第1講找規律

一、知識要點

按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：1,2,

3,4,……雙數列:2,4,6,8,……我們研究數列,目的就是為了

發現數列中數排列的規律，并依據這個規律來填寫空缺的數。

按照一定的順序排列的一列數，只要從連續的幾個數中找到規律,

那么就可以知道其余所有的數。尋找數列的排列規律，除了從相鄰兩

數的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發現數列的規律是填

數的關鍵。

二、精講精練

【例題1】在括號內填上合適的數。

(1)3,6,9,12,(),()

(2)1,2,4,7,11,(),()

(3)2,6,18,54,(),()

練習1：在括號內填上合適的數。

(1)2,4,6,8,10,(),()

(2)1,2,5,10,17,(),()

(3)2,8,32,128,(),()

(4)1,5,25,125,(),()

(5)12,1,10,1,8,1,(),()

【例題2】先找出規律，再在括號里填上合適的數。

(1)15,2,12,2,9,2,(),)

(2)21,4,18,5,15,6,(),()

練習2：按規律填數。

(1)2,1,4,1,6,1,(),()

(2)3,2,9,2,27,2,(),()

(3)18,3,15,4,12,5,(),()

(4)1,15,3,13,5,11,(),()

(5)1,2,5,14,(),()

【例題3】先找出規律，再在括號里填上合適的數。

(1)2,5,14,41,()(2)252,124,60,28,

()

(3)1,2,5,13,34,()(4)1,4,9,16,

25,36,()

練習3：按規律填數。

(1)2,3,5,9,17,(),()

(2)2,4,10,28,82,(),()

(3)94,46,22,10,(),()

(4)2,3,7,18,47,(),()

【例題4】根據前面圖形里的數的排列規律，填入適當的數。

J]

(3)S33□

練習4：找出排列規律，在空缺處填上適當的數。

⑵￡AA

AAAAAA

(3)

【例題5】按規律填數。

(1)187,286,385,(),)

(2)23314123

25414643

練習5：根據規律，在空格內填數。

(1)198,297,396,(),()

(2)325421453257

38642665

(3)372523453425

38952775

三、課后作業

1、仔細觀察找出規律，再填數。

(1)12,1,10,1,8,1，(),(),()

(2)3,5,10,12,17,(),(),()

(3)3,2,9,2,27,2,(),(),()

(4)1,2,2,4,3,8,4,16,5,(),(),()

(5)4,24,6,36,8,54,(),(),()

2、觀察下面各數列的規律，然后在括號里填上適當的數。

(1)1,0,2,5,3,10,4,15,(),(),()

(2)1,6,5,10,9,14,13,(),(),()

(3)1,2,2,6,3,18,4,54,(),()

(4)7,14,10,12,14,9,19,5,(),()

(5)3,1,6,2,12,3,24,4,(),(),()

(6)2,3,4,5,8,7,16,9,(),()

3、先找出規律，在括號內填上適當的數。

(1)5,9,17,33,65,(),(),()

(2)1,1,2,3,5,8,13,21,(),(),89

(3)2,3,5,9,(),33,65.

(4)1,3,7,15,(),63,127

(5)1,4,9,16,25,(),(),64,81

有余除法

一、知識要點：

1、解這類題的關鍵是要先確定余數，如果余數已知，就可以確

定除數，然后再根據被除數與除數、商和余數的關系求出被

除數。

2、(1)余數必須小于除數；(2)被除數=商X除數十余數。

二、精講精練

【例題1][1^6=8……[],根據余數寫出被除數最大

是幾？最小是幾？

練習1：

⑴下面題中被除數最大可填，最小可填O

[]^8=3……[]

⑵下面題中被除數最大可填，最小可填。

I]+4=7……[]

⑶下題中要使除數最小，被除數應為o

[]+[1=12……4

【例題2】算式[]+[]=8……[]中，被除數最小

是幾?

練習2：

(1)下面算式中，被除數最小是幾？

①】]+[]=4....[]

②[]+[1=7……[]

③1]+[1=9……[]

⑵下面算式中商和余數相等，被除數最小是幾？

①】]+[]=3……[]

②[]+[1=6……[]

(3)算式[]:8=[]……[]中，商和余數都相等,

那么被除數最大是幾？

【例題3】算式28+[]=[]……4中，除數和商分別是

一和O

練習3：

(1)下面算式中，除數和商各是幾?

①22曰]=[]……4

②65+[]=[]……2

③37T]=[]……7

@484-[]=[]……6

(2)149除以一個兩位數，余數是5,請寫出所有這樣的兩位數。

(3)算式[]:4=[]……[]中，商和余數相等，被除

數可以是哪些數？

【例題4】算式[]:7=[]……[]中，商和余數相

等，被除數可以是哪些數？

練習4：

(1)下列算式中，商和余數相等，被除數可以是哪些數?

①1]:6=[]……[]

②】]+5=[

③1]+4=[]……[]

@[]-3=[]……[]

(2)一個三位數除以15,商和余數相等，請你寫出五個這樣的除

法算式。

(3)算式[]+9=[]……[]中，商和余數相等，被

除數最大是。

【例題5】算式[]=[]……4中，除數和商相等,

被除數最小是幾？

練習5：下面算式中，除數和商相等，被除數最小是幾?

(1)[]^[]=[]……6

⑵[]+[]=[]……8

⑶[]+[]=[]……3

(4)：巾]=：]……9

⑸[]+[]=[]……7

(6)[]+[]=[]……2

三、課后作業

1、①下面題中被除數最大可填，最小可填

[]4-9=4……[]

②下面題中被除數最大可填，最小可填

[]-7=4……[]

③下題中要使除數最小，被除數應為。

[]^[]=8……5

2、下面算式中，除數和商各是幾？

①26+[]=[]……2

②66+[]=[]……3

③46+[]=[]……1

④67H]=[]……4

3、下面算式中商和余數相等，被除數最小是幾?

①[一]=4……[]

②[百]=5……[]

4、算式[]+7=[]……]中，商和余數都相等，那么

被除數最大是O

5、下面算式中，被除數最小是幾？

①】]+[]=6……[]

②[百]=8……[]

③[巾]=5……[]

6、算式[]+9=[]……[]中，商和余數相等，被除數

最大是。

7、在算式[]+[]=[]……5中，除數和商相等，被除

數最小是o

8、123除以一個兩位數，余數是3,請寫出所有這樣的兩位數。

9、算式[]+9=]中，商和余數相等，被除數可

以是哪些數？

10、一個三位數除以15,商和余數相等，請你寫出五個這樣的除法

算式。

第3講配對求和

一、知識要點

被人稱為“數學王子”的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙

的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結果。小高斯是用

什么辦法算得這么快呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求

和。

數列的第一個數（第一項）叫首項，最后一個數（最后一項）叫

末項，如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的

數，這樣的數列叫做等差數列，這個不變的數則稱為這個數列的公差。

計算等差數列的和，可以用以下關系式：

等差數列的和=（首項+末項）X項數+2

末項=首項+公差X（項數一1）

項數=（末項一首項）?公差+1

二、精講精練

【例題1］你有好辦法算一算嗎？

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）

練習1：速算。

(1)1+2+3+4+5+....+20⑵

1+2+3+4+....+99+100

(3)21+22+23+24+....+100

【例題2】計算。

(1)21+23+25+27+29+31⑵

312+315+318+321+324

練習2：計算。

(1)48+50+52+54+56+58+60+62(2)

108+128+148+168+188

【例題3】有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16

根，第2層有17根，……下面每層比上層多一根，這堆木材共有多

少根？

練習3：

(1)體育館的東區共有30排座位，呈梯形，第1排有10個座位,

第2排有n個座位，……這個體育館東區共有多少個座位？

(2)有一串數，第1個數是10,以后每個數比前一個數大4,最后

一個數是90,這串數連加的和是多少？

(3)有一個鐘，一點鐘敲1下，兩點鐘敲2下，十二點鐘敲

12下，分鐘指向6敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？

【例題4］計算992+993+994+995+996+997+998+999。

練習4：計算。

(1)95+96+97+98+99(2)2006+2007+2008+2009

(3)9997+9998+9999(4)

100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19

例5：

1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81

練習5：計算。

(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1

1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19

(3)2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16

三、課后作業

1、1+2+3+4+???+99+100+99+98+???+3+2+1

2、100+95+90+-+15+10+5

3、4+7+10+13+-+298+301+298+-+13+10+7+4

4、(1+3+5+-+79)-(2+4+6+???+78)

5、2013-2012+2011-2010+-+3-2+1

6、影劇院有座位若干排，第一排有25個座位，以后每一排比前一排

多3個座位，最后一排有94個座位。問：這個影劇院共有多少個座

位？

第4講加減巧算

一、知識要點

在進行加減運算時，為了又快又好，除了要熟練地掌握計算法則

外，還需要掌握一些巧算的方法。加減法的巧算主要是運用“湊整”

的方法，把接近整十、整百、整千的數看做所接近的數進行簡算。

進行加減巧算時，湊整之后，對于原數與整十、整百、整千……

相差的數，要根據“多加要減去，少加要再加，多減要加上，少減要

再減”的原則進行處理。另外，可以結合加法交換律、結合律以及減

法的性質進行湊整，從而達到簡算的目的。

二、精講精練

【例題1］你有好辦法迅速算出結果嗎？

(1)502+799-298-98(2)

9999+999+99+9

練習1：計算。

(1)308+203-399-97(2)

99999+9999+999+99+9

(3)1999+199+19

375+483+525+617

【例題2】計算。

(1)487+321+113+279(2)736-567+264

(3)877+345-677(4)528-248-152

練習2：計算。

(1)321+127+73+279(2)235-125+365

(3)987-733-167

487+(413-89)

【例題3】計算下面各題。

(1)962-(284+262)⑵

432-(154-168)

練習3：計算。

(1)421+(279-125)

812+(168-112)

(3)823-(175+323)

538-(283-162)

[例題4]2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84

練習4：計算。

(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5

(2)1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90

【例題5】計算：98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87

-4-3+2+1

練習5：計算。

(1)2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14....+2006

(2)1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99

三、課后作業

1、計算下列各題。

(1)256+503+44(2)953—267—133

(3)465—198+335(4)362—202+238

2、用簡便方法計算下列各題。

(1)43+40+39+41+37+42(2)503+301-298-91+52

(3)199999+19999+1999+199+19(4)

83+81+78+80+84+78+79+77+84

3、巧算

1000-99-98-97-96-95-5-4-3-2-1

4、29999+2999+299+29

5、(1)2356-(356+187)(2)5723-(723-189)

6、(534+786+896)+(104+214+466)

第5講圖形個數

一、知識要點

同學們，你想學會數圖形的方法嗎？要想不重復也不遺漏地數出

線段、角、三角形、長方形……那就必須要有次序、有條理地數，從

中發現規律，以便得到正確的結果。

要正確數出圖形的個數，關鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清

圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個，然后再數出由基本圖形組

成的新的圖形，并求出它們的和。

二、精講精練

【例題1】數出下圖中有多少條線段？

ABCD

練習1:

(1)數出下圖中有多少條線段？(2)數出下圖中

有幾個長方形？

ABCDE

【例題2】數出圖中有幾個角？

練習2：數出圖中有幾個角？

【例題3】數出下圖中共有多少個三角形?

ABCD

練習3：數出圖中共有多少個三角形?

(1)

【例題4】數出下圖中有多少個長方形?

AB

CD

練習4：

(1)數出下圖中有多少個長方形?

AB

CD

(2)數出下圖中有多少個正方形?

【例題5】有5個同學，每兩個人握手一次，一共要握手多少次?

練習5：

(1)銀海學校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣

一共要拔河幾次？

(2)有1,2,3,4,5,6,7,8等8個數字，能組成多少個不

同的兩位數?

三、課后作業

1、數一數下圖中各有多少條線段?

(1)ABCDE

(2)

3、下列各圖中各有多少個銳角？

⑶

⑴(2)

4、數一數下面圖中各有多少個三角形。

5、數一數下面各圖中分別有多少個長方形。

6、數一數，下面各圖中分別有幾個長方形？

一

7、數一數下列各圖中分別有多少個正方形？(每個小方格為邊

長是1的小正方形)

(2)口口(3)___________

(i)n~i

第3講植樹問題

一、知識要點

1、基本概念：

總長：植樹路線的全長。

棵距：兩棵數之間的距離。

段數：總長中共有幾個棵距

棵數：植樹的總棵樹

2、基本類型以及關系式：

(1)路的兩端都要植樹

棵樹=線路總長十棵距+1

線路總長二棵距X(棵樹一1)

棵距二線路總長十(棵數一1)

(2)路的兩端都沒有植樹

棵樹=線路總長+棵距一1

棵數二段數T

(3)路的一端植樹，另一端不植樹

棵樹二線路總長十棵距

棵數二段數

另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答。比

如鋸木頭、爬樓梯問題等等，這時解題的關鍵是要將題目中的條件和

問題與植樹問題中的“總距離”、“間隔長”、“棵數”對應起來。

二、精講精練

【例題1】小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3

米植一棵，已經植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？

練習1：

(1)在路的一側插彩旗，每隔5米插一面，從起點到終點共插了20

面，這條道路有多長？

(2)在學校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點到終點一共

放了20盆，這條走廊長多少米？

【例題2】在一條長42米的大路兩側栽樹，從起點到終點一共栽了

14棵，已知相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距

離是多少米？

練習2：在公園一條長30米的路的兩側放椅子，從起點到終點共放

了12把椅子，相鄰兩把椅子的距離相等，相鄰兩把椅子之間相距多

少米？

【例題3】把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘，已知每鋸開一

段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？

練習3：一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了12分鐘。已知每鋸

下一段要3分鐘，這根圓木長多少米？

【例題4】甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓,

照這樣計算，甲跑到16樓時，乙跑到了多少樓？

練習4：小明和小紅兩人爬樓梯比賽，小明跑到第4層時，小紅跑到

第5層，照這樣計算，當小明跑到第16層時，小紅跑到了第幾層？

【例題5】一個圓形跑道長300米，沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗,

每兩面紅旗中間插一面黃旗，跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？

練習5：

(1)有一個正方形水池，周長是200米。如果沿著水池周圍每隔10

米裝一盞紅燈，再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問水

池周圍一共裝了幾盞紅燈？幾盞黃燈？

(2)一條公路長480米，在兩旁植樹，兩端都植。每隔12米植

一棵樟樹，兩棵樟樹中間又等距離地栽了3棵柳樹。問樟樹和柳樹各

栽了多少棵？

三、課后作業

1、光明小學在一條大路邊共植樹21棵，每隔6米栽一棵，則這條

路長多少米？

2、在一個邊長時30米的正方形池塘四周栽樹，四個角都要栽，如

果每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？

3、在一座長400米的大橋兩邊懸掛彩燈，每兩盞燈相隔4米，連兩

頭在內要裝多少盞燈？

4、排大型團體操共有640人，每4人為一派排，兩排中間隔1米，

問首尾兩排相隔多少米？

5、有一棟12層的大樓，由于停電電梯停開。某人從一層走到三層

需要32秒，以同樣的速度，從三層走到12層，需要多少秒？

6、兩棵松樹相距60米，在中間又等距離栽了白玉蘭樹14棵。問第

一棵樹和第十棵樹之間相距多少米？

7、有一個圓形花壇，繞著它走一圈時120米。如果沿著這一圈每隔

6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離的栽1株月

季花，共可栽丁香花和月季花多少株？兩株相鄰的丁香花之間的月季

花相距多少米？

方陣問題

【知識要點】

1、方陣問題：把若干人或物排列成正方形隊列的形式，根據排列

規律，引出的計算問題就叫做方陣問題

2、方陣問題的特點是：方陣每邊的實物數量相等，相鄰兩邊的實

物數量相差2,相鄰兩層的實物數量相差8

3、方陣問題的解題思路是：

(1)實心方陣：每邊數X每邊數=總數(每邊數一1)X4

=每層數

每層數:4+1=每邊數

(2)空心方陣：大實心方陣一小實心方陣=總數

（每邊數一層數）x層數*4=總數

【典型題解】

例1：四年級同學舉行廣播操比賽，排成了8行8歹如果去掉一行

一列，要去掉幾人？還剩多少人？

針對練習1

1、同學們排隊，要排成每行10人，共10行的方陣，共需要多少人?

2、同學們排成十行十列的方陣，如果去掉一行一列，要去掉多少人?

3、小明用棋子擺了一個實心方陣，后來他又加上15個棋子，使橫豎

各增加一排，成為一個大的實心方陣，原來的實心方陣每排有幾個

棋子？

例2：菊花展上，園丁李師傅要擺一個正方形空心花壇，已知四邊各

擺5盆菊花，且四個角上都有一盆，請計算李師傅擺這個花壇

共要用多少盆菊花？

針對練習2

1、一個正方形池塘四周栽滿了樹，已知每邊栽了9棵，并且四個角

上都有一棵，這個池塘四周一共栽了多少棵樹？

2、學校的升旗臺成正方形，在四周共放了40盆花，每個角放一盆,

每邊放花多少盆？

3、沿一個正方形水池的四周栽樹一行，四角都要栽1棵，共載樹152

棵。問每邊栽多少棵樹?

例3：某校180名學生，排成一個三層空心方陣，這個方陣外層每邊

有多少名學生？

針對練習3

1、一個兩層空心花盆陣，最外層每邊放了10盆，一共用花多少盆?

2、由24人組成兩層中空方陣，現在外面增加2層，要增加多少人?

3、一個三層的中空方陣，最內層共有80