保局從市區2013年全年每天的PM2．5監測數據中隨機抽取15天的數據作為樣本，監測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉），從這15天的數據中任取3天的數據，則恰有一天空氣質量達到一級的概率為_________（用分數作答）．13、已知單位向量，的夾角為60°，則____。14、某廠生產電子元件，產品的次品率為現從一批產品中任意連續抽出100件，記次品數為則____．15、“a＞0，b＞0”是“≥2”的____條件．16、甲兩人在天每天加工件的個數用葉圖表示圖，中間一列的數字表示件數的十數，邊的數字表示件個數的個位數，這10天甲、乙兩人加工零件的平均數為______和______．

評卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)17、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

18、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）19、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）20、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

21、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）22、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）23、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共15分)24、（本小題滿分12分）已知橢圓（）的離心率連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交另一點若求直線的傾斜角.25、在平面直角坐標系xOy中，以C（1，-2）為圓心的圓與直線相切．

（1）求圓C的方程；

（2）求過點（3，4）且截圓C所得的弦長為的直線方程．

26、如圖；在四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱VA⊥底面ABCD，點E為VA的中點．

（Ⅰ）求證：VC∥平面BED；

（Ⅱ）求證：平面VAC⊥平面BED．

評卷人得分五、計算題(共2題，共20分)27、1.（本小題滿分10分）某班組織知識競賽，已知題目共有10道，隨機抽取3道讓某人回答，規定至少要答對其中2道才能通過初試，他只能答對其中6道，試求：（1）抽到他能答對題目數的分布列；（2）他能通過初試的概率。28、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．評卷人得分六、綜合題(共4題，共12分)29、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．30、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．31、已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，S3=0．32、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設數列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數列．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、A【分析】

∵a1=a5=9；

由等比數列的性質可知，=1

∴a3=±1

當a3=-1時，=-9不合題意。

∴a3=1

故選A

【解析】【答案】由等比數列的性質可知，可求。

2、C【分析】【解析】試題分析：由類比推理的定義，由直線與圓相切時，圓心到切點連線與直線垂直，想到平面與球相切時，球心與切點連線與平面垂直，用的是類比推理。選C。考點：本題主要考查推理。【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

試題分析：因為函數可化為所對稱中心是所以A點的坐標是（2,0）.因為A點是對稱中心，所以點A是線段BC的中點，所以所以故選D.

考點：1.正切函數的誘導公式.2.函數的對稱性.3.向量的加法.4.向量的數量積.【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】

試題分析：①：∵∴∴①錯誤；

②：∵∴②正確；③：當時；

∴在區間上是減函數，③正確；④：當時；

∴∴④正確.

考點：三角函數的圖象與性質.【解析】【答案】D.5、C【分析】【解析】

試題分析：∵sinx≥0，x∈[0，2π]，∴x∈[0，π]，又∵=2sin（x+）≤1，∴sin（x+）≤∴x+∈[]，∴x∈[π]，故P（B|A）=

故選C

考點：本題考查了條件概率的求法。

點評：以幾何概型為載體考查了三角函數的圖象和性質，其中根據正弦函數的圖象和性質求出所有基本事件和滿足條件的基本事件的x的范圍是解答的關鍵【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】

試題分析：設扇形弧長為半徑為那么則扇形面積等于故選C.

考點：1.扇形面積公式；2.弧度制公式.【解析】【答案】C7、C【分析】【解析】由題意知本題是一個古典概型；

試驗發生包含的所有事件數6×6；

∵m＞0；n＞0；

∴=（m，n）與=（1；﹣1）不可能同向．

∴夾角θ≠0．

∵θ∈（0，】

?≥0；∴m﹣n≥0；

即m≥n．

當m=6時；n=6，5，4，3，2，1；

當m=5時；n=5，4，3，2，1；

當m=4時；n=4，3，2，1；

當m=3時；n=3，2，1；

當m=2時；n=2，1；

當m=1時；n=1．

∴滿足條件的事件數6+5+4+3+2+1

∴概率P==．

故選C．【解析】【答案】C8、C【分析】【解答】對于A,由于正弦函數是周期函數，因此不會再整個正數范圍內遞增，排除。對于B，由于因此增區間不符合題意，故錯誤，對于C,可知，函數遞增復合題意，對于D,由于則故錯誤；選C。

【分析】本題考查基本初等函數的性質，判斷的關鍵是掌握各種函數的圖象與性質，屬于容易題．9、B【分析】解：由于鈻?ABC

的周長是16A(鈭?3,0)B(3,0)

則BC+AC=10>AB

故頂點A

的軌跡是以AB

為焦點的橢圓；除去與x

軸的交點．

隆脿2a=10c=3隆脿b=4

故頂點C

的軌跡方程為x225+y216=1(y鈮?0)

故選：B

．

由題意可得BC+AC=10>AB

故頂點A

的軌跡是以AB

為焦點的橢圓，除去與x

軸的交點，利用橢圓的定義和簡單性質求出ab

的值；即得頂點C

的軌跡方程．

本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用.

解題的易錯點：最后不檢驗滿足方程的點是否都在曲線上．【解析】B

二、填空題(共7題，共14分)10、略

【分析】試題分析：設則所以存在動點使得的面積等于即即或又所以考點：橢圓的標準方程及其幾何性質.【解析】【答案】11、略

【分析】試題分析：∵∴∴∴＝＝＝．考點：1、同角三角函數基本關系；2、兩角和與差的正切函數；3、平面向量數量積的運算．【解析】【答案】12、略

【分析】試題分析：由莖葉圖知隨機抽取15天的數據中，PM2．5日均值在35微克/立方米以下的天數有5天，因此從這15天的數據中任取3天的數據，恰有一天空氣質量達到一級的概率為：．故答案為：．考點：莖葉圖．【解析】【答案】．13、略

【分析】【解析】試題分析：∵兩個單位向量，的夾角是60°，=4-4×1×1×cos60°+1=3，故考點：本題考查了向量的運算【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

因為則【解析】【答案】15、充分不必要【分析】【解答】解：ab＞0?≥2，∴“a＞0，b＞0”是“≥2”的充分不必要條件．

故答案為：充分不必要．

【分析】ab＞0?≥2，即可判斷出結論．16、略

【分析】解：由莖圖知；

甲加工零個數的平數為

故答案為：242．

葉圖中共同數是數字的十；這事解決題突破，根據所給的葉圖看出組數據代平均數個求出結果這是一個送分的題目．

本題主要莖圖的應屬于容易題．對于一組據通的是組數據的眾數，中位數，平均數目分別表示一組數據的特征，這樣的問可以出現選擇題或填空考查最基的知識點．【解析】24；23三、作圖題(共7題，共14分)17、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

18、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點之間，線段最短．20、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

21、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點之間，線段最短．23、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共15分)24、略

【分析】

由得再由解得由題意可知即解方程組得所以橢圓的方程為(Ⅱ)【解析】

由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2,0）.設點B的坐標為直線的斜率為k.則直線的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得由得從而所以由得整理得即解得k=所以直線的傾斜角為或【解析】略【解析】【答案】（Ⅰ）25、略

【分析】

（1）設圓的方程是（x-1）2+（y+2）2=r2；（1分）

依題意，∵C（1，-2）為圓心的圓與直線相切．

∴所求圓的半徑，（3分）

∴所求的圓方程是（x-1）2+（y+2）2=9．（4分）

（2）∵圓方程是（x-1）2+（y+2）2=9；

當斜率存在時；設直線的斜率為k，則直線方程為y-4=k（x-3），（5分）

即kx-y+4-3k=0；

由圓心C（1，-2）到直線的距離（6分）

即解得（8分）

∴直線方程為即4x-3y=0，（9分）

∴當斜率不存在時；也符合題意，即所求的直線方程是x=3．（11分）

∴所求的直線方程為x=3和4x-3y=0．（12分）

【解析】【答案】（1）假設圓的方程，利用以C（1，-2）為圓心的圓與直線相切；即可求得圓C的方程；

（2）分類討論，利用圓心C（1，-2）到直線的距離，過點（3，4）且截圓C所得的弦長為即可求得直線方程．

26、證明：（Ⅰ）連結OE．

∵底面ABCD是正方形；∴O為AC的中點．

又E為VA的中點；∴OE∥VC．

又VC?平面BED；OE?平面BED；

∴VC∥平面BED．

（Ⅱ）∵VA⊥平面ABCD；∴VA⊥BD．

又AC⊥BD；AC∩VA=A；

∴BD⊥平面VAC．

∵BD?平面BED；

∴平面VAC⊥平面BED．【分析】【分析】（Ⅰ）連結OE；證明：OE∥VC，利用線面平行的判定定理證明VC∥平面BED；

（Ⅱ）證明BD⊥平面VAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面VAC⊥平面BED．五、計算題(共2題，共20分)27、略

【分析】解(1)設隨機抽出的三道題目某人能答對的道數為X，且X=0、1、2、3，X服從超幾何分布，高考+資-源-網分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/328、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入關系式，化簡即可六、綜合題(共4題，共12分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系數法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最小；點D的位置即為所求．（5分）

設直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點D的坐標為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數求點D的坐標也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設直線l與x軸的交點記為點E．

由（2）知：當AD+CD最小時；點D的坐標為（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD與⊙A相切．（9分）

②∵另一點D與D（1；2）關于x軸對稱；

∴D（1，-2）．（11分）30、解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6；f（1）＞0

∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0

∴a2﹣6a﹣3＜0

∴{#mathml#}3-23<a<3+23

{#/mathml#}

∴不等式的解集為{#mathml#}a|3-23<a<3+23

{#/mathml#}

（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集為（﹣1，3），

∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集為（﹣1，3），

∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的兩個根

∴{#mathml#}-1+3=a6-a3-1×3=-6+b3

{#/mathml#}

∴{#mathml#}a=3±3,b=-3

{#/mathml#}

【分析】【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即