PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)提升課1．推理2．證明(1)干脆證明綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最終，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→…→eq\x(Qn?Q)eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→…→eq\x(\a\al(得到一個(gè)明顯成,立的條件))文字語(yǔ)言因?yàn)椤浴蛴伞谩C……只需證……即證……(2)間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最終得出沖突，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明白原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．1．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，留意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．2．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要留意書寫格式的規(guī)范性，經(jīng)常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立．3．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有用假設(shè)命題推理而推出沖突結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的．合情推理和演繹推理已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,(n＋1)2)(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推想出f(n)的值，并加以證明．【解】f(1)＝1－a1＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·(1－eq\f(1,9))＝eq\f(3,4)×eq\f(8,9)＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,6)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·(1－eq\f(1,16))＝eq\f(2,3)×eq\f(15,16)＝eq\f(5,8)，由此猜想，f(n)＝eq\f(n＋2,2(n＋1)).證明如下：f(n)＝(1－eq\f(1,22))×(1－eq\f(1,32))×…×[1－eq\f(1,(n＋1)2)]＝(1－eq\f(1,2))×(1＋eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))×(1＋eq\f(1,3))×…×(1－eq\f(1,n＋1))×(1＋eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×eq\f(2,3)×eq\f(4,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n,n＋1)×eq\f(n＋2,n＋1)＝eq\f(n＋2,2n＋2).【點(diǎn)評(píng)】本例用歸納、猜想、證明的思想方法來解決，歸納或類比的結(jié)論不肯定正確，有待進(jìn)一步證明，合情推理可以為演繹推理供應(yīng)方向和思路．綜合法與分析法已知a，b，c∈R且不全相等，求證：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【證明】法一：分析法要證a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需證2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需證(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需證(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因?yàn)閍、b、c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因?yàn)閍、b、c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立．法二：綜合法因?yàn)閍、b、c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0，又因?yàn)閍、b、c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【點(diǎn)評(píng)】分析法是從結(jié)論動(dòng)身找尋證題思路的一種重要方法，特殊是題設(shè)和結(jié)論相結(jié)合，即綜合法與分析法相結(jié)合，可使許多困難的問題得到解決．反證法有10只猴子共分了56個(gè)香蕉，每只猴子至少分到1個(gè)香蕉，最多分到10個(gè)香蕉，試證：至少有兩只猴子分到同樣多的香蕉．【證明】假設(shè)10只猴子分到的香蕉都不一樣多，因?yàn)槊恐缓镒幼钌俜值揭粋€(gè)香蕉，至多分到10個(gè)香蕉，所以只能是分別分到1，2，3，…，10個(gè)香蕉．共分了1＋2＋3＋…＋10＝55(個(gè))，這與共分了56個(gè)香蕉相沖突，故至少有兩只猴子分得同樣多的香蕉．【點(diǎn)評(píng)】用反證法證明問題要留意以下兩點(diǎn)：①必需先否定結(jié)論．若結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，要列舉出各種可能狀況，缺少任何一種狀況，反證都是不完全的．②反證法必需從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必需依據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不以結(jié)論的反面動(dòng)身進(jìn)行推理，就不是反證法．1．用反證法證明命題“假如a>b>0，那么a2>b2”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()A．a(chǎn)2＝b2 B．a(chǎn)2<b2C．a(chǎn)2≤b2 D．a(chǎn)2<b2，且a2＝b2解析：選C．a(chǎn)2>b2的否定為a2≤b2，故選C．2．如圖所示，黑、白兩種顏色的正六邊形地板磚按圖中所示的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中白色地板磚的塊數(shù)是()A．4n＋2 B．4n－2C．2n＋4 D．3n＋3解析：選A．由題圖可知，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝6；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝10；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝14.由此推想，第n個(gè)圖案中白色地板磚的塊數(shù)是an＝4n＋2.3．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·…·b9＝29，若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1·a2·…·a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1·a2·…·a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：選D．由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.故選D．4．設(shè)f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)，則f2017(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：選B．由條件知f0(x)＝cosx，f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，故函數(shù)fn(x)以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，故f2017(x)＝－sinx.5．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是________；(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)．解析：(1)由圖可知四邊形DEFG是直角梯形，高為eq\r(2)，下底為2eq\r(2)，上底為eq\r(2)，所以梯形面積S＝eq\f((\r(2)＋2\r(2))×\r(2),2)＝3.由圖知N＝1，L＝6.(2)取相鄰四個(gè)小正方形組成一個(gè)正方形，其面積S＝4，N＝1，L＝8，結(jié)合△ABC，四邊形DEFG可列方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4b＋c＝1，,a＋6b＋c＝3，,a＋8b＋c＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(1,2)，,c＝－1，))S＝1×71＋eq\f(1,2)×18－1＝79.答案：(1)3，1，6(2)796．求證函數(shù)f(x)＝2x＋1有且只有一個(gè)零點(diǎn)．證明：(1)存在性：因?yàn)?×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0，所以－eq\f(1,2)為函數(shù)f(x)＝2x＋1的零點(diǎn)．所以函數(shù)f(x)＝2x＋1至少存在一個(gè)零點(diǎn)．(2)唯一性：假設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋1除－eq\f(1,2)外還有零點(diǎn)x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0≠－\f