第07講一元二次方程目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一一元二次方程的相關概念 3題型01識別一元二次方程 3題型02由一元二次方程的概念求參數的值 3題型03一元二次方程的一般式 3題型04由一元二次方程的解求參數的值 4題型05由一元二次方程的解求代數式的值 4題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根 4考點二解一元二次方程 6題型01用直接開平方法解一元二次方程 7題型02利用配方法解一元二次方程 8題型03利用因式分解法解一元二次方程 8題型04利用公式法解一元二次方程 8題型05利用換元法解一元二次方程 9題型06選用合適的方法解一元二次方程 9題型07錯看或錯解一元二次方程問題 10題型08配方法的應用 12題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況 13題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況 13題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍 14題型12應用根的判別式證明方程根的情況 14題型13應用根的判別式求代數式的取值范圍 15題型14與根的判別式有關的新定義問題 16考點三一元二次方程根與系數的關系 18題型01由根與系數的關系直接求代數式的值 18題型02由根與系數的關系和方程的解通過代換求代數式的值 19題型03由根與系數的關系和方程的解通過降次求代數式的值 19題型04由方程兩根滿足關系求字母或代數式的值 20題型05不解方程由根與系數的關系判斷根的正負 20題型06由方程兩根的不等關系確定字母系數的取值范圍 21題型07與根與系數有關的新定義問題 21題型08構造一元二次方程求代數式的值 22題型09根與系數的關系和根的判別式的綜合應用 22考點四一元二次方程的應用 24題型01分裂（傳播）問題 25題型02碰面（循環）問題 26題型03增長率問題 27題型04營銷問題 27題型05工程問題 29題型06行程問題 30題型07與圖形有有關的問題 31考點要求新課標要求命題預測一元二次方程的相關概念理解一元二次方程的相關概念.本考點內容以考查一元二次方程的相關概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理（根與系數的關系）、一元二次方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右.預計2024年各地中考還將繼續考查上述的幾個題型，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續二次函數頂點坐標的縱坐標公式記混了．一元二次方程的解法理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程；會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；一元二次方程的根與系數的關系了解一元二次方程的根與系數的關系.一元二次方程的應用能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.

考點一一元二次方程的相關概念一元二次方程的相關概念概念：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.一般形式：ax其中：a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，就是這個一元二次方程的解.易混易錯1.如果明確了ax2+2.一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數；③所含未知數的最高次數是2.3.在判斷一個方程是不是一元二次方程時,要先化成一般形式，再判斷.4.二次項系數、一次項系數和常數項都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項的系數時,應先將方程化為一般形式.5.一元二次方程的解，要么無解，有解必有兩個，所以最后方程的解一定要寫明x1，x2．題型01識別一元二次方程【例1】（2023·江西撫州·金溪一中校考模擬預測）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2?1=0 B．2x+y=1 C．x+1【變式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+x?y=0 C．x2+2x+5=x(x?1) 題型02由一元二次方程的概念求參數的值【例2】（2023南陽市一模）關于x的方程m+1xm+1A．?1 B．3 C．1 D．1或?1【變式2-1】（2022上·遼寧沈陽·九年級期中）方程(m?2)xm2?2+(5+m)x+3=0是關于題型03一元二次方程的一般式【例3】（2022上·河南鄭州·九年級鄭州外國語中學校考期中）將一元二次方程3x2=5x?1A．3x2?5x?1=0C．3x2?5x+1=0【變式3-1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學校考模擬預測）將方程4x2+8x=25化成aA．4，8，25 B．4，2，?25 C．4，8，?25 D．1，2，25【變式3-2】．（2021上·山西晉中·九年級階段練習）若一元二次方程的二次項系數為1，常數項為0，它的一個根為2，則該方程為______．【變式3-3】（2023集賢縣·九年級期中）已知關于x的一元二次方程a?1x2+x+a2A．1 B．?1 C．1或?1 D．1題型04由一元二次方程的解求參數的值【例4】（2022·廣東·中考真題）若x=1是方程x2?2x+a=0的根，則a=【變式4-1】（2021·湖南長沙·中考真題）若關于x的方程x2?kx?12=0的一個根為3，則k的值為方法技巧利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數的值，同時還要注意限制參數取值的其他隱含條件.題型05由一元二次方程的解求代數式的值【例5】（2023·甘肅隴南·一模）關于x的一元二次方程2xa?2+m=4的解為x=1，則a+mA．9 B．8 C．6 D．4【變式5-1】（2023·北京海淀·校考模擬預測）如果x=?1是方程x2A．m>n B．m=n C．m<n D．不確定的【變式5-2】（2023渭南市月考）若關于x的方程ax2+bx?1=0的一個解為x=1，則2023?a?b=_____【變式5-3】（2023·廣東佛山·校考一模）已知a是方程2x2?5x?7=0的一個根，則代數式4題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根【例6】（2022·廣西貴港·中考真題）若x=?2是一元二次方程x2+2x+m=0的一個根，則方程的另一個根及m的值分別是（A．0，?2 B．0，0 C．?2，?2 D．?2，0【變式6-1】（2023寧德市一模）關于x的一元二次方程x2?2kx?5=0的一個根是1，則這個方程的另一個根是_______．【變式6-2】（2023遵義市第十一中三模）若關于x的一元二次方程x2?kx?2=0的一個根為x=1，則這個一元二次方程的另一個根為_____

考點二解一元二次方程解一元二次方程的方法基本思路通過“降次”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.特征步驟解法直接開平方法形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程1）方程兩邊同時除以a，得x2=b2）兩邊分別開方得x1=ba=，x2=配方法可配成(mx+a)2=b形式的一元二次方程1）移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；2）二次項系數化為1：方程兩邊都除以二次項系數；3）配方：方程兩邊都加上一次項系數一般的平方，把方程化為(mx+a)2=b（b≥0）的形式；4）求解：判斷右邊等式符號，開平方并求解.【注意】：①當b<0時，方程無解②當b≥0時，方程的根是x=?因式分解法可化成(ax+b)(cx+d)=0形式的一元二次方程1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；4）求解.口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.公式法適用所有一元二次方程1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數是分數通常將其化為整數，方便計算)；2）求出b2-4ac的值，根據其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：x=?4）最后求出x1，x2。1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法選擇：1）當a=1，b為偶數，c≠0時，首選配方法；2）當b=0時，首選直接開平方法；3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；4）當a=1，b≠0，c≠0時，可選配方法或因式分解法；5）當a≠1，b≠0，c≠0時，可選公式法或因式分解法.根的判別式一般地，式子b2?4ac叫做一元二次方程ax根的情況與判別式的關系Δ＞0方程ax2Δ=0方程ax2Δ＜0方程ax易混易錯1.用直接開平方法求一元二次方程的根，一定要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，且它們互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.2.利用因式分解法解方程時，含有未知數的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.3.求根公式的使用條件：a≠0且b2-4ac≥0.4.使用一元二次方程根的判別式，應先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的值.5.利用判別式可以判斷方程的根的情況,反之,當方程：1）有兩個不相等的實數根時,Δ>0;2）有兩個相等的實數根時,Δ=0;3）沒有實數根時,Δ<0.6.一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數根；2）有兩個不相等的實數根．題型01用直接開平方法解一元二次方程【例1】（2023·天津西青·二模）方程x+62?9=0的兩個根是（A．x1=3，x2=9 B．C．x1=3，x2=?9 【變式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x?2)2=3的兩根為a、b，且a>b，則2a+b的值為【變式1-2】（2023·齊齊哈爾市模擬）解關于x的方程：42x?5題型02利用配方法解一元二次方程【例2】（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（）A．x+12=3 B．x+12=6 C．【變式2-1】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時，將它化為x+a2=bA．103 B．73 C．2 【變式2-2】（2023·山西大同·校聯考模擬預測）將方程2x2?12x+1=0配方成x?mA．x+32=17 B．x+32=172【變式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2?4x?3=0，配方得(x+m)2題型03利用因式分解法解一元二次方程【例3】（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程x?2x+7=0的根是【變式3-1】（2023惠陽區模擬預測）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為_____．【變式3-2】（2023·江蘇南京·二模）解方程：xx?6題型04利用公式法解一元二次方程【例4】（2023·甘肅隴南·一模）用公式法解方程x2A．?43 B．?28 C．45 D．60【變式4-1】（2023·江蘇無錫·一模）方程x2?3x=1的解是______．【變式4-2】（2023·內蒙古呼倫貝爾·校考一模）方程x2+2x?2=0的解是【變式4-3】（2023長嶺縣模擬）一元二次方程x2?3x+2=0根的判別式的值為題型05利用換元法解一元二次方程【例5】（2023·浙江寧波·校考一模）已知a2+b22【變式5-1】（2023羅湖區模擬預測）若x2+y2+3x【變式5-2】我們知道方程x2+2x?3=0的解是x1=1，x2=?3A．x1=1，x2=3C．x1=?1，x2【變式5-3】（2023·四川綿陽·二模）二次函數y=ax2+bx+c的部分對應值如列表所示：則一元二次方程a(2x?1)2x…?30135…y…7??9?57…題型06選用合適的方法解一元二次方程【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2【變式6-1】（2023·廣東廣州·一模）解方程(x?2)2【變式6-2】（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）解下列方程(1)9(2)x(3)2題型07錯看或錯解一元二次方程問題【例7】（2022·浙江溫州·一模）關于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝4±282整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D【變式7-1】下面是小明同學的錯題本的一部分，請你仔細閱讀，幫助他補充完整．解方程：x?3解：x?3=2x…第一步x?2x=3?第二步x=?3?第三步(1)提示：第_____步開始出現錯誤；(2)改正：【變式7-2】（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程3x?3小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．小霞：移項，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【變式7-3】（2023·山西晉中·模擬預測）（1）計算：sin45°+tan45°?2（2）下面是小明同學解方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解：x2x2?2x+1=1，即x?1=±1第三步x1任務一：①填空：上述材料中小明同學解一元二次方程的數學方法是___________，依據的一個數學公式是__________；第_步開始出現錯誤；任務二：②請你直接寫出該方程的正確解．___________【變式7-4】（2023上·北京東城·九年級期末）下面是小聰同學用配方法解方程：2x2?4x?p=02解：移項，得：2x二次項系數化為1，得：x2配方，得x2即(x?1)2∵p>0，∴x?1=±p∴x1=1+2p(1)第②步二次項系數化為1的依據是什么？(2)整個解答過程是否正確？若不正確，說出從第幾步開始出現的錯誤，并直接寫出此方程的解．題型08配方法的應用【例8】（2023上·江西九江·九年級階段練習）材料一：解方程：x2解：把常數項移到方程的右邊，得x2兩邊都加42，得x2+8x+兩邊開方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=?5，所以x1=1，在上例中，我們通過配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．材料二：對于某些二次三項式也可以通過配方，利用完全平方式的非負性解決其最值問題．例如：x2∵x?32∴x?32+1≥1，即（1）解一元二次方程x2?4x?2=0，配方后可變形為（A．x?42=8 B．x?42=6 C．（2）利用配方法求?x（3）已知方程x2+y【變式8-1】（2023上·廣東深圳·九年級校考階段練習）配方法在代數式求值、解方程、求最值問題……中都有著廣泛的應用．例如：若代數式M=a利用配方法求M的最小值：M===∵(a?b)2≥0，∴當a=b=1時，代數式M有最小值為1．請根據上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2(2)若代數式M=a(3)已知a2+2b題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況【例9】（2022·山東濱州·中考真題）一元二次方程2x2?5x+6=0A．無實數根 B．有兩個不等的實數根C．有兩個相等的實數根 D．不能判定【變式9-1】（2022·遼寧撫順·中考真題）下列一元二次方程無實數根的是（

）A．x2+x?2=0 C．x2+x+5=0 【變式9-2】（2020·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個相等實數根的是（

）A．x2+1=2x C．x2?2x=3 【變式9-3】（2022·江蘇揚州·中考真題）請填寫一個常數，使得關于x的方程x2?2x+_____方法技巧若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況【例10】（2022·湖北荊州·中考真題）關于x的方程x2?3kx?2=0實數根的情況，下列判斷正確的是（A．有兩個相等實數根 B．有兩個不相等實數根C．沒有實數根 D．有一個實數根【變式10-1】（2020·山東濰坊·中考真題）關于x的一元二次方程x2+(k?3)x+1?k=0根的情況，下列說法正確的是（A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．無法確定題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍【例11】（2022·北京·中考真題）若關于x的一元二次方程x2+x+m=0有兩個相等的實數根，則實數m的值為（A．?4 B．?14 C．14【變式11-1】（2022·四川宜賓·中考真題）若關于x的一元二次方程ax2+2x?1=0A．a≠0 B．a>?1且a≠0 C．a≥?1且a≠0 D．a>?1【變式11-2】（2022·江蘇淮安·中考真題）若關于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數根，則k的值可以是（A．?2 B．?1 C．0 D．1【變式11-3】（2023綿陽市模擬）關于x的一元二次方程kx2+2x?1=0題型12應用根的判別式證明方程根的情況【例12】（2022上·福建福州·九年級福建省福州銅盤中學校考階段練習）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)如果方程有一個根為正數，求m的取值范圍．【變式12-1】（2022·湖北十堰·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩個實數根分別為α，β，且α+2β=5，求m的值．【變式12-2】（2022·北京朝陽·一模）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個實數根；(2)若該方程的兩個實數根都是整數，且其中一個根是另一個根的2倍，求a的值．【變式12-3】（2023·廣東江門·二模）已知關于x的方程x2(1)求證：無論k取何實數值，方程總有實數根；(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．題型13應用根的判別式求代數式的取值范圍【例13】（2023·河南信陽·校考三模）關于x的一元二次方程m?3x2?2x+1=0A．m<4且m≠3 B．m>4 C．m≥4 D．m≤4且m≠3【變式13-1】（2022株洲市二中二模）若關于x的方程kx2?3x?94A．k=0 B．k≥?1且k≠0 C．k≥?1 D．k>?1【變式13-2】（2023·湖北襄陽·模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2?6x+2m?1=0有(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實數m，滿足x1【變式13-3】（2023·湖北孝感·校考模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2+3x+2k?1=0有兩個實數根x(1)求k的取值范圍；(2)若x12?【變式13-4】（2023·浙江·模擬預測）已知三個關于x的方程x2?x+m=0,(m?1)x2+2x+1=0題型14與根的判別式有關的新定義問題【例14】（2020·湖北荊州·中考真題）定義新運算a?b，對于任意實數a，b滿足a?b=a+ba?b?1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如4?3=(4+3)(4?3)?1=7?1=6，若x?k=xA．有一個實根 B．有兩個不相等的實數根 C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根【變式14-1】（2022·內蒙古·中考真題）對于實數a，b定義運算“?”為a?b=b2?ab，例如3?2=22?3×2=?2，則關于x的方程A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．無法確定【變式14-2】（2020·河南·中考真題）定義運算：m☆n=mn2?mn?1．例如:4☆2=4×22A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．只有一個實數根

考點三一元二次方程根與系數的關系若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0QUOTE≠0，Δ≥0）的兩個根是x1和x2，則x1，x2與方程的系數a，b，c之間有如下關系：x1+x2＝?【擴展】用根與系數的關系求值時的常見轉化：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根x1,x21）平方和x12+2）倒數和1x1+1x3）差的絕對值|x1-x2|=(4)x1x5易混易錯1.如果方程x2+px+q＝0的兩個根為x1,x2，那么x1+x2＝?p，2.以兩個數x1,x2為根的一元二次方程（二次項系數為1）是x2-（x1+3.運用根與系數的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.4.一元二次方程根與系數關系的使用條件：a≠0且△≥0.題型01由根與系數的關系直接求代數式的值【例1】（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2?2x?a=0的兩根分別記為x1，x2，若x1A．7 B．?7 C．6 D．?6【變式1-1】（2023·湖北武漢·模擬預測）已知m，n是一元二次方程x2+3x?2=0的兩根，則2m?nA．?3 B．?2 C．?13 【變式1-2】（2023漢壽縣一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的兩個根，則abA．?23 B．?32 C．32【變式1-3】（2022·湖南婁底·中考真題）已知實數x1,x2是方程x【變式1-4】（2021·湖北黃岡·一模）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有兩個實數根x1，x2，則x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．【變式1-5】（2021·湖北孝感·一模）已知方程x2?4x?1=0的兩根為x1,方法技巧求含有兩根的代數式的值將所求代數式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數關系得到的值，求出結果.題型02由根與系數的關系和方程的解通過代換求代數式的值【例2】（2023潛江市模擬）若α、β為方程2x2?5x?1=0的兩個實數根，則2αA．?13 B．12 C．14 D．15【變式2-1】（2021·江蘇南通·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+3x?1=0的兩個實數根，則m3+【變式2-2】（2021·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個實數根，則m2題型03由根與系數的關系和方程的解通過降次求代數式的值【例3】（2022·內蒙古呼和浩特·中考真題）已知x1，x2是方程x2?x?2022=0的兩個實數根，則代數式A．4045 B．4044 C．2022 D．1【變式3-1】（2023連云港市檢測）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個實數根，則α3+8β+6的值為（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【變式3-2】（2021上·湖北武漢·九年級武漢市武珞路中學校考期中）已知a，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數式2aA．19 B．20 C．14 D．15【變式3-3】（2021·湖北武漢·中考真題）已知a，b是方程x2?3x?5=0的兩根，則代數式2aA．-25 B．-24 C．35 D．36【變式3-4】已知α、β是方程x2+x?1=0的兩根，則α4β?βA．7 B．8 C．9 D．10【變式3-5】（2020·浙江杭州·九年級專題練習）已知α，β是方程x2+2x?1=0的兩根，則α3題型04由方程兩根滿足關系求字母或代數式的值【例4】（2022·四川瀘州·中考真題）已知關于x的方程x2?2m?1x+m2=0的兩實數根為x1，A．?3 B．?1 C．?3或3 D．?1或3【變式4-1】（2022·湖北武漢·校聯考模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2?m=0的兩實數根為x1,x2A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2【變式4-2】（2022·廣東佛山·二模）若a、b是關于x的一元二次方程x2?2kx＋4k=0的兩個實數根，且a2＋b2＝12，則k的值是（

）A．?1 B．3 C．?1或3 D．?3或1【變式4-3】（2019·廣東廣州·中考真題）關于x的一元二次方程x2?(k?1)x?k+2=0有兩個實數根x1,x2，A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【變式4-4】（2022·四川內江·中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且x2x1+x1x2＝x1【變式4-5】（2022·四川巴中·中考真題）α、β是關于x的方程x2?x+k?1=0的兩個實數根，且α2?2α?β=4，則k的值為題型05不解方程由根與系數的關系判斷根的正負【例5】（2020·江蘇南京·中考真題）關于x的方程(x?1)(x+2)=ρ2（ρ為常數）根的情況下，下列結論中正確的是（A．兩個正根 B．兩個負根C．一個正根，一個負根 D．無實數根【變式5-1】（2023秦淮區9年紀月考）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，下列結論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【變式5-2】（2021·江蘇南京·一模）關于x的方程3x2?7x+4=0A．兩個正根 B．兩個負根C．一個正根，一個負根 D．無實數根【變式5-3】關于x的方程x?2x+1=p2（A．有兩個相異正根 B．有兩個相異負根 C．有一個正根和一個負根 D．無實數根題型06由方程兩根的不等關系確定字母系數的取值范圍【例6】（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯考二模）已知關于x的一元二次方程x2?6x+(2m+1)=0的兩個實數根為x1、x2，且2xA．m≥3 B．m≤?4 C．3≤m≤4 D．?3≤m≤4【變式6-1】（2023·四川綿陽·三模）已知關于x的方程4x2?k+5x?k?9=0有兩個不相等的實數根x1，x2A．?18<k<?10 B．0<k<8C．?9<k<?5 D．?18<k<?10且k≠?13【變式6-2】（2023·山東日照·二模）關于x的一元二次方程2x2?2x+3m?1=0兩個實數根x1、x2【變式6-3】（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知關于x的方程x2?2m+1x+m2=0m≠0有兩實數根題型07與根與系數有關的新定義問題【例7】（2023上·湖南婁底·九年級校聯考期末）定義運算：a?b=a1?b，若a，b是方程x2?x+14A．?1 B．0 C．1 D．±1【變式7-1】．（2022上·貴州銅仁·九年級階段練習）對于任意實數a，b，我們定義新運算“*”：a?b=a2+2ab?b2，例如：3?5=A．107 B．-3 C．17 【變式7-2】（2023上·江蘇泰州·九年級泰州市第二中學附屬初中校考階段練習）對于實數m、n，定義運算“※”：m※n=mnm+n．例如，4※2=4×2×4+2=48．若x1，x2是關于x的一元二次方程【變式7-3】（2023上·遼寧阜新·九年級校考階段練習）對于任意實數a，b，定義：a◆b=a2+3ab+2b題型08構造一元二次方程求代數式的值【例8】（2023·湖北武漢·一模）如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2+m=3，n2+n=3，那么代數式A．16 B．15 C．12 D．9【變式8-1】（2023武昌區聯考）若a≠b，且a2?4a+1=0,b2?4b+1=0則11+a2+1【變式8-2】（2022·湖北鄂州·中考真題）若實數a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則1a+1b的值為【變式8-3】（2021上·重慶黔江·九年級期末）已知實數m，n?(m≠n)滿足等式m2?2m?1=0，n2?2n?1=0，則題型09根與系數的關系和根的判別式的綜合應用【例9】（2023重慶市9年紀期末）關于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范圍；(2)如果x1，x2是方程的兩個解，令w=x【變式9-1】（2023·四川南充·中考真題）已知關于x的一元二次方程x(1)求證：無論m為何值，方程總有實數根；(2)若x1，x2是方程的兩個實數根，且【變式9-2】（2022上·四川遂寧·九年級期末）已知關于x的一元二次方程mx2?2x?1=0有兩個不相等的實數根x(1)求m的取值范圍；(2)當x1

考點四一元二次方程的應用1、用一元二次方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.2、與一元二次方程有關應用題的常見類型：1)變化率問題解決這類問題的關鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎上發生的.解決此類問題時，務必要記住公式a(1±x)n=b，其中a為增長(或降低)的基礎數，x為增長(或降低)的變化率，n為增長(或降低)的次數，b為增長(或降低)后的數量.即：2)利潤和利潤率問題在日常生活中，經常遇到有關商品利潤的問題，解決這類問題的關鍵是利用其中已知量與未量之間的等量關系建立方程模型，并通過解方程來解決問題.要正確解答利潤或利潤率問題，首先要理解進價、售價、利潤及利潤率之間的關系：利潤=售價一進價；利潤率=利潤×100%.3)面積問題幾何圖形的面積問題是中考的熱點問題，通常涉及三角形、長方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式，從中找到等量關系解決問題.有關面積的應用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.常見類型1：如圖1，矩形ABCD長為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為x，則陰影部分的面積為(a?2x)(b?2x)．常見類型2：如圖2，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則空白部分的面積為(a?x)(b?x)．常見類型3：如圖3，矩形ABCD長為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則4塊空白部分的面積之和能轉化為(a?x)(b?x)．4)分裂（傳播）問題解決此類問題的關鍵是原細胞或傳染源在不在總數中.其一般思路是先分析問題情境，明確是分裂問題還是傳播問題，然后找出問題中的數量關系，再建立適當的數學模型求解.①傳播問題：傳染源在傳播過程中，原傳染源的數量計入傳染結果，若傳染源數量為1，每一個傳染源傳染x個個體，則第一輪傳染后，感染個體的總數為1+x，第二輪傳染后感染個體的總數為(1+x)2.②分裂問題：細胞在分裂過程中，原細胞數目不計入分裂總數中，若原細胞數目為1，每一個細胞分裂為x個細胞，則第一次分裂后的細胞總數為x，第二次分裂后的細胞總數為x2.5)碰面問題（循環）問題①重疊類型（雙循環）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m．∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分．∴m=1②不重疊類型（單循環）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m．∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場．∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊．∴m=n（n－1）題型01分裂（傳播）問題【例1】（2021·黑龍江·中考真題）有一個人患了流行性感冒，經過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數是（

）A．14 B．11 C．10 D．9【變式1-1】（2022·天津和平·一模）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，設每個支干長出x個小分支，則下列方程正確的是（）A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【變式1-2】（2023·廣東陽江·一模）自2023年1月以來，甲流便肆虐橫行，成為當前主流流行疾病．某一小區有1位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非常快，小區經過兩輪傳染后共有121人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經過三輪傳染后累計是否超過1500人患了甲流？【變式1-3】（2022上·云南紅河·九年級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經得到有效控制，但在全球卻持續蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？題型02碰面（循環）問題【例2】（2021·貴州畢節·中考真題）某校八年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為單循環形式（每兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則八年級班級的個數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-1】（2023上·云南昆明·九年級期末）中國男子籃球職業聯賽（簡稱：CBA），分常規賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．2022-2023CBA常規賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（）A．80個 B．120個 C．15個 D．16個【變式2-2】（2023上·廣東惠州·九年級期末）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設有x人參加活動，可列方程為（）A．12xx?1=10 B．xx?1=10【變式2-3】某學習小組的成員互贈新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學習小組成員的人數是_________．題型03增長率問題【例3】（2022·重慶·中考真題）小區新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的是（

）A．2001+x2=242 C．2001+2x=242 【變式3-1】（2022·安徽·校聯考一模）在“雙減政策”的推動下，某校學生課后作業時長有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業時長為a分鐘，經過去年下半年和今年上半年兩次整改后，現在平均每周作業時長比去年上半年減少了70%，設每半年平均每周作業時長的下降率為x，則可列方程為（

）A．a1?x2=70%C．a1?x2=30%【變式3-2】（2022·上海·中考真題）某公司5月份的營業額為25萬，7月份的營業額為36萬，已知6、7月的增長率相同，則增長率為_______．題型04營銷問題【例4】（2022·河北保定·一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進價為6元．當每瓶售價為10元時，日均銷售量為160瓶，經市場調查表明，每瓶售價每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計劃該飲料日均總利潤為700元，且盡快減少庫存，則每瓶該飲料售價為（）A．11 B．12 C．13 D．14【變式4-1】（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期末）某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出200件，現需降價處理，且經市場調查發現：每降價1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤要達到8450元．若設店主把該商品每件售價降低x元，則可列方程為（

）A．60?x200+8x=8450 C．20?x200+40x=8450 【變式4-2】（2022上·重慶·九年級重慶一中校考期中）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗，某超市以10元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出80袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1440元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為（）A．(16?x?10)(200+80x)=1440 B．(16?x)(200+80x)=1440C．(16?x?10)(200?80x)=1440 D．(16?x)(200?80x)=1440【變式4-3】（2022·四川眉山·中考真題）建設美麗城市，改造老舊小區．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現假定每年投入資金的增長率相同．(1)求該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率；(2)2021年老舊小區改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區品質，每個小區改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區？【變式4-4】（2023·山東東營·東營市勝利第一初級中學校考三模）某公司2月份銷售新上市的A產品20套，由于該產品的經濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．(1)求該公司銷售A產品每次的增長率；(2)若A產品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當的降價措施，經調查發現，A產品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產品需降價多少？題型05工程問題【例5】（2023·重慶開州·校聯考一模）某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了m+25小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【變式5-1】（2022·重慶·重慶巴蜀中學校考一模）“端午臨中夏，時清日復長”．臨近端午節，一網紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數比乙組2天加工的粽子數多300袋．兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務．已知甲、乙兩組加工的天數均為整數，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【變式5-2】（2022·重慶·校考一模）某公司主營鐵路建設施工．(1)原計劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計劃完成，且橋梁施工的里程數正好是原計劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預計二季度平地施工里程會減少7a千米，隧道施工里程會減少2a千米，橋梁施工里程會增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會增加12題型06行程問題【例6】（2021·福建龍巖·模擬預測）《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數是_______．【變式6-1】（2021·安徽宣城·校考一模）甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？題型07與圖形有有關的問題【例7】一份攝影作品【七寸照片（長7英寸，寬5英寸）】，現將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍．設照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（

）A．2(7+x)(5+x)=7×5 B．(7+x)(5+x)=2×7×5C．2(7+2x)(5+2x)=7×5 D．(7+2x)(5+2x)=2×7×5【變式7-1】（2022·河南洛陽·一模）春意復蘇，鄭州綠化工程正在如火如荼地進行著，某工程隊計劃將一塊長64m，寬40m的矩形場地建設成綠化廣場如圖，廣場內部修建三條寬相等的小路，其余區域進行綠化．若使綠化區域的面積為廣場總面積的80%，求小路的寬，設小路的寬為xm，則可列方程（

）A．(64?2x)(40?x)=64×40×80% B．C．64x+2×40x?2x2=64×40×80%【變式7-2】（2023·河北衡水·二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個相鄰邊長為m，50的大矩形，部分數據如圖所示．（1）若n=8，則矩形A的水平邊長為_________；（2）請用含m，n的代數式表示矩形A的周長：_________；（3）若矩形A，B的面積相等，則n=_________．【變式7-3】（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預測）如圖，在一塊長15米、寬10米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為126平方米，則修建的路寬應是多少米？

【變式7-4】（2021深圳市模擬）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB=xm.（1）若花園的面積為192m2,求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.【變式7-5】（2022上·江蘇無錫·九年級期中）某科研單位準備將院內一塊長30m，寬20m的矩形ABCD空地，建成一個矩形花園，要求在花園內修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為532m(2)現將矩形花園的四個角建成休閑活動區，如圖2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、△DPN均為全等的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，設EF＝HG＝MN＝①求剩余的種植花草區域的面積（用含有a的代數式表示）；②如果種植花草區域的建造成本是100元/米2、建造花草區域的總成本為42000元，求a的值．【變式7-6】（2023·安徽合肥·校考一模）已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t((1)當t為何值時，△PBQ是直角三角形？(2)是否存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的23？如果存在，求出相應的t【變式7-7】（2020上·四川成都·九年級成都外國語學校校考期中）如圖，點P是線段BD上一個動點，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．（1）當∠APC＝90°，a＝14時，求BP的長度；（2）若∠APC＝90°時，點P有兩個符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值；（3）若∠APC＝120°時，點P有且只有一個點符合要求，求a的值．

第07講一元二次方程答案解析考點一一元二次方程的相關概念題型01識別一元二次方程【例1】（2023·江西撫州·金溪一中校考模擬預測）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2?1=0 B．2x+y=1 C．x+1【答案】A【提示】根據一元二次方程的定義：含有一個未知數，并且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程，進行判斷即可．【詳解】解：A、是一元二次方程，故該選項符合題意；B、含有兩個未知數，故不是一元二次方程，該選項不符合題意；C、不是整式方程，故不是一元二次方程，該選項不符合題意；D、未知數的最高次數是1，故是一元一次方程，該選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時要注意：①是整式方程，②只含有一個未知數，③所含未知數的項的最高次數是2．【變式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+x?y=0 C．x2+2x+5=x(x?1) 【答案】D【提示】根據一元二次方程定義，只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程，逐項提示判斷即可．【詳解】解：A、x2B、ax2+2x?3=0C、x2+2x+5=x(x?1)整理后得D、x2故選：D.【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關鍵．題型02由一元二次方程的概念求參數的值【例2】（2023南陽市一模）關于x的方程m+1xm+1A．?1 B．3 C．1 D．1或?1【答案】C【提示】根據一元二次方程的定義，即可求解．【詳解】解：∵關于x的方程m+1x∴m+1=2且m+1≠0解得：m=1．故選C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的整式方程是一元二次方程是解題的關鍵．【變式2-1】（2022上·遼寧沈陽·九年級期中）方程(m?2)xm2?2+(5+m)x+3=0是關于【答案】?2【提示】根據一元二次方程的定義知，m2?2=2，且m?2≠0，據此可以求得【詳解】解：∵方程(m?2)xm2∴m2?2=2解得m=?2；故答案是：?2．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．題型03一元二次方程的一般式【例3】（2022上·河南鄭州·九年級鄭州外國語中學校考期中）將一元二次方程3x2=5x?1A．3x2?5x?1=0C．3x2?5x+1=0【答案】C【提示】把等號右邊的式子移到等號左邊即可解題．【詳解】解：3移項得：3故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是掌握移項變號的基本步驟．【變式3-1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學校考模擬預測）將方程4x2+8x=25化成aA．4，8，25 B．4，2，?25 C．4，8，?25 D．1，2，25【答案】C【提示】將4x【詳解】解：將原方程化為一般形式得：4x∴a=4，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程一般式是解決問題的關鍵．【變式3-2】．（2021上·山西晉中·九年級階段練習）若一元二次方程的二次項系數為1，常數項為0，它的一個根為2，則該方程為______．【答案】x2?2x=0/-2x+x【提示】直接利用已知要求得出符合題意的方程．【詳解】解：由題意可得，該方程的一般形式為：x2-2x=0．故答案為：x2-2x=0．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關定義是解題關鍵．【變式3-3】（2023集賢縣·九年級期中）已知關于x的一元二次方程a?1x2+x+a2A．1 B．?1 C．1或?1 D．1【答案】B【提示】根據一元二次方程的定義和題意列出a滿足的條件求解即可．【詳解】解：由題意，a2解得：a=?1，故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的定義和解法，掌握一元二次方程的定義與基本解法是解題關鍵．題型04由一元二次方程的解求參數的值【例4】（2022·廣東·中考真題）若x=1是方程x2?2x+a=0的根，則a=【答案】1【提示】本題根據一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．【詳解】把x=1代入方程x2解得a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．【變式4-1】（2021·湖南長沙·中考真題）若關于x的方程x2?kx?12=0的一個根為3，則k的值為【答案】?1【提示】將x=3代入方程可得一個關于k的一元一次方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，將x=3代入方程x2?kx?12=0得：解得k=?1，故答案為：?1．【點睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關鍵．題型05由一元二次方程的解求代數式的值【例5】（2023·甘肅隴南·一模）關于x的一元二次方程2xa?2+m=4的解為x=1，則a+mA．9 B．8 C．6 D．4【答案】C【提示】根據一元二次方程的概念可求出a的值，根據解為x=1可求出m的值，由此即可求解．【詳解】解：關于x的一元二次方程2x∴a?2=2，解得，a=4，∴一元二次方程2x∵解為x=1，∴2×12+m=4∴a+m=4+2=6，故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代數式求值的方法是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·北京海淀·校考模擬預測）如果x=?1是方程x2+mx+n=0A．m>n B．m=n C．m<n D．不確定的【答案】A【分析】把方程的解代入方程，得到m，n的關系式，判斷m，n的大小．【詳解】解：把x=?1代入方程有：1?m+n=0∴m?n=1>0∴m>n．故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的關系式，是解題的關鍵．【變式5-2】（2023渭南市月考）若關于x的方程ax2+bx?1=0的一個解為x=1，則【答案】2022【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=1，再求代數式的值．【詳解】解：把x=1代入方程ax2+bx?1=0即a+b=1，所以2023?a?b=2023?(a+b)=2023?1=2022．故答案為：2022．【點睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數式的值，“知解必代”是解題的關鍵．【變式5-3】（2023·廣東佛山·校考一模）已知a是方程2x2?5x?7=0的一個根，則代數式4【答案】14【分析】根據方程的根的定義，把x=a代入方程求出2a【詳解】解：∵a是方程2x∴2a整理得，2a∴4a故答案是：14．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代數式的值，理解一元二次方程的解的概念是解題的關鍵．題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根【例6】（2022·廣西貴港·中考真題）若x=?2是一元二次方程x2+2x+m=0的一個根，則方程的另一個根及m的值分別是（A．0，?2 B．0，0 C．?2，?2 D．?2，0【答案】B【提示】直接把x=?2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一個根．【詳解】解：根據題意，∵x=?2是一元二次方程x2把x=?2代入x2(?2)2解得：m=0；∴x2∴x(x+2)=0，∴x1=?2，∴方程的另一個根是x=0；故選：B【點睛】本題考查了解一元二次方程，方程的解，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的步驟進行計算．【變式6-1】（2023寧德市一模）關于x的一元二次方程x2?2kx?5=0的一個根是1，則這個方程的另一個根是【答案】?5【提示】根據方程的一個根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∴關于x的一元二次方程x2∴1?2k?5=0，∴k=?2，∴x2解得x1=1，∴方程的另一個根是-5．故答案為：-5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答關鍵．【變式6-2】（2023遵義市第十一中三模）若關于x的一元二次方程x2?kx?2=0的一個根為x=1，則這個一元二次方程的另一個根為【答案】-2【提示】由題目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答題．【詳解】解：將x=1代入一元二次方程x2?kx?2=0有：方程x(x+2)(x?1)=0即方程的另一個根為x=-2故本題的答案為-2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系數是解題的關鍵．考點二解一元二次方程題型01用直接開平方法解一元二次方程【例1】（2023·天津西青·二模）方程x+62?9=0的兩個根是（A．x1=3，x2=9 B．C．x1=3，x2=?9 【答案】D【提示】根據直接開平方法求解即可．【詳解】解：x+62x+62∴x+6=±3，∴x故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練運用直接開平方法是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x?2)2=3的兩根為a、b，且a>b，則2a+b的值為【答案】6+3/【提示】先利用直接開平方法解方程得到a=2+3，b=2?3，然后把它們代入【詳解】解：(x?2)2x?2=±3解得x1=2+3∵方程(x?2)2=3的兩根為a、b，且∴a=2+3，b=2?∴2a+b=2(2+3故答案為：6+3【點睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式1-2】（2023·齊齊哈爾市模擬）解關于x的方程：42x?5【答案】x1=?【提示】變形后利用直接開方法解方程即可．【詳解】整理得：22x?5∴22x?5∴22x?5=33x?1∴x1=?7【點睛】本題考查了直接開方法解一元二次方程，解題關鍵是熟記直接開平方法的解方程的步驟，準確進行計算即可．題型02利用配方法解一元二次方程【例2】（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（）A．x+12=3 B．x+12=6 C．【答案】C【提示】方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果．【詳解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．【變式2-1】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時，將它化為x+a2=bA．103 B．73 C．2 【答案】B【提示】將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：∵3x∴3x2+6x=1則x2+2x+1=1∴a=1，b=4∴a+b=7故選：B．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．【變式2-2】（2023·山西大同·校聯考模擬預測）將方程2x2?12x+1=0配方成x?mA．x+32=17 B．x+32=172【答案】D【提示】先二次項化系數為1，將常數項移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項系數的一半，即可求解．【詳解】解：2x二次項化系數為1得：x2移項得：x2配方得：x2整理得：x?32故選：D．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．【變式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2?4x?3=0，配方得(x+m)2【答案】?2【提示】根據配方法的一般步驟先把常數項?3移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數?4的一半的平方，即可得出答案．【詳解】解：x2x2x2(x?2)2則m=?2．故答案為：?2．【點睛】此題考查了配方法的應用，掌握配方法的一般步驟是本題的關鍵，配方法的一般步驟是（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．題型03利用因式分解法解一元二次方程【例3】（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程x?2x+7=0的根是【答案】x1=2【提示】由兩式相乘等于0，則這兩個式子均有可能為0即可求解．【詳解】解：由題意可知：x?2=0或x+7=0，∴x1=2或故答案為：x1=2或【點睛】本題考查一元二次方程的解法，屬于基礎題，計算細心即可．【變式3-1】（2023惠陽區模擬預測）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為_____．【答案】13【提示】利用因式分解法解方程，得到x1=4，【詳解】解：∵x2∴(x?4)(x?9)=0，∴x1=4，∵3+6=9，∴x2∴三角形的周長為：3+6+4=13；故答案為：13.【點睛】本題考查了解一元二次方程，以及三角形的三邊關系的應用，解題的關鍵是正確求出第三邊的長度，以及掌握三角形的三邊關系.【變式3-2】（2023·江蘇南京·二模）解方程：xx?6【答案】x【提示】先移項，然后利用因式分解法可進行求解．【詳解】解：xxx?6解得：x1【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．題型04利用公式法解一元二次方程【例4】（2023·甘肅隴南·一模）用公式法解方程x2A．?43 B．?28 C．45 D．60【答案】D【提示】Δ＝b2?4ac，給【詳解】解：x2∵a=1，∴Δ＝?42故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．【變式4-1】（2023·江蘇無錫·一模）方程x2?3x=1的解是【答案】x【提示】利用公式法解方程即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴a=1，∴Δ=∴x=?b±解得x1故答案為：x1【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式4-2】（2023·內蒙古呼倫貝爾·校考一模）方程x2+2x?2=0的解是【答案】x【提示】利用公式法計算即可．【詳解】∵x2a=1,b=2,c=?2,Δ∴x=?2±∴x故答案為：x1【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握公式法解方程是解題的關鍵．【變式4-3】（2023長嶺縣模擬）一元二次方程x2?3x+2=0根的判別式的值為【答案】1【提示】首先找出一元二次方程x2?3x+2=0中a=1，b=?3，c=2，然后根據根的判別式【詳解】解：∵一元二次方程x2?3x+2=0中a=1，b=?3，∴Δ=b故答案是：1．【點睛】本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題的關鍵是掌握根的判別式Δ=b題型05利用換元法解一元二次方程【例5】（2023·浙江寧波·校考一模）已知a2+b22【答案】3【提示】把a2+b2看作一個整體，設【詳解】解：設a2據題意，得y2解得y1∵a2∴y2∴a2故答案為：3．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是將a2【變式5-1】（2023羅湖區模擬預測）若x2+y2【答案】5【提示】設x2+y2=m【詳解】解：設x2+y即m2解得m1=5，∵x2∴x2故答案為：5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法以及非負數的性質，熟練掌握解一元二次方程的一般方法和步驟是解題的關鍵．【變式5-2】我們知道方程x2+2x?3=0的解是x1A．x1=1，x2=3C．x1=?1，x2【答案】D【提示】把方程(2x+3)2+2(2x+3)?3=0看作關于【詳解】把方程(2x+3)2+2(2x+3)?3=0看作關于∴2x+3=1或2x+3=?3，∴x1故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程求解方法中的換元法,熟悉換元法的解題步驟是解題關鍵．【變式5-3】（2023·四川綿陽·二模）二次函數y=ax2+bx+c的部分對應值如列表所示：則一元二次方程ax…?30135…y…7??9?57…【答案】x1=?1【提示】利用拋物線與x軸的交點問題得到一元二次方程ax2+bx+c=7的解為x1=?3，x2=5，再把方程a(2x?1【詳解】解：由表值值數據得x=?3或x=5時，y=7，∴一元二次方程ax2+bx+c=7的解為x把方程a(2x?1)2+b(2x?1)+c=7∴2x?1=?3或2x?1=5，解得x1=?1，即一元二次方程a(2x?1)2+b(2x?1)+c=7的解為x故答案為：x1=?1，【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)與x題型06選用合適的方法解一元二次方程【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2【答案】x1【提示】利用配方法解方程即可．【詳解】解：移項，得x2∴x2∴x?22兩邊開平方，得x?2=±3，∴x1【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程，解答關鍵是根據方程特征選擇適當方法解方程．【變式6-1】（2023·廣東廣州·一模）解方程(x?2)2【答案】x1=4，【提示】直接開平方求解即可得到答案；【詳解】解：兩邊開平方可得，x?2=±2，即x=±2+2，∴x1=2+2=4，∴方程的解為：x1=4，【點睛】本題考查直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解法及選擇適當的解法求解．【變式6-2】（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）解下列方程(1)9(2)x(3)2【詳解】（1）解：9x3x23x+x?4x?2x+1=0或4x?∴x1=?（2）x2x2x?x?∴x1=2+5（3）2x2x?2x?3=0或∴x1=3題型07錯看或錯解一元二次方程問題【例7】（2022·浙江溫州·一模）關于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝4±282整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D【答案】D【提示】A.不能兩邊同時除以（x﹣1），會漏根；B.化為一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【詳解】解：A.不能兩邊同時除以（x﹣1），會漏根，故A錯誤；B.化為一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B錯誤；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C錯誤；D.利用因式分解法解答，完全正確，故選：D【點睛】本題考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式7-1】下面是小明同學的錯題本的一部分，請你仔細閱讀，幫助他補充完整．解方程：x?3解：x?3=2x…第一步x?2x=3?第二步x=?3?第三步(1)提示：第____步開始出現錯誤；(2)改正：【答案】(1)一；(2)改正見解析【提示】（1）開方時忽略一種情況，第一步出現錯誤；（2）先開方，分兩種情況再移項，合并同類項，求出解即可．【詳解】（1）兩邊同時開方，得x?3=2x或x?3=?2x，所以第一步錯誤．故答案為：一；（2）x?32=4開方，得x?3=2x或x?3=?2x，x?2x=3或x+2x=3?x=3或3x=3所以x1=?3，【點睛】本題主要考查了用直接開方法求一元二次方程的解，掌握直接開方法解一元二次方程的步驟時解題的關鍵．【變式7-2】（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程3x?3小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．小霞：移項，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見解析【提示】根據因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．（×）小霞：移項，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，（×）正確解答：3移項，得3x?3提取公因式，得x?33?去括號，得x?33?x+3則x?3=0或6?x=0，解得x1=3，【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵．【變式7-3】（2023·山西晉中·模擬預測）（1）計算：sin45°+（2）下面是小明同學解方程的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解：x2x2?2x+1=1，即x?1=±1第三步x1任務一：①填空：上述材料中小明同學解一元二次方程的數學方法是_，依據的一個數學公式是_