PAGEPAGE11．1．7柱、錐、臺和球的體積1．了解祖暅原理．2．理解柱、錐、臺體的體積公式的推導．3．會求柱、錐、臺、球的體積．1．長方體的體積公式V長方體＝abc＝Sh．其中a、b、c分別是長方體的長、寬和高，S、h分別是長方體的底面積和高．2．祖暅原理冪勢既同，則積不容異．這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的隨意平面所截，假如截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．3．祖暅原理的應用等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等．4．柱、錐、臺、球的體積其中S表示底面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑．名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h錐體棱錐eq\f(1,3)Sh圓錐eq\f(1,3)πr2h臺體棱臺eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圓臺eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)球eq\f(4,3)πR3把錐體用平行于底面的平面截開，截得的小錐體的體積與原錐體的體積之比等于截得小錐體的高度與原錐體的高度之比的立方．1．已知長方體過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3，體對角線的長為2eq\r(14)，則這個長方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．48答案：D2．若圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則其體積是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)答案：C3．把直徑分別為6cm，8cm，10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，則這個大鐵球的半徑為()A．3cm B．6cmC．8cm D．12cm解析：選B．設大鐵球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))eq\s\up12(3)，解得R＝6．柱體的體積棱柱ABC-A′B′C′的側面AA′C′C的面積為S，且這個側面到與它相對的側棱BB′之間的距離為a，求這個棱柱的體積．【解】如圖，過側棱BB′、CC′分別作側面AC′、AB′的平行平面，DD′是交線，再伸展兩底面，得到平行六面體ABDC-A′B′D′C′．因為側面AA′C′C的面積為S，設此面為底面，則平行六面體BDD′B′-ACC′A′的高為a，所以V平行六面體＝Sa．又V棱柱ABC-A′B′C′＝eq\f(1,2)V平行六面體，所以V棱柱ABC-A′B′C′＝eq\f(Sa,2)．eq\a\vs4\al()當所給幾何體的體積不易求出時，我們可以通過“割補法”，使之變形為我們熟識的幾何體去解決．正三棱柱側面的一條對角線長為2且與該側面內的底邊所成角為45°，求此三棱柱體積．解：如圖為正三棱柱ABC-A1B1C1，則有AB1＝2，∠B1AB＝45°，所以AB＝BB1＝eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(3),2)，所以V三棱柱＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2)，即此三棱柱的體積為eq\f(\r(6),2)．錐體、臺體的體積四邊形ABCD中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，繞y軸旋轉一周，求所得旋轉體的體積．【解】因為C(2，1)，D(0，3)，所以圓錐的底面半徑r＝2，高h＝2．所以V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，因為B(1，0)，C(2，1)，所以圓臺的兩個底面半徑R＝2，R′＝1，高h′＝1．所以V圓臺＝eq\f(1,3)πh′(R2＋R′2＋RR′)＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圓錐＋V圓臺＝5π．eq\a\vs4\al()在多面體和旋轉體的有關計算中通常將其轉化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計算．對于棱錐中的計算問題往往要構造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構成的直角三角形，或者由棱錐的高、側棱以及側棱在底面上的投影構成的直角三角形；對于棱臺往往要構造直角梯形和直角三角形；在旋轉體中通常要過旋轉軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．已知正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm，側面積是780cm2．求正四棱臺的體積．解：如圖所示，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm．取A1B1的中點E1，AB的中點E，則E1E是側面ABB1A1的高．設O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形．由S側＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780得EE1＝13(cm)．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5(cm)，OE＝eq\f(1,2)AB＝10(cm)，所以O1O＝eq\r(E1E2－(OE－O1E1)2)＝12(cm)，V正四棱臺＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱臺的體積為2800cm3．球的體積過球面上三點A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．【解】如圖，設過A、B、C三點的截面為圓O′，連接OO′、AO、AO′．因為AB＝BC＝CA＝3cm，所以O′為正三角形ABC的中心，所以AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．設OA＝R，則OO′＝eq\f(1,2)R，因為OO′⊥截面ABC，所以OO′⊥AO′，所以AO′＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)，所以R＝2(cm)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的體積為eq\f(32,3)πcm3，表面積為16πcm2．eq\a\vs4\al()球的體積的求法及留意事項(1)要求球的體積，必需知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積公式求解．(2)半徑和球心是球的最關鍵要素，把握住了這兩點，計算球的體積的相關題目也就易如反掌了．(3)由三視圖計算球或球與其他幾何體的組合體的體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結構特征和三視圖中數據的含義．依據球與球的組合體的結構特征及數據計算其體積．此時要特殊留意球的三種視圖都是直徑相同的圓．若球的大圓面積擴大為原來的3倍，則它的體積擴大為原來的()A．3倍 B．9倍C．27倍 D．3eq\r(3)倍解析：選D．設改變前、后兩球的半徑分別為r、R，則有eq\f(πr2,πR2)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(r,R)＝eq\f(1,\r(3))．所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(r3,R3)＝eq\f(1,3\r(3))．故選D．1．多面體與旋轉體的體積公式只要求我們了解，但結論“等底面積、等高的兩個棱錐的體積相等”必需記熟且學會對它的熟識運用，柱體、錐體、臺體的體積關系如下：2．在推導棱錐的體積公式時，是將三棱柱分成三個三棱錐，這三個三棱錐變換它們的底面和頂點，可以得到它們兩兩之間等底面積、等高，因此它們的體積相等，都等于三棱柱體積的三分之一．在這個過程中，一是運用了等體積轉換的方法，二是運用了割補法，這些方法在今后解題時要敏捷運用．1．求幾何體的體積，須要求與其體積有關的各個量，但有時各個量不肯定都要求出，而只需求出與其體積有關的各量的組合．2．“割補”是求體積的一種常用策略．運用時，要留意弄清“割補”前后幾何體體積之間的數量關系．3．解答組合體問題要留意學問的橫向聯系，擅長把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，運用方程思想與函數思想解決，融計算、推理、想象于一體．1．已知一個圓柱底面直徑和母線長均為4，則該圓柱的體積為()A．2π B．4πC．8π D．16π解析：選D．V圓柱＝πR2h＝π×22×4＝16π．2．將半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是()A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3答案：A3．若正方體的棱長為eq\r(2)，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為________．答案：eq\f(\r(2),3)4．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3．解析：題圖為一四棱臺和長方體的組合體的三視圖，由題中所給公式計算得體積為V＝eq\f(1,3)×(4×4＋eq\r(16×64)＋64)×3＋4×4×2＝144(cm3)．答案：144,[學生用書P89(單獨成冊)])[A基礎達標]1．若一個長方體有相同頂點的三個面的面積分別是eq\r(2)、eq\r(3)、eq\r(6)，則這個長方體的體積為()A．2eq\r(3) B．3eq\r(2)C．6 D．eq\r(6)解析：選D．因為ab＝eq\r(2)，ac＝eq\r(3)，bc＝eq\r(6)．所以a2b2c2＝6，所以V＝abc＝eq\r(6)．2．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1∶V2＝()A．1∶3 B．1∶1C．2∶1 D．3∶1解析：選D．V1∶V2＝(sh)∶(eq\f(1,3)sh)＝3∶1．3．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．2解析：選C．該幾何體的直觀圖為直三棱柱ABC-A1B1C1，如圖所示，其體積為V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1．故選C．4．把一個鐵制的底面半徑為r，高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球，則這個鐵球的半徑為()A．eq\f(r\r(h),2) B．eq\f(r2h,4)C．eq\r(3,\f(r2h,4)) D．eq\f(r2h,2)解析：選C．因為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4))．5．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A．eq\f(32π,3) B．eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)π D．eq\f(8\r(2)π,3)解析：選D．設截面圓的半徑為r，則πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半徑為eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故選D．6．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于________．解析：V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，所以R＝2．設正方體的棱長為a，則eq\r(a2＋a2＋a2)＝2R，所以3a2＝16，所以a＝eq\f(4,3)eq\r(3)．答案：eq\f(4,3)eq\r(3)7．正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5∶2∶8，體積為14cm3，則棱臺的高為________．解析：如圖所示，設正四棱臺AC′的上底面邊長為2a，則斜高EE′和下底面邊長分別為5a、8a．高OO′＝eq\r((5a)2－(4a－a)2)＝4a．又因為eq\f(1,3)×4a×(64a2＋4a2＋eq\r(4a2×64a2))＝14，所以a＝eq\f(1,2)，即高為4a＝2cm．答案：2cm8．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm．解析：設球的半徑為xcm，由題意得πx2×8＝πx2×6x－eq\f(4,3)πx3×3，解得x＝4．答案：49．依據圖中標出的尺寸，求各幾何體的體積．解：(1)該幾何體是圓錐，高h＝10，底面圓半徑r＝3，所以底面積S＝πr2＝9π，則V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×9π×10＝30π．(2)該幾何體是正四棱臺，底面中心連線就是高h＝6，上底面積S上＝64，下底面積S下＝144，則V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)×(64＋144＋eq\r(64×144))×6＝608．10．一個正三棱錐的底面邊長為6，側棱長為eq\r(15)，求這個正三棱錐的體積．解：如圖，正三棱錐S-ABC中，設H為△ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高．連接AH，延長后交BC于E，則E為BC的中點，且AE⊥BC．由于△ABC是邊長為6的正三角形，所以AE＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)．所以AH＝eq\f(2,3)AE＝2eq\r(3)．在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15)，AH＝2eq\r(3)，所以SH＝eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(15－12)＝eq\r(3)．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝9eq\r(3)．所以VS-ABC＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×eq\r(3)＝9．[B實力提升]11．圓臺的軸截面等腰梯形的腰長為a，下底邊長為2a，對角線長為eq\r(3)a，則這個圓臺的體積是()A．eq\f(7\r(3),4)πa3 B．eq\f(7,12)eq\r(3)πa3C．eq\f(7,8)eq\r(3)πa3 D．eq\f(7\r(3),24)πa3解析：選D．如圖，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，知∠ADB＝90°．取DC中點E，AB中點F，分別過D點、C點作DH⊥AB，CG⊥AB，知DH＝eq\f(\r(3),2)a．所以HB＝eq\r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq\f(3,2)a．所以DE＝HF＝eq\f(1,2)a．所以V圓臺＝eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(7,24)eq\r(3)πa3．12．球的一個內接圓錐滿意：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________．解析：①當圓錐頂點與底面在球心兩側時，如圖所示，設球半徑為r，則球心到該圓錐底面的距離是eq\f(r,2)，于是圓錐的底面半徑為eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)r,2)．高為eq\f(3r,2)．該圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)r,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3r,2)＝eq\f(3,8)πr3，球體積為eq\f(4,3)πr3，所以該圓錐的體積和此球體積的比值為eq\f(\f(3,8)πr3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(9,32)．②同理，當圓錐頂點與底面在球心同側時，該圓錐的體積和此球體積的比值為eq\f(3,32)．答