PAGE§8函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質學問點一“五點法”作圖[填一填]1．“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像利用“五點法”作函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的簡圖，先分別令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，列表求出長度為一個周期的閉區間上的五個關鍵點的坐標，再描點，并用平滑的曲線連接作出一個周期上的圖像，最終向左、右分別擴展，即可得到函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的簡圖．[答一答]1．在用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像時，依次取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π的是x嗎？提示：不是．是ωx＋φ這個整體．學問點二A、ω、φ的意義及對圖像的影響[填一填]2．A、ω、φ的意義函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)，在這里常數A叫振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫周期，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)叫頻率，ωx＋φ叫相位，φ叫初相．函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中ω>0，A>0)的最大值為A，最小值為－A，周期為eq\f(2π,ω).3．A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)圖像的影響(1)φ對函數y＝sin(x＋φ)圖像的影響(2)ω對函數y＝sin(ωx＋φ)圖像的影響(ω>0且ω≠1)(3)A對函數y＝Asin(ωx＋φ)圖像的影響(A>0)[答一答]2．由函數y＝sinx的圖像經過怎樣的變換得到函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖像？提示：明確相位變換和周期變換的依次，也要借助閱歷的積累．將y＝sinx的圖像變換成y＝sin(ωx＋φ)的圖像一般有兩個途徑．途徑一：先相位變換，再周期變換．先將y＝sinx的圖像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個單位長度，再將得到的圖像上各點的橫坐標變為原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)，得到y＝sin(ωx＋φ)的圖像．途徑二：先周期變換，再相位變換．先將y＝sinx的圖像上各點的橫坐標變為原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)，再將得到的圖像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\f(|φ|,ω)個單位長度，得到y＝sin(ωx＋φ)的圖像．學問點三函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性質[填一填]4．函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性質[答一答]3．函數y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(2π,ω)，對嗎？提示：不對．當ω>0時，最小正周期為eq\f(2π,ω)，否則，最小正周期為eq\f(2π,|ω|).1．對函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中參數的物理意義的四點說明(1)A：它表示做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離，稱為振幅．(2)T：T＝eq\f(2π,ω)，它表示做簡諧運動的物體往復運動一次所需的時間，稱為周期．(3)f：f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)，它表示做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數，稱為頻率．(4)ωx＋φ：稱為相位；φ：當x＝0時的相位，稱為初相．2．精確理解“變換法”作圖的兩種主要途徑(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移類型一五點法作圖【例1】用五點法畫出函數y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的圖像，并指出函數的單調區間．【思路探究】五點法作圖，要抓住要害，即要抓住五個關鍵點，使函數式中的ωx＋φ分別取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π，然后求出相應的x，y值，作出圖像．【解】①列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy020－20列表時，2x＋eq\f(π,3)的取值分別為0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，再求出相應的x值和y值．②描點．③用平滑的曲線順次連接各點所得圖像如圖所示．利用這類函數的周期性，我們可以把上面所得到的簡圖向左、向右擴展，得到y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))，x∈R的簡圖(圖略)．可見在一個周期內，函數在[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]上遞減，又因函數的周期為π，所以函數的遞減區間為[kπ＋eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(7π,12)](k∈Z)．同理，遞增區間為[kπ－eq\f(5,12)π，kπ＋eq\f(π,12)](k∈Z)．規律方法(1)用五點法作函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖像，五個點應是使函數取得最大值、最小值以及曲線與x軸的交點．(2)用五點法作函數y＝Asin(ωx＋φ)圖像的步驟是：第一步：列表：x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy0A0－A0其次步：在同一坐標系中描出各點．第三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖像(圖略)．用五點法作出函數y＝2sin(x－eq\f(π,3))＋3的圖像，并指出它的最小正周期、頻率、相位、初相、最值及單調區間．解：(1)列表：xeq\f(π,3)eq\f(5,6)πeq\f(4,3)πeq\f(11,6)πeq\f(7,3)πx－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy35313(2)描點．(3)作圖如圖所示：將函數在一個周期內的圖像向左、向右兩邊擴展即得y＝2sin(x－eq\f(π,3))＋3的圖像(圖略)．周期T＝2π，頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,2π)，相位x－eq\f(π,3)，初相－eq\f(π,3)，最大值5，最小值1，函數的減區間為[2kπ＋eq\f(5,6)π，2kπ＋eq\f(11,6)π](k∈Z)，增區間為[2kπ－eq\f(π,6)，2kπ＋eq\f(5,6)π](k∈Z)．類型二利用圖像變換作函數圖像【例2】如何由y＝sinx得到函數y＝3sin(2x－eq\f(π,3))的圖像？【思路探究】可以按變換依次φ—ω—A進行圖像變換，也可以按變換依次ω—φ—A進行圖像變換．【解】解法一：解法二：規律方法本題用了由函數y＝sinx(x∈R)的圖像變換到函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的圖像的兩種方法，第一種方法是先進行相位變換；其次種方法是先進行周期變換．在先進行周期變換時，我們要留意下一步的變換平移的長度．(1)要得到y＝3sin(2x＋eq\f(π,4))的圖像，只需將y＝3sin2x的圖像(C)A．向左平移eq\f(π,4)個單位長度B．向右平移eq\f(π,4)個單位長度C．向左平移eq\f(π,8)個單位長度D．向右平移eq\f(π,8)個單位長度(2)把函數y＝sinx的圖像上全部點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把圖像向左平移eq\f(π,4)個單位長度，則所得圖像的解析式為(C)A．y＝sin(2x－eq\f(π,4)) B．y＝－sin2xC．y＝cos2x D．y＝sin(2x＋eq\f(π,4))解析：(1)y＝3sin2x的圖像y＝3sin2(x＋eq\f(π,8))的圖像，即y＝3sin(2x＋eq\f(π,4))的圖像．類型三y＝Asin(ωx＋φ)型三角函數的性質【例3】求下列各函數的周期：(1)f(x)＝sin2x；(2)f(x)＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))．【思路探究】該例的兩個函數都是復合函數，我們可以通過變量替換將它們歸結為基本三角函數去處理．【解】(1)假如令X＝2x，則sin2x＝sinX是周期函數，且周期為2π.∴sin(2x＋2π)＝sin2x，即sin[2(x＋π)]＝sin2x.∴f(x)＝sin2x的周期是π.(2)∵2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6)＋2π)＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))，即2sin[eq\f(1,2)(x＋4π)－eq\f(π,6)]＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))，∴f(x)＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))的周期是4π.規律方法由上面的例題我們看到函數周期的變換僅與自變量x的系數有關．一般地，函數y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ為常數，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝eq\f(2π,ω).完成下列填空：(1)函數y＝2sin(eq\f(π,3)－eq\f(π,2)x)的最小正周期為4；(2)函數y＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(ω>0)的最小正周期為eq\f(2π,3)，則ω＝3；(3)函數y＝4sin(3x＋eq\f(π,4))＋3sin(3x－eq\f(π,4))的最小正周期為eq\f(2,3)π.解析：依據y＝Asin(ωx＋φ)最小正周期為T＝eq\f(2π,|ω|).(1)T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4，∴應填4.(2)∵eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,3)，∴ω＝3，∴應填3.(3)∵4sin(3x＋eq\f(π,4))與3sin(3x－eq\f(π,4))的最小正周期都為eq\f(2π,3)，∴應填eq\f(2π,3).【例4】(1)求函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))＋1的單調遞減區間；(2)求函數y＝eq\r(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))的單調遞增區間．【思路探究】可把3x＋eq\f(π,4)與2x－eq\f(π,4)分別看成一個整體，利用函數y＝sinx和y＝cosx的單調區間求解，同時留意函數的定義域．【解】(1)∵函數y＝sinx的單調遞減區間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)，∴2kπ＋eq\f(π,2)≤3x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，∴eq\f(2,3)kπ＋eq\f(π,12)≤x≤eq\f(2,3)kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)．故該函數的單調遞減區間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,3)＋\f(π,12)，\f(2kπ,3)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．(2)由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))≥0，得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．當2kπ－π≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)時，函數y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))單調遞增，∴2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)．故該函數的單調遞增區間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(π,8)))(k∈Z)．規律方法求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函數的單調區間，可以通過解不等式的方法解答．解題時應留意如下幾個方面：(1)把“ωx＋φ”作為一個整體；(2)假如ω<0，那么把x的系數化為正的；(3)A的正負影響函數的單調性．求函數y＝sin(－2x)的單調區間．解：y＝sin(－2x)＝－sin2x.當2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z時，原函數是減函數；當2kπ＋eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，即kπ＋eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z時，原函數是增函數．所以，函數y＝sin(－2x)的單調遞增區間是[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3,4)π]，k∈Z，單調遞減區間是[kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,4)]，k∈Z.類型四依據圖像確定函數解析式【例5】已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一個周期內的函數圖像如圖，求函數的一個解析式．【思路探究】解決此類問題的關鍵在于確定參數A、ω、φ.其基本方法是在視察圖像的基礎上，利用待定系數法求解．【解】(方法一：逐肯定參法)由題圖可知函數的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).∵A>0，∴A＝eq\r(3).由題圖易知eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2.又∵eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(5π,6)))＝eq\f(7π,12)，∴圖像上的最高點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，\r(3)))，∴eq\r(3)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(7π,12)＋φ))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)＋φ))＝1，可取φ＝－eq\f(2π,3)，∴該函數的一個解析式為y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).(答案不唯一)(方法二：待定系數法)由題圖可知A＝eq\r(3)，又圖像過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，依據五點法作圖原理(以上兩點可推斷為“五點法作圖”中的第一點與第三點)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)·ω＋φ＝0，,\f(5π,6)·ω＋φ＝π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝－\f(2π,3).))∴該函數的一個解析式為y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).(答案不唯一)(方法三：圖像變換法)∵A＝eq\r(3)，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2，∴圖像應由y＝eq\r(3)sin2x的圖像向右平移eq\f(π,3)個單位長度得到，∴該函數的一個解析式為y＝eq\r(3)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))).(答案不唯一)規律方法對于方法二，將若干個特別點的坐標代入函數式，可以求得相關的待定系數A，ω，φ.這里須要留意的是，要認清所選擇的點是“五點法作圖”中的哪一個位置的點，并能將其坐標正確代入函數解析式得出等式．依據五點列表法原理，點的序號與式子關系如下：“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)的橫坐標滿意ωx＋φ＝0；“其次點”[即圖像的“峰點”(最高點)]的橫坐標滿意ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)的橫坐標滿意ωx＋φ＝π；“第四點”[即圖像的“谷點”(最低點)]的橫坐標滿意ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點”(即圖像又上升時與x軸的交點)的橫坐標滿意ωx＋φ＝2π.當然所取的特別點可以是五個關鍵點，也可以是圖像上的其他點．對于方法三，運用逆向思維的方法，先確定函數的基本函數式y＝Asinωx，依據圖像平移規律確定相關的參數．A，ω的值是唯一確定的，初相φ的值卻不唯一，但一般取最小正值或取肯定值較小的值．函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖像如圖，則點(ω，φ)的坐標是(4，eq\f(2π,3))．解析：由題圖可知A＝2，T＝eq\f(2π,ω)＝2×(eq\f(5π,24)＋eq\f(π,24))＝eq\f(π,2)，∴ω＝4.又由題圖可知當x＝－eq\f(π,24)時，f(x)＝2，∴4×(－eq\f(π,24))＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(2π,3)，因此點(ω，φ)的坐標是(4，eq\f(2π,3))．——規范解答——函數y＝Asin(ωx＋φ)解析式的求法【例6】已知函數y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A<0，ω>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為π，直線x＝eq\f(π,6)是其圖像的一條對稱軸，則函數的解析式可能是()A．y＝4sin(2x＋eq\f(π,6))B．y＝－2sin(2x＋eq\f(π,6))＋2C．y＝－2sin(x＋eq\f(π,3))＋2D．y＝2sin(2x＋eq\f(π,2))＋2【審題】先由最大值為4，最小值為0求得A，m，再依據最小正周期為π求得ω，最終由對稱軸為x＝eq\f(π,6)求得φ應滿意的條件．【解題】由題意，得|A|＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(4－0,2)＝2，∵A<0，∴A＝－2，m＝eq\f(ymax＋ymin,2)＝eq\f(4＋0,2)＝2.又ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，∴y＝－2sin(2x＋φ)＋2.由圖像的對稱軸方程，知2x＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∵直線x＝eq\f(π,6)是其中一條對稱軸，代入得φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴φ可取eq\f(π,6).故符合條件的解析式是y＝－2sin(2x＋eq\f(π,6))＋2.【答案】B【小結】由函數性質或圖像確定解析式的方法由性質或圖像確定三角函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A，ω≠0)的解析式，在視察圖像的基礎上可按以下方法來確定A，ω，φ，b.(1)A：可由函數的最大值、最小值來確定，A＝eq\f(fxmax－fxmin,2).(2)ω：因為T＝eq\f(2π,|ω|)，所以往往通過求周期T來確定ω的值，而周期T可以由函數的圖像來確定．(3)φ：可由最高點來確定，也可由圖像變換、單調性來確定，還可由“五點法”中的第一個點(－eq\f(φ,ω)，k)(也叫初始點)作為突破口，但要依據圖像的升降狀況找準第一個點的位置．(4)b：可由函數的最大值、最小值來確定，b＝eq\f(fxmax＋fxmin,2).某同學用“五點法”畫函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一個周期內的圖像時，列表并填入了部分數據，如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,3)eq\f(5π,6)Asin(ωx＋φ)05－50(1)請將上表數據補充完整，并干脆寫出函數f(x)的解析式；(2)將y＝f(x)圖像上全部點向左平行移動θ(θ＞0)個單位長度，得到y＝g(x)的圖像．若y＝g(x)圖像的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．解：(1)依據表中已知數據，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).數據補全如下表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)eq\f(13,12)πAsin(ωx＋φ)050－50函數f(x)的解析式為f(x)＝5sin(2x－eq\f(π,6))．(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－eq\f(π,6))，故g(x)＝5sin(2x＋2θ－eq\f(π,6))．因為y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－eq\f(π,6)＝kπ，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ，k∈Z.又函數y＝g(x)的圖像關于點(eq\f(5π,12)，0)中心對稱，因此可以令eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)－θ＝eq\f(5π,12)，解得θ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z.又θ＞0，所以當k＝1時，θ取最小值eq\f(π,6).一、選擇題1．函數y＝2sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))在一個周期內的三個“零點”橫坐標是(B)A．－eq\f(π,3)，eq\f(5π,3)，eq\f(11π,3) B．－eq\f(2π,3)，eq\f(4π,3)，eq\f(10π,3)C．－eq\f(π,6)，eq\f(11π,6)，eq\f(23π,6) D．－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)，eq\f(5π,3)解析：eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－eq\f(2,3)π，k∈Z，此時y＝0.2．函數y＝sin(2x＋eq\f(π,3))圖像的對稱軸方程可能是(D)A．x＝－eq\f(π,6