三角函數

一、選擇題

1.（重慶理6）若4ABC的內角A、B、C所對的邊a、b、c滿意（a+b）2—c?=4,且

C=60°,則ab的值為

42

A.3B,8-46C.1D.3

【答案】A

（?）=—（）=

o<?<---<j3<0cos^+cos^-^~~

2.（浙江理6）若2,2

,B、

cos（a+芍）=

V35石_V|

A.3B.3C.丁D.F

【答案】c

3.（天津理6）如圖，在/\ABC中，。是邊AC上的點，且

AB=CD,2AB=y/3BD,BC=2BD貝!jsinC的值為

V3

AVBo4小C

V6娓

C.~D.6

【答案】D

222則的取值范圍是

4.（四川理6）在AABC中.sinA<sinB+sinC—sin8sinCA

71TCnn

A.（0,6]B.16,萬）C.（0,3]D.[3,?）

【答案】c

【解析】由題意正弦定理

b1+C1-a11兀

cr<b2+c2-be+c2-a2Nben-------------->1ncosA>—^>0<A<—

be23

717171

.u,,

5.（山東理6）若函數/（“）=;sms?>o）在區間13」上單調遞增，在區間132」上單

調遞減，則3=

22

A.3B.2C.2D.3

【答案】C

7.（全國新課標理5）已知角°的頂點與原點重合，始邊與X軸的正半軸重合，終邊在直線

y=2無上，則cos26=

_4_334

(A)5(B)5(c)5⑴)5

【答案】B

71

8.(全國大綱理5)設函數"x)=cos如標9>0),將y=/(x)的圖像向右平移3個單位長

度后，所得的圖像與原圖像重合，則①的最小值等于

1

A.3B.3C.6D,9

【答案】C

9.(湖北理3)已知函數/(x)=6sinx—cosx,xeR,若/(x)21,則x的取值范圍為

<x\k7r+—<x<k7r+7i,keZ><x|2kn+—<x<Ikn+?,左eZ1

A.13JB.13J

TTSn71Sjl

[x\k7v+-<x<k7i+—,k^Z}{x\2k7i+-<x<2k7i+—,k^Z}

C.66JD.66

【答案】B

10.(遼寧理4)AABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=

b

"z,貝ija

(A)2幣(B)20(C)6(D)④

【答案】D

(￡+6))=1

11.(遼寧理7)設sin43；則sm28=

_7_1]_7

(A)9(B)9(C)9(D)9

【答案】A

sin2a

2

12.(福建理3)若tan。=3,則cos'a的值等于

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

13.（全國新課標理11）設函數/（勸=5皿（妙+°）+85（8+0）（0〉（）/以〈5）的最小正

周期為萬,且了（一無）=/（無）則

（0—）（―）

（A）'=/（尤）在‘2單調遞減⑴）尸/3在4'4單調遞減

（0—）5兀）

（C）,=/（"）在‘2單調遞增⑴）尸/⑴在4,4單調遞增

【答案】A

14.（安徽理9）已知函數八x）_sin（2x+°）,其中o為實數，若[6|對xeR恒

/(1)>于5)

成立，且則/（X）的單調遞增區間是

JTJT

k?r——,k7u+—?(^eZ)ki,k7r+—>(kEZ)

(A)(B)

,萬,2萬

K7V-\——,K7T-\-------(ZeZ)k7t-9,k7i\(keZ)

63

（C）(D)

【答案】C

二、填空題

15.（上海理6）在相距2千米的A.3兩點處測量目標C,若NC4B=75°,NCBA=60°

則A.0兩點之間的距離是千米。

【答案】V6

y=sin（——I-x）cos（---x）

16.（上海理8）函數26的最大值為

2+衣

【答案】4

.TC

,69>0,|^|<—

17.（遼寧理16）已知函數/（x）=Atan（°x+°）（2）,

y=/（x）的部分圖像如下圖，則24

【答案】￡

18.（全國新課標理16）43c中，8=60。,AC=瓜,則AB+2BC的最大值為

【答案】2幣

cos2a

1aGf0,->1sinfa--

sina=—+cosa

19.（重慶理14）已知2且I2人則I4J的值為

V14

【答案】2

20.（福建理14）如圖，AABC中，AB=AC=2,BC=26，點D在BC邊上，ZADC=45

則AD的長度等于。0

8

D

【答案】

21.（北京理9）在兒45。中。若b=5,4,tanA=2,則sinA=

a=o

—2V10

【答案】5

714

22.（全國大綱理14）已知ae（2,"）,sina=5,則tan2a=

_4

【答案】3

23.（安徽理14）已知ARC的一個內角為120o,并且三邊長構成公差為4的

等差數列，則AR。的面積為.

【答案】15省

/71、八tanx

tan(x+—)=2,———

24.(江蘇7)已知4則tan2x的值為

4

【答案】

三、解答題

25.（江蘇9）函數/（龍）=4$11104次+。）,（人也9是常數，4>0,.>0）的部分圖象如圖所

y[6

【答案】2

26.(北京理15)

71

/(%)=4cosxsin(x+-)-1

已知函數6

（I）求/（X）的最小正周期:

717t

（II）求“X）在區間L64」上的最大值和最小值。

f(x)=4cosxsin(xH——)-1

解：(I)因為6

=4cosx(^-sinx+—cosx)-1

=V3sin2x+2cos2x-1

=73sin2x+cos2x

TV

=2sin(2xH——)

所以/（X）的最小正周期為萬

一三三，所以—+也.

（II）因為64663

c7C7Cpti-t7C

2xH———，即尤=—F（、

于是，當626時，”處取得最大值2；

2工+工=—三,即％=-三時/（為

當666取得最小值—i.

27.（江蘇15）在AABC中，角A、B、C所對應的邊為

sin（Ad——）=2cosA,

⑴若6求A的值；

cosA“=一1,。,=3C。

（2）若3，求smC的值.

本題主要考查三角函數的基本關系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運算求解實力。

解：（1）由題設知

sinAcos—+cosAsin—=2cosA,從而sinA=geosA所以cosA豐0

66

tanA=因>^10v〃<肛所IUA=—.

3

222

cosA==3c及a?=b+c—2bccosA得Q?=b?—c,

(2)由3

JT1

3=—,所以$融。=cosA=一

故AABC是直角三角形，且23

28.(安徽理18)

在數1和100之間插入〃個實數，使得這〃+2個數構成遞增的等比數列，將這〃+2個數

的乘積記作T”,再令""=18丸

(I)求數列｛%』的通項公式；

(II)設1=tan??.tana?+1,求數列｛4｝的前〃項和S”

本題考查等比和等差數列，指數和對數的運算，兩角差的正切公式等基本學問，考查敏捷運

用學問解決問題的實力，綜合運算實力和創新思維實力.

解：⑴設/112「一，/“+2構成等比數列，其中「"+2=100,則

Tn=。,，2..........—+1,，〃+2，①

T"=，〃+1.，〃+2..........才2,。，②

①義②并利用億+3T=億+2=I。？(K"+2),得

))()()2(n+2)

"=(億+2?乙+1.?…W2-Wi=10,.-.an=^Tn=n+2,n>\.

(II)由題意和(I)中計算結果，知么=tan5+2)-tan(〃+3),“2L

tan1=tan((左+1)—左)=tan("+1)-tan.,

另一方面，利用l+tan(Z+l)-tank

八,tan(k+1)-tank,

tan(z7^+l)-tan^=-----------------1.

得tanl

n"+2

Sn=Z4=Ztan(左+1)-tank

所以k=lk=3

W/tan(k+1)-tank八

=Z(-----rn-------D

Mtanl

tan(n+3)-tan3

二------------------n.

tanl

29.(福建理16)

13

已知等比數列｛an｝的公比q=3,前3項和S3=3

（I）求數列｛an｝的通項公式;

71

——

（II）若函數/（?=Asm（2x+9）（A>0,0<o<p（乃）在6處取得最大值，且最大值

為a3,求函數f（x）的解析式。

本小題主要考查等比數列、三角函數等基礎學問，考查運算求解實力，考查函數與方程思想,

滿分13分。

QC13加。/I—33)13

g=3,S3=—'=—

解：⑴由31-33

1

Q]=一.

解得3

所以3

(II)由(I)可知%=3"2,所以為=3.

因為函數/（幻的最大值為3,所以A=3。

71

X——

因為當6時/（工）取得最大值,

7T

sin(2x——卜—)=1.

所以6

0<肛故"=工.

又6

7T

〃、/（x）=3sin（2xH■一）

所以函數/（X）的解析式為6

30.（廣東理16）

|JT

/(x)=2sin(—x----),XGR.

已知函數36

/（—）

（1）求4的值;

a,3G0,-,/(3a+二)=W,/(3/+2〃)=&

⑵設[2」，213JP5求cosQ+0的值

/(—)=2sin(-x—yr--)

解：⑴4346

=-2sin—=A/2

4

—=f3ocH—=2sin—x3。H-----=2sina,

⑵13I2j(3I2)6)

g=/(3,+2〃)=2sin[gx(3,+2〃)一W)=2sin[〃+|^=2cos',

cos(cif+/)=cosacos/?+sinasin/?=—x--------x—=——.

故51313565

31.(湖北理16)

a=l.b=2.cosC

設AABC的內角A、B、C、所對的邊分別為a、b、c,已知4

(I)求入46c的周長

/〃、.cos(A-C)__

(II)求'7的值

本小題主要考查三角函數的基本公式和解斜三角形的基礎學問，同時考查基本運算實力。

（滿分10分）

c2=a2+b2-2abcosC=l+4-4x—=4

解：(I)4

.c=2.

/.AABC的周長為人+。=1+2+2=5.

715

.AasinC4V15

/.smA=--------=」一=----

c28

a<c,：,A<C故A為銳角，

/.cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=—x—H------x------=—.

848816

32.(湖南理17)

在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿意csinA=acosC.

(I)求角C的大小；

(II)求百sinA-cos(B+4)的最大值，并求取得最大值時角A、B的大小。

解析：(I)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC

sinA>0.從而sinC=cosC又cosCw0,所以tanC=1,則。=一

因為°<A<肛所以4

B=--A.

(II)由(I)知4于是

A/3sinA-cos(B+—)=A/3sinA-cos(乃-A)

4

=百sinA+cosA=2sin(AH——).

6

CA37r7C.7C117TrrL:.7CTCpti-t.7C門卜

0<A<—<A+—<——，從而當A+一=一，即A二一時,

46612623

TT

2sin(A+-)

6取最大值2.

，3sinA—cos(3H—)A——,B——.

綜上所述，4的最大值為2,此時312

33.(全國大綱理17)

△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知A—C=90。，a+c=J^b,求C.

解：由a+c=拒力及正弦定理可得

sinA+sinC=A/2sinB..........3分

又由于4一。=90。,6=180。一(4+0,故

cosC+sinC=\/2sin(A+C)

=V2sin(90°+2C)

=Vicos2C..............7分

cosCHsinC—cos2C，

2----------2

cos(45°-C)=cos2C.

因為0°<C<90。，

所以2c=45。-C

C=15°

34.(山東理17)

cosA-2cosC_2c-a

在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cosBb

sinC

(I)求sinA的值；

j_

(ID若COSB=4,b=2,AS。的面積S。

解：

__a__—__b__—___c_—k7

(I)由正弦定理，設sinAsingsinC」

2c-a_2ksinC-ksinA_2sinC-sinA

則bksmBsinB

cosA-2cosC_2sinC-sinA

所以cosBsinB

(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB

化簡可得sin(A+5)=2sin(3+C).

又A+_B+C=?,

所以sinC=2sinA

sinCc

--------2.

因此sinA

sinC「

(II)由sinA得c=2a

由余弦定理

b2=a?+/一2〃ccos5及cosH=Lb=2,

4

得4=a?+4a2-4a2x—.

4

解得a=lo

因此c=2

COSB=—,^G<B<7T.

又因為4

,亞

sinB------.

所以4

S--acsmB=-xlx2x^^-=^^-.

因此2244

35.(陜西理18)

敘述并證明余弦定理。

解余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦

之積的兩倍。或：在AABC中，a,b,c為A,B,C的對邊，有

a2-b2+c2-2bccosA

b2—a2+c2-2?ccosB

c2=a2+b2-labcosC

證法一如圖

A

a2=BC?BC

=(AC-AB)?(AC-AB)

BaC

2?

=AC-2AC^AB+AB

=AC2-2\AC\^AB\COSA+AB1

=b2—2Z?ccosA+c2

即a2=b2+c2-2Z?ccosA

同理可證"=a2+c2-laccosB

c2=a2+b2-labcosC

證法二已知AABC中A,B,C所對邊分別為a,b,c,以A為原點，AB所在直線為x軸，建立

直角坐標系，則CScosAbsinA)S(GO),

/.a1=|fiC2|=(Z?cosA-c)2+(Z?sinA)2

=b1cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A

b2=a2+c2-2QCCOSB

同理可證

b2=c2+a2-2CQCOSB,

c2=a2+b2-2abcosC.

36.(四川理17)

73

/(x)=sin(x+—TT)+cos(x——TT),xe7?

已知函數44

(1)求幻的最小正周期和最小值;

447i

cos(/?-?)=-,cos(/7+tt)=--,(0<?</?<-)「GAW°n

⑵已知552,求證："(0]-2=0

「,、.77i.37r..3萬

f(x)=sinxcosFcosxsinFcos%cosFsinxsin——

4444

=V2sinx-V2cosx

=2sin(x--)

解析：4

.??7=2肛1/(尤)〃=2

cos(/?-a)=cosacos/?+sincrsin/?=—(1)

4

cos(/?+o)=cosacosJ3-sinasinJ3=-—(2)

cosacos0=0

7T7T

0<a</?<—^>cos/=0n尸=一

(2)22

.?./(,)=0=(/(”-2=0

37.(天津理15)

7T

/(x)=tan(2xn■一),

已知函數4

(I)求/(X)的定義域與最小正周期；

a￡。,1/(—)=2cos2a,

(II)設14人若2求a的大小.

本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數的基本關系，二倍角的正弦、

余弦公式，正切函數的性質等基礎學問，考查基本運算實力.滿分13分.

c兀兀[[r

2x-\——W——\-K71.KeZ

(I)解：由42,

71k兀

x牛——I--------------，左￡Z

得82

,?.7Ck兀7

,(、\XE.i\\X----------1--------------,KGX}

所以八R的定義域為82

71

/(X)的最小正周期為2

=2cos2a,

(II)解：由

71

tan(aH——)=2cos2a,

得4

sin(〃+—)

=2(cos2a-sin2a),

COS(6Z+—)

sina+cosa....

--；——=2(cosa+sina)(cosa-sina).

整理得cos。一sina

a￡(0,--)

因為4,所以sina+cosaw0.