本章整合第二章數列專題一專題二專題三專題四專題一

等差數列與等比數列的基本運算在等差(或等比)數列中,首項a1與公差d(或公比q)是兩個基本量,一般的等差(或等比)數列的計算問題,都可以設出這兩個量求解.在等差數列中的五個量a1,d,n,an,Sn(或等比數列中的五個量a1,q,n,an,Sn)中,可通過列方程組的方法知三求二.專題一專題二專題三專題四應用已知{an}為等差數列,且a3=-6,a6=0.(1)求數列{an}的通項公式;(2)若等比數列{bn}滿足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n項和公式.解(1)設等差數列{an}的首項為a1,公差為d.∴an=-10+(n-1)·2=2n-12.(2)設等比數列{bn}的公比為q.∵b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,∴-8q=-24,即q=3.專題一專題二專題三專題四專題二

以數陣為背景的數列問題所謂數陣是指將某些數,按一定的規律排成若干行和列,形成圖表,也稱之為數表.數陣不僅有正方形、三角形,還有長方形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形,甚至幾種圖形的組合,變幻多樣、對稱性強,很能吸引人.在我們平常解題中最常見的是前兩種.數陣中的數是按一定的規律排成若干行和列,比較多見的是排成等差數列或等比數列,它重點考查等差數列、等比數列的相關知識,有時也會出現其他類型的數列.解決此類問題的關鍵是找出其中的規律,這就要求考生具有較強的觀察分析、歸納猜想以及對數列知識融合遷移的能力.下面看一下幾種題型.專題一專題二專題三專題四應用1如圖所示的數陣,第n行最右邊的數是

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解析:設第n行左邊第一個數為an,則a1=1,a2=3=a1+2×1,a3=7=a2+2×2,…,an=an-1+2(n-1),把這些式子左右兩邊分別相加,得an=n2-n+1.又每一行都是公差為2的等差數列,且第n行有n個數,則第n行最右邊的數是(n2-n+1)+(n-1)×2=n2+n-1.答案:n2+n-1專題一專題二專題三專題四應用2德國數學家萊布尼茨發現了如圖所示的單位分數三角形(單位分數是分子為1、分母為正整數的分數)稱為萊布尼茨三角形.根據前5行的規律,寫出第6行的數從左到右依次是

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專題一專題二專題三專題四應用3自然數按如圖所示的規律排列,則2016是第

行第

個數.

解析:設第n行最右邊的數即第n行第n個數是an,則a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+5,…,an=1+2+3+…+n則2

016是第63行第63個數.答案:63

63專題一專題二專題三專題四應用4給定81個數排成數陣如圖所示,若每一行,每一列都構成等差數列,且正中間一個數a55=5,則此數陣中所有數之和為

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a11

a12

…

a19

a21

a22 … a29 … … … …

a91

a92 … a99專題一專題二專題三專題四解析:由于每一行都成等差數列,同理可得,a21+a22+…+a29=9a25,…,a91+a92+…+a99=9a95.又每一列都成等差數列,則此數陣中所有數之和S=(a11+a12+…+a19)+(a21+a22+…+a29)+…+(a91+a92+…+a99)=9(a15+a25+…+a95)=9(9a55)=81a55=81×5=405.答案:405專題一專題二專題三專題四專題三

數列的綜合問題數列是高中代數的重點內容,也是高考的必考內容,它始終處在知識的交匯點上,如數列與函數、方程、不等式等其他知識交匯進行命題.另外,等比數列與等差數列的綜合應用也是高考的熱點之一,對公式的變形應用是考查的重點,一般多以解答題的形式考查,有時作為壓軸題,難度較大.專題一專題二專題三專題四應用1已知單調遞增的等比數列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項.(1)求數列{an}的通項公式;解(1)設等比數列{an}的首項為a1,公比為q.依題意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8.專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四應用2已知a1=2,點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上,其中n=1,2,3,…(1)證明:數列{lg(1+an)}是等比數列;(2)設Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及數列{an}的通項;專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題四

數學思想方法數學思想方法是數學的精髓,是將知識轉化為能力的橋梁,數列中含有豐富的數學思想,了解數學思想對我們的解題大有益處.1.函數思想數列是特殊的函數,用函數的觀點認識數列和處理數列問題,既有利于理解和掌握數列的基本概念和性質,又有利于解決問題,比如求等差數列前n項和Sn的最值時,常轉化為求關于n的二次函數的最值或用數形結合或利用函數圖象來求值的方法.專題一專題二專題三專題四應用1在等差數列{an}中,3a8=5a13,a1>0,若Sn為{an}的前n項和,則S1,S2,…,Sn中有沒有最大值?請說明理由.解∵3a8=5a13,a1>0,∴此等差數列不是常數列,∴其前n項和Sn是關于n的二次函數,我們可以利用配方法,結合二次函數的性質求解.設數列{an}的首項為a1,公差為d,故當n=20時,Sn最大,即該數列前20項之和最大.專題一專題二專題三專題四2.分類討論思想當數列問題所給的對象不宜進行統一研究或推理時,需通過分類討論解決,如運用等比數列求和公式時,需對q分q=1和q≠1兩種情況進行討論;an與Sn的關系需分n=1和n≥2兩種情況討論;等差數列的單調性需分d>0,d=0和d<0三種情況討論;等比數列的單調性就要分二重討論,在a1>0(或a1<0)的條件下,再分q>1,q=1,0<q<1,q<0四種情況討論.專題一專題二專題三專題四應用2數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求數列{an}的通項an;(2)求數列{nan}的前n項和Tn.又S1=a1=1,∴數列{Sn}是首項為1,公比為3的等比數列,Sn=3n-1(n∈N*).當n≥2時,an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2),專題一專題二專題三專題四(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當n=1時,T1=1;當n≥2時,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1專題一專題二專題三專題四3.化歸與轉化思想化歸與轉化思想就是把待解決的問題或未知解的問題轉化歸納為已有知識范圍內可解的問題的一種數學思想.數列中一些很復雜的問題往往可以轉化為等差數列或等比數列來解決.專題一專題二專題三專題四應用3已知數列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,且Sn+1=4an+2(n∈N*),求{an}的通項公式.解當n≥2時,Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2.兩式相減,得an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1),可見數列{an+1-2an}是公比為2的等比數列.又a1+a2=S2=4a1+2,a1=1,得a2=5,則a2-2a1=3.因此an+1-2an=3·2n-1.123456789101112131(2015·課標全國Ⅰ高考)已知{an}是公差為1的等差數列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10=(

).答案:B123456789101112132(2015·課標全國Ⅱ高考)已知等比數列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(

).A.21 B.42 C.63 D.84答案:B123456789101112133(2015·課標全國Ⅱ高考)設Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=(

).A.5 B.7 C.9 D.11答案:A12345678910111213答案:C123456789101112135(2016·北京高考)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=

.

解析:∵{an}是等差數列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.答案:6123456789101112136(2016·浙江高考)設數列{an}的前n項和為Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=

,S5=

.

解析:由題意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因為a2=3a1,所以數列{an}是以1為首項,3為公比的等比數列.答案:1

12112345678910111213解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3?d=3,a9=2+3×6=20.答案:20123456789101112138(2016·上海高考)無窮數列{an}由k個不同的數組成,Sn為{an}的前n項和.若對任意n∈N*,Sn∈{2,3},則k的最大值為

.

解析:由于對任意n∈N*,Sn∈{2,3},所以當n=1時,a1=S1=2或a1=S1=3.即數列{an}的首項是2或3.當n≥2時,由an=Sn-Sn-1及題意知有下列幾種情況:①an=2-2=0,②an=3-3=0,③an=3-2=1,④an=2-3=-1.由上可知組成這個數列{an}的數為-1,1,0,2,3這5個數或只有這5個數中的一部分.12345678910111213下面說明2和3不能同時出現在{an}中.當a1=2時,假設an=3,n≥2,則Sn=an+Sn-1=3+Sn-1,由于Sn-1∈{2,3},所以Sn?{2,3},不符合題意,同理,a1=3時,{an}中也不會出現2.所以{an}中只可能出現-1,1,0,2或-1,1,0,3,故k的最大值為4.答案:4123456789101112139(2015·課標全國Ⅰ高考)在數列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=

.

∴{an}是以2為公比的等比數列.又a1=2,∴2n=64,∴n=6.答案:61234567891011121310(2016·全國甲高考)Sn為等差數列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求數列{bn}的前1000項和