溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(十四)正整數指數函數(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.若函數f(x)=(7)x,x∈N+,則f(5)等于()A.77 B.49 C.7 D.57【解析】選B.f(5)=(7)5=497.2.(2022·九江高一檢測)下列函數是正整數指數函數的是()A.y=ax,x∈N+ B.y=-10x,x∈N+C.y=2x D.y=2x,x∈N+【解析】選D.在A中沒有a的范圍,C無定義域,B中10x的系數不是1.【變式訓練】下列函數是正整數指數函數的是()A.y=(2a-1)xB.y=(2a-1)xa>C.y=(2a-1)xa>D.y=(2a-1)xa【解析】選C.A,B中底數均不符合要求,而D中無定義域.3.函數y=12x,x∈N+A.一條上升的曲線B.一條下降的曲線C.一系列上升的點D.一系列下降的點【解題指南】關注定義域N+,明確N+的意義.【解析】選D.由于y=12x中,底數12<1,x∈4.函數y=(a2-3a+3)·ax(x∈N+)為正整數指數函數,則a等于()A.1 B.2C.1或2 D.以上都不對【解析】選B.由正整數指數函數的定義,得a2-3a+3=1,所以a=2或a=1(舍去).【變式訓練】當x∈N+時,函數y=(a-1)x的值總大于1,則實數a的取值范圍是()A.1<a<2 B.a<1C.a>1 D.a>2【解題指南】依據函數在N+上的值總大于1確定a-1的范圍.【解析】選D.在y=(a-1)x中,當x=0時,y=1.而x∈N+時,y>1,則必有a-1>1,所以a>2.5.(2022·西安高一檢測)有容積相等的桶A和桶B,開頭時桶A中有a升水,桶B中無水.現把桶A的水注入桶B,t分鐘后,桶A的水剩余y1=amt(升),其中m為正常數.假設5分鐘時,桶A和桶B的水相等,要使桶A的水只有a8()A.7分鐘 B.8分鐘 C.9分鐘 D.10分鐘【解析】選D.由題意可得,B桶中的水的體積y2=a-amt,由于t=5時,y1=y2,所以由am5=a-am5,可得m5=12再令桶A的水剩余y1=amt=a8,可得mt=123故經過15分鐘,桶A的水只有a8即再經過10分鐘,桶A的水只有a86.(2022·臨汾高一檢測)正整數指數函數y=ax在[1,2]上的最大值與最小值之和為6,則a等于()A.-3 B.2C.-3或2 D.以上均不對【解析】選B.當a>1時,ymax=a2,ymin=a,則a2+a=6.當0<a<1時,ymax=a,ymin=a2,a+a2=6.所以a2+a=6,所以a1=-3,a2=2.由于a>0且a≠1,所以a=2.【誤區警示】易忽視a的范圍而錯選C.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2022·太原高一檢測)正整數指數函數y=(a-1)x,在x∈N+上是增加的,則a的取值范圍是.【解析】由題意知：a-1>1,即a>2.答案：(2,+∞)8.(2022·咸陽高一檢測)已知0<a<1,則函數y=ax-1(x∈N+)的圖像在第象限.【解析】y=ax的圖像在第一象限中x軸上方、直線y=1下方的一個區域內,而y=ax-1的圖像是將y=ax圖像向下平移1個單位,因此,圖像在第四象限.答案：四9.農夫收入由工資性收入和其他收入兩部分構成,已知2022年某地區農夫人均收入為3150元(其中工資收入為1800元,其他收入為1350元),估量該地區自2021年起的5年內,農夫的工資收入將以每年6%的年增長率增長,其他收入每年增加160元.依據以上數據,該地區5年內每年農夫人均收入可以表示為.【解題指南】農夫的工資收入滿足指數型函數,其他收入滿足一次型函數模型.【解析】設自2021年起的第n年農夫的工資收入為y1=1800×(1+6%)n(n=1,2,3,4,5).其他收入為y2=1350+160n(n=1,2,3,4,5),則第n年的收入y=y1+y2=1800×(1+6%)n+1350+160n(n=1,2,3,4,5).答案：1800×(1+6%)n+1350+160n(n=1,2,3,4,5)三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2022·雞西高一檢測)畫出正整數指數函數y=32x(x∈N【解析】列表如下：x123…y=33927…描點：由圖知y=32x(x∈N+)在N+上是增加的,值域為11.(2022·新余高一檢測)某種放射性物質不斷變化為其他物質,每經過1年,剩留的這種物質是原來的84%,假設這種放射性物質最初質量為1.(1)寫出這種物質的剩留量y隨年數x(x∈N+)變化的函數關系式.(2)畫出該函數的圖像.(3)說明該函數的單調性.【解題指南】通過歸納分析,將剩留量y表示成經過年數x的函數,并可列表、描點、作圖,進而求得單調性.【解析】(1)由于這種物質最初的質量是1,經過x年,剩留量是y.經過1年,剩留量y=1×84%=0.841;經過2年,剩留量y=1×84%×84%=0.842;……一般地,經過x年,剩留量y隨年數x變化的函數關系式為y=0.84x(x∈N+).(2)依據這個函數關系式可以列表如下：x123456…y0.840.710.590.500.420.35…用描點法畫出正整數指數函數y=0.84x的圖像(如圖),它的圖像是由一些孤立的點組成的.(3)通過計算和看圖可知,隨著年數的增加,剩留量在漸漸削減,即該函數為減函數.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.下列函數中,正整數指數函數的個數為()①y=1x;②y=-4x;③y=(-8)x;④y=(5)x(x∈N+).A.0B.1C.2【解析】選B.由正整數指數函數的定義知,①②③都不是正整數指數函數,只有④是正整數指數函數.2.(2022·寶雞高一檢測)若函數y=(a2-5a+7)(2a-4)x,x∈N+是正整數指數函數,則a等于()A.2 B.3 C.2或3 D.4【解析】選B.由題意知a2【誤區警示】易毀滅忽視2a-4>0且2a-4≠1這一條件而錯選C.3.某種細菌在培育過程中,每20分鐘分裂一次(1個分裂為2個),這種細菌由1個繁殖成1024個需要的時間是()A.120分鐘 B.160分鐘C.180分鐘 D.200分鐘【解析】選D.依據題意設由1個細菌繁殖成1024個需要分裂x次,則2x=1024=210,所以x=10,又每20分鐘分裂一次,所以需要的時間是20×10=200分鐘.4.已知函數y=a-x(a>0,a≠1,x∈N+)在[2,3]上的最大值與最小值的和為36,則a的值是()A.12 B.1C.13 D.2或【解析】選C.y=a-x=1ax為正整數指數函數,不論1a>1還是0<1a<1都有在區間[2,3]的兩個端點取得最值,所以1a2+1a3=36,即36a3-a-1=0,(27a3-1)+(9a3由于12a2+4a+1>0恒成立,所以3a-1=0,a=13二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2022·杭州高一檢測)已知集合A={x|1<2x<16,x∈N+},B={x|0≤x<3,x∈N},則A∩B=.【解析】由于1<2x<16,x∈N+,即20<2x<24,所以0<x<4,x∈N+,所以x=1,2,3,所以A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}.答案：{1,2}6.(2022·武威高一檢測)若f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,則f(2)f(1)+f(3)f(2)+…+【解析】由于f(a+b)=f(a)·f(b),所以f(a+b)所以f(2)f(1)=f(1)=2,f(3)f(2)=f(1)=2,所以f(2)f(1)+f(3)f(2)+…+答案：4024三、解答題(每小題12分,共24分)7.在正整數指數函數y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)中,分別求滿足下列條件的a的取值范圍.(1)若y=ax在x∈N+上是削減的,求a的取值范圍.(2)若ax≥a,x∈N+,求a的取值范圍.【解析】(1)由于y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)在x∈N+上是削減的,所以由正整數指數函數的性質知0<a<1.(2)由于ax≥a1,x∈N+,可知y=ax(x∈N+)在N+上是增加的,所以a>1.【拓展延長】正整數指數函數y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)的單調性的應用技巧(1)正用：若a>1,則函數y=ax是增加的,若0<a<1,則函數y=ax是削減的.(2)逆用：若函數y=ax在x∈N+上是增加的,則a>1;若函數y=ax在x∈N+上是削減的,則0<a<1.(3)其他用：依據正整數指數函數的單調性可以比較指數的大小或求函數的值域或求參數的取值范圍.8.某林區2022年木材蓄積200萬立方米,由于實行了封山育林、嚴禁采伐等措施,使木材蓄積量的年平均增長率能達到5%.(1)若經過x年后,該林區的木材蓄積量為y萬立方米,求y=f(x)的表達式,并求此函數的定義域.(2)求經過多少年后,林區的木材蓄積量能達到300萬立方米?【解題指南】在解(2)問時可以實行估算的方式求結果.【解析】(1)現有木材蓄積量為200萬立方米,經過1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%).經過2年后木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2.所以經過x年后木材蓄積量為200(1+5%)x,所以y=f(x)=200