分部積分法第四節(jié)、分部積分法前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計(jì)算問(wèn)題，但有些積分，如∫xexdx,∫xcosxdx等，利用換元積分法就無(wú)法求

解.本節(jié)要介紹另一種基本積分法——分部積分法.設(shè)函數(shù)u=ux,v=vx具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則兩個(gè)函數(shù)乘積的微分公式為duv=udv+vdu,移項(xiàng)，得udv=duv－vdu.兩邊積分，得∫udv=uv－∫vdu（4-14）或∫uv′dx=uv－∫u′vdx.（4-15）公式（4-14）或公式（4-15）稱(chēng)為分部積分公式.利用分部積分公式可以把比較難求的∫udv轉(zhuǎn)化為比較易求的∫vdu來(lái)計(jì)算，達(dá)到化難為易的目的.用分部積分公式求不定積分的方法稱(chēng)為分部積分法.當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類(lèi)型函數(shù)的乘積時(shí)，往往需要用分部積分法來(lái)解決.下面通過(guò)例子說(shuō)明如何運(yùn)用這個(gè)重要公式.第四節(jié)、分部積分法

求∫xexdx.

解

現(xiàn)用分部積分法求該不定積分.但是怎樣選擇u和dv呢？如果設(shè)u=x,dv=exdx，那么du=dx,v=ex，代入分部積分公式，得∫xexdx=∫xdex=xex－∫exdx=xex－ex+C.上式右端的不定積分比原不定積分更不易求出.【例1】第四節(jié)、分部積分法由此可見(jiàn)，如果u和dv選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取u和dv是關(guān)鍵.通常選擇順序是：對(duì)反冪三指（對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)），兩者之間排在前面的設(shè)為u.第四節(jié)、分部積分法

求∫xsinxdx.解由于冪函數(shù)在“前”,三角函數(shù)在“后”,故設(shè)u=x,dv=sinxdx，所以∫xsinxdx=∫xd－cosx=－xcosx+∫cosxdx=－xcosx+sinx+C.【例2】第四節(jié)、分部積分法

求∫x2lnxdx.

解

冪函數(shù)在“后”,對(duì)數(shù)函數(shù)在“前”，故設(shè)u=lnx,dv=x2dx，所以∫x2lnxdx=∫lnxd13x3=13x3lnx－13∫x3dlnx=13x3lnx－13∫x2dx分部積分法運(yùn)用熟練后，選取u,dv的步驟不必寫(xiě)出.【例3】第四節(jié)、分部積分法

求∫arctanxdx.

例4說(shuō)明，如果被積函數(shù)只有一個(gè)函數(shù)，且不能用基本積分公式直接求出，可以考慮設(shè)被積函數(shù)為u,此時(shí)dv=dx，利用分部積分法求解.【例4】第四節(jié)、分部積分法

例5說(shuō)明，有些不定積分用一次分部積分法不能解出來(lái)，可以多次使用分部積分法.【例5】第四節(jié)、分部積分法

例6說(shuō)明，有的不定積分不能直接求出，但可以通過(guò)兩次分部積分得一個(gè)關(guān)于不定積分的方程，從而解得不定積分.【例6】第四節(jié)、分部積分法

到目前為止，前面介紹了求不定積分的三種最基本的方法，記住方法本身固然重要，但更重要的是能夠靈活地運(yùn)用它們求解不同類(lèi)型的題目.同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)注意到某些不定積分的求