2024年四川省達州市中考數學試題本考試為閉卷考試．考試時間120分鐘、滿分150分．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1-2頁，第Ⅱ卷3-8頁，共8頁．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置，待監考老師粘貼條形碼后，再認真核對條形碼上的信息與自己的準考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應位置規范填涂．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應的框內．超出答題區答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．不要折疊、弄破、弄皺答題卡．不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀等影響答題卡整潔．4．考試結束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、單項選擇題（每小題4分．共40分）1.有理數2024的相反數是（）A2024 B. C. D.2.大米是我國居民最重要的主食之一，與此同時，我國也是世界上最大的大米生產國，水稻產量常年穩定在2億噸以上．將2億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.4.如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“我”的對面的字是（）A.熱 B.愛 C.中 D.國5.小明在處理一組數據“12，12，28，35，■”時，不小心將其中一個數據污染了，只記得該數據在30~40之間．則“■”在范圍內無論為何值都不影響這組數據的（）A.平均數 B.眾數 C.中位數 D.方差6.當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發生了改變，這就是光的折射現象（如圖所示）．圖中，，則的度數為（）A. B. C. D.7.甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（）A B.C. D.8.如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（）A.2 B. C. D.39.拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.10.如圖，是等腰直角三角形，，，點，分別在，邊上運動，連結，交于點，且始終滿足，則下列結論：①；②；③面積的最大值是；④的最小值是．其中正確的是（）A①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④第II卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11.分解因式：3x2﹣18x+27=________．12.“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優秀文化的重要組成部分．某校七年級準備從這四部名著中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本）開展“名著共讀”活動，則該年級的學生恰好抽取到《三國演義》和《西游記》的概率是______．13.若關于的方程無解，則的值為______．14.如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規律作下去．若．則______度．15.如圖，在中，．點在線段上，．若，，則的面積是______．三、解答題：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16.（1）計算：；（2）解不等式組17.先化簡：，再從，，0，1，2之中選擇一個合適的數作為的值代入求值．18.2024年4月21日，達州馬拉松暨“跑遍四川”達州站馬拉松賽鳴槍開跑．本次賽事以“相約巴人故里，樂跑紅色達州”為主題．旨在增強全市民眾科學健身意識．推動全民健身活動，本屆賽事共設置馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個項目賽后隨機抽樣了部分參賽選手對本次賽事組織進行滿意度評分調查，整理后得到下列不完整的圖表：等級分數段頻數m請根據表中提供的信息．解答下列問題：（1）此次調查共抽取了______名選手，______，______；（2）扇形統計圖中，等級所對應的扇形圓心角度數是______度；（3）賽后若在三個項目的冠軍中隨機抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率．19.如圖，線段、相交于點．且，于點．（1）尺規作圖：過點作垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）（2）若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）20.“三匯彩婷會”是達州市渠縣三匯鎮獨有的傳統民俗文化活動、起源于漢代、融數學，力學，鍛造，綁扎，運載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數學綜合與實踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學站在處．借助測角儀觀察，發現中軸上的點的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學在觀測點處借助無人機技術進行測量，測得平行于水平線，中軸上的點的仰角，點、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學的眼睛到地面的距離米，請根據以上數據，求中軸上的長度．（結果精確到米，參考數據，）

21.如圖，一次函數（、為常數，）的圖象與反比例函數（為常數，）的圖象交于點，．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標．22.為拓寬銷售渠道，助力鄉村振興，某鄉鎮幫助農戶將、兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價共元．（1）求、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為多少元？（2）已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為元、元、該鄉鎮計劃在某農產品展銷活動中售出、兩種柑橘禮盒共盒，且品種柑橘禮盒售出的數量不超過品種柑橘禮盒數量的倍．總成本不超過元．要使農戶收益最大，該鄉鎮應怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農戶在這次農產品展銷活動中的最大收益為多少元？23.如圖，是的直徑．四邊形內接于．連接，且，以為邊作交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）過點作交于點．若，求的值．24.如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；（3）若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．25.在學習特殊的平行四邊形時，我們發現正方形的對角線等于邊長的倍，某數學興趣小組以此為方向對菱形的對角線和邊長的數量關系探究發現，具體如下：如圖1．（1）四邊形是菱形，，，．．又，，______+______．化簡整理得______．【類比探究】（2）如圖2．若四邊形是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數量關系．【拓展應用】（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，對角線，相交于點，點為的中點，點為的中點，連接，若，，，直接寫出的長度．2024年四川省達州市中考數學試題本考試為閉卷考試．考試時間120分鐘、滿分150分．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1-2頁，第Ⅱ卷3-8頁，共8頁．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置，待監考老師粘貼條形碼后，再認真核對條形碼上的信息與自己的準考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應位置規范填涂．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應的框內．超出答題區答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．不要折疊、弄破、弄皺答題卡．不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀等影響答題卡整潔．4．考試結束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、單項選擇題（每小題4分．共40分）1.有理數2024相反數是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求一個數的相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0，據此求解即可．【詳解】解：有理數2024的相反數是，故選：B．2.大米是我國居民最重要主食之一，與此同時，我國也是世界上最大的大米生產國，水稻產量常年穩定在2億噸以上．將2億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．【詳解】解：2億，故選：B．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了完全平方公式，積的乘方計算，同底數冪除法計算，合并同類項，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算正確，符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選：C．4.如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“我”的對面的字是（）A.熱 B.愛 C.中 D.國【答案】B【解析】【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，據此作答即可．【詳解】解：正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，則與“我”字相對的字是“愛”，與“們”字相對的字是“中”，與“國”字相對的字是“熱”，故選：B．5.小明在處理一組數據“12，12，28，35，■”時，不小心將其中一個數據污染了，只記得該數據在30~40之間．則“■”在范圍內無論為何值都不影響這組數據的（）A.平均數 B.眾數 C.中位數 D.方差【答案】C【解析】【分析】此題考查數據平均數、眾數、中位數方差的計算方法，根據中位數的定義求解可得．【詳解】解：依題意“■”該數據在30~40之間，則這組數據的中位數為，∴“■”在范圍內無論為何值都不影響這組數據的中位數．故選：C．6.當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發生了改變，這就是光的折射現象（如圖所示）．圖中，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線的性質，根據平行線的性質可得，代入數據，即可求解．【詳解】解：依題意，水面與容器底面平行，∴∵，，∴故選：B．7.甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，再根據時間工作總量工作效率結合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可．【詳解】解：設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，由題意得，故選：D．8.如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，延長交格點于點，連接，分別在格點上，根據菱形的性質，進而得出，解直角三角形求得的長，根據對頂角相等，進而根據正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交格點于點，連接，分別在格點上，依題意，，∴∴又，∴∴故選：B．9.拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為，依題意，，根據題意拋物線開口向下，當時，，即可判斷A選項，根據對稱軸即可判斷B選項，根據一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據此，即可求解．【詳解】解：依題意，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為依題意，∵，拋物線開口向下，∴當時，，即∴，故A選項正確，符合題意；若對稱軸為，即，而，不能得出對稱軸直線，故B選項不正確，不符合題意；∵拋物線與坐標軸有2個交點，∴方程有兩個不等實數解，即，又∴，故C選項錯誤，不符合題意；無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．10.如圖，是等腰直角三角形，，，點，分別在，邊上運動，連結，交于點，且始終滿足，則下列結論：①；②；③面積的最大值是；④的最小值是．其中正確的是（）A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】過點作于點，證明，根據相似三角形的性質即可判斷①；得出，根據三角形內角和定理即可判斷②；在的左側，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，根據定弦定角得出在的上運動，進而根據當時，面積的最大，根據三角形的面積公式求解，即可判斷③，當在上時，最小，過點作交的延長線于點，勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，∵是等腰直角三角形，，，∴，∵，∴∴又∵∴，∴，故①正確；∵，∴，∴即在中，即∵是等腰直角三角形，∴平分∴∴∴，∴，故②正確，如圖所示，在的左側，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，且∴，∵∴∴在上運動，∴，連接交于點，則，∴當時，結合垂徑定理，最小，∵是半徑不變∴此時最大則面積的最大，∴，故③正確；如圖所示，當在上時，最小，過點作交的延長線于點，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴的最小值是．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓內接四邊形對角互補，求圓外一點到圓上的距離最值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．第II卷（非選擇題共110分）二、填空題（每小題4分，共20分）11.分解因式：3x2﹣18x+27=________．【答案】3（x﹣3）2【解析】【分析】先提取公因式3，再根據完全平方公式進行二次分解．【詳解】3x2-18x+27，

=3（x2-6x+9），

=3（x-3）2．

故答案為：3（x-3）2．12.“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優秀文化的重要組成部分．某校七年級準備從這四部名著中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本）開展“名著共讀”活動，則該年級的學生恰好抽取到《三國演義》和《西游記》的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查畫樹狀圖法求等可能事件的概率；畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中抽取的兩本恰好是《水滸傳》和《西游記》的結果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》四本書分別記為A，B，C，D，根據題意，畫出如下的樹狀圖：由樹狀圖可知看出，所有可能出現的結果共有12種，這些結果出現的可能性相等．兩本是《三國演義》和《西游記》的結果有2種，所以P（兩本是《三國演義》和《西游記》）．故答案為：．13.若關于的方程無解，則的值為______．【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，先解分式方程得到，再根據分式方程無解得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，解得，∵關于的方程無解，∴原方程有增根，∴，即，∴，故答案為：．14.如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規律作下去．若．則______度．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先分別對運用三角形的外角定理，設，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．【詳解】解：如圖：∵，，∴設，，則，，由三角形的外角的性質得：，，∴，如圖：同理可求：，∴，……，∴，即，故答案為：．15.如圖，在中，．點在線段上，．若，，則的面積是______．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理．過作于，設，則，利用列出等式即可．【詳解】解：過作于，，，，是等腰直角三角形設，則解得（舍去）或經檢驗是原分式方程的解，．故答案為：．三、解答題：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共90分）16.（1）計算：；（2）解不等式組【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，解一元一次不等式組；（1）根據負整數指數冪，二次根式的性質，特殊角的三角函數值，零指數冪進行計算即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：（1）（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：17.先化簡：，再從，，0，1，2之中選擇一個合適的數作為的值代入求值．【答案】，當時，原式．【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡，接著根據分式有意義的條件確定x的值，最后代值計算即可．【詳解】解：，∵分式要有意義，∴，∴且且，∴當時，原式．18.2024年4月21日，達州馬拉松暨“跑遍四川”達州站馬拉松賽鳴槍開跑．本次賽事以“相約巴人故里，樂跑紅色達州”為主題．旨在增強全市民眾科學健身意識．推動全民健身活動，本屆賽事共設置馬拉松，半程馬拉松和歡樂跑三個項目賽后隨機抽樣了部分參賽選手對本次賽事組織進行滿意度評分調查，整理后得到下列不完整的圖表：等級分數段頻數m請根據表中提供的信息．解答下列問題：（1）此次調查共抽取了______名選手，______，______；（2）扇形統計圖中，等級所對應的扇形圓心角度數是______度；（3）賽后若在三個項目的冠軍中隨機抽取兩人訪談，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率．【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】本題考查了列表法求概率，頻數分布表以及扇形統計圖；（1）根據等級的人數除以占比得出總人數，進而求得的值；（2）根據等級的占比乘以，即可求解；（3）設三個項目的冠軍分別為，根據列表法求概率，即可求解．【小問1詳解】解：依題意，名選手，，∴故答案為：，，．【小問2詳解】扇形統計圖中，等級所對應的扇形圓心角度數是，故答案為：．【小問3詳解】解：設三個項目的冠軍分別為，列表如下，

共有6種等可能結果，其中恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的有2種情形，∴恰好抽到馬拉松和歡樂跑冠軍的概率為19.如圖，線段、相交于點．且，于點．（1）尺規作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）（2）若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）【答案】（1）見解析（2）四邊形是平行四邊形，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規作圖，全等三角形的性質與判定：（1）先根據垂線的尺規作圖方法作出點F，再連接、即可；（2）先證明，得到，再證明，進而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．20.“三匯彩婷會”是達州市渠縣三匯鎮獨有的傳統民俗文化活動、起源于漢代、融數學，力學，鍛造，綁扎，運載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數學綜合與實踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學站在處．借助測角儀觀察，發現中軸上的點的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學在觀測點處借助無人機技術進行測量，測得平行于水平線，中軸上的點的仰角，點、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學的眼睛到地面的距離米，請根據以上數據，求中軸上的長度．（結果精確到米，參考數據，）

【答案】中軸上的長度為米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用；過點作于點，分別求得的長，根據，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，依題意，四邊形是矩形，∴，∴米答：中軸上的長度為米．21.如圖，一次函數（、為常數，）圖象與反比例函數（為常數，）的圖象交于點，．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查反比例函數與一次函數綜合題型，也考查了銳角三角函數的應用．（1）用待定系數法先求反比例函數解析式，再求一次函數解析式即可；（2）過作軸于，過作軸于，設，先求得得到，即，得出等量關系解出即可．【小問1詳解】解：將代入得將代入得將和代入得解得故反比例函數和一次函數的解析式分別為和；【小問2詳解】如圖，過作軸于，過作軸于，即設，則，解得（舍去）或經檢驗，是原分式方程的解，．22.為拓寬銷售渠道，助力鄉村振興，某鄉鎮幫助農戶將、兩個品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售．已知每件品種柑橘禮盒比品種柑橘禮盒的售價少元．且出售件品種柑橘禮盒和件品種柑橘禮盒的總價共元．（1）求、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為多少元？（2）已知加工、兩種柑橘禮盒每件的成本分別為元、元、該鄉鎮計劃在某農產品展銷活動中售出、兩種柑橘禮盒共盒，且品種柑橘禮盒售出的數量不超過品種柑橘禮盒數量的倍．總成本不超過元．要使農戶收益最大，該鄉鎮應怎樣安排、兩種柑橘禮盒的銷售方案，并求出農戶在這次農產品展銷活動中的最大收益為多少元？【答案】（1）、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元（2）要使農戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用，一次函數的應用；（1）設、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為a元，b元，根據題意列出二元一次方程組，即可求解；（2）設售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據題意列出不等式組，得出，設收益為元，根據題意列出函數關系式，進而根據一次函數的性質，即可求解．【小問1詳解】解：設、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元，b元，根據題意得，解得：答：、兩種柑橘禮盒每件的售價分別為元；【小問2詳解】解：設售出種柑橘禮盒盒，則售出種柑橘禮盒盒，根據題意得，解得：設收益為元，根據題意得，∵∴隨的增大而減小，∴當時，取得最大值，最大值為（元）∴售出種柑橘禮盒（盒）答：要使農戶收益最大，銷售方案為售出種柑橘禮盒盒，售出種柑橘禮盒盒，最大收益為元．23.如圖，是的直徑．四邊形內接于．連接，且，以為邊作交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）過點作交于點．若，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，導角可證明，進而得到，據此即可證明是的切線；（2）延長交于H，延長交于G，連接，由直徑所對的圓周角是直角得到，證明，得到，接著證明，得到，進一步證明，得到，設，則，，進而得到，則，由勾股定理得到，，則，進一步可得．【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：如圖所示，延長交于H，延長交于G，連接，∵是的直徑，∴，即，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定，求角的余弦值，直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，全等三角形的性質與判定等等，正確作出輔助線構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．24.如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；（3）若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）或；（3）或或或【解析】【分析】（1）待定系數法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標，根據勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進而根據得出，連接，設交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據等腰三角形的性質，分類討論解方程，即可求解．【小問1詳解】解：∵拋物線與軸交于點和點，∴解得：∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】由，當時，，則∵，則，對稱軸為直線設直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當時，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設交軸于點，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點與點重合時符合題意，如圖所示，過點作交拋物線于點，設直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯立解得：，∴綜上所述，或；【小問3詳解】解：∵，，∴∵點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，設其中∴，①當時，，解得：或②當時，，解得：③當時，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，待定系數法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．25.在學習特殊的平行四邊形時，我們發現正方形的對角線等于邊長的倍，某數學興趣小組以此為方向對菱形的對角線和邊長的數量關系探究發現，具體如下：如圖1．（1）四邊形是菱形，，，．．又，，______+______．化簡整理得______．【類比探究】（2）如圖2．若四邊形是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數量關系．【拓展應用】（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，對角線，相交于點，點為的中點，點為的中點，連接，若，，，直接寫出的長度．【答案】（1），，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據菱形的性質及勾股定理補充過程，即可求解；（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，根據平行四邊形的性質得，，，證明，得，，，根據勾股定理得，，繼而得出的值即可；（3）由（2）可得得出，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，根據勾股定理以及已知條件，分別求得，根據得出，根據得出，進而勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，．．又，，．化簡整理得故答案為：，，．（），理由如下，過點作于點，過點作交的延長線于點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，，在中，，在中，，∴，∴（）∵四邊形是平行四邊形，，，，∴由（）可得∴解得：（負值舍去）∵四邊形是平行四邊形，∴，，，如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，∵分別為的中點，∴∵，∴，∵是的中點，∴∴，∴，在中，，∴，∵為的中點，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，．【點睛】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．德陽市2024年初中學業水平考試與高中階段學校招生考試數學試卷說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題．全卷共6頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效，考試結束后，將試卷及答題卡交回．2．本試卷滿分150分，答題時間為120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共36分）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的．）1.下列四個數中，比小的數是（）A.0 B. C. D.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.3.如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（）A. B. C. D.4.正比例函數的圖象如圖所示，則的值可能是（）A. B. C. D.5.分式方程的解是（）A.3 B.2 C. D.6.為了推進“陽光體育”，學校積極開展球類運動，在一次定點投籃測試中，每人投籃5次，七年級某班統計全班50名學生投中的次數，并記錄如下：投中次數（個）012345人數（人）1●1017●6表格中有兩處數據不小心被墨汁遮蓋了，下列關于投中次數的統計量中可以確定的是（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差7.走馬燈，又稱仙音燭，據史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時期，盛行于宋代，是中國特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節日，在一次綜合實踐活動中，一同學用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側面有一個三角形面上寫了“祥”字，當燈旋轉時，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（）A.吉如意 B.意吉如 C.吉意如 D.意如吉8.已知，正六邊形的面積為，則正六邊形的邊長為（）A.1 B. C.2 D.49.將一組數，按以下方式進行排列：則第八行左起第1個數是（）A. B. C. D.10.某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物的高為（）米A.20 B.15 C.12 D.11.寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數為（）A.3 B.2 C.1 D.012.一次折紙實踐活動中，小王同學準備了一張邊長為4（單位：）的正方形紙片，他在邊和上分別取點和點，使，又在線段上任取一點（點可與端點重合），再將沿所在直線折疊得到，隨后連接．小王同學通過多次實踐得到以下結論：①當點在線段上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；②當達到最大值時，到直線距離達到最大；③的最小值為；④達到最小值時，．你認為小王同學得到的結論正確的個數是（）A1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷（非選擇題，共114分）二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，將答案填在答題卡對應的題號后的橫線上）13.化簡：＝__________．14.若一個多項式加上，結果是，則這個多項式為______．15.某校擬招聘一名優秀的數學教師，設置了筆試、面試、試講三項水平測試，綜合成績按照筆試占，面試占，試講占進行計算，小徐的三項測試成績如圖所示，則她的綜合成績為______分．16.如圖，四邊形是矩形，是正三角形，點是的中點，點是矩形內一點，且是以為底的等腰三角形，則的面積與的面積的比值是______．17.數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1．經過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b，你認為a可以是______（填上一個數字即可）．18.如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①；②；③若拋物線經過點，則；④若關于的一元二次方程無實數根，則．其中正確結論是______（請填寫序號）．三、解答題（本大題共7小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）解不等式組：20.2024年中國龍舟公開賽（四川·德陽站），在德陽旌湖沱江橋水域舉行，預計來自全國各地1000余名選手將參賽．旌湖兩岸高顏值的綠色生態景觀綠化帶“德陽之窗”將迎接德陽市民以及來自全國各地的朋友近距離的觀看比賽．比賽設置男子組、女子組、本地組三個組別，其中男子組將進行A：100米直道競速賽，B：200米直道竟速賽，C：500米直道競速賽，D：3000米繞標賽．為了了解德陽市民對于這四個比賽項目的關注程度，隨機對部分市民進行了問卷調查（參與問卷調查的每位市民只能選擇其中一個項目），將調查得到的數據繪制成數據統計表和扇形統計圖（表、圖都未完全制作完成）：市民最關注的比賽項目人數統計表比賽項目ABCD關注人數4230ab（1）直接寫出a、b的值和D所在扇形圓心角的度數；（2）若當天觀看比賽的市民有10000人，試估計當天觀看比賽的市民中關注哪個比賽項目的人數最多？大約有多少人？（3）為了緩解比賽當天城市交通壓力，維護交通秩序，德陽交警旌陽支隊派出4名交警（2男2女）對該路段進行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口執勤，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求出恰好抽到的兩名交警性別相同的概率．21.如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點．（1）求的值和反比例函數的解析式；（2）將直線向下平移個單位長度后得直線，若直線與反比例函數的圖象的交點為，求的值，并結合圖象求不等式的解集．22.如圖，在菱形中，，對角線與相交于點，點為中點，連接與相交于點，連接并延長交于點．（1）證明：；（2）證明：．23.羅江糯米咸鵝蛋是德陽市非物質文化遺產之一，至今有200多年歷史，采用羅江當地林下養殖的鵝產的散養鵝蛋，經過傳統秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為了迎接端午節，進一步提升糯米咸鵝蛋的銷量，德陽某超市將購進的糯米咸鵝蛋和肉粽進行組合銷售，有A、B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽．A、B兩種組合的進價和售價如下表：價格AB進價（元/件）94146售價（元/件）120188（1）求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽進價分別為多少？（2）根據市場需求，超市準備的B種組合數量是A種組合數量的3倍少5件，且兩種組合的總件數不超過95件，假設準備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應準備多少件A種組合？最大利潤為多少？24.如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）當時，求的函數值的取值范圍；（3）將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．25.已知的半徑為5，是上兩定點，點是上一動點，且的平分線交于點．（1）證明：點上一定點；（2）過點作的平行線交的延長線于點．①判斷與的位置關系，并說明理由；②若為銳角三角形，求的取值范圍．德陽市2024年初中學業水平考試與高中階段學校招生考試數學試卷說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題．全卷共6頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效，考試結束后，將試卷及答題卡交回．2．本試卷滿分150分，答題時間為120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共36分）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的．）1.下列四個數中，比小數是（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了有理數的大小比較，掌握有理數大小比較的法則是關鍵．根據有理數的大小比較法則：正數>0>負數；然后根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，即可得到答案．【詳解】解：∵正數>0>負數，，∴∴，∴比小的是．故選：D．2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查整式的運算，根據同底數冪的乘法，去括號，單項式乘以多項式，完全平方公式，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、，原選項計算錯誤；B、，原選項計算正確；C、，原選項計算錯誤；D、，原選項計算錯誤；故選B．3.如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質．首先根據平行線的性質得出，再根據垂直與三角形的內角和即可求出．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴故選：B．4.正比例函數的圖象如圖所示，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正比例函數的性質：當，圖象經過第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而增大；當，圖象經過第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而減?。谜壤瘮档男再|得到，然后在此范圍內進行判斷即可．【詳解】解：∵正比例函數圖象經過第一、第三象限，∴，∴選項A符合題意．故選：A．5.分式方程的解是（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法與步驟是解題關鍵．本題考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法與步驟是解題關鍵．【詳解】解：，去分母，得，解得，當時，，∴是原方程的解．故選D6.為了推進“陽光體育”，學校積極開展球類運動，在一次定點投籃測試中，每人投籃5次，七年級某班統計全班50名學生投中的次數，并記錄如下：投中次數（個）012345人數（人）1●1017●6表格中有兩處數據不小心被墨汁遮蓋了，下列關于投中次數的統計量中可以確定的是（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差【答案】C【解析】【分析】本題主要考查中位數、眾數、方差、平均數的意義和計算方法，解題的關鍵是理解各個統計量的實際意義，以及每個統計量所反應數據的特征．先求被遮住投籃成績的人數，然后根據眾數的定義求出眾數，而中位數，平均數和方差與所有的數據有關，據此可得答案．【詳解】解：∵一共有50名同學，∴被遮住投籃成績的人數為名，∵眾數是一組數據中出現次數最多的數據，∴這50名學生的投籃成績的眾數為3，出現17次，大于16，與被遮蓋的數據無關，∵中位數是一組數據中處在最中間的那個數據或處在最中間的兩個數據的平均數，∴把這50名學生的成績從小到大排列，第25名和第26名的投籃成績不能確定，與被遮蓋的數據有關，而平均數和方差都與被遮住的數據有關，故選C．7.走馬燈，又稱仙音燭，據史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時期，盛行于宋代，是中國特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節日，在一次綜合實踐活動中，一同學用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側面有一個三角形面上寫了“祥”字，當燈旋轉時，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（）A.吉如意 B.意吉如 C.吉意如 D.意如吉【答案】A【解析】【分析】本題考查的是簡單幾何體的展開圖，利用四棱錐的展開圖的特點可得答案．【詳解】解：由題意可得：展開圖是四棱錐，∴A、B、C處依次寫上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故選A8.已知，正六邊形的面積為，則正六邊形的邊長為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查正六邊形的性質，正三角形的性質，設出邊長去表示正三角形面積和正六邊形面積即可．【詳解】解：如圖：根據多邊形的內角和定理可求出正六邊形的一個內角為，故正六邊形是由6個正三角形構成的，過點作垂足是，設正六邊形的邊長為，即在正三角形中，∵，∴，在中，一個正三角形的面積為：，正六邊形的面積為：，∴，解得：，故選：C．9.將一組數，按以下方式進行排列：則第八行左起第1個數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．求出第七行共有28個數，從而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得．【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，歸納類推得：第七行共有個數，則第八行左起第1個數是，故選：C．10.某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內，在同一水平面上），則建筑物的高為（）米A.20 B.15 C.12 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，如圖，過作于，則四邊形為矩形，設，而，可得，，結合，再解方程即可．【詳解】解：如圖，過作于，依題意，∴四邊形為矩形，∴，，設，而，∴，∵，∴，解得：，經檢驗是原方程的解，且符合題意；∴，故選B11.寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關鍵．設，，假設存在點，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結合，然后根據判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解．【詳解】解：如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，設，，假設存在點，且，則，在中，，在中，，，，即，整理得，，又，即，，，，，方程無解，即點不存在．故選：D．12.一次折紙實踐活動中，小王同學準備了一張邊長為4（單位：）的正方形紙片，他在邊和上分別取點和點，使，又在線段上任取一點（點可與端點重合），再將沿所在直線折疊得到，隨后連接．小王同學通過多次實踐得到以下結論：①當點在線段上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；②當達到最大值時，到直線的距離達到最大；③的最小值為；④達到最小值時，．你認為小王同學得到的結論正確的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由折疊可得，可得點到點距離恒為2，即可判斷①；連接，由勾股定理得到在中，，由，即可判斷③；達到最小值時，點在線段上，證得，得到，從而求得，通過即可判斷④．在中，隨著的增大而增大，而當最大時，有最大值，有最大值，此時點N與點D重合．過點作于點G，作于點P，可得四邊形是矩形，因此，當取得最大值時，有最小值，在中，有最大值，有最大值，即可判斷②．【詳解】解：∵正方形紙片的邊長為，∴，由折疊的性質可知，，∴當點在線段上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動．故①正確．連接，∵在正方形中，，，，∴在中，∵，∴，∴的最小值為．故③正確；如圖，達到最小值時，點在線段上，由折疊可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故④錯誤．在中，，，∴隨著的增大而增大，∵，∴當最大時，有最大值，有最大值，此時，點N與點D重合，過點作于點G，作于點P，∵，∴四邊形是矩形，∴，當取得最大值時，也是最大值，∵，∴有最小值，∴在中，有最大值，即有最大值，∴點到的距離最大．故②正確．綜上所述，正確的共有3個．故選：C【點睛】本題考查軸對稱圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質，銳角三角形函數的性質，綜合運用相關知識是解題的關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題，共114分）二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，將答案填在答題卡對應的題號后的橫線上）13.化簡：＝__________．【答案】3【解析】【分析】根據二次根式的性質“”進行計算即可得．【詳解】解：，故答案為：3．【點睛】本題考查了化簡二次根式，解題的關鍵是掌握二次根式的性質．14.若一個多項式加上，結果是，則這個多項式為______．【答案】【解析】【分析】本題考查整式的加減運算，根據題意“一個多項式加上，結果是”，進行列出式子：，再去括號合并同類項即可．【詳解】解：依題意這個多項式為．故答案為：15.某校擬招聘一名優秀的數學教師，設置了筆試、面試、試講三項水平測試，綜合成績按照筆試占，面試占，試講占進行計算，小徐的三項測試成績如圖所示，則她的綜合成績為______分．【答案】【解析】【分析】本題考查了加權平均數，解題關鍵是熟記加權平均數公式，準確進行計算．利用加權平均數公式計算即可．【詳解】解：她的綜合成績為（分）；故答案為：．16.如圖，四邊形是矩形，是正三角形，點是的中點，點是矩形內一點，且是以為底的等腰三角形，則的面積與的面積的比值是______．【答案】2【解析】【分析】本題考查矩形的性質，正三角形的性質，等腰三角形的性質等知識點，正確設出邊長表示出兩個面積是解題的關鍵．作輔助線如圖，設，，根據性質和圖形表示出面積即可得到答案．【詳解】解：如圖，找，中點為，，連接，，連接，，過作交延長線于點，延長，與交于點．設，，∵是以為底的等腰三角形，∴在上，∴到的距離即為，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，故答案為：2．17.數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1．經過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b，你認為a可以是______（填上一個數字即可）．【答案】1##8【解析】【分析】本題考查了數字規律，理解題意是解題的關鍵．由于兩個中心圓圈有6根連線，數字1至8，共有8個數字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，否則不滿足任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1，故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8．【詳解】解：兩個中心圓圈分別有6根連線，數字1至8，共有8個數字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入．位于兩個中心圓圈的數字a、b，只可能是1或者8．故答案為：1（或8）．18.如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①；②；③若拋物線經過點，則；④若關于的一元二次方程無實數根，則．其中正確結論是______（請填寫序號）．【答案】①②④【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，根的判別式，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象與性質．①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據圖象可得當時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，求出距離，根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大，即可判斷；④根據圖象即可判斷．【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標為，∴，∴，即，由圖可知，拋物線開口方向向下，即，∴，當時，，∴，故①正確，符合題意；②∵直線是拋物線的對稱軸，∴，∴，∴由圖象可得：當時，，∴，即，故②正確，符合題意；③∵直線是拋物線的對稱軸，設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，則，，∴，根據圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數值越大，∴，故③錯誤，不符合題意；④如圖，∵關于x的一元二次方程無實數根，∴，故④正確，符合題意．故答案為：①②④三、解答題（本大題共7小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）解不等式組：【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先計算立方根、負整數指數冪、銳角三角函數，再進行實數的加減混合運算即可．（2）分別求出不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的確定不等式組的解集即可．【詳解】（1）原式：．（2）解：由①，得，由②，得，∴不等式組的解集為．【點睛】本題考查實數的混合運算、立方根、負整數指數冪、特殊角的銳角三角函數、解一元一次不等式組，熟練掌握立方根、負整數指數冪、特殊角的銳角三角函數和解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．20.2024年中國龍舟公開賽（四川·德陽站），在德陽旌湖沱江橋水域舉行，預計來自全國各地1000余名選手將參賽．旌湖兩岸高顏值的綠色生態景觀綠化帶“德陽之窗”將迎接德陽市民以及來自全國各地的朋友近距離的觀看比賽．比賽設置男子組、女子組、本地組三個組別，其中男子組將進行A：100米直道競速賽，B：200米直道竟速賽，C：500米直道競速賽，D：3000米繞標賽．為了了解德陽市民對于這四個比賽項目的關注程度，隨機對部分市民進行了問卷調查（參與問卷調查的每位市民只能選擇其中一個項目），將調查得到的數據繪制成數據統計表和扇形統計圖（表、圖都未完全制作完成）：市民最關注的比賽項目人數統計表比賽項目ABCD關注人數4230ab（1）直接寫出a、b的值和D所在扇形圓心角的度數；（2）若當天觀看比賽的市民有10000人，試估計當天觀看比賽的市民中關注哪個比賽項目的人數最多？大約有多少人？（3）為了緩解比賽當天城市交通壓力，維護交通秩序，德陽交警旌陽支隊派出4名交警（2男2女）對該路段進行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口執勤，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求出恰好抽到的兩名交警性別相同的概率．【答案】（1），，（2）D，4000（3）【解析】【分析】本題考查統計表和扇形統計圖，用樣本估計總體，樹狀圖求概率等知識，正確識圖是解題的關鍵．根據兩個圖標識圖求解即可．【小問1詳解】解：根據兩圖中A的數據可得總人數為：（人），（人），（人），D所在扇形圓心角的度數為：【小問2詳解】D：3000米繞標賽的關注人數最多，為（人）答：估計當天觀看比賽的市民中關注D：3000米繞標賽比賽項目的人數最多，大約有4000人．【小問3詳解】解：根據題意，畫出樹狀圖如下圖：根據樹狀圖可得，共有12種等可能得結果，其中恰好抽到的兩名交警性別相同的概率為：．21.如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點．（1）求的值和反比例函數的解析式；（2）將直線向下平移個單位長度后得直線，若直線與反比例函數的圖象的交點為，求的值，并結合圖象求不等式的解集．【答案】（1）；反比例函數的解析式為（2）；不等式的解集為【解析】【分析】本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題：（1）把代入求出，得，從而可求出的值；（2）由平移得直線與直線