1.3可線性化的回歸分析1.通過(guò)對(duì)典型案例的探究,進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用.2.結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題,了解可線性化回歸問(wèn)題的解題思路.3.體會(huì)回歸分析在生產(chǎn)實(shí)際和日常生活中的廣泛應(yīng)用.121.在具體問(wèn)題中,我們首先應(yīng)該作出原始數(shù)據(jù)(x,y)的散點(diǎn)圖,從散點(diǎn)圖中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律,再根據(jù)這個(gè)規(guī)律選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行擬合.【做一做1】

x,y的取值如下表:則x,y之間的關(guān)系可以選用函數(shù)

進(jìn)行擬合.

答案:y=x21212【做一做2】

某種書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位:元)與印刷冊(cè)數(shù)x(單位:千冊(cè))有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下:關(guān)系;如有,求出y對(duì)x的回歸方程.分析:本題是非線性回歸問(wèn)題,要通過(guò)變量置換,把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題,然后利用解決線性回歸問(wèn)題的方法處理.1212題型一題型二題型三【例1】

某地今年上半年患某種傳染病人數(shù)y與月份x之間滿足的函數(shù)關(guān)系模型為y=aebx,確定這個(gè)函數(shù)解析式.分析:函數(shù)模型為指數(shù)型函數(shù),可轉(zhuǎn)化為線性函數(shù),從而求出.解:設(shè)u=ln

y,c=ln

a,則u=c+bx.由已知得下表:題型一題型二題型三反思基礎(chǔ)函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)型,可兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系,求出回歸直線方程.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三【例2】

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表:(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖.(2)能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.(3)若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常?題型一題型二題型三設(shè)u=ln

y,c=ln

a,則u=c+bx.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思根據(jù)給出的數(shù)據(jù),畫(huà)出散點(diǎn)圖,選擇散點(diǎn)圖所符合的函數(shù)曲線再轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系解答.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】

一個(gè)昆蟲(chóng)的某項(xiàng)指標(biāo)和溫度有關(guān),現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表:試建立某項(xiàng)指標(biāo)y與溫度x的回歸模型,并判斷回歸模型的擬合效果.分析:根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖,再由散點(diǎn)圖設(shè)出相應(yīng)的回歸模型.題型一題型二題型三解:畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示,觀察形狀大致呈二次函數(shù)圖像的形狀,可設(shè)y=Bx2+A,令X=x2,則有y=BX+A.題型一題型二題型三計(jì)算得到樣本的回歸方程為y=0.199

9X+4.999

1.用x2替換X,得回歸方程為y=0.199

9x2+4.999

1.計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈1,說(shuō)明回歸模型的擬合效果非常好.題型一題型二題型三易錯(cuò)點(diǎn)

變量之間的相關(guān)關(guān)系判斷錯(cuò)誤【例3】

在研究某細(xì)菌繁殖速度時(shí),得到時(shí)間t與細(xì)菌個(gè)數(shù)y之間的數(shù)據(jù)如下:根據(jù)上表數(shù)據(jù),當(dāng)時(shí)間為10時(shí),求細(xì)菌的個(gè)數(shù).題型一題型二題型三錯(cuò)解:根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn),看出時(shí)間t與細(xì)菌個(gè)數(shù)y之間好像不存在線性相關(guān)關(guān)系,且發(fā)現(xiàn)y與t3具有線性相關(guān)關(guān)系.于是,令x=t3,將所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為下列數(shù)表:題型一題型二題型三所以x,y之間的線性回歸方程為y=1.018x+5.016.又x=t3,因此時(shí)間t與細(xì)菌個(gè)數(shù)y之間的回歸方程為y=1.018t3+5.016,令t=10,得y=1

023.016.錯(cuò)因分析:當(dāng)兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí),才將數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.本題中的兩組數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系,因此,我們沒(méi)有必要再對(duì)它進(jìn)行變換.題型一題型二題型三12341234123412344.在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(單位:g/min)與一種催化劑的量x(單位:g)有關(guān),現(xiàn)收集了8組數(shù)據(jù)列于表中,試建立y與x之間的回歸方程.解:根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖如圖所示:1234根據(jù)樣本點(diǎn)分布情況,可選用兩種曲線來(lái)進(jìn)行擬合.(1)可認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c1x2+c2的附近.令t=x2,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線y=bt+a(b=c1,a=c2)的周圍.由題意得變換后t與y的樣本數(shù)據(jù)如下表:1234由y與t的散點(diǎn)圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)并不分布在一條直線的周圍,因此不宜用線性回歸方程y=bt+a來(lái)擬合,即不宜用二次曲線y=c1x2+c2來(lái)擬合y與x之間的關(guān)系.(2)根據(jù)x與y的散點(diǎn)圖也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某一條指數(shù)曲線令z=ln

y,則z=c2x+ln

c1,即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=ln

c1,b=c2)的周圍.由y與x數(shù)據(jù)表可得z與x的數(shù)據(jù)如下表:1234作出z與x的散點(diǎn)圖,如圖所示:由散點(diǎn)圖可觀察到圖中的點(diǎn)大致在一條直線附近,所以可用線性回歸方程來(lái)擬