§2.12函數模型的應用

【考試要求】1.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異2理解“指數爆炸”“對

數增長”“直線上升”等術語的含義.3.能選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規(guī)律，了

解函數模型在社會生活中的廣泛應用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.三種函數模型的性質

函數

y=ax（a>l）y=10gaX（4>l）尸玳90)

性質

在(0,+8)上的

單調遞增單調遞增單調遞增

增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現隨X的增大逐漸表現隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與—平行為與—平行不同

2.常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型f（x）=ax+b（a,為常數，〃W0）

二次函數模型f（x）=ax2+bx+c（a,b,c為常數，〃W0）

k

反比例函數模型b為常數,左WO)

指數函數模型j（x）=bax+c（a,b,c為常數，4>0且〃#1,bWO）

對數函數模型fix）=MogaX+c（a,b,c為常數，〃>0且Z?WO）

a

哥函數模型fix）=ax+b（a9b,a為常數，aWO,aWO）

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數>=2工的函數值比>=*的函數值大.()

(2)某商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每

件還能獲利.()

(3)在(0,+8)上，隨著尤的增大，丫=爐(°>1)的增長速度會超過并遠遠大于〉=4°>0)和y=

logax(a>l)的增長速度.()

（4）在選擇函數模型解決實際問題時，必須使所有的數據完全符合該函數模型.（）

【教材改編題】

1.當尤越來越大時，下列函數中增長速度最快的是（）

A.y=5xB.y=log5X

C.y=jc>D.y=5x

2.在某個物理實驗中，測量得到變量x和變量y的幾組數據，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

則對x,y最適合的函數模型是（）

A.y=2xB.y=f—1

C.y=2x-2D.y=log2%

3.某超市的某種商品的日利潤y（單位：元）與該商品的當日售價尤（單位：元）之間的關系為y

=-§+12%-210,那么該商品的日利潤最大時，當日售價為元.

■探究核心題型

題型一用函數圖象刻畫變化過程

例1（1）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在人體內發(fā)揮治療作用時，該藥物

的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.己知成人單次服用1單位某藥物后，

體內血藥濃度及相關信息如圖所示：

血藥濃度（mg/mL）

?最低中毒濃度（MTC）

一一解濃度

安全范圍

?最低有效濃度(MEC)

3'4'5'691011112//|sW

0r

續(xù)期一H殘留期

根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中，不正確的是（）

A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用

B.每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒

C.每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

D.首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒

聽課記錄：______________________________________________________________________

（2）根據一組試驗數據畫出的散點圖如圖所示.

4

3*?

2

1?

O\12345678^

現有如下5個函數模型：①y=0.6x—0.12；②y=2%—2.02；③y=2”-5.4x+6；④y=logK；

⑤y=?'+L84?請從中選擇一個函數模型，使它能近似地反映這些數據的規(guī)律，應選

.（填序號）

聽課記錄:______________________________________________________________________

思維升華判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選擇函數

圖象.

（2）驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合函數圖象的變化趨勢，驗證是否

吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

跟蹤訓練1如圖，點尸在邊長為1的正方形ABC。的邊上運動，M是CD的中點，則當P

沿A-B-C-M運動時，點P經過的路程x與的面積y的函數y=/U）的圖象大致是

下圖中的（）

題型二已知函數模型的實際問題

例2（1）（2021?全國甲卷）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通

常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據工和小數記錄法的數據V滿

足Z=5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據約

10

為（回心1259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

聽課記錄：______________________________________________________________________

（2）（2022?莆田質檢）某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P（單

位：mg/L）與時間《單位：助間的關系為尸=尸0-。3其中Po,左是正的常數.如果2h后還剩

下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下%的污染物.

聽課記錄：______________________________________________________________________

思維升華已知函數模型解決實際問題的關鍵

（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

（3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.

跟蹤訓練2（1）在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數.假設某種傳染

病的基本傳染數為Ro,l個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接

種過疫苗件稱為接種率），那么1個感染者傳染人數為牛（N—V）.已知某種傳染病在某地的基

本傳染數Ro=4,為了使1個感染者傳染人數不超過1,則該地疫苗的接種率最小為（）

A.45%B.55%C.65%D.75%

（2）牛頓曾經提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型6=仇+（仇一仇）e"（f為時間，單位：分鐘，

優(yōu)為環(huán)境溫度，仇為物體初始溫度，6為冷卻后溫度），假設一杯開水溫度仇=100℃,環(huán)境

溫度0o=2O℃,常數笈=0.2,大約經過分鐘水溫降為40℃（參考數據:In2~0.7）（）

A.10B.9C.8D.7

題型三構造函數模型的實際問題

例3智能輔助駕駛已開始得到初步應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與障礙物

之間的距離，并結合車速轉化為所需時間，當此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險

距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間力與人的反應時間人，系統(tǒng)

反應時間f2,制動時間f3,相應的距離分別為曲，dl，d2,di，如圖所示.當車速為。（米/秒）,

且0<oW33.3時，通過大數據統(tǒng)計分析得到下表給出的數據（其中系數k隨地面濕滑程度等路

面情況而變化，且1WAW2）.

:報警跑離:

危險距離

階段準備人的反應系統(tǒng)反應制動

時間砧n=o.8秒?2=0.2秒

距離Jo=lO米d[“=荻米

(1)請寫出報警距離或米)與車速。(米/秒)之間的函數關系式，并求當％=2時，當汽車達到報

警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障

礙物的最短時間；

(2)若要求汽車在上=1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應限制在多

少以下(單位：米/秒)？

思維升華構建函數模型解決實際問題的步驟

(1)建模：抽象出實際問題的數學模型；

(2)推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解；

(3)評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際

問題中去，得到實際問題的解.

跟蹤訓練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定

區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式

返回彈道，實現了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示).現將石

片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片

在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于

60m/s,則至少需要“打水漂”的次數為（參考數據：取In0.6弋一0.511,1110.9弋一0.105）（）

A.4B.5C.6D.7

⑵網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方

向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的

銷售模式.根據幾個月運營發(fā)現，產品的月銷量x（單位：萬件）與投入實體店體驗安裝的費用

《單位：萬元）之間滿足函數關系式x=3—本.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，

產品每1萬件的進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每

件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是萬元.

§2.12函數模型的應用

【考試要求】I.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異2理解“指數爆炸”“對

數增長”“直線上升”等術語的含義.3.能選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規(guī)律，了

解函數模型在社會生活中的廣泛應用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.三種函數模型的性質

函數y=(fy=logaXy=xn

性(。>1)(〃>1)(n>0)

在(0,+8)

單調遞增單調遞增單調遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現為隨X的增大逐漸表現為隨〃值的變化而各有

圖象的變化

與y軸平行與平行不同

2.常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型j(x)=ax+b(afb為常數，

二次函數模型J(x)=ax1+bx-\-c(a,b,c為常數，〃W0)

f(x)=^+b(k,b為常數，20)

反比例函數模型

x

指數函數模型f(x)=ba+c(a9b,c為常數，4>0且〃Wl,Z?W0)

對數函數模型fix)=b\ogax+c(a,b,c為常數，4>0且bWO)

幕函數模型J(x)=axa+b(a,b,a為常數，aWO)

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數>=2*的函數值比y=x?的函數值大.(X)

(2)某商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每

件還能獲利.(X)

(3)在(0,+8)上，隨著龍的增大，y=a*(a>l)的增長速度會超過并遠遠大于>=犬(。>0)和y=

logaX（a>l）的增長速度.（-J）

（4）在選擇函數模型解決實際問題時，必須使所有的數據完全符合該函數模型.（X）

【教材改編題】

1.當尤越來越大時，下列函數中增長速度最快的是（）

A.y=5xB.y=log5^x

C.D.y=5x

答案D

解析結合函數的性質可知，幾種函數模型中，指數函數的增長速度最快.

2.在某個物理實驗中，測量得到變量尤和變量y的幾組數據，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

則對x,y最適合的函數模型是（）

A.y—2xB.y—x1—1

C.y=2x2D.y=log2X

答案D

解析根據x=0.50,y=-0.99,代入計算，可以排除A；根據x=2.01,y=0.98,代入計算，

可以排除B,C；將各數據代入函數y=log2%,可知滿足題意，故選D.

3.某超市的某種商品的日利潤y（單位：元）與該商品的當日售價x（單位：元）之間的關系為y

=-^+12x-210,那么該商品的日利潤最大時，當日售價為元.

答案150

V21

解析因為y=一不+12x—210=一天（%—150）2+690,所以當x=150時，y取最大值，即該

商品的利潤最大時，當日售價為150元.

■探究核心題型

題型一用函數圖象刻畫變化過程

例1（1）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度.藥物在人體內發(fā)揮治療作用時，該藥物

的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，

體內血藥濃度及相關信息如圖所示：

血藥濃度（mg/mL）

?最低中毒濃度（MTC）

--罅濃度

安全范圍

?最低有效濃度（MEC）

O2345i67891()fl12

持續(xù)期一H殘留期

根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中，不正確的是（）

A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用

B.每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒

C.每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

D.首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒

答案D

解析從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；

根據圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后的血藥濃度達到最大值，由圖象可知，當

兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時時，血藥濃度等

于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一

次服用該藥物1單位4小時后與第2次服用該藥物1單位1小時后，血藥濃度之和大于最低

中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯誤.

（2）根據一組試驗數據畫出的散點圖如圖所示.

y

4

3*?

2

1.

d12345678^

現有如下5個函數模型：①丁=0.6%—0.12；②y=2*—2.02；③y=2%—5.4x+6；④y=logzx；

⑤y=L84.請從中選擇一個函數模型，使它能近似地反映這些數據的規(guī)律，應選

.（填序號）

答案④

解析由圖可知上述點大體分布在函數y=log2X的圖象上，

故選擇y=log2X可以近似地反映這些數據的規(guī)律.

思維升華判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選擇函數

圖象.

（2）驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合函數圖象的變化趨勢，驗證是否

吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

跟蹤訓練1如圖，點尸在邊長為1的正方形ABC。的邊上運動，M是的中點，則當尸

沿A-B-C-M運動時，點P經過的路程x與△APM的面積y的函數>=式無）的圖象大致是

下圖中的（）

答案A

解析當點P在AB上時，j=1xxX11；

=

當點P在BC上時,yS正方涉ABC￡>-SAAZ)”—SAAB?—SAPCM：,l<rW2；

當點尸在CM上時，尸￡xg—jx1=—$+',2<x^!.

由函數可知，有三段直線，又當點尸在BC上時是減函數.

題型二已知函數模型的實際問題

例2（1）（2021.全國甲卷）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通

常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據工和小數記錄法的數據V滿

足￡=5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據約

為（1順心1259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

--11、

解析4.9=5+lgV=lgV=—0.1=V=101°=--------七丁=七0.8,所以該同學視力的小數記

V10

錄法的數據約為0.8.

（2）（2022?莆田質檢）某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P（單

位：mg/L）與時間f（單位：h）間的關系為尸=尸0-13其中Po，上是正的常數.如果2h后還剩

下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下%的污染物.

答案10

解析設初始污染物數量為P,

[Po-e2』15P,

則13

〔尸℃』=正尸，,

兩式相除得e3欠=3.

131

所以8h后尸=20?屋弘=屋3*.尸0.15無=§.前夕=而產，，

即還剩下七義100%=10%的污染物.

思維升華已知函數模型解決實際問題的關鍵

(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.

跟蹤訓練2(1)在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數.假設某種傳染

病的基本傳染數為7?o,l個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接

種過疫苗親稱為接種率)，那么1個感染者傳染人數為受(N—V).己知某種傳染病在某地的基

本傳染數&=4,為了使1個感染者傳染人數不超過1,則該地疫苗的接種率最小為()

A.45%B.55%C.65%D.75%

答案D

解析為了使1個感染者傳染人數不超過1,只需*(N—V)W1,即扁。一拼W1,

V1V3

因為R)=4,故1—討忘不可得討》不

(2)牛頓曾經提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型。=%+(仇一仇)，”為時間，單位：分鐘，

優(yōu)為環(huán)境溫度，仇為物體初始溫度，。為冷卻后溫度)，假設一杯開水溫度仇=100℃,環(huán)境

溫度0o=2O℃,常數k=0.2,大約經過分鐘水溫降為40℃(參考數據：In

2心0.7)()

A.10B.9C.8D.7

答案D

解析依題意知，40=20+(100-20)-e-°-2r,貝！I屋。』"，

—0.2r=ln—21n2,所以/=胄標=101n2=?7(分鐘).

題型三構造函數模型的實際問題

例3智能輔助駕駛已開始得到初步應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與障礙物

之間的距離，并結合車速轉化為所需時間，當此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險

距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間而與人的反應時間作系統(tǒng)

反應時間f2,制動時間f3,相應的距離分別為治，dl，d2,d3,如圖所示.當車速為。(米/秒),

且0<oW33.3時，通過大數據統(tǒng)計分析得到下表給出的數據(其中系數左隨地面濕滑程度等路

面情況而變化，且1WAW2).

報警距離

危險距離

階段準備人的反應系統(tǒng)反應制動

時間而九=0.8秒亥=0.2秒

距離do=lO米didl43=頒米

(1)請寫出報警距離d(米)與車速。(米/秒)之間的函數關系式，并求當k=2時，當汽車達到報

警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障

礙物的最短時間；

(2)若要求汽車在左=1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應限制在多

少以下(單位：米/秒)？

解(1)由題意知，d(o)=do+di+d2+"3=10+0.8o+0.2o+5T6,即d(o)=10+o+而■,

ZXJKXX)K

8d(v}10v1

當％=2時，或°)=10+。+而，石+122X5+1=2,當且僅當0=20時等號

成立，0<忘33.3,

即以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間為2秒.

(2)當上=1時，d(v)<50,即10+。+元<50,

即。2+20。-800<0,-40<y<20,又0<oW33.3,

故0<。<20,

所以汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下.

思維升華構建函數模型解決實際問題的步驟

(1)建模：抽象出實際問題的數學模型；

(2)推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解；

(3)評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際

問題中去，得到實際問題的解.

跟蹤訓練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定

區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式

返回彈道，實現了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似（如圖所示）.現將石

片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片

在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于

60m/s,則至少需要“打水漂”的次數為（參考數據：取In0.6七一0.511,In0.9心一0.105）（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設石片第w次“打水漂”時的速率為小,

n-1

則vn=100X0.9.

由100X0.9'-i<60,得0.9"-1<0.6,

則（w—l）ln0.9<ln0.6,

trrIn0.6—0.511.

即-_0.105-487,則M">5.87,

故至少需要“打水漂”的次數為6.

⑵網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方

向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的

銷售模式.根據幾個月運營發(fā)現，產品的月銷量尤（單位：萬件）與投入實體店體驗安裝的費用

/（單位：萬元）之間滿足函數關系式x=3一京.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，

產品每1萬件的進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每

件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是萬元.

答案37.5

解析由題意，產品的月銷量x（單位：萬件）與投入實體店體驗安裝的費用*單位：萬元）之

2

間滿足x=3—E，

一.2

所以月利潤為y=（32X1.5—32x—3—1=16%—^—3=16x—1

-11

=45.5-16（3-A）+^T^W45.5—2標=37.5,

當且僅當16（3—x）=上，即尸學時取等號，

則最大月利潤為37.5萬元.

課時精練

立基礎保分練

1.有一組實驗數據如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現這組數據關系的函數模型是（）

A.j=2r+1—1B.y—x3

C.y=21og2XD.j>=x2—1

答案D

解析將各點（x,y）分別代入各函數可知，最能體現這組數據關系的函數模型是y=V—1.

2.某校實行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準進校園，某學生早上上學騎自行車從家里

出發(fā)，離開家不久，發(fā)現出入證忘在家里了，于是回家取出入證，然后乘坐出租車以更快的

速度趕往學校，令尤（單位：分鐘）表示離開家的時間，y（單位：千米）表示離開家的距離，其中

等待紅綠燈及在家取出入證的時間忽略不計，下列圖象中與上述事件吻合最好的是（）

答案C

解析中途回家取證件，因此中間有零點，排除A,B,第二次離開家速度更大，直線的斜

率更大，故只有C滿足題意.

3.農業(yè)農村部發(fā)布2022年農區(qū)蝗蟲防控技術方案.為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案

演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%,最初有No只，則能達到最初的1200倍大約經過（參

考數據：In1.06^0.0583,In1200仁7.0901）（）

A.122天B.124天C.130天D.136天

答案A

解析由題意可知，蝗蟲最初有No只且日增長率為6%.

設經過n天后蝗蟲數量達到原來的1200倍，

r,No（l+6%）"

則No=1200,

.,.l.06n=l200,

.?.w=logL061200=*豢仁121.614,

...大約經過122天能達到最初的1200倍.

4.“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內

的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉

水越高.已知聽到的聲強m與標準聲調機o（"2o約為10一%單位：柒）之比的常用對數稱作聲

強的聲強級，記作工（貝爾），即L=lgf取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已

知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿足關系式y(tǒng)=2x,現知A同學大

喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學大喝一聲的聲強大約相當于100個8同學同

時大喝一聲的聲強，則8同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（）

A.0.7米B.7米C.50米D.60米

答案D

解析設3同學的聲強為相，噴出的泉水高度為工

則A同學的聲強為100根，噴出的泉水高度為70,

m100機

101g嬴=2x=lgm—lgmo=O.2x,lOlg根0=2X70=2+lgm—1gmo=14,

相減得2=14—0.2x=0.2%=12=x=60.

5.大氣壓強0=受抹積,它的單位是“帕斯卡”（Pa,lPa=lN/m，大氣壓強p（Pa）隨海拔

k,!

高度/?（m）的變化規(guī)律是p=poe-（k=O.OOO126m-）,po是海平面大氣壓強.已知在某高山4,

4兩處測得的大氣壓強分別為pi，P2,^=|,那么A1，4兩處的海拔高度的差約為（參考數

據：In3^1.099）（）

A.660mB.2340m

C.6600mD.8722m

答案D

解析設Ai,4兩處的海拔高度分別為〃i,h2,

1nQ-0.0001264

制包=_1=_EQ￡_____________0.000126（凝-%）

，24000126

3n「名一'

.,.0.000126（/?2-/zi）=ln|=-ln3?-1.099,

得fe-/!i=-a000126^-8722(m).

/.Ai,4兩處的海拔高度的差約為8722m.

6.（2022?淮南模擬）我國在2020年9月22日的聯合國大會上提出，二氧化碳排放力爭于2030

年前實現碳達峰，爭取在2060年前實現碳中和.為了響應黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科

研部門的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技

術處理總成本M單位：萬元）與處理量X（單位：噸Xxd[120,500]）之間的函數關系可近似表示

1￥—80/+5040無，%e[120,144）,

為

[尹一200x+80000,%e[144,500],

當每噸的平均處理成本最少時，處理量工為（）

A.120噸B.200噸

C.240噸D.400噸

答案D

析題意得，二氧化碳每噸的平均處理成本為S=

80x+5040,%e[120,144）,

1,80000

—200+~[144,500],

當xG[120,144）時，S=*—80x+5040=|（x-120）2+240,

當尤=120時，S取得最小值240；

^^[144,5001時，S=%+智—2。22yp嚕-2。。=2。。，

當且僅當%=阻售，即x=400時取等號，此時S取得最小值200,

綜上，當每噸的平均處理成本最少時，處理量為400噸.

7.“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內最大限

度地激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人

滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數的空間尤其大.現有某班主

任老師根據歷年成績在中等偏下的學生經歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經過

時間/（30WW100）（單位：天），增加總分數加）（單位：分）的函數模型：財=]+[：/+]），k

為增分轉化系數，尸為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且五60）=%＜現有某學生在高考

前100天的最后一次模考總分為400分，依據此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約

為.（保留到個位）（lg61-1.79）

答案462

解析由題意得,

kP_*P_1

46°)-1+坨61?2.7廠6尸，

279

???人心辛=0.465,

.0.465X400________186

=

.-X100)=1+lgl01i+lg100+lg1.01

...該學生在高考中可能取得的總分約為400+62=462.

8.里氏震級M的計算公式為：M=lgA-lgA0,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，

Ao是相應的標準地震的振幅.假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000,此時標

準地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為級；9級地震的最大振幅是5級地震最

大振幅的倍.

答案610000

角單析M=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6.

設9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為4,則9=lg4—lgAo=lg2，則令

=109,

5=lgA2-lgA0=lg^,則所以交=1。4.

即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍.

9.“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養(yǎng)

魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度。（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：

尾/立方米）的函數.當工不超過4尾/立方米時，0的值為2千克/年；當4<%W20時，0是x

的一次函數，當%達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，。的值為0千克/年.

（1）當0<xW20時，求。關于x的函數解析式；

（2）當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.

解（1）由題意得當，0<xW4時，。=2；

當4<xW20時，設0="+/?（〃#0）,

顯然v=ax+b在（4,20］內單調遞減，

1

20〃+Z?=0,

由已知得,4.+Q2,解得‘

所以v=-^x+^.

2,0<xW4,xGN*,

故函數。=<

-4VxW20,xGN*.

2x,0<xW4,無GN*,

（2）設年生長量為兀0千克/立方米，依題意并由（1）可得一/p+l'x,4<xW20,xGN*,

當0<xW4時，人勸單調遞增,

故/（x）max=A4）=4X2=8；

當4<xW20時，y(x)=一弟2+1^=—//-20%)=-](x—10)2+券，X^)max=y(10)=12.5.

所以當0<xW20時，人元）的最大值為12.5.

即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米.

10.（2023?保定模擬）某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為期，這些鳳眼

蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2,三月底測得鳳眼蓮

的覆蓋面積為361n2,鳳眼蓮的覆蓋面積y（單位：n?）與月份尤（單位：月）的關系有兩個函數模

￡

型>=h">0,”>1)與y=px5+處9>0,發(fā)>0)可供選擇.

（1）試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；

（2）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.（參考數據：1g2Po.301

0,1g3-0.4771)

￡

解（1）由題設可知，兩個函數y=M（fc>0,〃>1）,y=p%,+M7?0,fc>0）在（0,+8）上均為

增函數,

隨著x的增大，函數y=hr">0,a>l）的值增加得越來越快，而函數y=p/+網戶>0,k>0）

的值增加得越來越慢,

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數模型y=hf（Q0,廬1）滿足要求.

6=24,

由題意可得■

kc^=36,

解得上=學32，。=去3故該函數模型的解析式為

尸苧&Q￡N).

(2)當x=0時，^=y-(j)0=y,

故元旦放入鳳眼蓮的面積為手m2,

,3232口

由至?(jJ'lOX至，即團%>10,

1

^x>log310=^

Ig3-lg2'

5坨5

由于Ig3—lg220.4771—0.3010257,又xGN‘故x\6.

因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份.

合提升練

11.生物體死亡后，它機體內原有的碳14含量尸會按確定的比率衰減（稱為衰減率），P與死

亡年數t之間的函數關系式為P=“（其中。為常數），大約每經過5730年衰減為原來的

一半，這個時間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量

的75%,則可推斷該文物屬于（）

參考數據：log20.752—0.4

參考