第4節重力勢能理解領悟重力勢能是機械能的重要內容。要從重力做功與路徑無關的特點動身，理解建立重力勢能概念的可能性，把握重力勢能的定義式，明確重力做功和重力勢能變化的關系。基礎級爭辯重力勢能的動身點我們知道，物體由于被舉高而具有重力勢能。而物體的高度發生變化時，必定伴隨著重力做功。因此，重力勢能與重力做功是親密相關的，生疏重力勢能不能脫離對重力做功的爭辯。爭辯重力做功，是我們爭辯重力勢能的動身點。重力做功與路徑無關重力做功有什么特點呢？重力是由于地球的吸引而使物體受到的力，其方向豎直向下，在地面四周其大小可看作恒量，G=mg。當物體下降時，重力做正功；當物體上升時，重力做負功。圖5－253h2hh112如圖5圖5－253h2hh112第一次物體豎直向下運動（圖中路徑1）：重力所做的功WG=mgh=mg(h1－h2)=mgh1－mgh2。其次次物體沿傾斜直線向下運動（圖中路徑2）：設傾斜直線與豎直方向成θ角，物體通過的距離為s，則重力所做的功

WG=mgscosθ=mgh=mg(h1－h2)=mgh1－mgh2。第三次物體沿任意路徑向下運動（圖中路徑3）：我們可以把整個路徑分成很多很短的間隔，每一小段都可看成一段傾斜的直線，則重力所做的功

=mgh=mg(h1－h2)=mgh1－mgh2?？梢?，物體運動時，重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置（高度）有關，而跟物體運動的路徑無關。同學們還可分析一下重物向上運動的狀況，看看這一結論是否同樣成立。如何確定重力勢能的表達式？在本章“追尋守恒量”一節中，我們已經知道，物體的勢能是物體憑借其位置所具有的能量。那么，重力勢能應當與哪些物理量有關呢？重力勢能應跟物體與地球的相對位置有關，還應跟物體受到的重力有關。從上述重力做功特點的分析中可以發覺，物體所受的重力mg與它所處位置的高度h的乘積mgh，是一個有特殊意義的物理量。它的特殊意義在于，它一方面與重力所做的功親密相關，另一方面又隨著高度的變化而變化，它恰恰是我們要查找的重力勢能的表達式。因此，物體的重力勢能等于它所受重力與所處高度的乘積，即Ep=mgh。重力做功與重力勢能變化的關系有了重力勢能的表達式，我們就可以把上述重力所做的功的表達式寫成WG=Ep1－Ep2?？梢?，當物體向下運動時，重力做正功，WG＞0，則Ep1＞Ep2，即重力勢能削減，重力勢能削減的數量等于重力所做的功；當物體向上運動時，重力做負功（物體克服重力做功），WG＜0，則Ep1＜Ep2，即重力勢能增加，重力勢能增加的數量等于克服重力所做的功。重力勢能是狀態量、標量由重力勢能的定義可知，重力勢能跟物體與地球的相對位置有關。物體的位置發生了變化，物體的重力勢能也就發生變化，所以重力勢能是狀態量。重力勢能的變化量與重力所做的功相對應，而重力的功是標量，重力勢能當然也是標量，其單位與功的單位相同，都是焦耳。重力勢能具有相對性假如計算放在桌子上的物體具有多大的重力勢能，可能不同的人會得出不同的結果。這是由于，不同的人可能選擇不同的水平面做參考。在選定的參考平面上的物體的重力勢能就為0；物體在這個參考平面以上，重力勢能就為某一正值；物體在這個參考平面以下，重力勢能就為某一負值。對于放在桌子上的物體而言，假如以物體的重心所在的水平面為參考平面，該物體的重力勢能就為0；假如以水平地面為參考平面，該物體的重力勢能就為正值；假如以水平天花板為參考平面，該物體的重力勢能就為負值。可見，由于重力勢能的大小與參考平面的位置有關，而這個參考平面可以任意選取，所以重力勢能具有相對性。重力勢能參考平面的選取一般以解決問題時簡便為原則，若無特殊說明，通常以水平地面為參考平面。重力勢能的變化與參考平面的選取無關盡管重力勢能的數值會因參考平面選取的任意性而具有不確定性，但這并不會我們對問題的爭辯。這是由于在爭辯具體問題時，我們所關懷的往往不是物體具有多少重力勢能，而是物體重力勢能的變化，重力勢能的變化才與做功及能量轉換有關。事實上，選擇不同的參考平面對重力勢能的差值沒有影響，也就是說，重力勢能的變化與參考平面的選取無關。例如：圖5—25中，若選取水平地面為參考平面，物體在初位置和末位置的重力勢能分別為Ep1=mgh1,Ep2=mgh2，物體從初位置到末位置，重力勢能的變化

△Ep=Ep2－Ep1=mgh2－mgh1=－mg(h1－h2)=－mgh，即重力勢能削減了mgh；若選取物體的末位置所在水平面為參考平面，物體在初位置和末位置的重力勢能分別為

Ep1=mgh,Ep2=0，物體從初位置到末位置，重力勢能的變化△Ep=Ep2－Ep1=0－mgh=－mgh，即重力勢能削減了mgh；若選取物體的初位置所在水平面為參考平面，物體在初位置和末位置的重力勢能分別為

Ep1=0,Ep2=－mgh，物體從初位置到末位置，重力勢能的變化

△Ep=Ep2－Ep1=－mgh－0=－mgh，即重力勢能削減了mgh?？梢?，選取不同的參考平面，只影響物體重力勢能的數值，而不影響重力勢能的差值。重力勢能屬于物體和地球組成的系統重力是地球與物體相互吸引而引起的，假如沒有地球隊物體的吸引，就談不上重力做功和重力勢能。物體所在的高度是由物體同地球組成的系統內部的相對位置所打算的，因此重力勢能是這個系統的，而不是物體單獨具有的。我們平常所說的“物體的重力勢能”，只是一種習慣而簡化的說法。進展級對“說一說”欄目問題的提示教材“說一說”欄目提出了這樣的問題：假如重力做功與路徑有關，還能把mgh叫做重力勢能嗎？答案是：不能。由于物體的勢能是物體憑借其位置所具有的能量，正是由于重力做功與路徑無關，說明與重力做功相關的能量才是一種“物體憑借其位置所具有的能量”，才是一種勢能，才能把mgh叫做重力勢能。假如重力做功與路徑有關，那么與重力做功相關的能量也就愈路徑有關，就不能把mgh叫做重力勢能。正如摩擦力做功與路徑有關，對于摩擦力就不能引人相應的“摩擦力勢能”。重力勢能表達式的適用范圍需要指出的是，我們將mgh叫做物體的重力勢能是有肯定的條件的，那就是物體必需處于地面四周，當物體的離地高度相對于地球半徑不行忽視時，Ep=mgh便沒有意義了。這是由于該定義式中的g是地球表面四周的重力加速度，而離地面越高，重力加速度越小，當物體的離地高度h相對于地球半徑不行忽視時，該處的重力加速度與地表重力加速度g的差異便不能忽視。那么，若離地h高處的重力加速度為gh，能否用mghh表示物體在該處的重力勢能呢？不行。由于從地表到離地h高處，重力加速度由g漸漸減小為gh，把質量為m的物體由地表提升到離地h高處，物體克服重力所做的功不等于mghh。由于在將物體提升的過程中，重力加速度隨高度的變化不是線性的，物體克服重力所做的功也不等于，所以也不能用表示物體在離地h高處的重力勢能。當物體的離地高度相對于地球半徑不行忽視時，我們把由地球與物體之間的引力打算的勢能稱為“引力勢能”。關于引力勢能的表達式，高中階段不作介紹，感愛好的同學可查找相關資料自學。應用鏈接本節課的應用主要涉及對重力做功的特點、重力勢能的表達式、重力勢能的相對性以及重力勢能的變化與重力做功的關系等的理解，涉及重力做功和重力勢能的計算?；A級例1關于重力勢能，以下說法中正確的是（）A.某個物體處于某個位置，重力勢能的大小是唯一確定的B.重力勢能為０的物體，不行能對別的物體做功C.物體做勻速直線運動時，重力勢能肯定不變D.只要重力做功，重力勢能肯定變化提示依據重力勢能的表達式、重力勢能的打算因素、重力做功與重力勢能變化的關系進行推斷。解析由重力勢能的表達式Ep=mgh可知，由于高度h具有相對性，重力勢能的大小也具有相對性，即處于某個位置的某個物體，在選擇不同的參考平面時，重力勢能的大小是不同的。重力勢能的大小具有相對性，其大小與參考平面的選取有關，所以重力勢能為０的物體，是指物體處于參考平面上，并不能表明物體不具有做功的本事。如在地面上流淌的一薄層水，若取地面為參考平面，則其重力勢能為０，但當這些水流向更低處時仍可對別的物體做功。物體的重力勢能是由物體的重力和物體的高度共同打算的，只要物體的高度發生變化，物體的重力勢能就肯定發生變化。例如，當物體沿斜面勻速下滑時，高度減小，重力勢能將減小。重力的方向總是豎直向下的，重力做功時物體的高度確定發生變化，重力勢能也肯定發生變化?？梢姡_選項為D。點悟重力勢能的大小是相對的，重力勢能的變化是確定的，與參考平面的選取無關。重力做功是重力勢能變化的量度，因此重力勢能的變化量和重力做功的數值總是相等的。例2一條松軟的均勻鏈條質量為m，長度為l，平放在水平桌面上。用力提鏈條的一端將鏈條漸漸提起，直至末端將要離開桌面的過程中，拉力做的功為多少?提示拉力的大小時刻在變，是變力，它對鏈條做的功全部用來克服重力的作用，用于增加鏈條的重力勢能。所以，只要能求出鏈條重力勢能的增量，，就能求出拉力所做的功。解析鏈條的末端將要離開地面時，鏈條的重心提高到離桌面的高度，其重力勢能的增量為。依據重力做功和重力勢能變化的關系可知，克服重力做功

。拉力做的功等于克服重力做的功，即。點悟求變力功的問題，有一類可將變力功轉化為求重力所做的功，進而通過求重力勢能的變化來達到求變力功的目的。例3在水平地面上平鋪著n塊相同的磚，每塊磚的質量都為m，厚度為d。若將這n塊磚一塊一塊地疊放起來，至少需要做多少功？提示外力所做的功，等于組成的系統重力勢能的增加。解析n塊磚平鋪在水平地面上時，系統重心離地的高度為。當將它們疊放起來時，系統重心離地的高度為。所以，至少需要做功。點悟本題也可這樣求解：將其次塊磚疊上時，做功W2=mgd；將第三塊磚疊上時，做功

W3=mg·2d；……將第n塊磚疊上時，做功Wn=mg

(n-1)d。所以，將這n塊磚一塊一塊地疊放起來，至少需要做功

。圖5圖5—26kFm例4如圖5—26所示，質量為m物體靜止在地面上，物體上面連著一個直立的輕質彈簧，彈簧的勁度系數為k?，F用手拉住彈簧上端，使彈簧上端緩慢提上升度h，此時物體已經離開地面，求物體重力勢能的增加量。提示物體被提升的高度等于彈簧上端提升的高度與彈簧拉伸長度之差。解析物體離開地面后，彈簧的伸長量為

?？梢?，物體上升的高度為

。從而，物體重力勢能的增加量為

。點悟由于彈簧的伸長，物體上升的高度不等于拉力作用點上移的高度，如不留意這一點，往往會造成錯解。進展級圖5—27AB例5如圖5—27所示，圓柱形水箱高為5m，容積為50m3，水箱底部接通水管A，頂部接通水管B。開頭時箱中無水，若僅使用A管或僅使用B管漸漸地將水注入，直到箱中水滿為止，試計算兩種狀況下外界各需做多少功？（設需注入的水開頭時均與箱底等高，g圖5—27AB提示注水的過程外力克服水的重力做功，增加了水的重力勢能，由于是緩慢注水，水的動能不增加，所以外力做功數值上就等于水增加的重力勢能。解析以H表示水箱的高度。水若從A管注入，整箱水的重心被上升，外界做功

J=1.25×106J。水若從B管注入，整箱水應先上升到H的箱頂處，故外界做的功

W2=2W1=2×1.25×106J=2.5×106J。圖5—圖5—282k1k2m1m21例6如圖5—28所示，勁度系數為k1的輕質彈簧的兩端分別與質量為m1、m2的物塊1、2拴接，勁度系數為k2的輕質彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上（不拴接），整個系統處于平衡狀態?，F施力將物塊1緩慢豎直上提，直到下面的那根彈簧剛好脫離桌面。在此過程中，兩物體的重力勢能分別增加了多少？提示物體重力勢能的增加等于物體重力與物體被提上升度的乘積。開頭時，整個系統處于平衡狀態，兩彈簧均被壓縮?，F施力將物塊1緩慢上提，直到下面的彈簧剛好脫離桌面，在此過程中下面的彈簧由壓縮狀態漸漸恢復到自由長度，而上面的彈簧由壓縮狀態漸漸恢復到自由長度，接著由于物塊2施加拉力又漸漸變為拉伸狀態。解析下面的彈簧受到的壓力大小為

(m1+m2)g，彈簧的壓縮量。要使其離開桌面，物塊2應上上升度△x2，則物塊2增加的重力勢能為

。把物塊1拉起的過程中，上面的彈簧是由壓縮狀態轉為拉伸狀態，其原先壓縮的長度

，最終拉伸的長度

，則物塊1提升的高度為

。所以，物塊1增加的重力勢能為。點悟本題涉及物體的平衡條件和重力勢能的概念，所述物理過程比較簡單，難度較大，需留意把物理過程分析清楚，留意整體法與隔離法的應用。課本習題解讀1.設斜面高度為h，對應于傾角為θ1、θ2、θ3的斜面長分別為l1、l2、l3。由功的公式可知，在傾角為θ1的斜面上，重力與位移的夾角為（），重力所做的功為

。同理可證，在傾角為θ2、θ3的斜面上，重力所做的功都等于mgh。可見，重力所做的功與斜面的傾角無關。2.（1）足球由位置1運動到位置2時，重力所做的功為－mgh，足球克服重力所做的功為mgh，足球的重力勢能增加了mgh。（2）足球由位置2運動到位置3時，重力所做的功為mgh，足球的重力勢能削減了mgh。（3）足球由位置1運動到位置3時，重力所做的功為0，重力勢能的變化為0。通過本題的求解，我們可以體會到：重力勢能的變化是與重力做功相對應的。重力做了多少功，重力勢能就不會多少。重力做正功，重力勢能削減；重力做負功，重力勢能增加。3.（1）所填表格中的數據如下：所選擇的參考平面小球在A點的重力勢能小球在B點的重力勢能整個下落過程中小球重力做的功整個下落過程中小球重力勢能的變化桌面5.88J－3.92J9.8J9.8J地面9.8J09.8J9.8J（2）假如下落過程中有空氣阻力，表格中的數據不變。通過本題的求解，我們生疏到：重力勢能跟參考平面的選取有關，而重力勢能的變化跟重力的功相對應，與參考平面的選取無關。重力所做的功只跟物體位置的變化有關，而與是否存在其它力無關。4．A正確。例如：物體在向上的拉力作用下，假如做勻加速直線運動，這時拉力的功大于重力勢能的增加量；假如做勻減速直線運動，這時拉力的功小于重力勢能的減小量。B錯誤。物體勻速上升，拉力與重力大小相等，拉力的功肯定等于重力勢能的增加量。C錯誤。依據WG=Ep1－Ep2可知，重力做－1J的功，物體勢能的增加量為1J。D錯誤。重力做功只與起點和終點的位置有關，而與路徑無關。A、B兩點的位置不變。物體從A點運動到B點的過程中，無論經過什么路徑，重力的功都是相同的。練習鞏固（5—4）圖5－圖5－29312Ah1.如圖5—29所示，某物塊分別沿三條不同的軌道由離地高h的A點滑到同一水平面上，軌道1、2是光滑的，軌道3是粗糙的，則（）

A.沿軌道1滑下重力做功多B.沿軌道2滑下重力做功多C.沿軌道3滑下重力做功多D.沿三條軌道滑下重力做的功一樣多2.物體1的重力勢能Ep1=3J，物體2的重力勢能Ep2=－3J，則（）A.Ep1=Ep2

B.Ep1＞Ep2

C.Ep1＜Ep2

3.將同一物體分兩次舉高，每次舉高的高度相同，則（）A.不論選取什么參考平面，兩種狀況中，物體重力勢能的增加量相同B.不論選取什么參考平面，兩種狀況中，物體最終的重力勢能相等C.不同的參考平面，兩種狀況中。重力做功不等D.不同的參考平面，兩種狀況中。重力最終的重力勢能確定不等4.下列說法中正確的是（）A.物體克服重力做功，物體的重力勢能增加B.物體克服重力做功，物體的重力勢能削減C.重力對物體做正功，物體的重力勢能增加D.重力對物體做負功，物體的重力勢能削減5.物體在運動過程中，克服重力做功50J，則（）A.物體的重力勢能肯定為50J

B.物體的重力勢能肯定增加50JC.物體的重力勢能肯定削減50J

D.物體的重力勢能可能不變6.井深8m，井上支架高2m，在支架上用一根長3m的繩子系住一個重100N的物體，若以地面為參考平面，則物體的重力勢能有多大？若以井底面為參考平面，則物體的重力勢能又有多大？7.質量為5kg的鋼球，從離地15m高處自由下落1s，其重力勢能變為多大？（g取10m/s2，取地面為參考平面）進展級圖5—308.高為a=1.6m，寬為b=1.2m的均勻長方體置于水平地面上，其質量為200kg，則要將其推翻，至少要做多少功？（g取10m/s圖5—30圖5—312k1k2m1m219.如圖5—30所示，若在湖水中固定一瘦長圓管，管內有一活塞，它的下底面位于水面上，活塞的底面積S=圖5—312k1k2m1m2110.如圖5—31所示，物塊1、2的質量分別為m1、m2，上下兩輕質彈簧的勁度系數分別為k1、k2，物塊1壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個系統處于平衡狀態?，F緩慢向上提物塊1，直到它剛離開上面的彈簧。在此過程中，兩物塊的重力勢