福建省南平市第七中學2021年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i為虛數單位，，若是純虛數，則的值為A．-1或1 B．1 C．-1 D．3參考答案：C2.已知點P（x，y）為圓x2+y2=1上的動點，則3x+4y的最小值為（）A．5 B．1 C．0 D．﹣5參考答案：D【考點】圓方程的綜合應用．【專題】計算題；規律型；方程思想；直線與圓．【分析】利用三角變換化簡所求表達式為一個角的一個三角函數的形式，然后求出最小值．【解答】解：點P（x，y）為圓x2+y2=1上的動點，令x=cosα，y=sinα，3x+4y=3cosα+4sinα=5（cosα+sinα）=5sin（α+θ），其中tanθ=．5sin（α+θ）≥﹣5．可得3x+4y的最小值為：﹣5．故選：D．【點評】本題考查圓的方程的綜合應用，考查計算能力．3.設a、b、c為非零實數，且，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】取，計算知錯誤，根據不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：C.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.4.在區間上隨機取一個數x，的值介于0到之間的概率為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略5.若函數f（x）=x3+f′（1）x2﹣f′（2）x+3，則f（x）在點（0，f（0））處切線的傾斜角為(

)A． B． C． D．π參考答案：D【考點】導數的幾何意義．【分析】由導函數的幾何意義可知函數圖象在點（0，f（0））處的切線的斜率值即為其點的導函數值，再根據k=tanα，結合正切函數的圖象求出傾斜角α的值．【解答】解析：由題意得：f′（x）=x2+f′（1）x﹣f′（2），令x=0，得f′（0）=﹣f′（2），令x=1，得f′（1）=1+f′（1）﹣f′（2），∴f′（2）=1，∴f′（0）=﹣1，即f（x）在點（0，f（0））處切線的斜率為﹣1，∴傾斜角為π．故選D．【點評】本題考查了導數的幾何意義，以及利用正切函數的圖象、直線的傾斜角等基礎知識，屬于基礎題．6.已知函數，記（∈N*），若函數不存在零點，則的取值范圍是A．<

B．≥

C．>

D．≤參考答案：C略7.在邊長為1的等邊△ABC中，設=，=，=，則?﹣?+?=(

)A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】利用向量數量積定義即可得出．【解答】解：如圖所示，==﹣1×1×cos60°=﹣，同理可得：=﹣=，∴?﹣?+?=﹣．故選：B．【點評】本題考查了向量數量積定義的應用、向量的夾角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8.已知直線和直線，則下述關于直線關系的判斷正確的是（

）A.通過平移可以重合

B.不可能垂直

C.可能與軸圍成等腰直角三角形

D.通過繞上某點旋轉可以重合參考答案：D試題分析：直線的斜率;直線的斜率.(1)因為不成立,所以直線不可能平行,即通過平移也不可能重合,故A不正確;(2)當時,,此時.故B不正確;(3)當時,此時.直線與軸交點為.直線與軸交點為.解得直線的交點.,.當時直線均過原點,與軸構不成三角形.當時,,即軸構成的直角三角形兩直角邊不相等;(4)因為不成立,即,則兩直線必相交.則繞交點旋轉兩直線可以重合.故D正確.考點：1直線的斜率;2兩直線平行垂直于斜率的關系.9.在圓內，過點（，）有n條弦的長度成等差數列，最小弦長為數列的首項，最大弦長為，若公差為d∈[，]，那么n的取值集合為A.{4,5,6,7}

B.{4,5,6}

C.{3,4,5,6}

D.{3.4.5,6,7}參考答案：A圓的標準方程為，所以圓心為，半徑，則最大的弦為直徑，即，當圓心到弦的距離為時，即點（，）為垂足時，弦長最小為4，即，所以由得，，因為，所以，即，所以，即，選A.10.設等差數列{an}的前項和為Sn，已知，，則下列選項正確的是（

）A．，

B．，

C.，

D．，參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設a是從集合{1，2，3，4}中隨機取出的一個數，b是從集合{1，2，3}中隨機取出的一個數，構成一個基本事件（a，b）．記“在這些基本事件中，滿足logba≥1為事件A，則A發生的概率是

．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題．【分析】先求出基本事件的總數，然后例舉出滿足logba≥1的基本事件，最后根據古典概型的概率公式進行求解即可．【解答】解：由已知得基本事件（a，b）共有4×3=12（個）滿足logba≥1，即a≥b＞1的基本事件有（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，2）共5個，故．故答案為：【點評】本題主要考查了等可能事件的概率，以及古典概型的概率公式，屬于基礎題．12.設、，且，若定義在區間內的函數是奇函數，則的取值范圍是________________．參考答案：因為函數是奇函數，所以，即，所以，即，所以，所以，，即，由得，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是。13.定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）=，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函數”，0就是它的均值點．給出以下命題：①函數f（x）=cosx﹣1是[﹣2π，2π]上的“平均值函數”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，則它的均值點x0≥；③若函數f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數”，則實數m的取值范圍是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是區間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點，則lnx0＜．其中的真命題有

．（寫出所有真命題的序號）參考答案：①③④【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】簡易邏輯．【分析】直接利用定義判斷①的正誤；利用反例判斷②的正誤；利用定義推出m的范圍判斷③的正誤；利用分析法直接證明結合函數的導數即可證明④的正誤．【解答】解：①容易證明正確．函數f（x）=cosx﹣1是[﹣2π，2π]上的“平均值函數”；﹣1就是它的均值點．②不正確．反例：f（x）=x在區間[0，6]上．③正確．由定義：得，又x0∈（﹣1，1）所以實數m的取值范圍是m∈（0，2）．④正確．理由如下：由題知．要證明，即證明：，令，原式等價于．令，則，所以得證．故答案為：①③④．【點評】本題考查新定義的應用，函數的導數以及分析法的應用，考查分析問題解決問題的能力．14.《孫子算經》是我國古代內容極其豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有圓窖周五丈四尺，深一丈八尺，問受粟幾何？”其意思為：“有圓柱形容器，底面圓周長五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圓周率π=3），則該圓柱形容器能放米斛．參考答案：2700【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】由底面圓周長五丈四尺求出圓柱底面半徑，根據圓柱的體積公式計算出對應的體積，除以1.62得答案．【解答】解：設圓柱的底面半徑為r，則2πr=54，r=9，故米堆的體積為π×92×18=4374立方尺，∵1斛米的體積約為1.62立方尺，∴4374÷1.62≈2700斛，故答案為2700．15.已知向量，，若，則實數______;參考答案：216.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點．點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是__________．參考答案：[﹣1，1]考點：向量在幾何中的應用．專題：綜合題；平面向量及應用．分析：建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數進行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結論．解答：解：建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范圍是[﹣1，1]．故答案為：[﹣1，1]．點評：本題考查平面向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確利用坐標系是關鍵．17.已知的展開式中，二項式系數和為32，各項系數和為243，則m=

．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（08年大連24中）（12分）

如圖，已知直線的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，點A，F，B在直線上的射影依次為點D，K，E.

（1）若拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；

（2）對于（1）中的橢圓C，若直線L交y軸于點M，且，當m變化時，求的值；

（3）連接AE，BD，試探索當m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；否則說明理由.

參考答案：解析:（1）易知

…………2分

（2）

設

…………4分

又由

同理

……6分

（3）

先探索，當m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且

猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點……8分

證明：設

當m變化時首先AE過定點N

A、N、E三點共線

同理可得B、N、D三點共線

∴AE與BD相交于定點……12分19.已知函數．（Ⅰ）求證：時，恒成立；（Ⅱ）當時，求的單調區間．參考答案：（Ⅰ）時，，

，令，解得：當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增。∴所以，，．

……5分（Ⅱ）的定義域為①當時，，此時在區間上單調遞增，在上單調遞減；②當時，令，解得：ⅰ）當時，，令，解得：令，解得：或此時在區間上單調遞增，在和上單調遞減；ⅱ）當時，，此時，在區間上單調遞減.綜上，時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；時，的單調遞減區間為，無單調增區間。

………………13分略20.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點．（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線x=2與橢圓交于P，Q兩點，P點位于第一象限，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側的動點．（i）若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；（ii）當點A，B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（I）設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由條件利用橢圓的性質求得b和a的值，可得橢圓C的方程．（Ⅱ）（i）設AB的方程為y=x+t，代入橢圓C的方程化簡，由△＞0，求得t的范圍，再利用利用韋達定理可得x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐標，根據四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=?PQ?|x1﹣x2|，計算求得結果．（ii）當∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），把它代入橢圓C的方程化簡求得x2+2=．再把直線PB的方程橢圓C的方程化簡求得x2+2的值，可得x1+x2以及x1﹣x2的值，從而求得AB的斜率K的值．解答：解：設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點（0，），∴b=．再根據離心率===，求得a=2，∴橢圓C的方程為+=1．（Ⅱ）（i）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程為y=x+t，代入橢圓C的方程化簡可得x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韋達定理可得x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=?PQ?|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故當t=0時，四邊形APBQ的面積S取得最小值為4．（ii）當∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和等于零，設PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的方程為