2018年八年級數學上期中試卷（附答案和解釋）

最短路線問題．

【分析】分別作點P關于A、B的對稱點c、D，連接cD，分別交A、B于點、N，連接c、D、P、PN、N，由對稱的性質得出P=D，P=c，∠cA=∠PA；PN=DN，P=D，∠DB=∠PB，得出∠AB=∠cD，證出△cD是等邊三角形，得出∠cD=60°，即可得出結果．

【解答】解分別作點P關于A、B的對稱點c、D，連接cD，

分別交A、B于點、N，連接c、D、P、PN、N，如圖所示

∵點P關于A的對稱點為D，關于B的對稱點為c，

∴P=D，P=D，∠DA=∠PA；

∵點P關于B的對稱點為c，

∴PN=cN，P=c，∠cB=∠PB，

∴c=P=D，∠AB=∠cD，

∵△PN周長的最小值是5c，

∴P+PN+N=5，

∴D+cN+N=5，

即cD=5=P，

∴c=D=cD，

即△cD是等邊三角形，

∴∠cD=60°，

∴∠AB=30°；

故選B．

12．為了求1+2+22+23+…+22018+22018的值，可令S=1+2+22+23+…+22018+22018，則2S=2+22+23+24+…+22018+22018+22018，因此2S﹣S=22018﹣1，所以1+2+22+23+…+22018=22018﹣1．仿照以上推理計算出1+5+52+53+…52018的值是（）

A．52018+1B．52018﹣1c．D．

【考點】規律型數字的變化類．

【分析】仔細閱讀題目中示例，找出其中規律，求解本題．

【解答】解根據題中的規律，設S=1+5+52+53+…+52018，

則5S=5+52+53+…+52018+52018，

所以5S﹣S=4S=52018﹣4，

所以S=．

故選c．

二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

13．用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如下，則要說明∠D′′c′=∠Dc，需要證明△D′′c′≌△Dc，則這兩個三角形全等的依據是SSS（寫出全等的簡寫）．

【考點】全等三角形的判定．

【分析】1、以為圓心，任意長為半徑用圓規畫弧，分別交A、B于點c、D；

2、任意畫一點’，畫射線’A’，以’為圓心，c長為半徑畫弧c’E，交’A’于點c’；

3、以c’為圓心，cD長為半徑畫弧，交弧c’E于點D’；

4、過點D’畫射線’B’，∠A’’B’就是與∠AB相等的角．

則通過作圖我們可以得到c=′c′，D=′D′，cD=c′D′，從而可以利用SSS判定其全等．

【解答】解c=′c′，D=′D′，cD=c′D′，從而可以利用SSS判定其全等．

故填SSS．

14．已知如圖，AD是△ABc的角平分線，且ABAc=32，則△ABD與△AcD的面積之比為32．

【考點】角平分線的性質．

【分析】本題需先利用角平分線的性質可知點D到AB、Ac的距離相等，即兩三角形的高相等，觀察△ABD與△AcD，面積比即為已知AB、Ac的比，答案可得．

【解答】解∵AD是△ABc的角平分線，

∴點D到AB的距離等于點D到Ac的距離，

又∵ABAc=32，

則△ABD與△AcD的面積之比為32．

故答案為32．

15．如圖，已知△ABc中，Ac+Bc=24，A、B分別是角平分線，且N∥BA，分別交Ac于N、Bc于，則△cN的周長為24．

【考點】等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．

【分析】根據A、B分別是角平分線和N∥BA，求證△AN和△B為等腰三角形，再根據Ac+Bc=24，利用等量代換即可求出△cN的周長

【解答】解A、B分別是角平分線，

∴∠AN=∠BA，∠AB=∠B，

∵N∥BA，∴∠AN=∠BA，∠B=∠AB，

∴AN=N，B=，即△AN和△B為等腰三角形，

∵N=+N，Ac+Bc=24，

∴△cN的周長=N+c+Nc=Ac+Bc=24．

故答案為24．

16．已知點P（3，﹣1）關于軸的對稱點Q的坐標是（a+b，1﹣b），則ab的值為25．

【考點】關于x軸、軸對稱的點的坐標．

【分析】根據關于軸對稱點的坐標特點橫坐標互為相反數，縱坐標不變可直接得到答案．

【解答】解∵點P（3，﹣1）關于軸的對稱點Q的坐標是（a+b，1﹣b），

∴，

解得，

則ab的值為（﹣5）2=25．

故答案為25．

17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數為63°或27°．

【考點】等腰三角形的性質．

【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出它的底角的度數．

【解答】解在三角形ABc中，設AB=Ac，BD⊥Ac于D．

①若是銳角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，

底角=÷2=63°；

②若三角形是鈍角三角形，∠BAc=36°+90°=126°，

此時底角=÷2=27°．

所以等腰三角形底角的度數是63°或27°．

故答案為63°或27°．

18．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABc的兩邊分別在x軸和軸上，A=10c，c=6c．F是線段A上的動點，從點出發，以1c/s的速度沿A方向作勻速運動，點Q在線段AB上．已知A、Q兩點間的距離是、F兩點間距離的a倍．若用（a，t）表示經過時間t（s）時，△cF、△FAQ、△cBQ中有兩個三角形全等．請寫出（a，t）的所有可能情況（1，4），（，5），（0，10）．

【考點】全等三角形的判定與性質；坐標與圖形性質．

【分析】分類討論①當△cF和△FAQ全等時，得到c=AF，F=AQ或c=AQ，F=AF，代入即可求出a、t的值；②同理可求當△FAQ和△cBQ全等時a、t的值，③△cF和△BcQ不全等，④F，Q，A三點重合，此時（0，10）

綜合上述即可得到答案．

【解答】解①當△cF和△FAQ全等時，

c=AF，F=AQ或c=AQ，F=AF，

∵c=6，F=t，AF=10﹣t，AQ=at，代入得或，

解得t=4，a=1，或t=5，a=，

∴（1，4），（，5）；

②同理當△FAQ和△cBQ全等時，必須Bc=AF，BQ=AQ，

10=10﹣t，6﹣at=at，

此時不存在；

③因為△cBQ最長直角邊Bc=10，而△cF的最長直角邊不能等于10，所以△cF和△BcQ不全等，

④F，Q，A三點重合，此時△cF和△cBQ全等，此時為（0，10）

故答案為（1，4），（，5），（0，10）．

三、解答題（共8小題，滿分78分）

19．如圖，已知AB=Ac，∠1=∠2，∠B=∠c，則BD=cE．請說明理由

解∵∠1=∠2

∴∠1+∠BAc=∠2+∠BAc．

即∠EAc=∠DAB．

在△ABD和△AcE中，

∠B=∠c（已知）

∵AB=Ac（已知）

∠EAc=∠DAB（已證）

∴△ABD≌△AcE（ASA）

∴BD=cE（全等三角形的對應邊相等）

【考點】全等三角形的判定與性質．

【分析】根據等式的性質得∠EAc=∠DAB，再根據ASA證明△ABD≌△AcE，得出BD=cE．

【解答】解∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAc=∠2+∠BAc，

即∠EAc=∠DAB，

在△ABD和△AcE中，

∵，

∴△ABD≌△AcE（ASA），

∴BD=cE（全等三角形的對應邊相等）．

故答案為∠BAc，∠EAc，∠c，Ac，∠DAB，ASA，全等三角形的對應邊相等．

20．a，b分別代表鐵路和路，點、N分別代表蔬菜和雜貨批發市場．現要建中轉站點，使點到鐵路、路距離相等，且到兩市場距離相等．請用尺規畫出點位置，不寫作法，保留痕跡．

【考點】線段垂直平分線的性質；角平分線的性質．

【分析】連接N，先畫出a、b兩線所組成的角的平分線，然后再畫出線段N的中垂線．這兩條直線的交點即為所求．

【解答】解①以A為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交鐵路a和路b于點B、c；

②分別以B、c為圓心，以大于Bc為半徑畫圓，兩圓相交于點D，連接AD，則直線AD即為∠BAc的平分線；

③連接N，分別以、N為圓心，以大于N為半徑畫圓，兩圓相交于E、F，連接EF，則直線EF即為線段N的垂直平分線；

④直線EF與直線AD相交于點，則點即為所求點．

21．將4個數a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線記成，定義=ad﹣bc，上述記號叫做二階行列式，若=5x，求x的值．

【考點】多項式乘多項式；解一元一次方程．

【分析】根據新定義列出一元一次方程，解方程得到答案．

【解答】解由題意得（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣3）（x+1）=5x，

解得x=﹣．

22．如圖，已知△ABc的三個頂點在格點上．

（1）作出與△ABc關于x軸對稱的圖形△A1B1c1；

（2）求出A1，B1，c1三點坐標；

（3）求△ABc的面積．

【考點】作圖-軸對稱變換．

【分析】（1）根據關于x軸對稱的點的坐標特點畫出△A1B1c1即可；

（2）根據各點在坐標系中的位置寫出A1，B1，c1三點坐標即可；

（3）根據S△ABc=正方形的面積減去三個頂點上三角形的面積即可．

【解答】解（1）如圖所示；

（2）由圖可知，A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），c1（﹣1，﹣1）；

（3）S△ABc=2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2

=4﹣﹣1﹣1

=．

23．（1）計算（﹣x）2x3（﹣2）3+（2x）2（﹣x）3

（2）已知2=，32n=2．求23+10n的值．

【考點】整式的混合運算—化簡求值．

【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并即可；

（2）先變形求出25n=2，再把23+10n=23210n變形得出（2）3（25n）2，代入求出即可．

【解答】解（1）原式=﹣x2x383﹣4x22x3

=﹣8x53﹣4x53

=﹣12x53；

（2）∵32n=2，

∴25n=2，

∵2=，

∴23+10n=23210n

=（2）3（25n）2

=（）322=

即23+10n的值是．

24．如圖，△ABc中，∠BAc=110°，DE、FG分別為AB、Ac的垂直平分線，E、G分別為垂足．

（1）求∠DAF的度數；

（2）如果Bc=10c，求△DAF的周長．

【考點】線段垂直平分線的性質．

【分析】（1）根據三角形內角和定理可求∠B+∠c；根據垂直平分線性質，DA=BD，FA=Fc，則∠EAD=∠B，∠FAc=∠c，得出∠DAF=∠BAc﹣∠EAD﹣∠FAc=110°﹣（∠B+∠c）求出即可．

（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=Fc，即可得出△DAF的周長為BD+Fc+DF=Bc，即可得出答案．

【解答】解（1）設∠B=x，∠c=．

∵∠BAc+∠B+∠c=180°，

∴110°+∠B+∠c=180°，

∴x+=70°．

∵AB、Ac的垂直平分線分別交BA于E、交Ac于G，

∴DA=BD，FA=Fc，

∴∠EAD=∠B，∠FAc=∠c．

∴∠DAF=∠BAc﹣（x+）=110°﹣70°=40°．

（2）∵AB、Ac的垂直平分線分別交BA于E、交Ac于G，

∴DA=BD，FA=Fc，

∴△DAF的周長為AD+DF+AF=BD+DF+Fc=Bc=10（c）．

25．（1）如圖，在四邊形ABcD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊Bc、cD上的點，且∠EAF=∠BAD．

求證EF=BE+FD；

（2）如圖，在四邊形ABcD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊Bc、cD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？

（3）如圖，在四邊形ABcD中，AB=AD，∠B+∠ADc=180°，E、F分別是邊Bc、cD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．

【考點】全等三角形的判定與性質．

【分析】（1）可通過構建全等三角形實現線段間的轉換．延長EB到G，使BG=DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形實現，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就構成了三角形ABE和AEF全等的所有條（SAS），那么就能得出EF=GE了．

（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結果完全一樣．

（3）按照（1）的思路，我們應該通過全等三角形實現相等線段的轉換．就應該在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的結論在（3）的條下是不成立的．

【解答】證明（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．

∵∠ABG=∠ABc=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

（2）（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．

（3）結論EF=BE+FD不成立，應當是EF=BE﹣FD．

證明在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．

∵∠B+∠ADc=180°，∠ADF+∠ADc=180°，

∴∠B=∠ADF．

∵AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF

∵EG=BE﹣BG

∴EF=BE﹣FD．

26．閱讀理解

如圖1，△ABc中，沿∠BAc的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1c的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；…；將余下部分沿∠BnAnc的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點c重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAc是△ABc的好角．

小麗展示了確定∠BAc是△ABc的好角的兩種情形．情形一如圖2，沿等腰三角形ABc頂角∠BAc的平分線AB1折疊，點B與點c重合；情形二如圖3，沿∠BAc的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1c的平分線A1B2折疊，此時點B1與點c重合．

探究發現

（1）△ABc中，∠B=2∠c，經過兩次折疊，∠BAc是不是△ABc的好角？是（填“是”或“不是”）．

（2）小麗經過三次折疊發現了∠BAc是△ABc的好角，請探究∠B與∠c（不妨設∠B＞∠c）之間的等量關系．根據以上內容猜想若經過n次折疊∠BAc是△ABc的好角，則∠B與∠c（不妨設∠B＞∠c）之間的等量關系為∠B=n∠c．

應用提升

（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．

請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．

【考點】翻折變換（折疊問題）．

【分析】（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據根據三角形的外角定理、折疊的性質推知∠B=2∠c；

（2）根據折疊的性質、根據三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠c+∠A2B2c=2∠c；

根據四邊形的外角定理知∠BAc+2∠B﹣2c=180°①，根據三角形ABc的內角和定理知∠BAc+∠B+∠c=180°②，由①②可以求得∠B=3∠c；

利用數學歸納法，根據小麗展示的三種情形得出結論∠B=n∠c；

（3）利用（2）的結論知∠B=n∠c，∠BAc是△ABc的好角，∠c=n∠A，∠ABc是△ABc的好角，∠A=n∠B，∠BcA是△ABc的好角；然后三角形內角和定理可以求得另外兩個角的度數可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

【解答】解（1）△ABc中，∠B=2∠c，經過兩次折疊，∠BAc是△ABc的好角；

理由如下小麗展