高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(6)含答案及解析_第1頁(yè)
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高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(6)15.在三角形中,角所對(duì)的邊分別為已知.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若且,求的取值范圍.16.如圖1,在直角梯形中,分別為的中點(diǎn),沿將平面折起,使二面角的大小為,如圖2所示,設(shè)分別為的中點(diǎn),為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).(1)求證:;(2)若直線與平面所成角的正弦值是,求.17.學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題活動(dòng),一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”,另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng),僅首局比賽可獲得積分,獲勝得2分,失敗得1分;一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng),僅前兩局比賽可獲得積分,首局獲勝得3分,次局獲勝得2分,失敗均得1分.已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí),每局比賽獲勝的概率為;參加“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)時(shí),第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p,.李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)(每天兩局),各局比賽互不影響.(1)求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)中,恰有3天每天得分不低于3分的概率為.求p為何值時(shí),取得最大值.18.已知平面直角坐標(biāo)系中,橢圓與雙曲線.(1)若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,短軸長(zhǎng)為4,直線與有唯一的公共點(diǎn),過(guò)且與垂直的直線分別交軸,軸于點(diǎn)兩點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;(2)若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,過(guò)的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)(在軸上方),分別過(guò)作的切線,兩切線交于點(diǎn),求面積的最小值.19.已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為,即;前項(xiàng)的最小值記為,即,令(),并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”.(1)若,求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為,求證:;(3)若是等差數(shù)列,證明:存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),,,,是等差數(shù)列.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(6)15.在三角形中,角所對(duì)的邊分別為已知.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若且,求的取值范圍.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解答】【分析】(1)利用正弦定理將角化邊,再利用余弦定理求出角;(2)由正弦定理可得,將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍.【詳解】解:(1)由正弦定理,,即由余弦定理,,又(2)因?yàn)榍遥烧叶ɡ淼茫拘〗Y(jié)】本題考查正弦定理解三角形,三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.16.如圖1,在直角梯形中,分別為的中點(diǎn),沿將平面折起,使二面角的大小為,如圖2所示,設(shè)分別為的中點(diǎn),為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).(1)求證:;(2)若直線與平面所成角的正弦值是,求.【答案】(1)證明見(jiàn)解答(2)【解答】【分析】(1)由已知可證得平面,進(jìn)而可證得,通過(guò)證出,證得平面,即可證得結(jié)果;(2)以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量,以及,即可利用線面角的向量公式解出.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn),.平面平面,平面,,是二面角的平面角,.,為等邊三角形,.平面,平面,又平面,.【小問(wèn)2詳解】設(shè)中點(diǎn)為,由(1)知兩兩垂直,以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,,,,設(shè)平面的法向量為n=x,y,z即,取,則,設(shè),,設(shè)與平面所成的角為,則,解得或(舍).17.學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題活動(dòng),一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”,另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng),僅首局比賽可獲得積分,獲勝得2分,失敗得1分;一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng),僅前兩局比賽可獲得積分,首局獲勝得3分,次局獲勝得2分,失敗均得1分.已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí),每局比賽獲勝的概率為;參加“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)時(shí),第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p,.李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)(每天兩局),各局比賽互不影響.(1)求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)中,恰有3天每天得分不低于3分的概率為.求p為何值時(shí),取得最大值.【答案】(1)分布列見(jiàn)解答,(分)(2)【解答】【分析】(1)可取5,6,7,8,9,10,求出對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的概率,從而可求出分布列,再根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望即可;(2)先求出一天得分不低于3分的概率,再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為,再根據(jù)導(dǎo)出求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解:可取5,6,7,8,9,10,,,,,,,分布列如下:5678910所以(分);小問(wèn)2詳解】解:設(shè)一天得分不低于3分為事件,則,則恰有3天每天得分不低于3分的概率,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值.18.已知平面直角坐標(biāo)系中,橢圓與雙曲線.(1)若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,短軸長(zhǎng)為4,直線與有唯一的公共點(diǎn),過(guò)且與垂直的直線分別交軸,軸于點(diǎn)兩點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;(2)若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,過(guò)的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)(在軸上方),分別過(guò)作的切線,兩切線交于點(diǎn),求面積的最小值.【答案】(1)(2)【解答】【分析】(1)根據(jù)題意可得,得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后利用直線與有唯一的公共點(diǎn),過(guò)且與垂直的直線分別交軸,軸于點(diǎn)兩點(diǎn),即可求解;(2)依題意,,設(shè),聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理,得到切線方程,然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,短軸長(zhǎng)為4,所以,,聯(lián)立方程,得,又與有唯一的公共點(diǎn),所以,即,的橫坐標(biāo)為,把代入中,,所以,過(guò)且與垂直的直線為,則,所以,,又,所以,即,所以的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,所以,,左焦點(diǎn),當(dāng)斜率為0時(shí),分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),此時(shí)切線平行無(wú)交點(diǎn),當(dāng)斜率不為0時(shí),設(shè),由得,設(shè),則,,橢圓在軸上方對(duì)應(yīng)方程為,則點(diǎn)處切線斜率為,點(diǎn)處切線方程為,即,同理可得點(diǎn)處的切線方程為,由得,代入①得,所以,所以,而,所以,即,又,所以.令,則,令,則,所以在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),.所以面積的最小值為.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié):本題主要考查了直線與雙曲線及橢圓的位置關(guān)系,利用直線和圓錐曲線聯(lián)立,根據(jù)交點(diǎn)情況(1)中,(2)中,(2)中的關(guān)鍵是結(jié)合韋達(dá)定理,表示出切線方程,再聯(lián)立切線方程,構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值.19.已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為,即;前項(xiàng)的最小值記為,即,令(),并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”.(1)若,求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)設(shè)數(shù)列“生成數(shù)列”為,求證:;(3)若是等差數(shù)列,證明:存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),,,,是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解答(3)證明見(jiàn)解答【解答】【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性,從而得出{pn}的通項(xiàng),由分組求和法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,結(jié)合生成數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可;(3)根據(jù)等差數(shù)列的定義分類(lèi)討論進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞增,所以,,于是,的前項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】由題意可知,,所以,因此,即是單調(diào)遞增數(shù)列,且,由“生成數(shù)列”的定義可得.【小問(wèn)3詳解】若是等差數(shù)列,證明:存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),是等差數(shù)列.當(dāng)是一個(gè)常數(shù)列,則其公差必等于0,,則,因此是常數(shù)列,也即為等差數(shù)列;當(dāng)是一個(gè)非常數(shù)的等差數(shù)列,則其公差必大于0,,所以要么,要么,又

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