第一章三角形的（證明

【單元分析】

本章是八年級上冊第七章《平行線的證明》的繼續，在“平等線的證明”一章中，我們給出了

8條基本領實，并從其中的幾條基本領實出發證明了有關平廳線的某些結論。運用這些基本領實和

已經學習過時定理，我們還可以證明有關三角形的某些結論。

在這之前，學生已經對圖形的性質及其互相關系進行了大量的探索，探索的同步也經歷過某些

簡樸的推理過程，已經具有了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，從而為本章深入嚴格證明

三角形有關定理打下了基礎。

【單元目的I】

1.知識與技能

（1）等腰三角形H勺性質和鑒定定理；

（2）直角三角形的性質定理和鑒定定理；

2.i寸程與措施

（1）會運用等腰三角形f、J性質和鑒定定理處理有關問題；

（2）直角三角形的性質定理和鑒定定理處理簡樸的實際問題；

3.情感態度與價值觀

（1）經歷由情景引出問題，探索掌握有關數學知識，再運用于實踐的過程，培養學數學、用數

學的意識與能力：

（2）感受數學文化的價值和中國老式數學的成就，激發學生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思

想感情。

【單元重點】

在證明過程中，深入感受證明過程，掌握推理證明的基本規定，明確條件和結論，可以借助

數學符號語言運用綜合法證明等腰三角形的性質定理和鑒定定理。

【單元難點】

明確推理證明口勺基本規定如明確條件和結論，能否用數學語言對R勺體現等。

【教學思緒】

1.對于已經有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取

嚴格證明"勺思緒；對于新增命題，教學過程中要重視學生11勺探索、證明過程，關注該命題與其他已

經有命題之間的關系；對于整章的命題，注意關注將這曲命題納入一種命題系統，關注命題之間U勺

關系，從而形成對有關圖形整體日勺認以。

2.對于證明日勺措施，除了重視啟發和回憶，還應注意關注證明措施的多樣性，力圖通過學生的

自主探索，獲得多樣的證明措施，并在比較中選擇合適日勺措施。

3.證明過程中注意揭示蘊含其中的數學思想措施，如轉化、歸納、類比等。

4.作為初中階段幾何訐明叼最終階段，教學中應視定學牛掌樨綜合法和分析法訐明命題叫基本

規定，掌握規范的證明表述過程，到達課程原則對證明表述到規定。

【單元課時安排】

課題課時

1.1等腰三角形4課時

1.2直角三角形2課時

1.3線段的垂直平分線2課時

1.4角平分線2課時

回憶與思索2課時

1.1等腰三角形

【教學目的】

1.知識與技能

理解作為證明基相的幾條公理日勺內容，應用這些公理證明等腰三角形口勺性質定理。

2.過程與措施

經歷“探索一發現一猜測一證明”的過程，讓學生深入體會證明是探索活動的自然延續和

必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。

3.情感態度與價值觀

啟發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹U勺互相依賴和互相補充的辯

證關系。

【教學重點】

經歷“探索一一發現一一猜測一一證明”的過程。

【教學難點】

用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的某些結論.

【教學措施】

講授法

【課時安排】

4課時

第一課時

【教學目的】

1.知識與技能

可以借助數學符號語言運用綜合法證明等腰三角形的性質定理和鑒定定理。

2.過程與措施

經歷“探索一發現一猜測一證明”的過程，讓學生深入體會證明是探索活動的自然延續和

必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。

3.情感態度與價值觀

后發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的互相依賴和互相補充的辯證

關系。

【教學重點】

探索證明等腰三角形性質定理日勺思緒與措施，掌握證明的基本規定和措施。

【教學難點】

明確推理證明日勺基本規定如明確條件和結論，能否用數學語言對口勺體現等。

【教學過程】

教學過程教學隨筆

第一環節：回憶舊知導出公理

提請學生回憶并整頓已經學過日勺8條基本領實中的5條：

1.兩直線被第三條直線所截,假如同位角相等,那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；

3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)；

4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)；

5.三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS)；

在此基礎上回憶全等三角形B勺另一鑒別條件：L(推論)兩角及其中一

角日勺對邊對應相等日勺兩個一:角形全等(AAS),并規定學生運用前面所提到的

公理進行證明：2.回憶全等三角形的性質。

己知：如圖，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求證：△ABCgZXDEF.

證明：?.?/A=ND,NB=NE(已知)，

又NA+NB+NC=180°,ND+NE+NF=18()°(三角形內角和等于180°),

AZC=180°-(ZA+ZB),

ZF=180°-(ND+NE),

AZC=ZF(等量代換)。

又BC=EF(已知)，

/.△ARC^ADItF(ASA)。

第二環節：折紙活動探索新知

在提問：“等腰三角形有哪些性質？此前是怎樣探索這些性質的，你能

再次通過折紙活動驗證這些性質嗎？并根據折紙過程，得到這些性質口勺證明

嗎?”口勺基礎上，讓學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程。詳細操作中，

可以讓學生先獨自折紙觀測、探索并寫出等腰三角形的性質，然后再以六人

為小組進行交流，互相彌補局限性。

第三環節：明晰結論和證明過程

在學生小組合作的J基礎上，教師通過度析、提問，和學生一起完畢以上

兩個個性質定理的證明，注意最佳讓兩至三個學生板演證明，其他學生挑選

其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的成果以及詳細證明措施，給學

生明晰證明過程。

（1）等腰三角形日勺兩個底角相等；

（2）等腰三角形頂角H勺平分線、底邊中線、底邊上高三條線重疊

第四環節：隨堂練習鞏固新知

學生自主完畢P4第2題：如圖（圖略），在AABD中,C是BD上的J一點,

且AC_LBD,AC=BC二CD,

（1）求證：4ABD是等腰三角形；

（2）求NBAD的度數。

第五環節：課堂小結

讓學生暢談收獲，包括詳細結論以及其中的I思想措施等，

第六環節：布置作業

書本第4頁習題1.1第2、3題

【板書設計】

1.1等腰三角形（一）

證明：???/A=ND,NB=NE（已知）,

又NA+NB+NC=180°,ZD+ZE+ZF=180°（三角形內角和等于180°）,

/.ZC=180°-（ZA+ZB）,

ZF=180°一（ND+NE）,

AZC=ZF（等量代換）。

又BC=EF（己知）,

AAABC^ADEF(ASA)o

【教學反思】

第二課時

【教學目的】

1.知識與技能

深入熟悉證明日勺基區環節和書寫格式，體會證明的必要性。

2.過程與措施

讓學生深入體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步口勺演繹

邏輯推理的能力。

3.情感態度與價值觀

體驗數學活動中的探索與發明，感受數學的嚴謹性，

【教學重點】

用面積法驗證勾股定理。

【教學難點】

用綜合法證明有關三角上和等腰三角形R勺某些結論。

【教學過程】

教學過程教學隨筆

第一環節：提出問題，引入新課

在回憶上節課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：

在等腰三角形中作出某些線段（如角平分線、中線、高等），你能發現其中一

第二環節：自主探究

在等腰三角形中自主作出某些線段（如角平分線、中線、高等），觀測其

中有哪些相等H勺線段，并嘗試給出證明。

你也許得到哪些相等的線段？

你怎樣驗證你的猜測？

你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；

還可以有哪些證明措施？

通過學生口勺自主探究和同伴日勺交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗

證的基礎上探究出：

等腰三角形兩個底角的平:分線相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中線相等.

并對這些命題予以多樣B勺證明。

如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等“，學生得到了下面的I證明措

施：

已知：如圖,在△ABC中，AB知C,BD、CE是AABC的角平分線.

求證：BD=CE.

證法1：VAB=AC,

，NABONACB（等邊對等角）.

VZ1=1ZABC,Z2=|ZABC,

AZ1=Z2.

在ABDC和ACEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

???BD-CE（全等三角形的J對應邊相等）

證法2；證明；VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB.

又???/3二/4.

在△ABC和△ACE中，

Z3=Z4,AB=AC,NA=NA.

r.AABD^AACE（ASA）.

.?.BD=CE（全等三角形淤J對應邊相等）.

第三環節：經典例題變式練習

提請學生思索，除了角平分線、中線、高等特殊H勺線段外，還可以有哪

些線段相等？并在學生思索的基礎上，研究書本“議一議”：

在書本圖1—4的等腰三角形ABC中，

⑴假如NABD。ZABC,NACE】NACB呢？由此，你能得到一種什么結

JT

論？

（2）假如AD=|AC,AE《AB,那么BD二CE嗎？假如AD-|AC,AE=|AB呢？

由此你得到什么結論？

第四環節：拓展延伸，探索等邊三角形性質

提請學生在上面等要三角形性質定理的基礎上，思索等邊三角形的特殊

性質；等邊三角形三個內角都相等并旦每個內角都等于60°.

已知：在AABC中，AB=BC=AC.

求證：NA=NB=NC=60°.

證明：在AABC中，:AB=AC,???NB=NC（等邊對等角）.

同理：NC=NA,AZA=ZB=ZC（等量代換）.

又???NA+NB+NC=18（r（三角形內角和定理），???NA=NB=NC

=60n.

學生一般都能得到這些定理的證明，能規范地寫出對于“等邊三角形三

個內角都相等并且每個內角都等于6（）。”的證明過程：

第五環節：隨堂練習及時鞏固

在探索得到了等邊三角形的性質U勺基礎上，讓學生獨立完畢如下練習。

L如圖，已知AABC和MDE都是等邊三角形.及

求證:AE=C【）

活動意圖：在鞏固等邊三角形H勺性質的同步，深入掌握粽合證明法的基

本規定和環節，規范證明的書寫格式。

第六環節：探討收獲課時小結

本節課我們通過觀測探索、發現并證明了等腰三角形中相等的線段，并

由特殊結論歸納出一般結論，

第七環節：布置作業

書本第7頁習題1.2第2、3題

【板書設計】

1.2等腰三角形（二）

已知：在△ABC中，AB=BC=AC.

求證：ZA=ZB=ZC=60°.

證明；在AABC中，TRB=AC,,NB=NC（等邊對等角）.

同理：ZC=ZA,AZA=ZB=ZC（等量代換）.

又???NA+NB+NC=18（）°（三角形內角和定理），???NA=NB=NC=60°.

【教學反思】

第三課時

【教學目的】

1.知識與技能

探索等腰三角形鑒定定理。

2.過程與措施

理解等腰三角形H勺鑒定定理,并會運用其進行簡樸的證明。

3.情感態度與價值觀

培養學生的逆向思維能力。

【教學重點】

理解等腰三角形日勺鑒定定理。

【教學難點】

理解反證法口勺基本證明思緒，并能簡樸應用。

【教學過程】

教學過程教學隨筆

第一環節：復習引入

通過問題串回憶等腰三:角形日勺性質定理以及證明的）思緒，規定學生獨立

思索后再進交流。

問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分

別是什么？

問題2.我們是怎樣證明上述定理的？

問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成上么？假如一種三角

形有兩個角相等，那么這兩個角所對1向邊也相等？

第二環節：逆向思索，定理證明

教師：上面，我們變化問題條件，得出了諸多類似的

結論，這是研究問題的一種常用措施，除此之外，我們還A

可以“反過來”思索問題，這也是獲得數學結論的一條途A

徑.例如“等邊對等角”，反過來成立嗎？也就是：有兩個/\

角相等依J三角形是等腰三角形嗎？/\

［生］如圖，在△ABC中，NB=/C,要想證明AB=AC,/\

只要構造兩個全等於J三角形，使AB與AC成為對應邊就可BC

以了.

［師］你是怎樣想到的？

［生］由前面定理的證明獲得啟發，例如作BC的中線，或作A的平分線,

或作BC上日勺高，都可以把4ABC提成兩個全等的三角形.

［師］很好.同學們可在練習本上嘗試一下與否如此，然后分組討論.

［生］我們組發現，假如作BC的中線，雖然把aABC提成了兩個三角形，

但無法用公理和已證明的定理證明它們全等.由于我們得到的條件是兩個三

角形對應兩邊及其一邊H勺對題分別相等，是不可以判斷兩個三角形全等

H勺.后兩種措施是可行的.

［師］那么就請同學們任選一種措施按規定將推理證明過程書寫出

來.（教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評）

（證明略）

［師］我們用“反過來”思索問題，獲得并證明了一種非常重要日勺定理一

一等腰三角形H勺鑒定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理

可以簡樸論述為：等角對等邊.我們不僅發現了幾何圖形的I對稱美，也發現

了數學語言的對稱美.

第三環節：鞏固練習

將書中的隨堂練習提前到此，是為了及時鞏固鑒定定理。引導學生進行

分析。

己知：如圖,NCAE是△ABCH9外角，AD〃BC且N1=N2.

求證：AB=AC.

證明：???AD〃BC,/

???（兩直線平行，同位角相等）,A/1一0

N2=NC（兩直線平行，內錯角相等）./\

又???N1=N2,???NB=NC./\

???AB=AC（等角對等邊）./\

第四環節：適時提問導出反證法BC

我們類比歸納獲得一種數學結論，“反過來”思索問題也獲得了一種數

學結論.假如否認命題口勺條件，與否也可獲得一種數學結論嗎？我們一起來

“想一想”：

小明說，在一種三角形中，假如兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊

也不相等.你認為這個結論成立嗎?假如成立，你能證明它嗎？

有學生提出：“我認為這個結論是成立歐I.由于我畫了幾種三角形，觀

測并測量發現，假如兩個角不相等，它們所對日勺邊也不相等.但要像證明“等

角對等邊”那樣卻很難證明，由于它的條件和結論都與否認的.”確實如此.像

這種從正面人手很難證明的結論，我們有無別的J證明思緒和措施呢？

我們來看一位同學的想法：

如圖，在AABC中，已知NBrNC,此時AB4

與Ac要么相等，要么不相等./\

假設AB=AC,那么根據“等邊對等角“定理可/\

得NC=NB,但已知條件是NB#NC."NC=NB"/\

與已知條件“NBWNC”相矛盾，因此ABWAC/________________\

你能理解他的推理過程嗎？

再例如，我們要證明AABC中不也許有兩個直角，也可以采用這位同學

的證法，假設有兩個角是直角，不妨設NA=90°,NB=90°,可得NA+N

B=180°,但△ABNA+NB+NC=180°,“NA+NB=180°”與“NA+NB+N

C=180°”相矛盾?，因此aABC中不也許有兩個直角.

引導學生思索：上一道面口勺證法有什么共同的特點呢？引出反證法。

都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證

明過時定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立.這也是證明命題的一種

措施，我們把它叫做反證法.

接著用“反過來”思索問題的措施獲得并證明了等腰三角形口勺鑒定定理

”等角對等邊“，最終結合實例理解了反證法日勺含義.

第五環節：拓展延伸

活動過程與效果：在一節課結束之際，為培養學生思維的綜合性、靈

活性特安排了2個練習。一種是通過平行線、角平分線鑒定三角形的形狀，

再通過線段的轉換求圖形的周長。另一種是一種開放性口勺間圾，考察學生多

角度多維度思索問題日勺能力。學生在獨立思索的J基礎上再ZI、組克流。

1.如圖，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN〃BCC=18,

求△AMN的周長.BC

2.既有等腰三角形紙片，假如能從種角U勺頂點出發

開成兩塊等腰三角形紙片，問此時的等腰三角形H勺頂角臥J度數?

第六環節：課堂小結

（1）本節課學習了哪些內容？

（2）等腰三角形的鑒定措施有哪幾種？

（3）結合本節課時學習，談談等腰三角形性質和鑒定的區別和聯絡.

（4）舉例談談用反證法說理H勺基本思緒

第七環節：布置作業

【板書設計】

1.1等腰三角形（三）

已知:如圖,NCAE是aABC的外角,AD〃BC且N1=N2.

求證：AB=AC.

證明：???AD〃BC,

???N1=NB（兩直線平行，同位角相等）,

N2=NC（兩直線平行，內錯角相等）.

又???/l=N2,AZB=ZC.

???AB=AC（等角對等邊）.

【教學反思】

第四課時

【教學目的】

1.知識與技能

理解等邊三角形的鑒別條件及其證明，理解具有30°角的直角三角形性質及其證明，并能運

用這兩個定理處理某些簡樸的問題。

2.過程與措施

經歷運用幾何符號和圖形描述命題H勺條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維。

3.情感態度與價值觀

在數學活動中獲得成功日勺體驗，鍛煉克服困難日勺意志，建立自信心。

【教學重點】

等邊三角形鑒定定理H勺發現與證明。

【教學難點】

理解反證法的基本證明思緒，并能簡樸應用。

【教學過程】

教學過程教學隨筆

第一環節：提問問題，引入新課

教師回憶前面等腰三角形口勺性質和鑒定定理的基礎上，直接提出問題：

等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢？又怎樣鑒別一種

三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。

開門見山，引入新課，同步回憶，也為后續探索提供了鋪墊。

（教師應給學生自主探索、思索的時間）

第二環節：自主探索

學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結

論，教師適時規定學生給出相對規范的證明，概括出等邊三角形的鑒別條件,

并引導學生總結出下表：

性質鑒定的條件

等腰三角形等邊對等角等角對等邊

（含等邊三“三線合一”即等腰有一角是60。

角形）三角形頂角平分線，

底邊上的中線、高互

相重疊

等邊三角形三個角三個角都相等日勺

都相等，且每個角都三角形是等邊三

是60。角形

經歷定理的探究過程，即明確有關定理，同步提高學生的自主探究能力.

第三環節：實際操作提出問題

活動內容：教師直接提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研

究一種特殊H勺直角三角形：含30。角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

用含30。角的兩個三角尺，你能拼成一種怎樣的I三角形?能拼出一種等邊

三角形嗎？

在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有哪些線段存

在倍數關系，你能得到什么結論？說說你的理由.

讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發現結論：在直角三角形中，假如一種

銳角等于3（）。，那么它所對H勺直角邊等于斜邊的二分之一.

定理：在直角三角形中，假如一種銳角等于30°,那么它所對H勺直角邊

等于斜邊的二分之一.

已知：如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

求證：BC=5AB.

分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發，延長BC至D,使CD=BC,

連接AD.

證明：在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°.

延長BC至D,使CD=BC,連接AD（如

圖所示）.

?IZACB=90°Z.ZACB=90°

VAC=AC,.,.△ABC^AADC（SAS）.

???AB二AD（全等三角形的對應邊相等）.

???△ABD是等邊三角形（有一種角是60°

的等腰三角形是等邊三角形）.

?\BC=5BD=^AB.

第四環節：變式訓練鞏固新知

直接提請學生思索剛剛命題口勺逆

命題：在直角三角形中，假如一條直

角邊等于斜邊日勺二分之一，那么這條直角邊所對的銳角等于3()。嗎?假如是,

請你證明它.

在師生分析的基礎上，給出證明：

己知：如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=1AB.

求證：ZBAC=30°

證明：延長BC至D,使CD=BC,連接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

又?..AC;AC.AA

AAACB^AACD(SAS).A/I

AAB=AD.//

VCD=BC,ABC=|BD./A

又：BC乏AB,AAB=BD.

BB

AAB=AD=BD,

即4ABD是等邊三角形.

/.ZB=60°.在RlZXABC中，ZBAC=30°.

展現例題，在師生分析的基礎I；,運用所學日勺新定理解答例題。

等腰三角形H勺底角為15。，腰長為2a,求腰上的高CDH勺長.

分析?：觀測圖形可以

發目前RtAADC中，—

AC=2a而ZDAC是△

ABC日勺一種外角，而N\

DAC=xi5°=30°,根據在

直角三角形中，30。角所對BC

的直角邊是斜邊的二分之

一，可求出CD.

解：VZABC=ZACB=15°

???ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°

，CD=1AC=1、2a=a(在直角三角形中，假如一種銳角等于30。，那么

它所對的直角邊等于斜邊的二分之一).

第五環節：暢談收獲課時小結

讓學生對課堂學習進行小結，注意總結詳細日勺知以、結論，以及處理問

題的措施和蘊含其中口勺思想，如分類討論思想、逆向思維等。

第六環節：布置作業

【板書設計】

*licBDC

(1)⑵

1.1等腰三角形(四)

己知：如圖，在RtZ\ABC中，NO90。，BC=|AB.

求證：ZBAC=30°

證明：延長BC至D,使CD=BC,連接AD./

VZACB=90°,/.ZACD=90°./

又???AC=AC./

BCD

???△ACBg△ACD(SAS).

AAB=AD.

VCD=BC,???BC=1BD.

XVBC=|AB,.??AB=BD.

AAB=AD=BD,

即AABD是等邊三角形.

AZB=60°.在RtZXABC中，ZBAC=30°.

【教學反思】

1.2直角三角形

【教學目的】

1.知識與技能

（1）掌握直角三角形R勺性質定理（勾股定理）及鑒定定理的證明措施，并能應用定理處

理與直角三角形有關的I問題。

（2）結合詳細例子理解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，懂得原命題成立，其逆命

題不一定成立。

2.過程與措施

（1）深入經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發

展抽象思維.

（2）深入掌握推理證明的措施，發展演繹推理的能力。

3.情感態度與價值觀

體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的親密聯絡，激發學生學數學、用

數學的愛好。

【教學重點】

掌握百角二角形附性質定理（勾股定理）及鑒定定理FJ訐明措施.

【教學難點】

應用定理處理與直角三角形有關的問題。

【教學措施】

講授法

【課時安排】

2課時

第一課時

【教學目的】

1.知識與技能

掌握直角三角形H勺性質定理（勾股定理）及鑒定定理H勺證明措施。

2.過程與措施

深入經歷用幾何符號和圖形描述命題H勺條件和結論的過程，建立初步口勺符號感，發展抽象思

維。

3.情感態度與價值觀

在數學活動中獲得成功U勺體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

【教學重點】

掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及鑒定定理的證明措施。

【教學難點】

結合詳細例子理解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，懂得原命題成立，其逆命題不一定

成立。

【教學過程】

教學過程教學隨筆

第一環節：創設情境，引入新課

通過問題1,讓學生在處理問題口勺同步，回憶直角三角形的一般性質。

［問題I］一種直角三角形房梁如圖所示，其中BC±AC,NBAO30。，

AB=10cm,CBilAB,B|CJ_AC”垂足分別是Bi、Ci，那么BC口勺長是多

少？BCi呢？

解；在RtZXABC中，ZCAB=30°，AB=l（）cm,

；?BC=；AB=；X10=5cm.

VCBilAB,???NB+NBCBi=90。

又???/A+/B=90。

AZBCBi=NA=30。

在RtZ\ACBi中，BBI=TBC=1X5=

???ABl=AB=BBi=10—2.5=7.5(cm).

???在RtZ\C]ABi中，ZA=300

ABICIAB[=：x7.5=3.75(cm).

處理這個問題，重要運用了上節課已經證明的“30。角的直角三角形時

性質”.由此提問：“一般日勺直角三角形具有什么樣的性質呢？”從而引入勾

股定理及其證明。

教材中曾運用數方格和割補圖形的措施得到了勾股定理.假如運用公理

及由其推導出H勺定理，可以證明勾股定理嗎？

請同學們打開書本P18,閱讀“讀一讀”，理解一下運用教科書給出的公

理和推導出H勺定理，證明勾股定理H勺措施.

第二環節：講述新課

閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明措施，著重討論第一種,

第二種措施請有愛好的同學課后閱讀.

(1).勾股定理及其逆定理曰勺證明.

已知如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證a2+b2=c2.

證明延長CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,并取BE=c,連接

ED、AE(如圖)，MAABC^ABED.

???NBDE=90。，ED=a(全等三角形臥J對應角相等,

對應邊相等).

???四邊形ACDE是直角梯形.

，S梯形ACDE=3(a+b)(a+b)=1(a+b)2.

/.ZABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°

900=90。,

AB=BE.

.*.SAABE=^C2

VS梯形ACDE=SAABE+S^ABC+S^

E

BED，

.**2(a+b)2=c2+|ab+ab.

即;a2+ab+3c?+ab.D

Aa2+b2=c2

教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結論，

并強調.詳細如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的I平

方.

反過來，假如在一種三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，

我們曾用度量口勺措施得出“這個三角形是直角三角形'坪J結論.你能證明此結

論嗎？

師生共同來完畢.

已知：如圖：在AABC中，AB2+AC2=

BC2

求證：AABC是直角三角形.

分析：要從邊H勺關系，推出NA=90°是

不輕易的J,假如能借助于△ABC與一種直角三角形全等，而得到NA與對應

角（構造H勺三角形的直角）相等，可證.

證明：作作,使NA，=90°,A'B'=AB,AC、AC（如圖）,

則AB2+A（，2.（勾股定理）.4

VAB2+AC2=BC2,A'B'=AB,AC

BC2=BV2/

ABC=BVZ_________

BC

AAABC^AA'BV（SSS）

???NA=NA，=90°（全等三角形R勺對應角相等）.

因此，AABC是直角三角形.

總結得勾股逆定理：假如三角形兩邊口勺平方和等于第三邊的平方，那么

這個三角形是直角三角形.

（2）.互逆命題和互逆定理.

觀測上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的學

習中尚有類似日勺命題嗎？

通過觀測，學生會發現：

上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定

理的結論，結論是第二個定理的條件.

這樣口勺狀況，在前面也曾碰到過.例如“兩直線平行，內錯角相等“，互

換條件和結論，就得到“內錯角相等，兩直線平行又如“在直角三角形中，

假如一種銳角等于30。，那么它所對的直角邊就等于斜邊的二分之一”.互換

此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，假如一條直角邊等于斜邊的

二分之一，那么這條直角邊所對的銳角等于30。”。

第三環節：議一議

觀測下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最終在教師的引導下得

出命題與逆命題的區別與聯絡。

讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區別與聯絡，要可以清晰地

分別出一種命題的題設和結論，可以將一種命題寫出“假如……：那么……”

的形式，以及可以寫出一種命題B勺逆命題。

活動中，教師應注意予以適度H勺引導，學生若出現語言上不嚴謹時，要

先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結。活動時可以先讓學生觀測下面

三組命題：

假如兩個角是對頂角，那么它們相等.

假如兩個角相等，那么它們是對頂角.

假如小明患了肺炎，那么他一定發熱.

假如小明發熱，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的邊所對的角相等.

三角形中相等的角所對的邊相等.

上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?與同伴交流.

不難發現，每組第二個命題的條件是第一種命題的結論，第二個命題的

結論是第一種命題口勺條件.

在兩個命題中，假如一種命題條件和結論分別是另一種命題U勺結論和條

件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一種命題稱為另一和命題的逆命題,

相對于逆命題來說，另一種就為原命題.

再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，假如稱每組的第

一種命題為原命題，另i種則為逆命撅.請同學們判斷每組原命題時真假.逆

命題呢？

在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.

在第三組中，原命題和逆命題都是真命題.

由此我們可以發現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.

第四環節：想一想

要寫出原命題的逆命題，需先弄清晰原命題的條件和結論，然后把結論

變換成條件，條件變換成結論，就得到了逆命題.

請學生寫出命題“假如兩個有理數相等，那么它們口勺平方相等”的逆命題

嗎?它們都是真命題嗎？

從而引導學生思索：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎？并通

過詳細的實例闡明。

假如有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們

為互逆定理.

其中逆命題成為原命題(即原定理)H勺逆定理.

能舉例說出我們已學過的互逆定理？

如我們剛證過的J勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內錯角相等”與“內

錯角相等，兩直線平行”.“全等三角形對應邊相等”和“三邊對應相等U勺三角

形全等,,、“等邊對等角,，和“等角對等邊,，等.

第五環節：隨堂練習

說出下列命題H勺逆命題，并判斷每對命題的真假；

(1)四邊形是多邊形；

(2)兩直線平行，內旁內角互補；

⑶假如ab=O,那么a=0,b=0

［分析］互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，

尤其是對以,假如……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題較為輕易，

但對于那些不是以這種形式給出H勺命題，論述其逆命題有一定困難.可先分

析命題的條件和結論，然后寫出逆命題.

解：(1)多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

(2)同旁內角互補，兩直線平行.原命題與逆命題同為正.

(3)假如a=0,6=0,那么ab=0.原命題是假命題，而逆命題是真命題.

第六環節：課時小結

這節課我們理解了勾股定理及逆定理的證明措施，并結合數學和生活中

口勺例子理解逆命題H勺概念，會識別兩個互逆命題，懂得，原命題成立，其逆

命題不一定成立，掌握了證明措施，深入發展了演繹推理能力.

第七環節：課后作業

習題1.5第1、2、3、4題

【板書設計】

1.2直角三角形(一)

已知：如圖，在aABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+b2=c2.

證明：延長CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,并取BE=c,連接ED、AE（如圖），則AABC

^△BED.

Z.ZBDE=90°,ED=a(全等三角形口勺對應角相等，對應邊相等).

???四邊形ACDE是直角梯形.

，S梯形ACDE=￡(a+b)(a+b)=1(a+b)2.

/.ZABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°-90°=90°,

AB=BE.4

.\SAABE=5C2\E

..”\

?S梯形ACDE=SAABE+SAABC+SABED*\

1i

-b+-b

2a2a

11

即2

-a++-

2ab2

【教學反思】

第二課時

【教學目的】

1.知識與技能

可以證明直角三角形全等的“HL”的鑒定定理，深入理解證明H勺必要性。

2.過程與措施

深入經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步日勺符號感，發展抽象思

維。

3.情感態度與價值觀

深入掌握推理證明的措施，發展演繹推理能力。

【教學重點】

可以證明直角三角形全等的“HL”的鑒定定理。

【教學難點】

深入理解證明的必要性。

【教學過程】

教學過程教學隨筆

第一環節：復習提問

1.判斷兩個三角形全等的措施有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一種直角三角形。想一想，怎么畫？同學們

互相交流。

3、有兩邊及其中一邊H勺對角對應相等的兩個三角形全等嗎？假如其中

一種角是直角呢？請證明你的結論。

我們曾從折紙H勺過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的1中線或頂角

的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角“。那么我

們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明”等邊對等角

規定學生完畢，一位學生的過程如下：

已知：在AABC中，AB=AC.

求證：ZB=ZC.

證明：過A作AD_LBC,垂足為C,

.?.ZADB=ZADC=90°

XVAB=AC,AD=AD,

/.△ABD^AACD.

AZB=ZC（全等三角形的對應角相等）

在實際口勺教學過程中，有學生對上述證明措施產生了質疑。質疑點在

于“在證明△ABDsZkACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個

三角形全等”.而我們在前面學習全等的時候懂得,兩個三角形，假如有兩

邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的.可以畫圖闡明.(如

圖所示在ABD和AABC中，AB=AB,ZB=ZB,AC=AD,但4ABD與4

ABC不全等)”.

也有學生認同上述的證明。

教師順水推舟，問詢能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的邊

即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.”，從而引入新課。

第二環節：引入新課

(1).“HL”定理.由師生共析完畢

已知：在RtAABC和RtZkA4TC中，NC-NC=90。，AB=A,B\BC=B,C,.

求證：RtAABC^RtAAB^,

證明：在RtAABC中，AC=AB2—

BC?(勾股定理).

又???在RtAA1B'C中，A'C

=A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理).

AB=AB,BC=B'C,AC=A'C.

ARtAABC^RtAAB'C(SSS).

教師用多媒體演示：

定理斜邊和條直角邊對應相等

R勺兩個直角三角形全等.

這一定理可以簡樸地用“斜邊、直角邊''或“HL”表達.

從而肯定了第一位同學通過作底邊的I

高證明兩個三角形全等，從而得到“等邊對

等角”的證法是對的的I.

練習：判斷下列命題口勺真假，并闡明理

由：

(1)兩個銳角對應相等口勺兩個直角三角

形全等；

⑵斜邊及一銳角對應相等的兩個直角

三角形全等；

(3)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；

(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等H勺兩個直角三角形全

等.

對于(1)、(2)、(3)一股可順利通過，這里教師將講解日勺重心放在了

問題(