PAGE1第01講相交線模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1、了解無理數和實數的概念。2、會對實數按照一定標準進行分類3、掌握實數的相關概念，增強學生應用數學的意識，提高學生應用數學的能力。一、相交線直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.1.垂線定義：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.示例：如圖所示，直線AB，CD互相重直，記作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，記作“AB⊥CD,乘足為0”.垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.【注意】1）已知直線的垂線有無數條，但在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線只能畫一條.2）必須強調在同一平面內，若是在空間中，則經過一點與已知直線垂直的直線有無數條.垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO⊥m，垂足為0，稱PO為點P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P與直線m上的各點連線中，線段PO最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤；2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.二、相交線中的角1.對頂角與鄰補角種類圖形頂點邊的關系大小關系對頂角有公共頂點一個角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補角有公共頂點兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°【補充說明】1）對頂角的特征：1）有公共頂點；2）兩個角的兩邊互為反向延長線.2）若兩個角互為對頂角，則它們一定相等，但兩個角相等，則它們不一定為對頂角.2.同位角、內錯角、同旁內角角的名稱位置特征基本圖形圖形結構特征同位角在截線的同側，在被截兩條直線同側形如字母“F”內錯角在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內角在截線的同側，在被截兩條直線之間形如字母“U”【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構成8個角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同位角，2對內錯角，2對同旁內角.考點一：相交線的相關概念1．（23-24七年級下·湖南郴州·期末）下列說法不正確的是（

）A．兩點之間，線段最短B．兩條直線相交，只有一個交點C．兩直線平行，同旁內角相等D．過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短【答案】C【分析】本題考查線段公理，平行線的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．根據線段公理，平行線的性質，垂線段最短等知識一一判斷即可．【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，故本選項不符合題意；B、兩條直線相交，只有一個交點，正確，故本選項不符合題意；C、兩直線平行，同旁內角互補，原說法錯誤，故本選項符合題意；D、過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短，正確，故本選項不符合題意；故選：C．2．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM與ON在同一條直線上的理由是（

）A．兩點確定一條直線B．經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線C．過一點只能作一條垂線D．垂線段最短【答案】B【分析】本題考查了垂線的基本事實，根據垂線的基本事實結合圖形得出結論是解題關鍵．利用同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案即可．【詳解】解：因為ON⊥a，OM⊥a，所以直線ON與OM重合，其理由是：同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：B．3．（23-24七年級下·廣東東莞·期中）如圖，∠1與∠2是對頂角的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，由此對各選項作出判斷即可．本題考查對頂角的定義，解題的關鍵是理解對頂角的定義．【詳解】解：根據對頂角的定義可知：只有選項C是對頂角，其它都不是．故選C．4．（2024七年級上·全國·專題練習）下列說法正確的有（

）①對頂角相等；②互補的兩個角是鄰補角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念，熟記它們的概念和性質是解題的關鍵．根據對頂角的概念、鄰補角的概念判斷即可．【詳解】解∶①對頂角相等，說法正確；②互補的兩個角不一定是鄰補角，本小題說法錯誤；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，說法正確；④兩個角不是對頂角，這兩個角也可能相等，本小題說法錯誤；故選∶B．5．（22-23七年級下·廣西南寧·期中）下列各圖中，∠1與∠2互為鄰補角的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了對頂角．根據對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角，進行判定即可得出答案．【詳解】解：選項A和C中的圖形都沒有公共頂點，選項B中雖然有公共頂點，但一個角的兩邊不是另一個角的兩邊的反向延長線，故選項A、B和C中的∠1與∠2不互為鄰補角；根據對頂角的定義即可判斷D選項中，∠1與∠2互為鄰補角．故選：D．考點二：指出現實問題后的數學依據6．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，A，B，C，D四點在直線l上，點M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】本題主要考查了點到直線的距離，根據垂線的性質：直線外一點到這條直線的垂線段最短，結合條件進行解答即可，解題關鍵是熟練掌握點到直線的距離的定義和垂線的性質．【詳解】如圖所示：∵直線外一點到這條直線的垂線段最短，MC⊥l，∴點M到直線l的距離是垂線段MC的長度，為2cm故選：A．7．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，欲在河岸AB上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，可在圖中畫出CP垂直AB，垂足為P，然后沿CP鋪設，則能使鋪設的管道長最短，這種設計的依據是：．【答案】垂線段最短【分析】本題考查點到直線距離的知識，根據兩點之間垂線段最短即可得出答案．【詳解】解：解：已知在河岸AB上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點到該直線的最短距離是其垂線段，這種設計的依據是：垂線段最短，故答案為：垂線段最短8．（22-23七年級下·新疆博爾塔拉·期中）如圖是小凡同學在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是線段BN的長度，這樣測量的依據是．【答案】垂線段最短【分析】本題考查了垂線段最短，理解相關含義是解題關鍵．【詳解】解：測量的依據是垂線段最短，故答案為：垂線段最短．9．（22-23七年級下·北京西城·期末）如圖，在三角形ABC中，∠C=90°，點B到直線AC的距離是線段的長，BC<BA的依據是．

【答案】BC垂線段最短【分析】根據點到直線的距離的定義即可說明B到直線AC的距離是線段是BC；在根據兩點之間垂線段最短即可證明BC<BA．【詳解】∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴點B到直線AC的距離是線段為BC；∵兩點之間垂線段最短，∴BC<BA，故答案為：BC，垂線段最短．【點睛】本題考查了點到直線的距離定義及兩點之間垂線段最短，熟記知識點是解題的關鍵．10．（23-24七年級下·北京·期末）如圖，若AB⊥l，BC⊥l，B為垂足，那么A，B，C三點在同一直線上，其理由是．【答案】在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】本題考查的是垂線的性質，利用在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可得答案．【詳解】解：∵AB⊥l，BC⊥l，B為垂足，∴A，B，C三點在同一直線上，理由是：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；故答案為：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直考點三：畫垂線11．（24-25七年級上·全國·課后作業）利用網格畫圖：(1)過點C畫AB的垂線，垂足為E；(2)線段CE的長度是點C到直線_______的距離；(3)連接CA,CB，在線段CA,CB,CE中，線段_______最短．【答案】(1)見詳解(2)AB(3)CE【分析】本題主要垂線及其做圖，點到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準確性．（1）根據網格結構的特點，利用直線與網格的夾角的關系找出與AB垂直的格點；（2）根據點到直線的距離概念回答；（3）根據垂線段最短直接回答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：線段CE的長度是點C到直線AB的距離，故答案為：AB；（3）解：連接CA,CB，在線段CA,CB,CE中，線段CE最短，理由：垂線段最短．故答案為：CE．12．（22-23七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，點P是∠AOB的邊OB上的一點．(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點C；(2)過點P畫OA的垂線段，垂足為H；(3)點P到直線OA的距離為___________，線段___________的長度是點C到直線OB的距離；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)PH，PC【分析】本題主題考查了垂線的作法、點到直線距離的定義等知識點，掌握垂線和垂線段的區別與聯系成為解題的關鍵．（1）如圖取格點D,連接PD交OA于點C，直線PD即為所求；（2）直接根據方格作圖即可；（2）根據點到直線距離解答即可．【詳解】（1）解：如圖：直線PD即為所求；（2）解：如圖：線段PH即為所求．（3）解：點P到直線OA的距離為PH，線段PC的長度是點C到直線OB的距離．故答案為：PH，PC．13．（24-25七年級上·全國·課后作業）如圖，已知銳角∠AOB，畫射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，并直接寫出∠AOB與∠COD的關系．【答案】畫圖見解析；∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°【分析】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質，難點在于分情況討論．分OC、OD在邊OA的同側和異側分別作出圖形，然后分別進行計算即可得解．【詳解】解：畫圖如圖①~④．∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°．理由如下：如圖1，∵OC⊥OA，∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COD；如圖2，∵OC⊥OA，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，∴∠AOB+∠COD=180°；如圖3，∠AOB+∠COD=360°?∠AOC?∠BOD=360°?90°?90°=180°；如圖4，∵OC⊥OA，∴∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB=∠COD；綜上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°．考點四：判斷已知圖形中鄰補角的個數14．（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是以O為頂點的一條射線，圖中的對頂角和鄰補角各有（

）

A．1對、3對 B．2對、4對 C．2對、6對 D．3對、8對【答案】C【分析】本題考查了鄰補角與對頂角的定義，根據鄰補角與對頂角的定義找出鄰補角和對頂角即可求解．掌握定義是解題的關鍵．【詳解】解：圖中對頂角有：∠AOD與∠BOC，∠AOC與∠BOD，共2對，鄰補角有：∠AOD與∠AOC，∠AOD與∠BOD，∠AOE與∠BOE，∠COE與∠COE，∠BOC與∠AOC，∠BOC與∠BOD，共6對，故選：C．15．（23-24七年級下·天津河北·期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O．則∠AOD的鄰補角是（

）A．∠BOD和∠AOC B．∠BOE和∠AOFC．∠DOF和∠COF D．∠BOC【答案】A【分析】本題考查了鄰補角的概念：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角，根據鄰補角的概念解答是解決問題的關鍵．【詳解】解：根據鄰補角的定義可知，∠AOD的鄰補角是∠BOD和∠AOC，故選：A．16．（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·周測）如圖，點O是直線AB上一點，自點O引射線OC、OD、OE、OF，圖中共有對鄰補角．【答案】4【分析】此題考查了鄰補角定義：和為180度的兩個有公共頂點且有公共邊的角是鄰補角，根據定義直接解答．【詳解】解：根據圖形可知，∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180°，∠AOE+∠BOE=180°，∠AOF+∠BOF=180°，故答案為4．17．（22-23七年級下·河北滄州·階段練習）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOF=∠DOE．（1）圖中的對頂角有對；（2）∠COB的鄰補角是；（3）如果∠AOC=70°，∠EOD=32°，那么∠BOE=．【答案】2∠COA、∠BOD38°/38度【分析】根據對頂角的定義及性質、鄰補角的定義及性質分析解答即可．【詳解】解：（1）圖中的對頂角有∠AOC和∠BOD；∠AOD和∠BOC；共2對，故答案為：2；（2）∠COB的鄰補角是∠COA、∠BOD，故答案為：∠COA、∠BOD；（3）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠EOD=32°，∴∠BOE=∠BOD?∠EOD=38°，故答案為：38°．【點睛】本題考查了對頂角的定義及性質、鄰補角的定義，熟練掌握數學基礎知識是解題的關鍵．考點五：交叉圖形中的角度計算18．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，直線AB,CD相交于點O,OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度數；(2)若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOE的度數．【答案】(1)35°(2)144°【分析】本題考查角平分線的定義，對頂角相等，以及鄰補角的定義．（1）由角平分線的定義可求出∠AOC=1（2）設∠EOC=2x，則∠EOD=3x，根據∠EOC+∠EOD=180°，可列出關于x的方程，解出x的值，即可求出∠EOC的大小，進而可求出∠BOE的大小．【詳解】（1）解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）解：∵∠EOC:∠EOD=2:3，設∠EOC=2x，則∠EOD=3x，∴根據題意得2x+3x=180°，解得：x=36°，∴∠EOC=2x=72°，則∠EOA=36°，∴∠BOE=180°?36°=144°．19．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，直線AB,CD相交于點O,OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，則∠2的余角有__________．(2)若∠1=14∠BOC，求∠BOD【答案】(1)∠AOC，∠BOD(2)∠AOD=120°，∠BOD=60°．【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質和鄰補角的定義計算，要注意領會由垂直得直角這一要點．（1）由垂線的性質求得∠AOM=∠BOM=90°，然后根據等量代換及余角的定義解答；（2）根據垂直的定義求得∠AOM=∠BOM=90°，再由∠1=14∠BOC【詳解】（1）解：∵OM⊥AB，∠1=∠2，∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠2的余角有：∠AOC，∠BOD；故答案為：∠AOC，∠BOD；（2）解：∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∵∠1=14∠BOC∴∠1=1∴∠BOC=∠AOD=120°，∴∠BOD=180°?∠BOC=60°．20．（23-24七年級上·吉林四平·期末）如圖，射線OA的方向是北偏東20°，射線OB的方向是北偏西35°、射線OD是OB的反向延長線，且射線OA平分∠BOC．解答下列各題：(1)射線OC的方向是_______；(2)求∠COD的度數；(3)若射線OE的方向是東南方向，請直接寫出∠COE的度數．【答案】(1)北偏東75°(2)∠COD=70°(3)∠COE=60°【分析】此題主要考查了方向角的表達，角平分線的定義，鄰補角，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度數，即可確定OC的方向；（2）根據∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°（3）根據∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，射線OE平分∠COD，即可求出∠COE=35°再利用【詳解】（1）解：如圖：∵射線OA的方向是北偏東20°，射線OB的方向是北偏西35°∴∠AOB=20°+35°=55°，∵射線OA平分∠BOC∴AOC=∠AOB=55°∴∠NOC=20°+55°=75°，即射線OC的方向是北偏東75°；（2）解：∵∠AOB=55°，∴∠BOC=110°，∴∠COD=180°?∠BOC=180°?2∠AOB=70°；（3）解：∵射線OE的方向是東南方向，∴∠MOE=∵∠NOC=∴∠COM=∴∠COE=21．（24-25七年級上·全國·課后作業）如圖，O是直線AB上一點，過點O作OC、OD、OE三條射線，OD平分∠AOC，∠AOE=∠BOD．(1)若∠AOC=60°，則∠BOE的度數為___________；(2)若∠COE=3∠AOC，求∠BOE的度數；(3)在（2）的條件下，若過點O作射線OF使得∠EOF=90°，求∠AOF的度數．【答案】(1)30°；(2)∠BOE的度數為20°；(3)∠AOF的度數為70°或110°．【分析】本題考查了角平分線的定義和角的計算，熟練掌握角平分線的定義，并能夠根據題目已知條件找到角度之間的等量關系列出等式是解題的關鍵．（1）由條件OD平分∠AOC可得∠AOD=30°，再由條件∠AOE=∠BOD可得∠AOD=∠BOE，通過等量代換即可得到∠BOE的度數；（2）由條件∠COE=3∠AOC，并結合（1）的結論∠AOD=∠BOE，可得∠COE=6∠BOE，再利用∠AOB為平角找出等量關系列出等式，即可求解∠BOE的度數；（3）分射線OF在∠COE的內部及外部兩種情況討論，作出示意圖并結合圖形先計算∠BOF的度數，再根據∠AOF與∠BOF互補的關系即可得解．【詳解】（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=1∵∠AOE=∠AOD+∠DOE，∴∠AOD=∠AOE?∠DOE同理，∠BOE=∠BOD?∠DOE，∵∠AOE=∠BOD，∴∠BOE=∠AOD=30°．（2）由題可知，∠BOE=∠AOD=1∴∠AOC=2∠BOE．∵∠COE=3∠AOC，∴∠COE=6∠BOE，由題可知∠AOB為平角，∴∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，即2∠BOE+6∠BOE+∠BOE=180°，∴∠BOE=20°，∴∠BOE的度數為20°．（3）當OF在∠COE內部時，如圖①，則∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+20°=110．∴∠AOF=180°?∠BOF=180°?110°=70°；當OF在∠COE外部時，如圖②，則∠BOF=∠EOF?∠BOE=90°?20°=70°，∴∠AOF=180°?∠BOF=180°?70°=110°．綜上所述，∠AOF的度數為70°或110°．22．（24-25七年級上·全國·課后作業）如圖，直線AB、CD交于點O，OE、OF分別在∠BOC、∠AOD內部，且OD平分∠BOF．(1)∠AOC的對頂角是___________；(2)若∠BOF=40°，∠COE=100°，則∠BOE的度數為___________；(3)若OB平分∠EOF，∠AOC:∠AOF=1:3，求∠COE的度數；(4)若∠AOE=∠EOF，∠BOE=60°，判斷OB是否平分∠EOF，并說明理由．【答案】(1)∠BOD(2)60°(3)72°(4)OB平分∠EOF，理由見解析【分析】本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質，幾何中角度的計算，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握角平分線的定義．（1）根據對頂角的定義即可解答；（2）根據角平分線的定義得出∠BOD=∠FOD=12∠BOF=（3）由∠AOC:∠AOF=1:3，得到∠AOF=3∠BOD，根據角平分線的定義得出∠DOF=∠BOD，根據∠AOC+∠AOF+∠FOD=180°，求出∠BOD=36°，根據角平分線的定義得出∠BOE=∠BOF=72°，根據∠COE+∠EOB+∠BOD=180°，求出結果即可；（4）由∠BOE=60°，利用平角的定義得到∠AOE=120°，再根據∠AOE=∠EOF，求出∠EOF=120°，結合∠BOE=60°得出結論．【詳解】（1）解：根據題意：∠AOC的對頂角是∠BOD；（2）解：∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=1∴∠BOE=180°?∠BOD?∠COE=180°?20°?100°=60°；（3）解：∵∠AOC與∠BOD為對頂角，∴∠AOC=∠BOD，∴∠BOD:∠AOF=∠AOC:∠AOF=1:3，即∠AOF=3∠BOD．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD，∴∠AOF+∠DOF+∠BOD=3∠BOD+∠BOD+∠BOD=180°，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°，∠BOF=2∠BOD=72°．又∵OB平分∠EOF，∴∠BOE=∠BOF=72°，∴∠COE=180°?∠AOC?∠BOE=180°?36°?72°=72°；（4）解：OB平分∠EOF，理由如下：∵∠BOE=60°，∴∠AOE=120°．∵∠AOE=∠EOF，∴∠EOF=120°，∴∠BOF=∠EOF?∠BOE=120°?60°=60°，∴∠BOE=∠BOF，∴OB平分∠EOF．23．（23-24七年級上·貴州黔東南·期末）已知：點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠BOC=110°．(1)如圖1，求∠AOC的度數；(2)如圖2，過點O作射線OD，使∠COD=90°，作∠AOC的平分線OM，求∠MOD的度數；(3)如圖3，在（2）的條件下，作射線OP，若∠BOP與∠AOM互余，求∠COP的度數．【答案】(1)70°(2)55°(3)55°或165°【分析】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，數形結合根據射線OP的位置分類討論是解題關鍵．（1）根據平角的定義計算求值即可；（2）根據余角的定義可得∠AOD，根據角平分線的定義可得∠AOM，再計算角度和即可；（3）由余角的定義可得∠BOP=55°，分射線OP在∠BOC內部、射線OP在∠BOC外部兩種情況，分別計算角的差、和即可．【詳解】（1）解：∵∠BOC=110°∴∠AOC=180°?∠BOC=70°；（2）解：由（1）得∠AOC=70°，∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠COD?∠AOC=20°，∵OM是∠AOC的平分線，∴∠AOM=1∴∠MOD=∠AOM+∠AOD=35°+20°=55°；（3）解：由（2）得∠AOM=35°，∵∠BOP與∠AOM互余，∴∠BOP+∠AOM=90°，∴∠BOP=90°?∠AOM=90°?35°=55°，①當射線OP在∠BOC內部時，如圖，

∠COP=∠BOC?∠BOP=110°?55°=55°；②當射線OP在∠BOC外部時，如圖，

∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°．綜上所述，∠COP的度數為55°或165°．考點六：三線八角的識別24．（23-24七年級下·甘肅隴南·階段練習）如圖，BF，DE相交于點A，BG交BF于點B，交AC于點(1)指出DE，BC被(2)指出DE，BC被(3)指出FB，BC被【答案】(1)同位角：∠FAE和∠B；內錯角：∠B和∠DAB；同旁內角：∠EAB和∠B；(2)∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；(3)∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．【分析】此題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義：（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角，據此求解即可；（2）根據內錯角的定義求解即可；（3）根據同旁內角的定義求解即可．【詳解】（1）解：同位角：∠FAE和∠B；內錯角：∠B和∠DAB；同旁內角：∠EAB和∠B；（2）解：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG都是內錯角；（3）解：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG都是同旁內角．25．（23-24七年級上·全國·單元測試）找出圖中與∠1是同位角、內錯角、同旁內角的所有角．【答案】∠1的同位角：∠GDF，∠GEF，∠FBC，∠FCH；∠1的內錯角：∠MDA，∠NED，∠ABP，∠ACQ；∠1的同旁內角：∠ADF，∠AEF，∠ABF，∠ACD【分析】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F”形，內錯角的邊構成“Z”形，同旁內角的邊構成“U”形．根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角進行分析即可．【詳解】解：∠1是同位角：∠GDF，∠GEF，∠FBC，∠FCH；∠1的內錯角：∠MDA，∠NED，∠ABP，∠ACQ；∠1的同旁內角：∠ADF，∠DEF，∠ABF，∠ACD．26．（23-24七年級下·全國·課后作業）如圖，指出圖中直線AC，BC被直線DE所截形成的同位角、內錯角、同旁內角．（僅指用數字標出的角）【答案】見解析【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，同位角：在兩條直線被第三條直線所截的同側，被截兩直線同側的兩個角稱為同位角；內錯角：在兩條直線被第三條直線所截的兩側，且夾在兩條被截直線之間的一對角稱為內錯角；同旁內角：在兩條直線被第三條直線所截的同旁，被截兩直線之間的兩個角稱為同旁內角；由此即可得出答案．【詳解】解：由圖可得：同位角：∠1與∠2，∠4與∠6；內錯角：∠1與∠3，∠4與∠5；同旁內角：∠3與∠4，∠1與∠5．27．（21-22七年級下·河北石家莊·階段練習）如圖，AB，AC射線與直線EF分別相交于點H，

(1)圖中共有對對頂角，對內錯角；(2)①∠A的同旁內角是；②∠EGC和∠EHB是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是具有什么位置關系的角？(3)過點G畫射線AB的垂線，交AB于點M，并指出哪條線段的長度表示點G到AB的距離．【答案】(1)4；4(2)①∠AGF，∠AHE；②∠EGC和∠EHB是直線AC，AB被直線(3)圖見解析，GM【分析】（1）根據對頂角和內錯角的定義進行判斷即可；（2）①根據同旁內角的定義，進行判斷即可；②根據三線八角的關系，進行判斷即可；（3）根據題意畫出垂線即可，根據點到直線的距離為垂線段的長，即可得出結論．【詳解】（1）解：由圖可知：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8是對頂角，共4對；∠2和∠5，∠4和∠7，∠1和∠9，∠8和∠9是內錯角，共4對；

故答案為：4；4（2）①由圖可知：∠A的同旁內角是∠AGF，∠AHE；故答案為：∠AGF，∠AHE；②∠EGC和∠EHB是直線AC,AB被直線EF所截形成的同位角；（3）如圖；

由圖可知：線段GM的長即為點G到AB的距離．【點睛】本題考查三線八角，對頂角，點到直線的距離．熟練掌握相關定義是解題的關鍵．28．（23-24七年級下·全國·課后作業）如圖，一個方塊從某一個起始角開始，經過若干步跳動后，到達終點角，跳動時，每一步只能跳到它的同位角或內錯角或同旁內角的位置上，例如：從∠1跳到終點位置∠6的路徑如下：路徑1：∠1→內錯角∠7→同旁內角∠6；路徑2：∠1→同旁內角∠13→內錯角∠10→同位角∠8→同旁內角∠5→同旁內角∠6．…(1)寫出任意一條從起始位置∠1→終點位置∠3的路徑；(2)從起始位置∠1依次按內錯角、同位角、同旁內角的順序能否到達終點位置∠2？并寫出路徑．【答案】(1)∠1→同旁內角∠13→同位角∠3（答案不唯一）；(2)能，∠1→內錯角∠4→同位角∠7→同旁內角∠2（答案不唯一）；【分析】本題考查內錯角，同位角，同旁內角的判斷：（1）根據內錯角，同位角，同旁內角直接逐個判斷即可得到答案；（2）根據內錯角、同位角、同旁內角反向推導即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，∠1→同旁內角∠13→同位角∠3（答案不唯一）；（2）解：能，理由如下，由題意可得，∠1→內錯角∠4→同位角∠7→同旁內角∠2（答案不唯一）．QUOTE5?11．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠EOD=90°．下列說法不正確的是（

）

A．∠AOD=∠BOC B．∠AOC=∠AOEC．∠AOE+∠BOD=90° D．∠AOD+∠BOD=180°【答案】B【分析】本題考查了對頂角的性質，平角的定義、互余的定義等，由對頂角的性質，平角的定義、互余的定義逐一判斷，即可求解；理解對頂角的性質，平角的定義、互余的定義是解題的關鍵．【詳解】解：A.∵∠AOD與∠BOC是對頂角，∴∠AOD=∠BOC，結論正確，故不符合題意；B.由圖得∠AOC=∠AOE不一定成立，結論錯誤，故符合題意；C.∵∠EOD=90°，∴∠COE=90°，∴∠AOE+∠AOC=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOE+∠BOD=90°，結論正確，故不符合題意；D.由圖得∠AOD+∠BOD=180°，結論正確，故不符合題意；故選：B．2．（2024七年級上·全國·專題練習）2024年香洲區舉辦了第六屆風箏節．如圖所示的風箏骨架中，與∠3構成同旁內角的是（

）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】本題考查的是同旁內角的定義，關鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截．根據同旁內角的定義解答即可，即兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內的兩角．【詳解】解：與∠3構成同旁內角的是∠1．故選：A．3．（24-25七年級上·黑龍江綏化·階段練習）下面四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了對頂角．兩條邊互為反向延長線的兩個角叫對頂角，根據定義結合圖形逐個判斷即可．【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；B、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；C、符合對頂角的定義，故本選項符合題意；D、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；故選：C．4．（2024七年級上·全國·專題練習）點P為直線MN外一點，點A、B、C為直線MN上三點，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm，則點PA．4cm B．2cm C．小于2cm D．不大于2cm【答案】D【分析】本題考查了點到直線的距離，利用了垂線段最短的性質．根據點到直線的距離是直線外的點與直線上垂足間的線段的長，再根據垂線段最短，可得答案．【詳解】解：當PC⊥MN時，PC是點P到直線MN的距離，即點P到直線MN的距離2cm，當PC不垂直直線MN時，點P到直線MN的距離小于PC的長，即點P到直線MN的距離小于2cm，綜上所述：點P到直線MN的距離不大于2cm，故選：D．5．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習）如圖在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足，則下列說法中，錯誤的是（

）A．點B到AC的距離是線段BC的長 B．線段CD是AB邊上的高C．線段AC是BC邊上的高 D．點C到AB的距離是線段AC的長【答案】D【分析】本題主要考查了點到直線的距離，三角形的高，根據點到直線的距離，三角形的高的概念逐項排除即可，正確理解點到直線的距離，三角形的高是解題的關鍵．【詳解】A、點B到AC的距離是線段BC的長，原選項說法正確，不符合題意；B、線段CD是AB邊上的高，原選項說法正確，不符合題意；C、線段AC是BC邊上的高，原選項說法正確，不符合題意；D、點C到AB的距離是線段CD的長，原選項說法不正確，符合題意；故選：D．6．（24-25七年級上·河南鶴壁·階段練習）如圖，在所標識的角中，下列說法不正確的是（

）A．∠1與∠5是內錯角 B．∠3與∠5是對頂角C．∠1與∠4是同位角 D．∠1與∠2是同旁內角【答案】C【分析】根據內錯角，對頂角，同位角，同旁內角的定義解答即可．【詳解】解：A.∠1與∠5是內錯角，本選項正確，不符合題意，

B.∠3與∠5是對頂角，本選項正確，不符合題意，C.∠1與∠4不是同位角，本選項錯誤，符合題意，

D.∠1與∠2是同旁內角，本選項正確，不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了內錯角，對頂角，同位角，同旁內角的定義，正確理解定義是解題的關鍵．7．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，利用工具測量角，則∠1的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】本題考查量角器的使用和對頂角的性質，掌握對頂角相等是解題的關鍵．利用對頂角相等求解，即可解題．【詳解】解：根據量角器測量的度數為30°，由對頂角相等可得∠1=30°．故選：A．8．（24-25七年級上·河南南陽·階段練習）如圖，E是直線CA上一點，∠FEA=40°，射線EB平分∠CEF，GE⊥EF，則∠GEB=（

）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】本題考查了角平分線的定義，平角的定義，掌握相關知識點并靈活運用是解題關鍵．先根據平角的對應求出∠CEF=140°，射線EB平分∠CEF，得出∠CEB=∠BEF=12∠CEF=70°，再根據GE⊥EF【詳解】∵∠FEA=40°，∴∠CEF=180°?∠FEA=140°，∵射線EB平分∠CEF，∴∠CEB=∠BEF=1∵GE⊥EF，∴∠GEB=∠GEF?∠BEF=90°?70°=20°．故選：B．9．（24-25七年級上·云南文山·期中）下列各圖中，∠1與∠2是內錯角的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了內錯角的判斷，熟記內錯角的定義是解題的關鍵．兩條直線被第三條直線所截形成的八個角中，兩個角分別在截線的兩側，且在兩條直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角．根據內錯角的定義可知，內錯角是成“Z”字形的兩個角，據此逐項分析可得答案．【詳解】解：A.、∠1與∠2是內錯角，符合題意；B、∠1與∠2不是內錯角，不符合題意；C、∠1與∠2不是內錯角，不符合題意；D、∠1與∠2不是內錯角，不符合題意；故選：A．10．（24-25七年級上·河北衡水·期中）如圖，點O在直線AB上，∠AOD=22.5°，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，則∠EOC的補角是（

）A．∠AOC B．∠AOE或∠DOBC．∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOE D．以上都不對【答案】B【分析】本題主要考查角平分線的定義、補角的定義及鄰補角，熟練掌握角平分線的定義、補角的定義及鄰補角是解題的關鍵；由題意易得∠BOE=∠COE=12∠BOC=22.5°=∠AOD【詳解】解：∵∠AOD=22.5°，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE=12∠BOC=22.5°=∠AOD∵∠AOD+∠BOD=180°=∠BOE+∠AOE，∴∠EOC+∠BOD=180°=∠EOC+∠AOE，∵∠DOE=180°?∠AOD?∠BOE=135°，∴∠AOC+∠DOE=270°，綜上所述：∠EOC的補角為∠AOE或∠DOB．故選B．11．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數為【答案】18°或162°【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運算．結合圖形是做這類題的關鍵．根據垂直關系知∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根據∠AOB與【詳解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB:∴∠AOB=72°．∠AOB的位置有兩種：一種是在∠AOC內，一種是在∠AOC外．①當在∠AOC內時，∠BOC=90°?72°=18°；②當在∠AOC外時，∠BOC=90°+72°=162°．故答案為：18°或162°．12．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，若∠1=30°,∠2=110°，則∠3的同位角的大小是，∠3的內錯角的大小是，∠3的同旁內角的大小是．【答案】70°70°110°【分析】本題主要考查內錯角、同位角以及同旁內角，觀察圖形易得∠3的同位角、內錯角都為∠2的鄰補角，接下來結合∠2的度數計算即可；同樣由圖可得∠3的同旁內角為∠2的對頂角，∠1與∠3為對頂角，據此解答．【詳解】解：由圖可得∠3的同位角、內錯角都為∠2的鄰補角，又∠2=110°，則其同位角大小為180°?110°=70°；∠3的內錯角大小為180°?110°=70°；∠3的同旁內角為∠2的對頂角，則大小為110°；故答案為：70°；70°；110°．13．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，已知點O是直線AB上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC,∠BOE=90°，請寫出下列正確結論的序號．①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．【答案】①②③【分析】本題主要考查角平分線，根據角平分線的、鄰補角和直角的意義求解可得．【詳解】解：因為∠AOC=50°，所以∠BOC=180°?∠AOC=130°，故①正確；因為OD平分∠AOC，所以∠AOD=1因為∠BOD=180°?∠AOD=155°，故③正確；因為∠BOE=90°,∠AOC=50°，所以∠COE=180°?∠AOC?∠BOE=40°，故④錯誤。故答案為：①②③14．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成兩個角，且∠AOE=∠EOC，將射線OE繞點O逆時針旋轉角α0°<α<360°到OF，若∠AOF=120°時，α的度數是°【答案】82.5或202.5【分析】本題考查的是對頂角的性質，角的和差運算，分兩種情況討論：當OF在∠BOC之間時，當OF在∠BOD之間時，先求解∠AOC=∠BOD=75°，∠AOE=∠EOC=37.5°，再分別進一步求解即可．【詳解】解：①當OF在∠BOC之間時，如圖．∵直線AB、CD相交于點O，∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°．∵∠AOE=∠EOC，∴∠EOC=37.5°．∵∠AOF=120°，∴∠COF=∠AOF?∠AOC=45°，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=82.5°，即α=82.5；②當OF在∠BOD之間時，如圖．∵直線AB、CD相交于點O，∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°．∵∠AOE=∠EOC，∴∠AOE=37.5°．∵∠AOF=120°，∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=157.5°，∴α=360°?∠EOF=202.5°．故答案為：82.5或202.515．（23-24七年級下·全國·假期作業）古城黃岡旅游資源十分豐富，“桃林春色，柏子秋蔭”便是其八景之一．為了實地測量“柏子塔”外墻底部的底角（圖中∠ABC)的大小，張揚同學設計了兩種測量方案：方案1：作AB的延長線，量出∠CBD的度數，便知∠ABC的度數；方案2：作AB的延長線，CB的延長線，量出∠DBE的度數，便知∠ABC的度數．同學們，你能解釋他這樣做的道理嗎？【答案】方案1利用了鄰補角的性質；方案2利用了對頂角的性質【分析】本題主要考查對頂角和鄰補角，牢記對頂角的定義和性質（對頂角相等），鄰補角的定義是解題的關鍵．（1）根據鄰補角求出結果即可；（2）根據對頂角相等求出結果即可．【詳解】解：方案1：∵∠CBD與∠ABC為鄰補角，∴根據鄰補角的性質可得：∠CBD+∠ABC=180°，∴量出∠CBD的度數，便知∠ABC的度數；方案2：∵∠DBE與∠ABC為對頂角，∴根據對頂角相等可得：∠ABC=∠DBE，∴量出∠DBE的度數，便知∠ABC的度數．16．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，直線AB，CD被直線EF所截，如果∠1與∠2互補，且∠1=120°，那么∠3，∠4的度數各是多少?【答案】∠3=60°，∠4=60°【分析】本題考查角的計算，解題的關鍵是掌握補角的性質，對頂角的性質，平角的性質；根據補角的性質，求出∠2，根據對頂角的性質，根據平角的性質，求出∠4，即可．【詳解】解：∵∠1與∠2互補，且∠1=120°，∴∠1+∠2=120°+∠2=180°，∴∠2=60°，∵∠2和∠3是對頂角，∴∠2=∠3=60°，∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴120°+∠4=180°，∴∠4=60°．17．（21-22七年級上·浙江麗水·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．【答案】(1)50°(2)證明見解析【分析】本題主要考查了垂線的性質，角平分線的性質及角的計算，熟練掌握垂線的性質，角平分線的性質及角的計算的方法進行計算是解決本題的關鍵．（1）根據垂線的性質可得∠DOE=90°，由∠DOB+∠EOB=90°，可得∠DOB=∠EOB+10°，即可算出∠EOB的度數，再根據角平分線的性質可得∠EOF=∠BOE的度數，再根據∠COF=90°?∠EOF代入計算即可得出答案；（2）根據角平分線的性質，可得∠EOF=∠BOE，由垂線的性質可得∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°，即可得出∠BOD=∠COF,∠BOD=∠AOC,∠AOC=∠COF，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=∠COE=90°，即∠DOB+∠EOB=90°，∵∠DOB=∠EOB+10°，∴∠EOB=40°，∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE=40°，∴∠COF=90°?∠EOF=50°；（2）解：∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE，∵OE⊥CD，∴∠DOB+∠E