第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區高三上學期期末考試數學試卷一、單選題：本大題共10小題，共40分。1.已知全集U=x?2≤x≤2，集合A={x0<x<1}，則A.?2,0 B.?2,0∪1,2 C.1,2 2.在復平面內，復數1+ii對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知拋物線C:y2=2px(p>0).若其焦點到準線的距離為4，則拋物線C的焦點坐標為A.?2,0 B.1,0 C.2,0 D.4,04.函數y=2sin2x+π6A.?π12,0 B.?π6,05.“m>n>1”是“logmn<1”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知圓C:x2+y2=9，過點M1,2的直線l與圓C交于A,B兩點．當A.x=1 B.x?2y=0 C.x+2y?5=0 D.x+2y?3=07.沙漏是一種古代計時儀器．如圖，某沙漏由上下兩個相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的23，則這些細沙的體積為(

)

A.83πcm3 B.163πc8.若函數f(x)=2x+1?m,x≤0(x?1)lnx,x>0A.?2,?1 B.(0,1) C.1,2 D.1,29.“三分損益法“是古代中國發明制定音律時所用的方法，現有一古琴是以一根確定長度的琴弦為基準，第二根琴弦的長度是第一根琴弦長度的23，第三根琴弦的長度是第二根琴弦長度的43，第四根琴弦的長度是第三根琴弦長度的23，第五根琴弦的長度是第四根琴弦長度的43A.1627 B.32 C.9810.設an是無窮數列，若存在正整數k使得對任意n∈N?，均有an+k<an，則稱①若an=9②若an=n??2③若an=?n2+sinn其中所有正確結論的序號是(

)A.① B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.在(2?x)4的展開式中，x的系數為

.(用數字作答12.雙曲線C:x24?y2=1的漸近線方程是

；設F1,F2是雙曲線C的兩個焦點，點P13.使不等式cosθ>sinθ>tanθ成立的一個θ14.已知O為?ABC所在平面內一點，滿足OA+OB+OC=0，且OA=2,OB=3，OC=4，設θ為向量OA,15.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在線段AC1上(不與A,①BC⊥平面EFG；②線段EF與線段FG的長度之和為定值；③?EFG面積的最大值為14④線段EG長度的最小值為2其中所有正確的結論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.在?ABC中，asin2C=c(1)求∠C；(2)若c=7，再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使?ABC存在，求條件①：a+b=4；條件②：sinB?sinA=注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17.隨著科技的飛速發展，人工智能已經逐漸融人我們的日常生活．在教育領域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現從某地區隨機抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統計如下：使用AI大模型的種數性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統計使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計概率．(1)從該地區教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種AI大模型(A、B、C、D中)的概率；(2)從該地區使用3種AI大模型(A、B、C、D中)的教師中，隨機選出3人，記使用B的有X人，求X的分布列及其數學期望EX(3)從該地區男，女教師中各隨機選一人，記他們使用AI大模型(A、B、C、D中)的種數分別為Y,Z，比較Y,Z的數學期望EY,EZ的大?。?8.如圖，在五面體ABCDPQ中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=4，AB=3，E,G分別為BQ,AP的中點，連接DG,EG,CE．(1)求證：AP⊥平面DCE；(2)求直線CP與平面DCE所成角的正弦值；(3)線段BC上是否存在點M，使得CP//平面DGM？若存在，求BMBC的值；若不存在，說明理由．19.已知函數fx=xnex?1(1)當n=0時，求曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線方程；(2)求fx的極值．20.已知橢圓E:x2a2+y(1)求橢圓E的方程；(2)過原點O且與y軸不重合的直線l與橢圓E交于M,N兩點．已知點P0,2，直線PM,PN與橢圓E的另一個交點分別為A,B.證明：直線AB過定點．21.已知無窮數列an，給定正整數m，若數列an滿足以下兩個性質，則稱an為Pm數列：(1)已知an和bn分別為P2數列和P3數列，且a1(2)已知正整數數列an是P(i)無窮數列cn滿足cn=an2dn且(ii)求滿足條件的m，并寫出與m對應的a1所有可能取值．

參考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.B

8.D

9.D

10.B

11.?32

12.y=±12x

；

；

；13.7π4(答案不唯一14.14/0.25

；

；

；

；

15.①②④

16.(1)因為asin所以2asin由正弦定理得2sin又sinA≠0,sinC≠0又0<C<π，所以C=π(2)選條件①：根據余弦定理有b2+a又a+b=4，則b2兩式相減，解得ab=3.可得a=3b=1或所以S?ABC選條件②：由(1)知B=2π3?A所以sin(A?選條件③：因為cosA=5714由正弦定理可知a=c又sinB=所以S?ABC

17.(1)記事件M為“從該地區教師中隨機選取一人，至少使用兩種AI大模型”，則估計PM(2)記事件N為“從該地區使用3種AI大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型B”，根據題中數據，PNX的可能取值為0,1,2,3，PX=0PX=1PX=2PX=3X的分布列為X0123P192727EX(3)由題意可得該地區男，女教師人數分別為：80和120，則易求EYEZ=0×6

18.(1)因為PD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD，所以PD⊥CD．又因為CD⊥AD,AD∩PD=D，AD,PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AP?平面PAD，所以CD⊥AP．又因為AD=DP,G為線段AP的中點，所以AP⊥DG．因為PQ//CD,AB//CD，所以PQ//AB．因為E,G分別為線段BQ,AP的中點，所以EG//AB．又CD//AB，所以EG//CD.即C,D,G,E四點共面．又CD∩DG=D,DG?平面DCE,CD?平面DCE，所以AP⊥平面DCE．(2)因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD,PD⊥DC．又AD⊥CD，所以DA,DC,DP兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系D?xyz．于是A4,0,0可得AP由(1)可得AP⊥平面DCE．所以平面DCE的一個法向量為AP=設直線CP與平面DCE所成角為θ，則有sinθ=則直線CP與平面DCE所成角的正弦值為12(3)設M是線段BC上的一點，則存在λ∈0,1，使BMBC=?4,1,0，從而由點A,P的坐標可得DG=設平面DGM的法向量為n則有n?DM令x=3+λ，則法向量為n令n?CP=0，即?4此時n⊥CP，又顯然有CP?平面DCM，從而CP//平面所以，線段BC上存在點M，使得CP//平面DCM，此時BMBC

19.(1)當n=0時，fx=1所以f′1=?1，又所以曲線y=fx在點1,fy?1=?x?1，即x+y?2=0(2)依題意，x∈0,+∞當n=0時，由(1)可知，f′x所以fx在0,+∞上單調遞減，f當n≠0n∈Z)時，(i)當n<0n∈Zf′x<0，所以fx在0,+∞(ii)n>0n∈Zx∈0,n時．f′x>0,fx∈n,+∞時，f′x<0,f所以x=n時，fx取極大值f綜上，當n≤0n∈Z時，f當n>0n∈Z時fx有極大值

20.(1)由題意可得ca=所以橢圓E的方程為x2(2)設點Mx0,y0直線PM:y?2=y0?2由y=y0?2所以x0?x所以yA所以A2x0依題意xA≠x所以直線AB的方程為y?4?4y0所以直線AB過定點(0,1)．

21.(1)根據P2數列的定義可知：m=2，則a1根據P3數列的定義可知：m=3，則b1(2)(i)假設結論不成立，不妨設ii∈N?為滿足c由ai≥ci≥從而ci+1=ci,所以對于任意的n∈N?，(ii)假設m及a1的取值已使得an為由(i)中所定義出的cn構成數列c首先證明cn滿足對任意的i，有c若ai≥2m，則若ai<2分三種情況討論①

若2di>m，則a②

若2di<m，則a③

若2di=m又因為ci為奇數，所以ci2綜上所述，對任意的i∈N?，有又根據(i)的結論可知必存在某個j∈N