矩陣的概念矩陣的概念矩陣在科學(xué)計(jì)算和日常生活中經(jīng)常用到，首先看幾個(gè)例子：設(shè)有線性方程組：【例2-1】該方程組中每個(gè)方程的未知量x1，x2，x3，x4的系數(shù)及等號(hào)右端的常數(shù)項(xiàng)按方程組中的順序可以組成一個(gè)4行5列的矩形數(shù)表,如下：這個(gè)矩形數(shù)表決定了該方程組是否有解，以及如果有解，解是什么等問(wèn)題．因此，對(duì)線性方程組的研究就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)這個(gè)矩形數(shù)表的研究．

考慮產(chǎn)品的調(diào)運(yùn)問(wèn)題．設(shè)某種產(chǎn)品有3個(gè)產(chǎn)地A1，A2，A3和4個(gè)銷地B1，B2，B3，B4，且從產(chǎn)地Ai（i=1,2,3）到銷地Bj（j=1,2,3,4）的調(diào)運(yùn)方案如表2-1所示.【例2-2】則表中的數(shù)據(jù)按照原有位置可組成一個(gè)矩形數(shù)表：該數(shù)表簡(jiǎn)明地描述了從每個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往每個(gè)銷地的產(chǎn)品數(shù)量，我們可以稱其為產(chǎn)品的供銷矩陣．已知某廠生產(chǎn)m種產(chǎn)品需要n種材料．假設(shè)生產(chǎn)第i種產(chǎn)品（i=1，2，…，m）所需第j種材料（j=1，2，…，n）的數(shù)量為aij，則該廠生產(chǎn)過(guò)程中的耗材數(shù)量可以用一個(gè)矩形數(shù)表表示：【例2-3】這個(gè)數(shù)表描述了生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)出的產(chǎn)品與投入的材料之間的數(shù)量關(guān)系．由上述例子可以看出，這種矩形數(shù)表在現(xiàn)代管理、自然科學(xué)等領(lǐng)域中是會(huì)經(jīng)常遇到的，其被稱為矩陣．定義2-1將m×n個(gè)數(shù)aij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形數(shù)陣（為了標(biāo)明這是一個(gè)整體，將其括以圓括號(hào)）（2-1）稱為一個(gè)m行n列矩陣，或者簡(jiǎn)稱為m×n矩陣，在不發(fā)生混淆的情況下，也簡(jiǎn)稱為矩陣.通常用大寫黑體字母A,B,C,…或(aij

),(bij

),(cij),…表示矩陣.矩陣的行數(shù)、列數(shù)標(biāo)明了矩陣的形狀.于是，有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的形狀，也將m×n矩陣記為Am×n,Bm×n,Cm×n,…或(aij)m×n

,(bij)m×n,(cij)m×n

,….這樣可以將上面式（2-1）的矩陣簡(jiǎn)記為A=(aij)m×n，數(shù)aij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）稱為矩陣的第i行第j列元素.要注意矩陣符號(hào)與行列式符號(hào)的區(qū)別.當(dāng)矩陣的元素均為實(shí)數(shù)時(shí)，稱其為實(shí)矩陣；當(dāng)元素均為復(fù)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)矩陣為復(fù)矩陣.本書中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，矩陣都是指實(shí)矩陣，并且將實(shí)數(shù)域上的所有m×n矩陣的集合記為Mm×n(R).當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等，即m=n時(shí)，稱這個(gè)n×n矩陣為n階方陣或n階矩陣.將實(shí)數(shù)域上的所有n階方陣的集合記為Mn(R).提示下面給出幾種特殊形式的矩陣.所有元素均為0的m×n矩陣稱為零矩陣，記為Om×n.在不發(fā)生混淆情況下，也可以簡(jiǎn)記為O.將1行n列的矩陣(a1,a2,…,an)稱為行矩陣或行向量.這里我們?cè)谠刂g加了逗號(hào)，主要是為了避免發(fā)生混淆.將m行1列的矩陣稱為列矩陣或列向量.通常用黑體希臘字母α,β,…表示列矩陣（向量），而用αT,βT,…表示行矩陣（向量）.在本書中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，涉及的向量均指列向量.對(duì)于一個(gè)n階方陣將a11,a22,…,ann

所在的那條對(duì)角線稱為矩陣A的主對(duì)角線，而另外一條對(duì)角線稱為矩陣A的副對(duì)角線，即a1n,a2,n－1,…,an1所在的對(duì)角線.將主對(duì)角線以下都是0的n階方陣稱為n階上三角矩陣，即當(dāng)i>j時(shí)，aij=0，也就是形如（2-2）的矩陣.將主對(duì)角線以上都是0的n階方陣稱為n階下三角矩陣，即當(dāng)i<j時(shí)，aij=0，也就是形如的矩陣.（2-3）對(duì)于上（下）三角矩陣，對(duì)角線下（上）方的元素必為0，而其他位置的元素可以為0，也可以不為0.提示將除了主對(duì)角線以外元素全為0的n階方陣稱為n階對(duì)角矩陣，即形如的矩陣，通常將這個(gè)對(duì)角矩陣簡(jiǎn)記為（2-4）顯然，對(duì)角矩陣既是上三角矩陣，又是下三角矩陣.特別地，當(dāng)對(duì)角矩陣的對(duì)角線上的元素都相等，則稱這個(gè)矩陣為n階標(biāo)量矩陣；更特別地，對(duì)角矩陣的對(duì)角線上的元素都等于1，則稱這個(gè)矩陣為n階單位矩陣，簡(jiǎn)記為En，在