管理統計學

參數估計學習目標

參數估計參數估計的基本原理評價估計量優良性的標準總體參數的區間估計方法樣本量的確定方法點估計是根據樣本資料給出總體參數的單一估計值，直接以樣本估計量作為相應總體參數的估計值的一種參數估計方法。點估計的優點是比較簡便，而且進行點估計時無需知道總體分布。點估計的缺點是通過此方法所得的估計值與真值之間的偏差以及估計的可靠性均未知。樣本統計量是一個隨機變量，不同的樣本會得到不同的估計量。為了保證用于估計總體指標估計量的準確可靠，需要通過一些標準來衡量所求的估計量是否為優良估計量。常用的標準主要有無偏性、有效性和相合性等。4.1點估計

估計量的數學期望等于被估計的總體指標，就稱該估計量為無偏估計量。設總體指標為，其估計量為，如果有：

則就是的無偏估計量。

是的無偏估計量；是的無偏估計量。點估計（無偏性）

設都是參數的無偏估計量，若

則稱估計量比有效。設是的估計量，當n趨近于無窮大時，對于任意的ε＞0，有

c則稱是的一致估計量。4.1點估計（有效性和相合性）

區間估計就是根據樣本估計量以一定可靠程度推斷總體參數所在的區間范圍。設總體參數為θ，為樣本確定的兩個統計量，對于給定的α，有：則稱為參數θ的置信度為1-α得置信區間。1-α為置信度，表示區間估計的可靠程度，即以1-α的可能性包含未知總體參數的區間為。

4.2區間估計

區間估計大樣本情形下總體均值的區間估計小樣本情形下正態總體均值的區間估計（1）正態總體、方差已知（2）正態總體、方差未知當樣本容量足夠大，樣本均值使用正態分布統計量

進行估計，在1－的概率保證度下，總體均值的置信區間為：大樣本情形下總體均值的區間估計

4.2區間估計(總體均值的區間估計)

為了解某地區的年收入狀況，從該地區所有居民戶中隨機抽取了200戶進行調查，得樣本每戶的年平均收入為5600元，標準差為202元，試在95％的概率保證下，求該地區居民平均年收入的置信區間

這表明在95％的概率保證下，可認為該地區居民的平均年收入在5572.00元至5627.99元之間。（1）正態總體、方差已知當樣本容量足夠大，樣本均值使用正態分布統計量

進行估計，由于已知，在1－的概率保證度下，總體均值的置信區間為：小樣本情形下正態總體均值的區間估計（2）正態總體、方差未知當方差是未知時，則采用修正樣本方差。若總體服從正態分布，可構造t統計量，即

根據t分布的原理，在1-α的置信度下,可知總體均值μ的置信區間為：小樣本情形下正態總體均值的區間估計

例某倉庫有150箱食品，每箱食品均裝100個，隨機抽取10箱進行檢查，得每箱食品的變質個數為：1，6，3，0，2，4，1，5，3，5，假定每箱食品變質個數的概率分布為正態分布，給定置信概率95％，求平均每箱食品變質個數的雙側置信區間。解：由于n=10，為小樣本，方差未知小樣本情形下正態總體均值的區間估計）

大樣本情形下，樣本比例,經標準化變換可得

給定的置信度1－，可得大樣本情形下總體比例的置信區間為：總體比例的區間估計

例4.3為了檢驗某批產品的合格率，隨機抽取了400個產品進行檢驗，經檢驗有26個產品不合格，以95％的置信度求這批產品的不合格率的雙側置信區間由于n=400，表明該樣本為大樣本。根據題中所給的樣本資料，可計算樣本比例即產品不合格率為：小結抽樣調查經費。由于樣本容量越大，所需的調查經費越多，所以抽樣調查經費是樣本容量的上限約束。置信度與允許誤差。置信度是對抽樣估計可靠性的度量，允許誤差是對抽樣估計的精確度提出的要求。在給定置信概率的條件下，若允許誤差越小，所需要的樣本容量就越大，因此根據最大允許誤差可確定樣本容量的下限約束。

4.3樣本容量的確定（確定樣本容量的基本依據）

重置抽樣下，樣本容量的確定

樣本均值的方差則有從中可求得估計總體均值u時樣本容量的確定

不重置抽樣下，樣本量的確定樣本均值的方差，則：重置抽樣由于，則，從中可求得非重復抽樣由于，則，從中可求得估計總體比例p時樣本容量的確定

例例4.4某企業收到供貨方發來的一批電子產品，以往的資料表明，該電子產品使用壽命的標準差為86.9小時，欲采用重置抽樣方式抽取一個樣本，并以95%的概率同時估計：（1）該批電子產品的平均使用壽命。允許誤差為10小時。（2）該批電子產品的合格率。允許誤差5%。試問該企業需要多大的樣本容量才能滿足檢驗要求？由于缺乏方差P(1-P)的資料，因此取P(1-P)=0.25，由于d=5%，則估計總體比例所需的樣本容量可計算如下：由于要用一個樣本同時估計兩個目標，樣本容量應取其大者，所以需抽取400件。影響樣本容量的因素影響樣本容量大小的因素

總體中個體之間的差異程度允許誤差的大小估計的可靠性高低抽樣方式1．總體中個體之間的差異程度。即總體方差總體方差越大，所需的樣本容量越大；反之，總體方差越小，所需的樣本容量越小。

2．允許誤差的大小。允許誤差越小，估計的精確度越高，則所需的樣