第1講平面向量2025新高考核心考點2021年2022年2023年2024年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.三角恒等變換第6題

第6題第8題第7題第4題第13題2.三角函數的性質與圖象第4題

第6題第9題第15題第16題第7題第9題3.正弦定理、余弦定理,解三角形第19題第18題第18題第18題第17題第17題第15題第15題基礎回扣?考教銜接以題梳點?核心突破目錄索引

基礎回扣?考教銜接1.(人A必二6.2節習題改編)已知向量a,b的夾角為45°,|a|=1,|b|=,則|2b-a|=(

)A2.(人A必二6.3.4節例7改編)若向量a=(3,-4),b=(-1,m),且a∥b,則m=(

)D120°因為0°≤θ≤180°,所以θ=120°,即a與b的夾角為120°.真題體驗A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3nB2.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2D解析

∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.3.(2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),則(

)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1D解析

(方法一)由題意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故選D.(方法二)由題意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故選D.4.(2023·全國甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>=(

)B以題梳點?核心突破考點一平面向量的線性運算B(2)(2024·安徽馬鞍山三模)已知平面向量e1,e2不共線,a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2,且a∥b,則k=(

)AB解析

點M是邊AC上靠近點A的三等分點,點N是BC的中點,如圖所示,A.4 B.3 C.2 D.1BB解析

如圖所示,考點二平面向量的數量積及其運算例2(1)(2024·浙江金華三模)已知|a|=4,|b|=3,|a+b|=|a-b|,則a·(a-b)=(

)A.-16 B.16 C.-9 D.9B解析

由|a+b|=|a-b|,兩邊平方可得a2+2b·a+b2=a2-2b·a+b2,所以b·a=0,所以a·(a-b)=a2-a·b=42-0=16.故選B.(2)(2024·福建福州三模)已知線段AB是圓O的一條長為2的弦,則A.1 B.2 C.3 D.4B解析

取AB中點C,連接OC,(3)(多選題)(2024·山東聊城二模)已知向量a=(-1,2),b=(1,λ),若b在a上的投影向量為a,則(

)A.λ=3 B.a∥bC.a⊥(b-a) D.a與b的夾角為45°ACD[對點訓練2](1)(2024·山東濰坊模擬)在邊長為2的正六邊形ABCDEF中,A.6 B.-6 C.3 D.-3B解析

在正六邊形ABCDEF中,每個內角都是120°.連接EA,則∠FEA=∠FAE=30°,∠EAB=90°,故EA⊥AB.(2)(2024·江蘇南通三模)已知三個單位向量a,b,c滿足a=b+c,則向量b,c的夾角為(

)C(3)(2024·湖北武漢二模)已知x∈R,向量a=(x,2),b=(2,-1),且a⊥b,則a+b在a上的投影向量為(

)A.B.5 C.(1,2) D.(2,-1)C考點三平面向量中的最值、范圍問題A(2)(2024·湖南長沙期中)勒洛三角形是一種典型的定寬曲線,以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段圓弧,三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中,已知AB=2,[0,2]解析

取線段BC中點為O,A考點四平面向量的綜合應用[對點訓練4](2024·四川成都模擬預測)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,(a+b)(sinB-sinA)=c[sin(A+B)-sinA].(1)求B;解

(1)因為(a+b)(sin

B-sin

A)=c[sin(A+B)-sin

A],所以(a+b)(sin

B-sin

A)=c[sin(π-C)-sin

A],即(a+b)(sin

B-sin

A)=c(sin

C-sin

A).由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(c-a),所以b2-a2=c2-ac