PAGE1專題08角度中的四類動態模型角度的動態（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.旋轉中的求值模型 2模型2.旋轉中的定值模型 4模型3.旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系） 10模型4.旋轉中的分類討論模型 14 18模型1.旋轉中的求值模型1、角度旋轉模型解題步驟：①找——根據題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角③列——根據題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。2、常見的三角板旋轉模型：一副三角板有兩個，一個是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一個是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數就是組成角的兩條射線旋轉的度數（角平分線也旋轉了同樣的度數）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數隱藏了起來。例1．（23-24七年級上·河北唐山·期中）綜合與實踐【問題情境】利用旋轉開展數學活動，探究體會角在旋轉過程中的變化，

【操作發現】如圖①，且兩個角重合．（1）將繞著頂點O順時針旋轉如圖②，此時OB平分；的余角有個，分別是：．【實踐探究】（2）將繞著頂點O順時針繼續旋轉如圖③位置，若，射線OE在內部，且請探究：①的補角是哪幾個角？．②求的度數．【答案】（1），2，和；（2）①，，；②【分析】本題考查了旋轉的性質、角平分線的定義、角度的運算、余角和補角的定義：（1）根據旋轉的性質得，進而可得角平分線的答案，根據，，進而可求解；（2）①根據旋轉的性質及角度之間的計算找出與相加等于的角即可；②利用角度之間的計算即可求解；熟練掌握角度之間的計算，理解平角、余角和補角的定義是解題的關鍵．【詳解】解：（1）由旋轉的性質得：，，，，平分，，，的余角有2個（本身除外），分別是和，故答案為：；2；和；（2）①，，，，的補角是，，，的補角是，，的補角是，綜上所述，的補角分別是、、，故答案為：、、．②∵，，∴，∴，又∵，∴．例2．（2023·湖南株洲·七年級期末）點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處．(1)如圖1，當三角板的一邊與射線重合時，則________；(2)如圖2，將三角板繞點逆時針旋轉一定角度，此時是的平分線，求和的度數；(3)將三角板繞點逆時針旋轉至圖3所示的位置時，，求的度數．【答案】(1)25°(2)∠AOM＝50°，∠CON＝25°(3)＝70°【分析】（1）根據∠MON和∠BOC的度數可以得到∠MON的度數；（2）根據OC是∠MOB的角平分線，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度數，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度數，從而可得∠CON的度數；（3）根據平角的定義求出∠NOC＝5°，再根據角的和差即可得解．（1）解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON?∠BOC＝90°?65°＝25°，故答案為：25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分線，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠AOM＝180°?∠MOB＝180°?130°＝50°，∠BON＝∠MOB?∠MON＝130°?90°＝40°，∠CON＝∠COB?∠BON＝65°?40°＝25°，即∠AOM＝50°，∠CON＝25°；（3）∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝65°，∠MON＝90°，∴∠AOM＋∠MON＝180°?65°?90°＝25°，∵∠AOM＝4∠NOC，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°．【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，三角板的知識，角的計算，熟記概念并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．模型2.旋轉中的定值模型例1．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，，角的頂點互相重合，將繞點旋轉．(1)當射線，重合時，______，(2)在繞點旋轉的過程中，若射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線，則的度數為______；(3)在繞點旋轉的過程中，若射線始終在的內部．①普于思考的小明發現，在旋轉過程中，的值為定值，請你求出這個定值；②作和的平分線，，在旋轉過程中的值是否發生變化？若不變，請求出這個定值，若變化，請求出變化的范圍．【答案】(1)(2)或或(3)①；②度數不發生變化，為定值，理由見解析【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）直接根據角之間的關系進行求解即可；（2）分當是的角平分線時，當是的角平分線時，當是的角平分線時，三種情況討論求解即可；（3）①，則；②先由角平分線的定義得到，再由即可得到結論．【詳解】（1）解：∵，，∴當射線，重合時，，故答案為：；（2）解：如圖2-1所示，當是的角平分線時，則；如圖2-2所示，當是的角平分線時，則；如圖2-3所示，當是的角平分線時，則；綜上所述，的度數為或或；（3）解：①如圖所示，∵，，∴，∴；②度數不發生變化，為定值，理由如下：∵，，∴，∵，分別是和的平分線，∴，∴．例2．（2023·河南南陽·七年級校考期末）將一副三角尺如圖①擺放，，，現將繞點C以/秒的速度逆時針方向旋轉，旋轉時間為秒．

(1)如圖②，當______時，恰好平分；(2)如圖③，當______時，恰好平分；(3)如圖④，當______時，恰好平分；(4)繞點C旋轉到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數；(5)若旋轉到如圖⑥的位置，（4）中結論是否發生變化？請說明理由．【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不變，，理由見解析；【分析】（1）如圖，由題意可得：，而，，再證明，而，再建立方程求解即可；（2）如圖，證明，，再建立方程求解即可；（3）如圖，證明，，同理：，而，可得，從而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，而，∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；（2）如圖，∵，平分，∴，

∵，，∴，∴，解得：；（3）如圖，∵，恰好平分，∴，，同理：，而，∴，解得：；（4）如圖，∵，，∴，

∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．（5）如圖，∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．【點睛】本題考查的是角的動態定義，角的和差運算，角平分線的含義，一元一次方程的應用，熟練的畫出符合題意的圖形，再利用數形結合的方法解題是關鍵．例3．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）已知，為內部的一條射線，．(1)如圖1，若平分，為內部的一條射線，，則；(2)如圖2，若射線繞著O點從開始以每秒的速度順時針旋轉至結束、繞著O點從開始以每秒的速度逆時針旋轉至結束，當一條射線到達終點時另一條射線也停止運動．若運動時間為t秒，當時，求t的值；(3)如圖3，若射線繞著O點從開始以每秒的速度逆時針旋轉至結束，在旋轉過程中，平分，試問：在某時間段內是否為定值？若不是，請畫出圖形，并說明理由；若是，請畫出圖形，并直接寫出這個定值以及t相應所在的時間段．（題中的角均為大于且小于的角）【答案】(1)(2)3或(3)當時，；當時，【分析】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分．（1）先根據角平分線的定義求出的度數，再根據角的倍差求出的度數，最后根據角的和差即可；（2）先求出的度數和t的最大值，從而可知停止運動時，在的右側，因此，分在左側和右側兩種情況，再根據列出等式求解即可；（3）因本題中的角均為大于且小于的角，則需分與在一條直線上、與在一條直線上、與在一條直線上三個臨界位置，從而求出此時t的取值范圍，并求出各范圍內和的度數，即可得出答案．【詳解】（1）解：平分，，故答案為：；（2）由題意知，當轉到時，兩條射線均停止運動此時（秒）則停止轉動時，即從開始旋轉至停止運動，始終在OC的右側因此，分以下2種情況：①當在左側時，則由得，解得②當在右側時，則由得，解得綜上，t的值為3或7.5；（3）射線從開始轉動至結束時，轉動時間為（秒）由題意，分與在一條直線上（）、與在一條直線上（）、與在一條直線上（）三個臨界位置①當時，如圖1所示此時，則為定值②當時，如圖2所示此時，則不為定值③當時，如圖3所示此時，則為定值④當時，如圖4所示此時，則不為定值綜上，當或時，為定值．模型3.旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系）例1．（23-24七年級下·遼寧鞍山·開學考試）在一次數學實踐探究活動中，小明和他的同伴們將一個直角三角尺按如圖所示方式放置，發現了其中的奧秘．(1)如圖①，三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側．若，求度數．(2)繞點P旋轉三角尺，使點A，B在直線的同側，如圖②，若平分，平分，他們發現的度數為定值，請你求出這個定值．(3)繞點P旋轉三角尺，使點A，B在直線的異側，平分，平分，設，如圖③，探究的度數．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義．（1）根據即可求解；（2）由可得到，根據角平分線的定義，可得，進而根據角的和差即可求解；（3）由，求得，，根據角平分線的定義可得，，最后根據即可求解．【詳解】（1）解：，；（2）解：∵，∴，平分，平分，，，；（3）解：∵，，∴，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，．例2．（23-24七年級上·河北石家莊·期末）如圖1，將一副直角三角板擺放在直線上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不動，將三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉（如圖2），旋轉時間為t（）秒．

計算

當平分時，求t的值；判斷

判斷與的數量關系，并說明理由；操作

若在三角板開始旋轉的同時，另一個三角板也繞點O以每秒的速度順時針旋轉，當三角板停止時，三角板也停止，直接寫出在旋轉過程中，與的數量關系．【答案】計算：；判斷：當時，，當時，；操作：【分析】本題主要考查角度的和差關系和角平分線性質，計算：根據角平分線性質得，結合旋轉速度即可求的時間；判斷：分兩種情況和，分別求得和即可找得到關系；操作：由題意知和，即可得，進一步可求得和，即可發現其關系．【詳解】解：計算∵，平分，∴，∵三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉，∴．∴t的值為2.25．判斷當時，如圖1，據題意，得，∴，∵，∴，∴，當時，如圖2，據題意，得，∴，∵，∴，∴；操作∵，，∴，∴，∵，∴，則．例3．（23-24七年級上·貴州黔西·期末）如圖，大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂樂想從數學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做得更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行討論，如圖，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為，兩點，兩腳腳跟位置分別為，兩點，定義，，，平面內為定點，將手腳運動看作繞點進行旋轉：

(1)填空：如圖，，，三點共線，且，則______°；(2)第三節腿部運動中，如圖，洋洋發現，雖然，，三點共線，卻不在水平方向上，且，他經過計算發現，的值為定值，請判斷洋洋的發現是否正確，如果正確請求出這個定值，如果不正確，請說明理由；(3)第四節體側運動中，樂樂發現，兩腿左右等距張開且，開始運動前、、三點在同一水平線上，、繞點順時針旋轉，旋轉速度為，旋轉速度為，當旋轉到與重合時，運動停止，如圖．運動停止時，直接寫出______；請幫助樂樂求解運動過程中與的數量關系．【答案】(1)；(2)小田的發現是正確的，這個定值是；(3)；當時，；當時，．【分析】（）由，，三點共線，可得出，再由，即可求出；（）由，設，則，分別求出，，再代入即可求解；（）算出運動停止時間，求出運動的角度，進而求出度數；由的運動過程可知，需要分類討論，在點，，三點共線前和點，，三點共線后，分別求解即可；本題考查了角的和差運算，解題的關鍵是發現圖中角之間的和差關系．【詳解】（1）如圖，∵，，三點共線，∴，∵，∴，故答案為：；（2）小田的發現是正確的，這個定值是，理由，如圖，∵，設，則，∴，，∴，∴小田的發現是正確的，這個定值是；（3）如圖，∵，∴，，設運動時間為，則，則，運動停止時，即時，如圖，旋轉的角度為，∴，故答案為：；當點，，三點共線時，；∴當時，，，∴；當時，，，∴，綜上，當時，；當時，．模型4.旋轉中的分類討論模型例1．（23-24七年級上·陜西漢中·期末）【問題背景】如圖1，已知射線在的內部，若，和三個角中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的“量尺金線”．【問題感知】（1）一個角的平分線________這個角的“量尺金線”；（填“是”或“不是”）【問題初探】（2）如圖2，．若射線是的“量尺金線”，則的度數為________；【問題推廣】（3）在（2）中，若，，射線從位置開始，以每秒旋轉的速度繞點P按逆時針方向旋轉，當首次等于時停止旋轉，設旋轉的時間為．當t為何值時，射線是的“量尺金線”？（用含x的式子表示出t即可）【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；【分析】本題考查新定義下的角計算，幾何圖形中的角度計算，理解題意，列出相應的式子求解，是解題關鍵．（1）據“量尺金線”的定義進行判斷即可；（2）根據“量尺金線”的定義分三種情況討論計算即可；（3）射線是的“量尺金線”，在的內部，在的外部，然后分三種情況求解即可．【詳解】解：（1）一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足“量尺金線”的定義，故答案為：是；（2），射線是的“量尺金線”，根據“量尺金線”的定義分三種情況討論：當時，如圖，∵，∴；當時，如圖，∵∴；當時，如圖，∵，∴；綜上：當為，，時，射線是的“量尺金線”．（3）∵射線是的“量尺金線”，∴在的內部，∴在的外部；分三種情況：①如圖，當時，如圖所示：∴，∴；②如圖，當時，如圖所示：∴，∴；③當時，如圖所示：∵，∴，∴；綜上：當t為或或時，射線是的“量尺金線”．例2．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如圖1，某校七年級數學學習小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點O順時針旋轉．

(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉到圖3的位置，的度數是多少？（用含的代數式表示）②在旋轉過程中，若，則此時的值．【答案】(1)；(2)；或【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，數形結合，分情況討論是解題的關鍵．（1）根據，以及角的和差計算即可；（2）①先求，再利用得出結論；②分兩種情況討論：當旋轉到左側時；當旋轉到右側時，解答即可．【詳解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案為：；．（2）解：①∵，，∴，∵射線是的角平分線，∴，∴，∵，∴；故答案為：；②當旋轉到左側時，如圖所示：

∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；當旋轉到右側時，如圖所示：設，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上分析可知，的值為：或．故答案為：或．1．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）如圖，于點，，射線從出發，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉，同時，射線從出發，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉，當、中有一條射線到達終邊時，另一條射線也隨之停止．在旋轉過程中，設，，則與之間的數量關系為．【答案】或【分析】分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：由題意，得：的運動時間為：秒，的運動時間為：秒；∴運動的時間相同；設運動時間為秒，則：，∵，∴，當時：，∴，，∴，∴，∴，即：；當，在上方時：如圖，，∴，，∴，∴，∴，即：；當，在下方時：如圖2，，∴，，∴，∴，∴，即：；綜上：與之間的數量關系為或；故答案為：或．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角之間的和差關系，是解題的關鍵．2．（23-24七年級·江西南昌·期末）如圖，直線與相交于點O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉一周，當旋轉時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉時間t的值為秒．（旋轉過程中，，都只考慮小于的角）

【答案】1或13或25【分析】利用角平分線求出，，求出，，求出，由角平分線，求出，，再分平分，平分，平分三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；分情況討論：①當平分時，

∵，∴，即：，∴，∴；②平分時，

則：，∴，∴；③當平分時：

則：，∴，∴點旋轉的角度為：，∴；綜上：的值為：1或13或25．故答案為：1或13或25．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關系，是解題的關鍵．3．（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，．若在平面內繞點O旋轉，分別作和平分線OP、OQ，則的度數為．【答案】或【分析】分三種情況畫出圖形求解即可．【詳解】設，，如圖1，∵OP、OQ分別是和平分線，∴，∴，∴；如圖2，∵，∵OP、OQ分別是和平分線，∴，∴；如圖3，∵OP、OQ分別是和平分線，∴，∴；故答案為：或．【點睛】本題考查了角平分線定義，線段的和差，以及分類討論的數學思想，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．4．（2023·廣東·七年級專題練習）一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當三角板繞點順時針旋轉（從圖到圖）．設圖、圖中的的度數分別為，，度．

【答案】105【分析】根據角平分線的性質分別求出，的值，計算即可．【詳解】解：如圖1：∵，，，

∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；如圖2：∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；∴；故答案為：105．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．5．（23-24七年級下·河南鄭州·開學考試）如圖，和都是直角．固定不動，將繞點O旋轉，在旋轉過程中，下列結論正確的有．①如果，那么；②是定值③若變小，則變大；④【答案】①②③④【分析】由題意得到，，進行整理即可分別進行判斷．【詳解】解：，，，，，即，即，當，則，故①正確；，，故②正確；，若變小，則變大，故③正確；，，，故④正確；綜上所述，故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了角的有關計算；解題的關鍵是結合圖形對角進行正確拆分、組合．6．（23-24七年級上·廣東廣州·期末）如圖，點為直線上一點，將一直角三角板的直角頂點放在點處，是直角，平分．(1)如圖1，若，求的度數；(2)如圖2，若，求的度數；(3)當時，三角板繞點以每秒6沿逆時針方向旋轉秒（），請探究和之間的數量關系．【答案】(1)(2)(3)時，；時，【分析】本題考查相交線，涉及到角平分線的性質、垂直的性質等，靈活運用所學知識是關鍵．（1）根據直角和交平分線的性質求解即可；（2）根據直角和交平分線的性質求解即可；（3）分兩種情況時，進行討論即可．【詳解】（1）解：，，平分，，是直角，，；（2）解：平分，．，．．．∴；（3）解：①時，由題意得，平分，，，；②時，由題意得，平分，，，．綜上所述，時，；時，．7．（23-24七年級上·吉林白山·期末）如圖1，直線上有一點O，過點O在直線上方作射線，將一個直角三角尺的直角頂點放在點O處，一條直角邊在射線上，另一邊在直線上方，將直角三角尺繞著點O按每秒的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．(1)當直角三角尺旋轉到圖2所示的位置時，恰好平分，此時，與之間的數量關系是____________．(2)若射線的位置保持不變，且．①在旋轉過程中，是否存在某個時刻，使得射線，，中的某一條射線是另兩條射線所夾角的平分線？若存在，請求出所有滿足題意的的取值；若不存在，請說明理由．②在旋轉的過程中，當邊與射線相交時（如圖3），求的值．【答案】(1)(2)①存在，的值為或或；②的值為【分析】本題考查平角的定義、角平分線的定義、一元一次方程的應用；學會用分類討論的思想是解決本題的關鍵；（1）根據平角的定義及得，再根據平分即可得；（2）①分三種情況討論：平分時，；平分時，；平分時，；每種情況分別列出關于t的方程求解即可；②根據題意用分別表示出和，再代入求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：因為，所以，，因為平分，所以，所以，故答案為∶；（2）①存在；理由如下：當平分時，，即，解得，當平分時，，即，解得，當平分時，，即．解得，綜上所述，的值為或或；②因為，，所以，所以的值為．8．（23-24七年級上·河南信陽·期末）將一副直角三角板按圖1所示擺放在直線上（直角三角板直角三角板，），保持板不動，將三角板繞點O以每秒：的速度順時針方向旋轉t秒．(1)如圖2，當____秒時，平分；(2)繼續旋轉三角板，如圖3，使得同時在直線的右側，猜想與有怎樣的數量關系，并說明理由；（數量關系中不能含t）(3)直線的位置不變，在三角板開始順時針旋轉的同時，另一個三角板也繞點O以每秒的速度順時針旋轉，當旋轉至射線上時，兩個三角板停止運動．當t為多少時，？【答案】(1)(2)，理由見解析(3)或【分析】本題考查角的計算，認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關系是解題的關鍵．（1）根據角平分線的定義得根據題意求解即可．（2）根據題意得，進而求得．，即可得到結論；（3）根據題意得，求得．，分情況列方程求解即可得到結論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：∵∴∵∴；（3）解：∵，，或解得或9．（23-24七年級上·陜西榆林·期末）已知，三角形紙板可以繞點O在內任意旋轉，且始終保持平分，平分．(1)如圖1，當與重合時，求的度數．(2)如圖2，當三角形紙板繞點O在內旋轉時，請判斷的大小是否會隨的位置的變化發生改變？并說明理由．(3)在三角形紙板旋轉過程中，當時，請直接寫出的度數．【答案】(1)(2)不會隨位置的變化發生改變，見解析(3)或【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，等量代換及準確識圖是解題的關鍵．注意使用分類討論思想．（1）通過平分，平分，，分別求出，即可求解；（2）通過平分，平分，表示出由即可求解；（3）由（2）結合可得，分在右側，在左側兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：與重合，，平分，．，平分，，；（2）不會隨位置的變化發生改變．理由：平分，平分，，故不會隨位置的變化發生改變；（3）由（2）可知，，，，，．如圖1，當在右側時，．，．如圖2，當在左側時，，，．綜上所述，的度數為或．10．（23-24七年級上·吉林長春·期末）已知是一個直角，作射線，再分別作和的平分線、．(1)如圖①，當時，則的度數為_________________；(2)如圖②，當射線在內繞點旋轉時，的大小是否發生變化．若變化，說明理由；若不變，求的度數；(3)當射線在外繞點旋轉時，請直接寫出的度數_______________．【答案】(1)(2)不變(3)或【分析】考查了角的計算，正確作圖，熟記角的特點與角平分線的定義是解決此題的關鍵．（1）根據分別平分和，以及，即可得出與的度數；（2）結合角的特點，求得結果進行判斷和計算；（3）正確做出圖形，判斷大小即可．【詳解】（1）∵，∵、分別平分和，（2）不變，理由：分別平分；故的大小不發生變化．（3）當旋轉到左上方時，；如圖：分別平分；當旋轉到左下方時，如圖：分別平分；當旋轉到右下方時，如圖，分別平分；綜上所述，或．11．（23-24七年級上·貴州貴陽·期末）已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側．(1)保持不動，將繞點O旋轉至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉，按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉，旋轉到射線上時都停止運動，設旋轉時間為t分鐘．求的大小（用t的代數式表示）；(3)保持不動，將繞點O逆時針方向旋轉，若射線平分，射線平分，求的大小．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）①將轉化為即可得；②依據、，將原式轉化為計算可得；（2）設運動時間為t秒，，只需表示出即可得出答案，而在與相遇前、后表達式不同，故需分與相遇前后即和兩種情況求解；（3）設繞點O逆時針旋轉，則也繞點O逆時針旋轉，再分①射線在射線同側；②射線在射線異側，分別求解即可．【詳解】（1）①，②；故答案為：；（2）設旋轉時間為t秒，則，，①時，與相遇前，，∴；②時，與相遇后，，∴；（3）設繞點O逆時針旋轉，則也繞點O逆時針旋轉，①時，如圖①，在射線同側，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴；②時，如圖②，在射線異側，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴．綜上，．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關鍵是掌握角的和差計算、角平分線的定義及分類討論思想的運用．12．（23-24七年級上·河南新鄉·期末）操作：在一張白紙上畫一條直線，把一塊直角三角板的直角頂點放在直線上．(1)如圖（1），當點都在直線上方時，試判斷與的度數之和是多少，并說明理由；(2)如圖（2），把直角三角板繞點C旋轉，使點A在直線的下方，點仍在直線的上方，用測量或分析的方法完成下表，并判斷與的數量關系．結論：______；的度數的度數與的差(3)如圖（3），繼續把直角三角板繞點C旋轉，使點A和點B都在直線的下方，你發現與又有什么樣的數量關系呢？請直接寫出結論：______．【答案】(1)，理由見解析(2)表格見解析(3)【分析】本題主要考查了幾何圖形中角的計算，三角板中角的計算，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握各個角之間的數量關系．（1）根據進行解答即可；（2）根據圖形，求出，然后根據平角再求出即可；（3）根據，，進行解答即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即．（2）解：∵，，∴，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．的度數的度數與的差（3）解：∵，∴，∴，故答案為：．13．（23-24七年級上·貴州遵義·期末）請閱讀以下信息：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的“內半角”．如圖①，若射線，在的內部，且，則稱是的“內半角”．請根據以上信息，解決下面的問題：(1)如圖①，，．若是的“內半角”，則_______．(2)如圖②，已知，將繞點O按順時針方向旋轉一個角度至，即，其中．若是的“內半角”，求的度數．(3)把一塊含的三角板按如圖③方式放置，使邊與邊重合，邊與邊重合．如圖④，將三角板繞頂點O以每秒的速度按順時針方向旋轉一周，旋轉時間為t秒．當射線，，，構成“內半角”時，請直接寫出t的值．【答案】(1)(2)(3)t的值為或30【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算：（1）根據題意算出的度數，利用即可算出的度數；（2）根據旋轉性質可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數，根據是的內半角，即可求出α的值；（3）根據旋轉一周構成內半角的情況總共有兩種，分別畫出圖形，求出對應t值即可．【詳解】（1）解：∵是的內半角，，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵是的內半角，∴，即，解得：，∴α的值為；（3）解：①如圖所示，此時是的內半角，由旋轉性質可知：，∴，∵是的內半角，∴，即，解得：；②如圖所示，此時是的半角，由旋轉性質可得：，∴，∵是的內半角，∴，即，解得：；綜上所述：當射線構成內半角時，t的值為或30．14．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知一副三角板按圖1所示擺放，，，，將、邊重合在直線上，、邊在直線的兩側．保持不動．(1)在圖1中，______；(2)將繞點旋轉至如圖2所示的位置，則______；(3)將繞點逆時針方向旋轉到邊平分時，求旋轉角的度數？(4)將繞點逆時針方向旋轉時，直接寫出與的數量關系．【答案】(1)(2)(3)(4)當時，；當時，【分析】本題主要考查角之間的和差關系、一元一次方程的應用，熟練掌握角度之間的關系是解題的關鍵．（1）根據角的和差關系求解；（2）將變形為求解；（3）設旋轉角度為，平分時，，據此列方程，即可求解；（4）分和兩種情況，用含n的式子表示出與的度數，即可求解．【詳解】（1）解：圖1中，，故答案為：；（2）解：，故答案為：；（3）解：平分時，，設旋轉角度為，，，解得，即旋轉角的度數為；（4）解：當時，，，；當時，，，；綜上可知，當時，；當時，．15．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）（1）已知：如圖1，是直角三角板斜邊上的一個動點，、分別是和的平分線．當點在斜邊上移動時，；（2）把直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上：①點和點在直線的上方（如圖），此時與的數量關系是；②當把這把直角三角板繞頂點旋轉到點在直線的下方、點仍然在直線的上方時（如圖），與的數量關系是；③當把這把直角三角板繞頂點旋轉到點和點都在直線的下方時（如圖），與的數量關系是．【答案】（1）；（2）①；②；③【分析】本題考查與三角板有關的計算，與角平分線有關的計算：（1）根據角平分線的定義和角的和差關系進行求解即可；（2）①根據平角的定義，即可得出結論；②根據角的和差關系進行求解即可；③根據角的和差關系進行求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，的大小不會發生變化，理由如下：、分別是和的平分線，，，；（2）①當點和點在直線的上方時（如圖，；②當點在直線的下方，點仍然在直線的上方時（如圖，，，；③當點和點都在直線的下方時（如圖，，，．故答案為：45；，，．16．（2024七年級上·重慶·專題練習）已知O為直線上的一點，．(1)如圖①，以O為觀察中心，射線表示正北方向，表示正東方向．①若，則射線的方向是_________；②與的關系為_________；③與的關系為_________．(2)若將射線、射線繞點O旋轉至如圖②所示的位置，另一條射線恰好平分．若，求的度數；(3)若將射線、射線繞點O旋轉至如圖③所示的位置，射線仍然平分與之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．【答案】(1)①北偏東；②相等；③互補(2)(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了方向角的定義，以及角平分線的定義，余角與補角的性質，對定義的熟練掌握是解題關鍵．（1）①根據方向角的定義即可求