第一章小結(jié)一、基本要求

1.理解隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間和隨機(jī)事件的概念,掌握隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算.

2.理解概率的定義,掌握概率的基本性質(zhì),能計(jì)算古典概型,能用概率基本性質(zhì)計(jì)算隨機(jī)事件的概率.

3.理解條件概率的概念,掌握概率的乘法公式.

4.掌握全概率公式和貝葉斯公式,能計(jì)算較復(fù)雜隨機(jī)事件的概率.

5.理解隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念,能應(yīng)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算.二、隨機(jī)事件的概率計(jì)算1.隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式隨機(jī)事件的概率計(jì)算直接計(jì)算古典概型間接計(jì)算加法公式差事件公式乘法公式對(duì)立事件公式全概率公式貝葉斯公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=…P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥)P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(B)(A

B)P(AB)=P(A)P(B?A)=P(B)P(A?B)P(AB)=P(A)P(B)(A,B獨(dú)立)為完備事件組2.解決概率問(wèn)題時(shí),不僅要記住并熟練應(yīng)用公式,更重要的是學(xué)會(huì)新的思考方法.(1)解決古典概型時(shí),可按下列步驟進(jìn)行:1)構(gòu)造樣本空間,分析樣本點(diǎn)的特征,利用排列、組合公式求出樣本點(diǎn)總數(shù)n;2)分析所求事件A中所包含的樣本點(diǎn),并計(jì)算所有的樣本點(diǎn)總數(shù).(2)解決復(fù)雜事件的概率計(jì)算的主要思路:把一個(gè)復(fù)雜事件分解成一些簡(jiǎn)單事件的和、差、積的形式,然后利用概率的性質(zhì)或事件運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算.3.在計(jì)算時(shí)要充分注意有關(guān)條件,選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算公式.例如,在選擇加法公式時(shí)應(yīng)注意事件之間是在互不相容關(guān)系;而在作乘法計(jì)算時(shí),則應(yīng)注意事件之間的獨(dú)立關(guān)系,不能混淆.周P23(1.24)5.經(jīng)過(guò)普查,了解到人群患有某種癌癥的概率為0.5%,某人因患類似病癥前去求醫(yī),醫(yī)生讓他做某項(xiàng)生化試驗(yàn).經(jīng)臨床多次試驗(yàn),患有該病的患者試驗(yàn)陽(yáng)性率為95%,而非該病患者的試驗(yàn)的陽(yáng)性率僅為10%.現(xiàn)該人化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性,問(wèn)該人患癌癥的概率.解:完備事件：患有癌癥、不患有癌癥設(shè)C=“患有癌癥”,A=“試驗(yàn)為陽(yáng)性”,則甲乙丙三人同時(shí)射擊一個(gè)也沒(méi)有擊中：P(A0)只有一個(gè)人擊中：P(A1)

有二個(gè)人擊中：P(A2)

有三個(gè)人擊中：P(A3)飛機(jī)墜毀的情形飛機(jī)墜毀（B）

分析

擊中飛機(jī)的所有可能情形

1）根據(jù)分布函數(shù)的定義，將FY(y)用FX(x)表示；2）根據(jù)分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，求出Y的概率密度.分布函數(shù)法

例1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的概率分布.解:由F(x)形式知,F(x)在x=-1,1,3處有跳躍,即X在這些點(diǎn)處有大于0的概率.因此,X的概率分布為:

X-113

P0.40.40.2例2.汽車沿街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等,以X表示汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口個(gè)數(shù).求X的概率分布.解:X的所有可能取值為0,1,2,3.用Ai(i=1,2,3)表示事件“汽車在第I個(gè)路口首次遇到紅燈”,A1,A2,A3相互獨(dú)立,且X的概率分布為:

X0123

P1/21/41/81/8說(shuō)明:要正確寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量X的概率分布須注意:(1)正確寫(xiě)出X的值域;(2)一一算出它們?nèi)≈档母怕?并驗(yàn)證例3.已知隨機(jī)變量X的密度為解:由例4.某人家住市區(qū)西郊,工作單位在東郊,上班有兩條路線可選擇,一條是橫穿市區(qū),路程近,花費(fèi)時(shí)間少,但堵塞嚴(yán)重,所需時(shí)間服從N(30,100).另一條路線沿環(huán)城公路,路程遠(yuǎn),花費(fèi)時(shí)間多,但堵塞較少,所需時(shí)間服從N(40,16).問(wèn):(1)如果上班前50分鐘出發(fā),應(yīng)選哪一路線?(2)若上班前45分鐘出發(fā),又應(yīng)選哪一路線?解:選擇路線的標(biāo)準(zhǔn)是使準(zhǔn)時(shí)上班的概率越大越好.(1)有50分鐘可用,準(zhǔn)時(shí)上班的概率分別為:按第一條路線N(30,100)按第二條路線N(40,16)故應(yīng)選第二條路線.(2)只有45分鐘可用,準(zhǔn)時(shí)上班的概率分別為:按第一條路線N(30,100)按第二條路線N(40,16)故應(yīng)選第一條路線.

例5.已知一年中某種保險(xiǎn)人群的死亡率為0.0005,現(xiàn)該人群有10000個(gè)人參加人壽保險(xiǎn),每人交保險(xiǎn)費(fèi)5元,若未來(lái)一年中死亡,則賠償5000元,試求:(1)未來(lái)一年中保險(xiǎn)公司從該項(xiàng)保險(xiǎn)中至少獲利10000元的概率;(2)未來(lái)一年中保險(xiǎn)公司從該項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解:作為初步近似,可認(rèn)為參加該項(xiàng)保險(xiǎn)的人群中未來(lái)一年死亡人數(shù)X~B(10000,0.0005),記事件A=“保險(xiǎn)公司至少獲利10000元”,事件B=“保險(xiǎn)公司虧本”,則A相當(dāng)于“死亡人數(shù)8”,B相當(dāng)于“死亡人數(shù)>10”.利用泊松分布計(jì)算其概率.(查附表二P313)說(shuō)明:當(dāng)X~B(n,p)時(shí),P(a<Xb)可用泊松分布近似計(jì)算,但要注意n一定要很大,p很小,使得np10,否則誤差較大.例6.在電源電壓不超過(guò)200伏,在200~240伏和超過(guò)240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252),試求:(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時(shí),電源電壓在200~240伏的概率.解:設(shè)A1=“電壓不超過(guò)200伏”,A2=“電壓在200~240伏”