高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（6）15.在三角形中，角所對(duì)的邊分別為已知.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若且，求的取值范圍.16.如圖1，在直角梯形中，分別為的中點(diǎn)，沿將平面折起，使二面角的大小為，如圖2所示，設(shè)分別為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求．17.學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動(dòng)，一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”．活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí)，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)（每天兩局），各局比賽互不影響．（1）求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時(shí)，取得最大值．18.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．（1）若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點(diǎn)，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．19.已知an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”．（1）若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（6）15.在三角形中，角所對(duì)的邊分別為已知.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若且，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解答】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理求出角；（2）由正弦定理可得，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍.【詳解】解：（1）由正弦定理，，即由余弦定理，，又（2）因?yàn)榍遥烧叶ɡ淼茫拘〗Y(jié)】本題考查正弦定理解三角形，三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.16.如圖1，在直角梯形中，分別為的中點(diǎn)，沿將平面折起，使二面角的大小為，如圖2所示，設(shè)分別為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）由已知可證得平面，進(jìn)而可證得，通過證出，證得平面，即可證得結(jié)果；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【小問1詳解】分別為的中點(diǎn)，．平面平面，平面，，是二面角的平面角，．，為等邊三角形，．平面，平面，又平面，.【小問2詳解】設(shè)中點(diǎn)為，由（1）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z即，取，則，設(shè)，，設(shè)與平面所成的角為，則，解得或（舍）.17.學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動(dòng)，一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”．活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí)，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)（每天兩局），各局比賽互不影響．（1）求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時(shí)，取得最大值．【答案】（1）分布列見解答，（分）（2）【解答】【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的概率，從而可求出分布列，再根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為，再根據(jù)導(dǎo)出求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.【小問1詳解】解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；小問2詳解】解：設(shè)一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.18.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．（1）若的長軸長為8，短軸長為4，直線與有唯一的公共點(diǎn)，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若的長軸長為4，短軸長為2，過的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)（在軸上方），分別過作的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)題意可得，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用直線與有唯一的公共點(diǎn)，過且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，即可求解；（2）依題意，，設(shè)，聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理，得到切線方程，然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可．【小問1詳解】因?yàn)榈拈L軸長為8，短軸長為4，所以，，聯(lián)立方程，得，又與有唯一的公共點(diǎn)，所以，即，的橫坐標(biāo)為，把代入中，，所以，過且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以，即，所以的軌跡方程為．【小問2詳解】因?yàn)榈拈L軸長為4，短軸長為2，所以，，左焦點(diǎn)，當(dāng)斜率為0時(shí)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無交點(diǎn)，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，由得，設(shè)，則，，橢圓在軸上方對(duì)應(yīng)方程為，則點(diǎn)處切線斜率為，點(diǎn)處切線方程為，即，同理可得點(diǎn)處的切線方程為，由得，代入①得，所以，所以，而，所以，即，又，所以．令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，．所以面積的最小值為.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題主要考查了直線與雙曲線及橢圓的位置關(guān)系，利用直線和圓錐曲線聯(lián)立，根據(jù)交點(diǎn)情況（1）中，（2）中，（2）中的關(guān)鍵是結(jié)合韋達(dá)定理，表示出切線方程，再聯(lián)立切線方程，構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值.19.已知an是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為an的“生成數(shù)列”．（1）若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列“生成數(shù)列”為，求證：；（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．【答案】（1）（2）證明見解答（3）證明見解答【解答】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得出{pn}的通項(xiàng)，由分組求和法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合生成數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義分類討論進(jìn)行證明即可．【小問1詳解】因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞增，所以，，于是，的前項(xiàng)和．【小問2詳解】由題意可知，，所以，因此，即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，由“生成數(shù)列”的定義可得．【小問3詳解】若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列．當(dāng)是一個(gè)常數(shù)列，則其公差必等于0，，則，因此是常數(shù)列，也即為等差數(shù)列；當(dāng)是一個(gè)非常數(shù)的等差數(shù)列，則其公差必大于0，，所以要么，要么，又