人教版九年級數學下冊課時教學課件合集共28套第二十七章

相似第58課時

圖形的相似

完全重合大小形狀12______相同的圖形叫做相似圖形.判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與圖形的______、______無關.知識點一：圖形相似的概念形狀大小位置3.觀察下列每組圖形，相似圖形是()

C

知識點二：成比例線段相等4.下列各組線段，成比例的是()A.4cm，6cm，6cm，6cmB.2cm，4cm，4cm，8cmC.4cm，8cm，12cm，16cmD.3cm，6cm，9cm，12cmB比例尺＝____________，在“比例尺”“圖上距離”“實際距離”三個量中，知道其中任意兩個量，就可以求出第三個量，但應注意單位的統一.知識點三：比例尺的計算

5.在比例尺是110000的地圖上，量得兩地之間的距離是15cm，這兩地的實際距離是______km.1.5設⊙O的半徑為r，點O到直線l的距離為d，則有：知識點一：直線和圓的位置關系【例1】在下面的圖形中，相似的一組是()思路點撥：根據相似圖形的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解即可．C6.在如圖27－58－1所示的各組圖形中，屬于相似圖形的是()A.①②B.①③C.②③D.②④C【例2】下列各組的四條線段中，不是成比例線段的是()A.a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B.a＝1.1，b＝2.2，c＝3.3，d＝4.4C.a＝2，b＝215,c＝5，d＝53D.a＝0.8，b＝3，c＝0.64，d＝2.4思路點撥：根據比例線段的定義，分別計算各選項中最小的數與最大的數的積是否等于另外兩個數的積即可判斷四條線段是否成比例.B7.下列各組線段，成比例的是()A.1cm，2cm，3cm，4cmB.5cm，10cm，15cm，20cmC.2cm，5cm，8cm，12cmD.4cm，8cm，8cm，16cmD

第二十七章

相似第59課時

相似多邊形的性質及判定1.觀察下列每組圖形，相似圖形是()

D2.下列三角形與圖27－59－1全等的三角形是(

)

C相似多邊形的對應角______，對應邊________.相似多邊形_________的比叫做相似比.知識點一：相似多邊形的性質相等成比例對應邊3.如圖27－59－2，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似.若∠B＝55°，∠C＝80°，∠A′＝110°，則∠D＝______.

115°判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：對應角______，對應邊_________.知識點二：相似多邊形的判定相等成比例4.如圖27－59－3，有甲、乙和丙三個矩形，其中相似的是()A.甲和丙B.甲和乙C.乙和丙D.三個矩形都不相似A將一個圖形放大或縮小后所得到的圖形，與原圖形是______的.我們可以綜合運用相似多邊形的概念及其性質等知識畫圖，并判定畫出的圖形是否與原圖形相似.知識點三：在網格(格點)中畫相似圖形相似5.小聰在圖27－59－4的格點圖中，畫了兩個矩形，這兩個矩形之間的關系是______.相似【例1】(RJ九下P26例題)如圖27－59－5，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的長度x.思路點撥：觀察圖形，根據相似多邊形的對應角相等可得出α，∠A，再根據四邊形的內角和等于360°可計算求出β的大小，然后根據相似多邊形的對應邊成比例即可求出EH的長度x.解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，EH∶AD＝EF∶AB,即x∶21＝24∶18.解得x＝28.在四邊形ABCD中，β＝360°－83°－78°－118°＝81°.∴α＝83°，β＝81°，x＝28.6.如圖27－59－6，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，∠A＝70°，∠B＝80°，∠H＝150°，AD＝8，EF＝5，EH＝6，求∠G和AB的長.

【例2】兩個矩形的邊長如圖27－59－7所示.求證：矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似.思路點撥：根據對應角相等，對應邊成比例證明即可.

7.試判斷如圖27－59－8所示的兩個矩形是否相似.

【例3】(RJ九下P27習題4改編)在如圖27－59－9所示的網格中畫出與原圖形相似的圖形.(要求：與原圖形大小不相同)思路點撥：結合所給的網格得到圖形的各邊長與相似的性質，將圖形各邊按照比例放大或者縮小一定的倍數即可得到對應邊的邊長，進而作圖即可.解：如答圖27－59－1(答案不唯一).8.如圖27－59－10的左邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形，使新圖形的各頂點仍在格點上.解：如答圖27－59－2.第二十七章

相似第60課時

相似三角形的簡單性質1.a，b，c，d是成比例線段，其中a＝6cm，b＝4cm，c＝12cm，則線段d＝______cm．82.如圖27－60－1，△ABC≌△CDA，若∠BAC＝94°，∠B＝55°，則∠CAD的度數為______．31°相似三角形的三個對應角分別______，三組對應邊__________，相似比一般用k表示.相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.找相似三角形對應元素的方法技巧：相似三角形中，公共角、______角是對應角，最大(小)的角對應___________的角，最長(短)的邊對應_________的邊；對應角所對的邊是對應邊.知識點一：相似三角形的簡單性質相等成比例對頂最大(小)最長(短)3.如圖27－60－2，已知△ADE∽△ABC，若∠B＝∠ADE，則對應角∠C＝∠______，對應邊的比例式為______________________.AED

先利用相似三角形的性質得到_________的比相等或_________相等，再借助方程思想、勾股定理或三角形內角和等知識，求出其他的邊、角或證出線段垂直、平行等結論.知識點二：相似三角形簡單性質的綜合運用對應邊對應角4.如圖27－60－3，△ABO∽△CDO，若BO＝10，DO＝5，CD＝4，則AB的長是______.8【例1】如圖27－60－4，已知△OAB∽△OCD，且DC∥AB，請寫出這對相似三角形的對應角和對應邊的比例式.思路點撥：根據找相似三角形對應元素的方法技巧解題即可.

5.如圖27－60－5，已知△ADE∽△ABC，請寫出這對相似三角形的對應角和對應邊的比例式.

【例2】（RJ九下P27習題3）如圖27－60－6，已知△ABC∽△DEF，求未知邊x，y的長度．思路點撥：直接根據相似三角形的性質進行解答即可．

6.（原創題）如圖27－60－7，已知△DEF∽△ABC，求∠D和∠E的度數以及DF的長．

思路點撥：首先利用相似三角形的對應邊的比相等，求得AB的長，然后利用勾股定理求出BC的長即可.

7.如圖27－60－9，△ABC∽△DAC，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°.求：(1)CD的長；(2)∠BAD的度數.

(2)∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝153°.第二十七章

相似第61課時

相似三角形的判定(一)1.若兩個三角形的角分別______，邊________，則這兩個三角形叫做相似三角形.2.全等三角形的判定方法有______________________________________.相等成比例SSS，SAS，ASA，AAS，HL兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段__________；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的__________)，所得的對應線段__________.知識點一：平行線分線段成比例定理成比例延長線成比例3.如圖27－61－1，l1∥l2∥l3，已知AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，則線段B1C1的長為_____cm.

2平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形______.幾何語言：如圖27－61－2，∵_________，∴△ADF∽△ABC.知識點二：相似三角形的判定定理——平行線法相似DF∥BC4.如圖27－61－3，E為平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交邊CD于點F.在不添加輔助線的情況下，請寫出圖中一對相似三角形：______________________________________________________.△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB或△EAB∽△AFD）方法：先由已知條件判定兩個三角形______，再運用相似三角形的簡單性質得到對應角______或對應邊__________，后進行相關計算或證明.知識點三：利用相似三角形進行簡單的計算相似相等成比例5.如圖27－61－4，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，DE∥AC，且BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，則BC＝______cm.6

15【例2】(RJ九下P31練習2)如圖27－61－7，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.思路點撥：利用平行線判定三角形相似的方法，易得圖中的相似三角形，然后根據相似比的定義求這兩個三角形的相似比.

7.(創新題)如圖27－61－8，在□ABCD中，M是邊BC上的一點，AM與BD相交于點N，且AM∶MN＝4∶1.寫出圖中的相似三角形及它們的相似比.

【例3】如圖27－61－9，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，CE＝3，求AC的長.思路點撥：根據平行得出三角形相似，再根據相似三角形對應邊成比例求出AC的長.

8.如圖27－61－10，已知AB∥CD，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的長和∠D的度數.

第二十七章

相似第62課時

相似三角形的判定(二)1.如圖27－62－1，已知AB＝AC，BD＝CD，則直接能使△ABD≌△ACD的根據是()A．SASB.ASAC．AASD.SSSD2.如圖27－62－2，設AD與BC相交于點O，已知OA＝OD.下面條件中，并不能判斷△AOB≌△DOC的條件是()A．∠A＝∠DB.∠B＝∠CC．OB＝OCD.AB＝CDD三邊__________的兩個三角形相似.幾何語言:如圖27－62－3，∵___________________________，∴△ABC∽△A′B′C′.知識點一：相似三角形的判定定理——三邊法

成比例3.△ABC的三邊長AB＝5，BC＝4，AC＝3，△A′B′C′的三邊長A′B′＝10，B′C′＝8，A′C′＝6，則△ABC與△A′B′C′______.(填“相似”或“不相似”)相似兩邊_________且__________的兩個三角形相似.幾何語言:如圖27－62－4，∵____________，___________,∴△ABC∽△A′B′C′.知識點二：相似三角形的判定定理——兩邊及

其夾角法成比例夾角相等

∠A＝∠A′4.已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為d，若⊙O與直線l有公共點，則d的取值范圍為__________________.判斷直線與圓的位置關系的兩種方法：(1)定性描述：根據直線和圓的________的個數判斷；知識點三：直線和圓的位置關系的綜合運用

思路點撥：根據三邊對應成比例的兩三角形相似進行判斷.

5.一個三角形三邊的長分別為6cm，9cm，7.5cm，另一個三角形三邊的長分別為8cm，10cm，12cm，這兩個三角形相似嗎？為什么？解：這兩個三角形相似.理由如下：∵∴∴這兩個三角形相似.【例2】(RJ九下P34練習2改編)如圖27－62－6，△AEB和△FEC是否相似？為什么？思路點撥：根據對頂角的兩邊對應成比例即可判斷.

6.在△ABC與△A′B′C′中，∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A′＝45°，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm，判定△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.解：△ABC與△A′B′C′相似.理由如下：∵AB＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝16cm，A′C′＝20cm，∴∴又∵∠A＝∠A′＝45°，∴△ABC∽△A′B′C′.第二十七章

相似第63課時

相似三角形的判定(三)

C2.如圖27－63－1，已知AC，BD相交于點O，若補充一個條件后，便可得到△AOB∽△DOC，則要補充的條件可以是________________________.（填寫一個條件即可）

兩角____________的兩個三角形相似.幾何語言:如圖27－63－2，∵__________,___________,∴△ABC∽△A′B′C′.知識點一：相似三角形的判定定理——兩角法分別相等∠A＝∠A′∠B＝∠B′3.∠1＝∠2是下列四個圖形的共同條件，則四個圖中不一定有相似三角形的是()D方法步驟：(1)先判定兩個三角形______.根據已知條件，在“平行線法”“兩角法”“兩邊及其夾角法”“三邊法”中靈活選用適當的判定方法進行判定；(2)再運用相似三角形的簡單性質得到對應角______或對應邊__________，后進行相關計算或證明.知識點二：相似三角形性質和判定的簡單運用相似相等成比例4.如圖27－63－3，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC.若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC的長為______.

6【例1】(RJ九下P35例2改編)如圖27－63－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB于點D.(1)△ACB與△ADE相似嗎？請說明理由；(2)求AD的長度.思路點撥：(1)易發現直角相等、公共角相等，用“兩角法”判定三角形相似；(2)根據相似得出比例式，代入數據得方程，計算即可.解：(1)△ACB∽△ADE.理由如下：∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠EDA＝∠C＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADE.

5.如圖27－63－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高.求證：(1)Rt△ADC∽Rt△CDB；(2)Rt△ADC∽Rt△ACB.證明：(1)∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴Rt△ADC∽Rt△CDB.(2)∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴Rt△ADC∽Rt△ACB.【例2】如圖27－63－6，在△ABC中，點D在邊AC上，∠ABD＝∠C.(1)求證：△ADB∽△ABC；(2)若AB＝6，AD＝4，求AC的長.思路點撥：(1)從圖中易發現兩個三角形的公共角相等,用“兩角法”判定三角形相似；(2)根據相似三角形的性質列出比例式，代入數據得方程，計算即可.(1)證明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.

6.如圖27－63－7，在正方形ABCD中，M為BC上一點，MN⊥AM，MN交CD于點N.(1)求證：△ABM∽△MCN；(2)若AB＝6，BM＝2，求DN的長.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠CMN＋∠MNC＝90°.∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°.∴∠AMB＋∠CMN＝90°.∴∠AMB＝∠MNC.∴△ABM∽△MCN.

第二十七章

相似第64課時

相似三角形的性質和判定的綜合1.如圖27－64－1，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝3∶2，AE＝6cm，則EC的長為______cm．42.如圖27－64－2，四邊形ABCD是正方形，點E是CD的中點，點P是BC上一動點，要使以點A，B，P為頂點的三角形與△ECP相似，還需具備一個條件是______________________．（填寫一個條件即可）BP＝2CP(答案不唯一)綜合運用相似三角形的性質和判定，計算線段的長時，需要先找到圖中的______三角形，利用相似三角形對應邊的比相等得出________，再進一步求出線段的長度.知識點一：相似三角形的性質和判定的綜合計算相似比例式3.如圖27－64－3，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AD＝2，AE＝3，CE＝1，那么BD的長為______.4方法：若要證明等積式ad＝bc,則轉化為比例式__________________________，再觀察a，b(或a，c)與c，d(或b，d)是否分別在兩個三角形中，如果在兩個三角形中，可證明這兩個三角形______，否則可轉化其中的某條線段，再證明三角形相似.知識點二：利用相似三角形證明等比式或等積式

相似4.如圖27－64－4，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，BD＝2，那么BF∶DE的值是______．

在圓中證明三角形相似時，要善于利用“圓心角定理”“圓周角定理”及其推論和“圓內接四邊形的對角互補”等性質，尋找到相等的______角或______角，為三角形相似創造條件.知識點三：圓中的相似三角形圓心圓周5.如圖27－64－5，在⊙O中，弦AB與弦CD交于點M，且CM∶BM＝3∶2，則DM∶AM＝______.2∶3【例1】如圖27－64－6，在△ABC中，點D在線段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD的長為______.思路點撥：先證明△ABC∽△DAC，得出比例式，代入數據即可求出CD的長.46.如圖27－64－7，在□ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分別交BC于點E，交DC的延長線于點F，且CF＝1，則CE的長為______.

思路點撥：(1)根據直角三角形的性質和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論；(2)用“兩角法”判斷△BCA∽△BDC，根據相似三角形的性質即可得到等積式.

思路點撥：(1)連接AC，BC，易證Rt△APC∽Rt△CPB，根據相似三角形的性質，可以證得；(2)設PA＝x，則PB＝AB－PA＝16－x，代入(1)的結論即可求得.(1)證明：如答圖27－64－1，連接AC，BC.∵AB是直徑，CD⊥AB于點P，∴BC＝BD.∵∠CAB，∠BCP所對的圓弧相等，∴∠CAB＝∠BCP.∴Rt△APC∽Rt△CPB.∴

∴PC2＝PA·PB.

8.(創新題)如圖27－64－11，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB于點P.(1)若P為OB的中點，求∠A的度數；(2)若AB＝10，CD＝8，求BP的長.

【例4】如圖27－64－12，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線AP，與OD的延長線交于點P，連接CP，與AB的延長線交于點E.求證：(1)PC是⊙O的切線；(2)EC2＝EA·EB.思路點撥：(1)連接OC，由“垂徑定理”和線段垂直平分線的性質可證明△OAP≌△OCP，結合切線的性質可知∠OCP＝90°，進而得出結論；(2)連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再證△ECB∽△EAC，利用相似三角形的性質可得結論.

(2)如答圖27－64－2，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ECO.∴∠ECB＋∠BCO＝∠BCO＋∠ACO.∴∠ECB＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB.∵∠E＝∠E，∴△ECB∽△EAC.∴∴EC2＝EA·EB.

第二十七章

相似第65課時

相似三角形的周長和面積

2.如圖27－65－2，在邊長為1的正方形網格中，A，B，C，D，E各點均為格點，則圖中△______（用字母表示）∽△ABC．

DEB相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于_________.一般地，相似三角形對應線段的比等于________.知識點一：相似三角形對應線段的性質相似比相似比3.如果兩個三角形相似且相似比為9∶16，那么這兩個三角形對應邊上的高的比是()A．81∶256

B.9∶16C．3∶4

D.16∶9B相似三角形周長的比等于____________.知識點二：相似三角形周長的性質相似比4.如果兩個相似三角形的相似比為1∶3，那么它們的周長比為______.1∶3相似三角形面積的比等于__________________.知識點三：相似三角形面積的性質相似比的平方5.若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應面積的比為(

)A.3∶2

B.3∶5C.9∶4

D.4∶9C綜合運用相似三角形的性質時，一要找準______關系，找準__________；二要熟記相似三角形對應線段的比和周長的比都等于_________，面積的比等于____________________.知識點四：相似三角形性質的綜合運用對應相似比相似比相似比的平方6.已知兩個相似三角形的面積比是4∶25，其中較小的三角形的周長為18cm，則較大的三角形的周長為______cm.45【例1】如果兩個相似三角形對應邊之比為1∶9，那么它們的對應中線之比是(

)A．1∶2

B.1∶3

C．1∶9

D.1∶81思路點撥：根據相似三角形的對應中線的比等于相似比解答即可．C7.如果兩個相似三角形對應邊之比是1∶2，那么它們的對應高之比是()A.1∶2

B.1∶4C.1∶6

D.1∶8A

D8.若△ABC與△DEF相似，且相似比為3∶1，△ABC的周長為18，則△DEF的周長為()A.54

B.6C.3

D.2B【例3】如果兩個相似三角形對應高的比是1∶2，其中較小三角形面積是12，那么另一個三角形面積是______.思路點撥：設另一個三角形面積為x，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方列出比例式，計算得到答案.489.若兩個相似三角形的面積的比是9∶25，則對應邊上的中線的比為______.3∶5

思路點撥：證明△ABC∽△DEF，借助相似三角形的性質即可解決問題.

10.(創新題)如圖27－65－4，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D.若△ABC的邊BC上的高是6，周長為36，求△DEF的邊EF上的高和周長.

第二十七章

相似第66課時

相似三角形的應用(一)1.如圖27－66－1，A,B在河的兩側，若BC＝CD，AB⊥MN于點B，ED⊥MN于點D，DE＝100m，河寬AB＝______m．1002.如圖27－66－2，A，B兩處被池塘隔開，為了測量A，B兩處的距離，在AB外選一適當的點C，連接AC，BC，并分別取線段AC，BC的中點E，F，測得EF＝22m，則AB＝______m．44先從實際問題中構造出______三角形模型，然后利用相似三角形對應邊的比______求解.常見模型如圖27－66－3.知識點一：利用三角形的相似測量物體高度相似相等3.如圖27－66－4，身高為1.8m的某學生想測量學校旗桿的高度，當他站在B處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，并測得AB＝3m，AC＝10m，則旗桿CD的高度是______m.6一般步驟：(1)______：將實際問題抽象為數學問題，并畫出平面圖形；(2)______：根據已知條件，證明兩個三角形相似；知識點二：利用三角形的相似測量河寬(距離)建模證明(3)______：利用相似三角形的性質，求出邊長，得到數學問題的答案；(4)作答：得到實際問題的答案.常見模型如圖27－66－5.計算4.如圖27－66－6，A,B兩點被一條河隔開，為了測量A，B兩點間的距離，小明過點B作BF⊥AB，在BF上取兩點C，D，使BC＝2CD，過點D作DE⊥BF且使點A，C，E在同一條直線上.隨后測得DE＝20m，則A，B兩點間的距離是()A.60m

B.50mC.40m

D.30mC【例1】（RJ九下P43習題10改編）小明想用鏡子測量校園內一棵松樹的高度，如圖27－66－7所示，他把鏡子放在水平地面上的點C，沿著直線BC后退到點F，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A的像，量得BC＝10m，CF＝2m．已知EF，AB均與地面BF垂直，小明的眼睛距離地面1.5m（即EF＝1.5m），請你求出松樹AB的高．思路點撥：根據鏡面反射的性質得出△CFE∽△CBA，再根據其相似比解答．

5.如圖27－66－8，小強在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，此時EA＝21m，CE＝2.5m.已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6m，請計算出教學樓的高度.

【例2】（RJ九下P40例5改編）某校九年級數學研學小組為了估計澧水河某段水域的寬度.如圖27－66－9，在河的對岸選定一個目標點A，在近岸分別取點B，D，E，C，使點A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點A，C，E也在一條直線上，且DE∥BC．經測量BC＝25m，BD＝12m，DE＝35m，求河的寬度AB.思路點撥：先證明△ABC∽△ADE，然后根據對應邊的比相等求AB的長度．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE.∴即

解得AB＝30．答：河的寬度AB為30m．6.如圖27－66－10，為了計算河兩岸間的寬度，小明在河對岸的岸邊選定一個目標作為點A，再在河岸的另一邊選點B和點C，使AB⊥BC，然后再選點E，使EC⊥BC，BC與AE的交點為點D.測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，請求出兩岸之間AB的距離.

第二十七章

相似第67課時

相似三角形的應用(二)1.如圖27－67－1，小芳和爸爸一起散步，爸爸的身高是1.8m，他在地上的影子長2.1m.若小芳的身高只有1.2m，則她的影長為()A.1.2m

B.1.4mC.1.6m

D.1.8mB2.如圖27－67－2，為了測量河寬AB，小明將一根標尺CD橫放，使CD∥AB，并使點O,D,B和點O,C,A分別在同一條直線上.量得CD＝10m，OC＝15m，OA＝45m，則河寬AB為______m.30利用相似三角形的性質解決實際問題的核心是構造______三角形(必要時可以作輔助線)，在構造的三角形中，被測物體一般是其中的一邊，而其余的邊容易測量.常見模型如圖27－67－3.知識點一：作輔助線構造相似三角形解決實際問題相似3.如圖27－67－4，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝______m.5.5像物理學中有關“小孔成像”的問題，我們可以構造相似三角形，再運用“相似三角形對應高的比等于_________”進行求值.常見模型如圖27－67－5.知識點二：利用“相似三角形對應高的比等于相

似比”解決實際問題相似比4.我軍邊防部隊發現河對岸我方領土上有Y國軍隊在活動，為了估算其與我軍距離，偵察員手臂向前伸，將食指豎直，通過前后移動，使食指恰好將對岸我方樹立的旗桿遮住，如圖27－67－6所示.若此時眼睛到食指距離l約為70cm，食指AB長約為7cm，旗桿CD高度為28m，則對方與我軍距離d約為______m.280【例1】（RJ九下P40例6改編）如圖27－67－7，為了測量古塔的高度，小紅將標桿CD豎直插在地面上，然后自己往后退，使眼睛通過桿的頂端C剛好看到塔頂A.已知小紅眼睛到地面高度EF＝1.5m，標桿CD＝2.4m，測得DF＝2m，DB＝32m，E，G，H在同一直線上且EH⊥AB.求古塔的高AB.思路點撥：根據給出的條件,得到△EGC∽△EHA，再根據相似三角形的對應邊成比例可求出AH的長，進而得出AB的長．

【例2】如圖27－67－9，小強自制了一個小孔成像裝置，其中紙筒的長度為15cm，他準備了一支長為20cm的蠟燭，想要得到高度為5cm的像，則蠟燭應放在距離紙筒多遠的地方？思路點撥：先根據題意得出△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性質得到相似比，計算即可得出答案.

5.如圖27－67－8，直立在B處的標桿AB＝2.9m，小愛站在F處，其中眼睛E，標桿頂A，樹頂C在同一條直線上(人、標桿和樹在同一平面內，且點F，B，D在同一條直線上).已知BD＝6m，FB＝2m，EF＝1.6m，求樹高CD.

6.如圖27－67－10，一架投影機插入膠片后圖像可投到屏幕上.已知膠片與屏幕平行，A點為光源，與膠片BC的距離為0.1m，膠片的高BC為0.038m.若需要投影后的圖像DE高為1.9m，則投影機光源離屏幕大約為多少米？

第二十七章

相似第68課時

位似(一)1.下列每個選項的兩個圖形，不是相似圖形的是()

D2.如果兩個相似三角形的周長的比為1∶4，那么這兩個三角形的對應角的平分線的比為()A．1∶2

B.1∶4C．1∶8

D.1∶16B如果兩個圖形不僅是______圖形，而且對應頂點的連線______________，對應邊_________或在同一條直線上，那么像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這點叫做___________.這時這兩個圖形關于這點______.知識點一：位似圖形相似相交于一點互相平行位似中心位似3.下列圖形中，不是位似圖形的是()

C(1)位似圖形的對應角______，對應邊_________；(2)位似圖形的對應點的連線相交于一點，即經過______________；(3)位似圖形的對應邊__________或在同一條直線上；(4)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于________.知識點二：位似圖形的性質相等成比例位似中心互相平行相似比4.如圖27－68－1，△DEF與△ABC位似，點O為位似中心，已知OF∶OC＝1∶2，則△DEF與△ABC的周長之比是_________,面積之比是_________.1∶21∶4一般步驟：(1)確定____________；(2)分別連接位似中心和能代表原圖的________并延長；(3)根據________，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；(4)順次連接上述各點，即可得到放大或縮小后的圖形.知識點三：位似圖形的畫法位似中心關鍵點相似比5.如圖27－68－2是△ABC位似圖形的幾種畫法，其中正確的個數是(

)A.1個B.2個C.3個D.4個D【例1】如圖27－68－3，圖形中是位似圖形的有()A.0個

B.1個C.2個

D.3個思路點撥：根據位似圖形的概念直接判斷.C6.已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，△ABC與△A′B′C′不存在位似關系的是()

D【例2】如圖27－68－4，以點O為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，則以下說法錯誤的是()A.AB∥A′B′B.△ABC∽△A′B′C′C.AO∶AA′＝1∶2D.直線CC′經過點O思路點撥：根據位似圖形的性質判斷即可.C7.如圖27－68－5，以點O為位似中心，把△ABC放大得到△A′B′C′，且相似比為2∶5，以下說法中錯誤的是()A.△ABC∽△A′B′C′B.AO∶AA′＝2∶5C.AB∶A′B′＝2∶5D.AC∥A′C′B【例3】（RJ九下P48練習2改編）畫圖：在圖27－68－6中，以點O為位似中心，把△ABC放大到原來的2倍.思路點撥：連接OA并延長，使OA′＝2OA，則A′就是A的對應點，同理可以作出B，C的對應點，順次連接A′，B′，C′，△A′B′C′就是所求三角形；但要注意位似圖形一般有兩個,在OA延長線上和OA反向延長線上均有A的對應點．解：如答圖27－68－1，△A′B′C′與△A″B″C″即為所求.8.在如圖27－68－7所示的方格紙中(每個小方格的邊長都是1個單位長度)有一點O和△ABC.(1)畫圖：以點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的一半(不改變方向)，得到△A′B′C′；(2)△ABC與△A′B′C′的相似比為______.解：(1)如答圖27－68－2,△A′B′C′即為所求.2∶1第二十七章

相似第69課時

位似(二)1.在平面直角坐標系中，將點A（－2，1）向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到點A′，則點A′的坐標為__________．（2，－2）2.如圖27－69－1，四邊形EFGH與四邊形ABCD關于點O位似，且OE＝2AE，則四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為_________．4∶9一般地，在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,畫出一個與原圖形位似的新圖形，使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為__________或_______________.知識點一：位似變換中對應點的坐標變化規律—

—位似中心是原點(kx，ky)(－kx，－ky)3.如圖27－69－2，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（－3，2），（－2，3），以原點O為位似中心，在原點的異側按1∶3的相似比將△OAB放大，則點B的對應點B′的坐標為()A．（6，－9）B.（9，－6）C．（6，－4）D.（4，－6）A(1)弄清楚____________及位似變換是放大還是縮??；(2)可以先作位似圖形，后寫對應關鍵點的坐標；也可以利用位似變換中對應點的坐標變化規律，先計算對應點的坐標，后描點連線畫圖；(3)以原點為位似中心的位似圖形的坐標變化，一定要注意______的變化，簡要地說，若兩圖形在原點同側，則符號不變；若在原點異側，則符號相反.知識點二：位似變換與坐標變換的綜合運用位似中心符號

(1，2)或(－1，－2)【例1】（RJ九下P50練習2改編）在△ABO中，點A（－6，0），點B（－4，－2），O為坐標原點，以點O為位似中心，按相似比1∶2把△ABO放大，則點B的對應點B′的坐標為______________________．思路點撥：根據位似變換的性質計算即可得出答案,要注意答案有兩種情況．（－8，－4）或（8，4）5.在平面直角坐標系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為2∶3，點B，E在第一象限.若點A的坐標為(1，0)，則點E的坐標是______________.

【例2】如圖27－69－4，已知△ABC在平面直角坐標系內，三個頂點的坐標分別為A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度后得到的△A1B1C1，點C1的坐標是___________；(2)以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且相似比為2∶1；(3)四邊形AA2C2C的面積是______平方單位.思路點撥：(1)先畫圖，再根據圖象找出所求點的坐標即可；(2)根據相似比找到A2,B2,C2,再順次連接即可得到△A2B2C2；(3)根據四邊形AA2C2C的面積＝△AA2C的面積＋△A2C2C的面積解答即可.(2，－2)7.5解：(1)如答圖27－69－1，△A1B1C1即為所求.(2)如答圖27－69－1，△A2B2C2即為所求.6.在如圖27－69－5所示的平面直角坐標系中，已知A，B，C三個點的坐標分別為A(－3，－4)，B(－1，－4)，C(－1，－2).(1)畫出△ABC；(2)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標為_________；(－3，4)(3)以點O為位似中心，在第一象限內把△ABC擴大到原來的2倍，得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2，并寫出點A2的坐標為________.解：(1)△ABC如答圖27－69－2.(2)△A1B1C1如答圖27－69－2.(3)△A2B2C2如答圖27－69－2.(6，8)第二十九章投影與視圖第77課時

投影1.皮影戲起源于中華民族，它是一種用獸皮或紙板做成的人物剪影(如圖29－77－1)在光源照射下進行的藝術表演，2011年成功入選人類非物質文化遺產.（1）皮影戲中用獸皮或紙板做成的“人物”，在表演時是______(填字母)；A.光源

B.遮擋物或阻擋物C.屏B（2）在表演過程中，光源位置不變，想讓人物剪影更大，應將“人物”______（填“靠近”或“遠離”）白色屏幕.

遠離2.陽光下的物體也會產生影子，為了便于觀察和記錄，小科做了一個如圖29－77－2②所示的簡易日晷，面朝南觀察了小短桿一天中的影子變化.請根據他的記錄判斷：

（1）如圖29－77－2①，一天中太陽在______（填字母）位置時，影子最短；（2）根據圖29－77－2②分析，一天中影子長短的變化規律是______（填字母）.A.由長變短，再變長B.由短變長，再變短C.一直變長BA

知識點一：平行投影影子平行成正比例正投影3.下列四幅圖中，能表示兩棵樹在同一時刻太陽光下的影子的圖是()

A由________(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上.知識點二：中心投影同一點4.下列各種現象屬于中心投影的是()A.晚上人走在路燈下的影子B.中午用來乘涼的樹影C.上午人走在路上的影子D.陽光下旗桿的影子A可以利用相似三角形或銳角三角函數等知識解決相關投影的實際問題.知識點三：運用投影知識解決相關問題5.如圖29－77－3，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC.若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m,則路燈的高度OP為______m.

【例1】（RJ九下P92練習改編）一個圓柱按圖29－77－4中所示的方式放置，畫出按圖中箭頭方向所示的投影方向的正投影.思路點撥：根據正投影的概念畫出對應圖形即可.解：如答圖29－77－1①為投影方向向右的正投影，如答圖29－77－1②為投影方向向下的正投影.6.將一個直六棱柱形工件按圖29－77－5中所示的方式擺放，直六棱柱底面是正六邊形，畫出按圖中箭頭方向所示的投射方向的正投影.解：如答圖29－77－3①為投影方向向右的正投影，如答圖29－77－3②為投影方向向下的正投影.【例2】下列不是中心投影的是()A.皮影戲中的影子B.晚上在房間內墻上的手影C.舞廳中霓虹燈形成的影子D.太陽光下林蔭道上的樹影思路點撥：根據中心投影的概念判斷即可.D7.下列物品：①手電筒；②車燈；③太陽；④月亮；⑤臺燈.其中所形成的投影是中心投影的是()A.①②

B.①③C.①②③

D.①②⑤D【例3】如圖29－77－6，在平面直角坐標系中，點P（3，3）是一個光源．木桿AB兩端的坐標分別為A（0，1），B（4，1）．畫出木桿AB在x軸上的投影，并求出其投影長．思路點撥：構造出相似三角形，將點的坐標轉化為線段的長，根據相似三角形的性質即可得出答案.

8.（創新題）一幢4層樓房只有一個窗口亮著一盞燈，一棵小樹和一根電線桿在窗口燈光下的影子如圖29－77－7所示，亮著燈的窗口是幾號窗口？解：如答圖29－77－4，亮著燈的窗口是3號窗口．第二十九章投影與視圖第78課時

三視圖（一）1.正方形的正投影不可能是（）A．矩形

B．梯形C．正方形

D．線段2.如圖29－78－1，箭頭表示投影的方向，則圖中圓錐體的正投影是______________.B等腰三角形對一個物體在三個投影面內進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做________；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做________；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做________.知識點一：簡單幾何體的三視圖主視圖俯視圖左視圖3.下列立體圖形中，主視圖、左視圖和俯視圖都相同的是（）A由幾種基本幾何體組合而成的組合體，其各種視圖可以合理地分割成基本幾何體的視圖再組合，要注意各幾何體的上、下、前、后、左、右的______關系.知識點二：簡單組合體的三視圖位置4.從正面觀察如圖29－78－2所示的幾何體，你所看到的幾何體形狀圖是（）C畫三視圖時，要注意以下幾點：(1)位置規定：主視圖在______邊，主視圖的正下方是______圖，主視圖的右邊是______圖；(2)九字原則：長______、高______、寬______；(3)虛實規定：把看得見部分的輪廓線畫成______，因被其他部分遮擋而看不見部分的輪廓線畫成______.知識點三：畫幾何體的三視圖左上俯視左視對正平齊相等實線虛線5.如圖29－78－3，畫出該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.解：如答圖29－78－1.

【例1】下列幾何體中，其主視圖和俯視圖都為矩形的是()思路點撥：分別確定四個幾何體從正面看和從上面看所得到的圖形即可.B6.下列幾何體中，同一個幾何體從正面看和從上面看所得到的圖形不相同的是()

B【例2】如圖29－78－4，幾何體的主視圖是()思路點撥：從正面觀察每層小正方體的個數及位置關系即得出答案，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中.A7.如圖29－78－5的幾何體是由4個相同的正方體組成的立體圖形，從正面看這個幾何體，所看到的平面圖形是()

C【例3】（RJ九下P97例2改編）用若干個棱長為1cm的小正方體搭成如圖29－78－6所示的幾何體．請在方格紙中畫出該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.思路點撥：根據簡單組合體的三視圖的畫法畫出主視圖、左視圖和俯視圖即可.解：如答圖29－78－2.

8.如圖29－78－7是由6個棱長為1cm的小正方體組成的簡單幾何體．請在方格紙中畫出該幾何體從正面、左面和上面所看到的形狀圖．

解：如答圖29－78－3.

第二十九章投影與視圖第79課時

三視圖（二）1.畫如圖29－79－1所示的物體的俯視圖，正確的是()

B2.如圖29－79－2，幾何體的左視圖是()

B由三視圖確定幾何體的形狀，首先應分別根據________、________和________想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體圖形.知識點一：根據三視圖確定物體的形狀——

簡單幾何體主視圖俯視圖左視圖3.如圖29－79－3是某幾何體的三視圖，這個幾何體是()A.三棱柱B.三棱錐C.長方體D.正方體A分析途徑：(1)觀察三視圖，看其可分解為哪些簡單幾何體的_________；(2)想象出各簡單_________；(3)根據三視圖反映的____________組合簡單幾何體就可以得到物體原來的形狀；(4)可對想象出的物體作三視圖檢驗正誤，注意虛線與實線的區別.知識點二：根據三視圖確定物體的形狀——簡

單組合體三視圖幾何體位置關系4.如圖29－79－4是由4個相同的小立方體組成的立體圖形的主視圖和左視圖，則原立體圖形不可能是()C一般步驟：（1）由俯視圖確定第______層小正方體的個數；（2）由主視圖（或左視圖）確定物體的______；(3)由主視圖和左視圖確定其他各層小正方體的個數.知識點三：根據三視圖確定小正方體的個數一層數5.如圖29－79－5是一個由若干個相同的小正方體堆成的物體的三視圖，則堆成這個物體的小正方體的個數是______個．5先了解主視圖、左視圖、俯視圖的大致輪廓，借助空間想象力還原_________，再根據三視圖“長對正，_________，_________”的關系，確定三視圖中各線段在幾何體中對應的部分，最后畫出幾何體的展開圖并進行相關計算.知識點四：根據三視圖計算幾何體的表面積和體積幾何體高平齊寬相等6.一個幾何體的三視圖如圖29－79－6所示，則這個幾何體的側面積是（）A．27πcm2B．48πcm2C．96πcm2D．36πcm2A【例1】（RJ九下P98例3改編）如圖29－79－7，是從三個方向看兩個立體圖形所得到的平面圖形，請根據視圖說出立體圖形的名稱，并畫出它們的大致形狀.思路點撥：根據從主視圖、左視圖及俯視圖看到的圖形，即可確定物體的形狀.解：（1）該幾何體為長方體，其大致形狀如答圖29－79－1.（2）該幾何體是圓錐，其大致形狀如答圖29－79－2.7.如圖29－79－8，是兩個立體圖形的三視圖，請說出這兩個立體圖形的名稱，并畫出它們的大致形狀.解：（1）該幾何體是長方體，其大致形狀如答圖29－79－4.（2）該幾何體是四棱錐，其大致形狀如答圖29－79－5.【例2】如圖29－79－9是由幾個大小相同的小正方體組成的立體圖形的俯視圖，則這個立體圖形可能是()思路點撥：由俯視圖可確定物體底層的小正方體的個數與位置.D8.某幾何體的從左面看到的形狀圖如圖29－79－10所示，則該幾何體不可能是（）D【例3】如圖29－79－11是由棱長為1cm的立方體小木塊搭建成的幾何體從3個不同的方向看到的形狀圖．

（1）在從上面看到的形狀圖中標出相應位置上立方體小木塊的個數；（2）求該幾何體的表面積（包含底面）．思路點撥：（1）由俯視圖可得該組合幾何體最底層的小木塊的個數，由主視圖和左視圖可得第二層和第三層小木塊的個數；（2）將幾何體的暴露面（包括底面）的面積相加即可得到其表面積．（2）該幾何體的表面積為6×2＋6×2＋6×2＋2×2＝40（cm2）．解：（1）如答圖29－79－3.9.（創新題）如圖29－79－12是由若干個相同的小立方體搭成的一個幾何體的主視圖和俯視圖，俯視圖的方格中的字母和數字表示該位置上小立方體的個數．（1）俯視圖中x＝______，y＝______；23（2）在(1)的條件下先化簡再求值：2（3x2y－xy2）－（xy2＋4x2y）＋2xy2．解：（2）原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2

＝2x2y－xy2.當x＝2,y＝3時,原式＝2×22×3－2×32＝6.【例4】（RJ九下P99例5改編）如圖29－79－13所示的是某個幾何體從三種不同方向所看到的圖形.（1）寫出這個立體圖形的名稱：_________；（2）根據圖中的有關數據，求這個幾何體的表面積和體積（圖中尺寸單位：cm）.思路點撥：（1）根據三視圖即可得出答案；（2）結合該幾何體的表面積和體積公式即可得出答案.三棱柱

①寫出這個幾何體的名稱:______；②若該幾何體的主視圖的高、長分別為（1）中求得的m的值與方程②的解，求該幾何體的體積．（結果保留π）圓柱

（2）②由題意，得這個圓柱的高為5,底面直徑為2，∴該幾何體的體積為π×12×5＝5π．第二十八章銳角三角函數第70課時

銳角三角函數(一)1.如圖28－70－1，在2×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，頂點稱為格點，點A，B，P均在格點上，則AB＝______，AP＝______，BP＝______.

5

2.如圖28－70－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，則邊AC的長為______．

知識點一：正弦的定義正弦

3.如圖28－70－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則sinA＝______，sinB＝______.

結合網格的特征，觀察角所在方格中的位置，構造__________________，運用勾股定理計算出相關邊的長度，再運用正弦的定義便可求解.知識點二：在網格中求正弦值直角三角形4.三角形在正方形網格紙中的位置如圖28－70－5所示，則sinα＝______.

在一個直角三角形中，若知道銳角的正弦值，還知道其中一條邊的長，我們可以根據正弦的定義得到一個比例式，計算出另一條邊的長，再運用______________可求出第三邊的長度.知識點三：利用正弦值求邊長勾股定理

4【例1】（RJ九下P63例1改編）如圖28－70－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．思路點撥：利用勾股定理得出AB的長，根據正弦的定義得出答案．

6.（原創題）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求sinA＋sinB．

7．【例2】如圖28－70－8，在4×4的矩形網格中，每個小正方形的邊長都是1.若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則sinA＝______.思路點撥：根據勾股定理求出△ABC的各邊長，根據勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據正弦的定義計算即可.

7.如圖28－70－9，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinB＝______.

第二十八章銳角三角函數第71課時

銳角三角函數(二)1.如圖28－71－1，CD為Rt△ABC斜邊上的高，若AD＝6，BD＝2，則CD的值為______．

2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝12，則sinA＝______，sinC＝______．

知識點一：余弦和正切的定義余弦

正切

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，則cosA＝______，tanA＝______.

∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數，我們可以把∠A看作自變量，其取值范圍是______°＜∠A＜______°，sinA(或cosA或tanA)隨著∠A的變化而變化，但當∠A確定時，sinA(或cosA或tanA)也就有唯一確定的值與∠A對應，所以我們說sinA，cosA，tanA都是∠A的三角函數.知識點二：銳角三角函數0904.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，則sinA＝______，tanA＝______，cosA＝______.

在直角三角形中，已知某銳角的函數值和一條邊長，我們可以利用三角函數的定義和____________求出另外兩邊，但要注意邊角的______關系，靈活地進行等式的變形.知識點三：根據銳角三角函數求邊長勾股定理對應

6【例1】如圖28－71－3，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，則cosB的值是()思路點撥：根據余弦函數的定義即可求解.A6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝2，則tanA的值是()

B【例2】（RJ九下P65例2改編）如圖28－71－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sinA，cosA和tanA的值．思路點撥：根據勾股定理求出斜邊，再根據銳角三角函數的定義求出答案即可．

7.（原創題）如圖28－71－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA·cosA·tanB的值．

思路點撥：先根據正切函數的定義得到AC的長，再根據勾股定理求出AB的長.

第二十八章銳角三角函數第72課時

特殊角的三角函數值1.如圖28－72－1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，則AD的長為______．

32.如圖28－72－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，則cosA＝______.

知識點一：特殊角的三角函數值∠A30°45°60°sinAcosAtanA13.計算：sin30°＋tan45°－2cos60°＝______．

銳角三角函數值是_________時，可以根據特殊角的銳角三角函數值來求角的度數，所以，一要牢記或正確推導特殊角的銳角三角函數值，二要細心，勿混淆特殊角的銳角三角函數值.知識點二：根據特殊角的三角函數值求角度特殊值

45°(1)分清銳角所在的______三角形，掌握好銳角三角函數的概念及特殊角的_______________，可以快速求出線段的長或角的度數；(2)對于含特殊角的非直角三角形，要根據題意添加輔助線(如作三角形的高、作坐標軸的垂線等)，構造______三角形；也可以利用等角進行角的轉化，將所求角轉化到易求的直角三角形中去解決問題.知識點三：特殊角三角函數值的綜合運用直角三角函數值直角

2

【例1】（RJ九下P66例3改編）計算：6tan230°－sin60°－2sin45°．思路點撥：把特殊角的三角函數值代入原式計算即可．

6.計算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.

C

A【例3】數學拓展課程《玩轉學具》課堂中，甲同學發現：一副三角尺中，含45°的三角尺的斜邊與含30°的三角尺的長直角邊相等.于是，甲同學提出一個問題：如圖28－72－3，將一副三角尺的直角頂點重合拼放在一起，點B，C，E在同一直線上，若BC＝2，求AF的長.思路點撥：根據正切函數的定義求出AC的長,再根據正弦函數的定義求出FC的長,進而得出AF的長.

8.(原創題)如圖28－72－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延長CA至點D，使AD＝AB．（1）求∠D的度數；（2）求tanD的值.

第二十八章銳角三角函數第73課時

解直角三角形1.計算：sin230°＋tan45°－2cos60°＝______.2.如果tanα＝1，那么銳角α的度數是______.

45°一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由已知元素求出其余未知元素的過程，叫做_______________.若已知一邊一角，則可以先根據兩銳角______求出另一個銳角，再利用銳角三角函數的定義求其余邊長(一般用未知邊比已知邊或用已知邊比未知邊).知識點一：已知一邊一角，解直角三角形解直角三角形互余3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，則∠B＝______，AB＝______，AC＝______.60°4

若已知兩邊，則可以先根據_________求出第三邊，再利用銳角三角函數的定義求兩個銳角(一般用已知邊比已知邊).知識點二：已知兩邊，解直角三角形勾股定理4.如圖28－73－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，則AC＝______，∠A＝______，∠B＝______.

30°60°(1)當題目中給出角的三角函數值時，要注意在直角三角形中應用，若沒有直角三角形，則要構造______三角形；(2)求某些未知量的途徑往往不唯一，選擇關系式常遵循以下原則：一是盡量選擇可以直接應用__________的關系式，二是盡量選擇便于計算的關系式，若能用乘法計算就避免用______計算，即“有斜用弦，無斜用切；寧乘勿除，化斜為直”；知識點三：解直角三角形的綜合運用直角原始數據除法(3)通過設參數，利用______求解也是解直角三角形的重要方法.方程

6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,c＝10，∠B＝45°，解這個直角三角形.

【例2】(RJ九下P73例1改編)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝36，BC＝33，解這個直角三角形.思路點撥：先根據勾股定理求出AC，從而發現AC＝BC，即可推出∠A＝∠B.

【例3】如圖28－73－3，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的長.思路點撥：作輔助線CD⊥AB,交BA的延長線于點D,求出AD和CD的長,進而利用勾股定理求得BC的長.

第二十八章銳角三角函數第74課時

解直角三角形的應用(一)

60°4

利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般步驟：(1)建立______：將實際問題抽象為數學問題(畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題)；(2)解__________________；(3)得到數學問題的答案；知識點一：“一個仰角或俯角”的類型模型直角三角形(4)得到實際問題的答案.解決只有一個仰角(視線在水平線______方的角)或俯角(視線在水平線______方的角)的問題，可以利用銳角三角函數的定義和勾股定理求解，若無直角三角形，則可以作輔助線構造直角三角形.

上下

B解決含有兩個仰角或俯角的問題，一般可建立“雙直角三角形(兩個直角三角形在公共直角邊的同側或異側，而另外兩條直角邊在同一條直線上)”模型，可設公共直角邊為x，將另外兩條直角邊分別用x表示出來，并利用它們的________建立方程求解.知識點二：“兩個仰角或俯角”的類型和、差

C【例1】為了測量某建筑物BE的高度(如圖28－74－3)，小明在離建筑物15m(即DE＝15m)的A處，用測角儀測得建筑物頂部B的仰角為45°，已知測角儀高1.8m（即AD＝1.8m），求建筑物BE的高度.思路點撥：過點A作AC⊥BE于點C，則AC＝DE，在Rt△ABC中，可以用正切求BC的長，再計算BE＝BC＋CE即可.解：如答圖28－74－1，過點A作AC⊥BE于點C，則AC＝DE＝15m，CE＝AD＝1.8m.在Rt△ABC中，BC＝AC·tan45°＝15(m)，則BE＝BC＋CE＝16.8(m).答：建筑物BE的高度是16.8m.5.如圖28－74－4，創新小組要測量公園內一棵樹的高度AB，其中一名小組成員站在距離樹10m的點E處，測得樹頂A的仰角為54°.已知測角儀的架高CE＝1.5m，求這棵樹的高度.(結果保留一位小數，參考數據：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)

思路點撥：過點A作AD⊥BC于點D，用正切函數分別求得BD和CD的長即可．

第二十八章銳角三角函數第75課時

解直角三角形的應用(二)1.如圖28－75－1，OA是北偏東30°的一條射線，若∠AOB＝90°，則OB的方向角是______________.北偏西60°

60°解決只有一個方向角的問題，可利用正南、______、正西、______方向構造______三角形，畫出這個幾何圖形，將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，進而根據條件選擇適當的方法求解.知識點一：“一個方向角”的類型正東正北直角3.如圖28－75－2，海面上B，C兩島分別位于A島的正東和正北方向，A島與C島之間的距離約為36nmile，B島在C島的南偏東43°方向，則A，B兩島之間的距離約為______nmile.(結果精確到0.1nmile，參考數據：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)33.5解決含有兩個方向角的問題，一般可以通過作航線的垂線或作三角形的______，建立“雙直角三角形”模型，利用銳角三角函數的定義或結合方程思想求解.知識點二：“兩個方向角”的類型高4.如圖28－75－3，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向、距離燈塔60nmile的小島A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是____________nmile.

【例1】小亮為測量如圖28－75－4所示的淡水湖湖面的寬度BC，他在與淡水湖的同一水平面上取一點A，測得湖的一端C在A處的正北方向，另一端B在A處的北偏東60°的方向，并測得A,C間的距離AC＝10m，求湖面寬度BC.

5.如圖28－75－5，東、西兩炮臺A,B相距2000m，它們同時發現入侵艦C，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東40°的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦C與兩炮臺A，B的距離.(結果精確到1m，參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

思路點撥：過點A作AE⊥BC交BC于點E，設DE＝x，利用等腰直角△ABE用x表示出AE，BE，根據60°角的三角函數值列方程求解即可.

6.如圖28－75－7，海中有一個小島A，它的周圍15nmile內有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西60°的B處，往東航行20nmile后到達該島南偏西30°的C處后，貨船繼續向東航行，你認為貨船在航行途中有沒有觸礁的危險？

第二十八章銳角三角函數第76課時

解直角三角形的應用(三)

60°

知識點一：根據坡度求坡長或高度鉛直高度水平寬度tanα

B在坡度問題中，常見的幾何模型是梯形，我們一般過上底的兩個端點分別作下底的兩條___