高三數學大題規范訓練（6）15.在三角形中，角所對的邊分別為已知.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若且，求的取值范圍.16.如圖1，在直角梯形中，分別為的中點，沿將平面折起，使二面角的大小為，如圖2所示，設分別為的中點，為線段上的動點（不包括端點）．（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求．17.學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰”，另一項為“四人賽”．活動規則如下：一天內參與“雙人對戰”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．（1）求李明這5天參加“雙人對戰”活動的總得分X的分布列和數學期望；（2）設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時，取得最大值．18.已知平面直角坐標系中，橢圓與雙曲線．（1）若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，當運動時，求點的軌跡方程；（2）若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點作直線與相交于兩點（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．19.已知an是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數列稱為an的“生成數列”．（1）若，求其生成數列的前項和；（2）設數列的“生成數列”為，求證：；（3）若是等差數列，證明：存在正整數，當時，，，，是等差數列．

高三數學大題規范訓練（6）15.在三角形中，角所對的邊分別為已知.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若且，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解答】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理求出角；（2）由正弦定理可得，將轉化為關于的三角函數，利用三角函數的性質求出取值范圍.【詳解】解：（1）由正弦定理，，即由余弦定理，，又（2）因為且，由正弦定理得，，【小結】本題考查正弦定理解三角形，三角恒等變換以及正弦函數的性質，屬于中檔題.16.如圖1，在直角梯形中，分別為的中點，沿將平面折起，使二面角的大小為，如圖2所示，設分別為的中點，為線段上的動點（不包括端點）．（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）由已知可證得平面，進而可證得，通過證出，證得平面，即可證得結果；（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【小問1詳解】分別為的中點，．平面平面，平面，，是二面角的平面角，．，為等邊三角形，．平面，平面，又平面，.【小問2詳解】設中點為，由（1）知兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．，，，，設平面的法向量為n=x,y,z即，取，則，設，，設與平面所成的角為，則，解得或（舍）.17.學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰”，另一項為“四人賽”．活動規則如下：一天內參與“雙人對戰”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．（1）求李明這5天參加“雙人對戰”活動的總得分X的分布列和數學期望；（2）設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時，取得最大值．【答案】（1）分布列見解答，（分）（2）【解答】【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出對應隨機變量的概率，從而可求出分布列，再根據期望公式求出數學期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為，再根據導出求出函數的單調區間，即可得出答案.【小問1詳解】解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；小問2詳解】解：設一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值.18.已知平面直角坐標系中，橢圓與雙曲線．（1）若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，當運動時，求點的軌跡方程；（2）若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點作直線與相交于兩點（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據題意可得，得到雙曲線的標準方程，然后利用直線與有唯一的公共點，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點兩點，即可求解；（2）依題意，，設，聯立結合韋達定理，得到切線方程，然后根據兩條切線方程聯立，結合構造函數求解三角形面積最值即可．【小問1詳解】因為的長軸長為8，短軸長為4，所以，，聯立方程，得，又與有唯一的公共點，所以，即，的橫坐標為，把代入中，，所以，過且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以，即，所以的軌跡方程為．【小問2詳解】因為的長軸長為4，短軸長為2，所以，，左焦點，當斜率為0時，分別為橢圓的左、右頂點，此時切線平行無交點，當斜率不為0時，設，由得，設，則，，橢圓在軸上方對應方程為，則點處切線斜率為，點處切線方程為，即，同理可得點處的切線方程為，由得，代入①得，所以，所以，而，所以，即，又，所以．令，則，令，則，所以在上單調遞增，則當時，．所以面積的最小值為.【小結】關鍵點小結：本題主要考查了直線與雙曲線及橢圓的位置關系，利用直線和圓錐曲線聯立，根據交點情況（1）中，（2）中，（2）中的關鍵是結合韋達定理，表示出切線方程，再聯立切線方程，構造函數求解三角形面積最值.19.已知an是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數列稱為an的“生成數列”．（1）若，求其生成數列的前項和；（2）設數列“生成數列”為，求證：；（3）若是等差數列，證明：存在正整數，當時，，，，是等差數列．【答案】（1）（2）證明見解答（3）證明見解答【解答】【分析】（1）利用指數函數的性質判斷數列的單調性，從而得出{pn}的通項，由分組求和法及等比數列的前n項和公式進行求解即可；（2）根據數列的單調性，結合生成數列的定義進行證明即可；（3）根據等差數列的定義分類討論進行證明即可．【小問1詳解】因為關于單調遞增，所以，，于是，的前項和．【小問2詳解】由題意可知，，所以，因此，即是單調遞增數列，且，由“生成數列”的定義可得．【小問3詳解】若是等差數列，證明：存在正整數，當時，是等差數列．當是一個常數列，則其公差必等于0，，則，因此是常數列，也即為等差數列；當是一個非常數的等差數列，則其公差必大于0，，所以要么，要么，又