PAGE§3弧度制學問點一度量角的單位制及弧度數計算[填一填]1．度量角的單位制(1)角度制規定周角的eq\f(1,360)為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫角度制．(2)弧度制在以單位長為半徑的圓中，單位長度的弧所對的圓心角稱為1弧度的角，它的單位符號是rad，讀作弧度．這種以弧度作單位度量角的單位制，叫作弧度制．2．弧度數的計算[答一答]1．“1弧度”指的是“1度的角所對的弧”嗎？提示：不是.1弧度是指角的大小．2．“2rad”的角終邊在第幾象限？提示：2rad>eq\f(π,2)rad，且2rad<πrad，故2rad的角終邊在其次象限．學問點二角度與弧度互化及扇形面積[填一填]3．角度與弧度的互化4．扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角，則[答一答]3．終邊落在x軸負半軸上的角可以表示為α＝k·360°＋π(k∈Z)．這樣表示對嗎？提示：不對．角度制和弧度制都可以用來表示角，但表示角時不行混用，故可以表示為α＝k·360°＋180°(k∈Z)或α＝2kπ＋π(k∈Z)．4．30°的角化為弧度是多少？120°是30°的幾倍？其弧度數是多少？提示：30°＝eq\f(π,6)rad,120°是30°的4倍，其弧度數為eq\f(π,6)×4＝eq\f(2π,3)rad．1．對弧度制概念的三點說明(1)“1rad”是指：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角的大小，不是弧長，這個角是固定的，與圓的半徑的長度無關．(2)引入弧度制后，角的集合與實數建立一一對應關系，我們今后表示角時，多用弧度制表示．(3)表示角時π就是無理數，它表示一個實數，同1rad角的大小一樣，πrad的角表示：長度等于半徑的π倍的圓弧所對的圓心角，在推斷有理數表示角的象限，與π比較大小時，有時須要把π化為小數．2．對弧度數計算公式的說明我們常用α＝eq\f(l,r)來求解圓中圓心角所對的弧度數，一般來說，在圓中弧長是個正數，故得出的圓心角也為正數．但在平面直角坐標系中，所求的角不肯定為正角，所以經常依據須要在角α上添加正負號，故這個求弧度數的公式經常記為|α|＝eq\f(l,r).3．角度制與弧度制換算時應留意的四個問題(1)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度(rad)”可以省略不寫；假如以度(°)為單位表示角的大小時，度(°)不能省略不寫．(2)度化為弧度時，應先將分、秒化為度，再化為弧度．(3)有些角的弧度數是π的整數倍時，如無特殊要求，不必把π化成小數．(4)用“弧度”與“度”去度量每個角時，除了零角以外，所得的結果都是不同的，二者要留意不能混淆．4．角度制與弧度制換算的要點類型一弧度制與角度制的互化【例1】(1)18°＝________rad；(2)67°30′＝________rad；(3)eq\f(3,10)πrad＝________度；(4)2rad＝________度．【思路探究】干脆運用角度和弧度的換算公式轉換即可．【解析】(1)18°＝eq\f(π,180)×18＝eq\f(π,10)(rad)．(2)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3,8)π(rad)．(3)eq\f(3,10)πrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)π×\f(180,π)))°＝54°.(4)2rad≈2×57.3°＝114.6°.【答案】(1)eq\f(π,10)(2)eq\f(3,8)π(3)54(4)114.6規律方法在角度與弧度相互轉化時，應抓住關系式：(1)度數×eq\f(π,180)＝弧度數；(2)弧度數×eq\f(180°,π)＝度數．同時，我們要熟記一些特殊角的弧度數．(1)把－1200°化成弧度；(2)把－eq\f(5π,12)化成度．解析：(1)－1200°＝－1200×eq\f(π,180)＝－eq\f(20π,3).(2)－eq\f(5π,12)＝(－eq\f(5π,12)×eq\f(180,π))°＝－75°.類型二弧度制與終邊相同的角的問題【例2】把下列角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第幾象限角：(1)－eq\f(53π,3)；(2)2010°.【思路探究】eq\x(\a\al(將所給角化成,2kπ＋α的形式))→eq\x(\a\al(推斷α是第,幾象限角))→eq\x(\a\al(得到所給角是,第幾象限角))【解】(1)－eq\f(53π,3)＝－18π＋eq\f(π,3)，而eq\f(π,3)是第一象限角，所以－eq\f(53π,3)是第一象限角．(2)2010°＝5×360°＋210°＝10π＋eq\f(7π,6)，而eq\f(7π,6)是第三象限角，所以2010°是第三象限角．規律方法在進行“弧度”與“角度”的互化時，若無特殊要求，切不行進行近似計算，也不必將π化為小數．留意角度制和弧度制不得混用，如α＝2kπ＋60°，k∈Z，β＝k·360°＋eq\f(π,4)，k∈Z都是不正確的寫法．(1)－150°的弧度數是(A)A．－eq\f(5π,6) B．eq\f(4π,3)C．－eq\f(2π,3) D．－eq\f(3π,4)(2)eq\f(8π,5)弧度化為角度是(C)A．278° B．280°C．288° D．318°解析：(1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6).(2)∵1rad＝eq\f(180°,π)，∴eq\f(8π,5)＝eq\f(8π,5)×eq\f(180°,π)＝288°.類型三弧長與扇形面積公式的應用【例3】已知扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角為多大時，它有最大面積？【思路探究】先用R表示半徑，再依據S＝eq\f(1,2)lR建立扇形面積S與半徑R之間的函數關系，利用二次函數求最大值．【解】設扇形的半徑是R，弧長是l，由已知條件可知：l＋2R＝20，即l＝20－2R.由0<l<2πR，得0<20－2R<2πR.∴eq\f(10,π＋1)<R<10.扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25(eq\f(10,π＋1)<R<10)，當R＝5時，S最大，此時l＝10，α＝eq\f(l,R)＝2.規律方法當扇形周長肯定時，扇形的面積有最大值；其求法是把面積S轉化為關于R的二次函數，但要注明R的取值范圍．特殊留意一個扇形的弧長必需滿意0<l<2πR.本題若改為扇形面積為25cm2，也可以求扇形周長的最小值．(1)已知一個扇形弧長為6，扇形圓心角為2rad，則扇形的面積為(D)A．2 B．3C．6 D．9(2)設扇形的周長為8cm，面積為4cm2，則扇形的圓心角的弧度數是(B)A．1 B．2C．3 D．4(3)已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么，這個圓心角所對的弧長是(C)A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：(1)∵S扇＝eq\f(1,2)lR，R＝eq\f(l,α)＝eq\f(6,2)＝3，∴S扇＝eq\f(1,2)×6×3＝9.∴選D．(2)設半徑為R，弧長為l，則2R＋l＝8，①eq\f(1,2)lR＝4，②由①②解得R＝2，l＝4.∵α＝eq\f(l,R)＝eq\f(4,2)＝2.∴選B．(3)如圖，設∠ACB＝2，AB＝2，過點C作CO⊥AB于點O，則由題知α＝1，OA＝1，∵sinα＝eq\f(OA,AC)＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，又∵2α＝eq\f(l,R)，∴l＝2αR＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).故選C．類型四綜合應用【例4】如圖，已知一長為eq\r(3)cm，寬為1cm的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾，翻滾到第四面時被一小木板攔住，使木板底面與桌面成30°的角，求點A走過的路程及走過的弧所在扇形的總面積．【思路探究】解題關鍵是分析出點A運動產生的軌跡．【解】eq\o\ac(AA1,\s\up17(︵))所在的圓半徑是2cm，圓心角為eq\f(π,2)；eq\o\ac(A1A2,\s\up17(︵))所在圓的半徑是1cm，圓心角是eq\f(π,2)；eq\o\ac(A2A3,\s\up17(︵))所在圓的半徑是eq\r(3)cm，圓心角是eq\f(π,3)，所以點A走過的路程是3段圓弧之和，即2×eq\f(π,2)＋1×eq\f(π,2)＋eq\r(3)×eq\f(π,3)＝eq\f(9＋2\r(3),6)π(cm)．3段弧所在扇形的總面積是eq\f(1,2)×2×π＋eq\f(1,2)×eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3)π,3)＝eq\f(7π,4)(cm2)．規律方法弧度制下涉及扇形問題的攻略(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧長，r是扇形的半徑，α是扇形的圓心角)．(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后敏捷運用弧長公式、扇形面積公式干脆求解或列方程(組)求解．在一般的時鐘上，自零時起先到分鐘與時針再一次重合，分針所轉過的角的弧度數是多少(在不考慮角度方向的狀況下)?解：解法一：自零時(此時時針與分針重合，均指向12)起先到分針與時針再一次重合，設時針轉過了xrad，則分針轉過了(2π＋x)rad，而時針走1rad相當于經過eq\f(6,π)h＝eq\f(360,π)min，分針走1rad相當于經過eq\f(30,π)min，故有eq\f(360,π)x＝eq\f(30,π)(2π＋x)，得x＝eq\f(2π,11)，∴到分針與時針再一次重合時，分針轉過的弧度數是eq\f(2π,11)＋2π＝eq\f(24π,11)(rad)．解法二：設再一次重合時，分針轉過弧度數為α，則α＝12(α－2π)(再一次重合時，時針比分針少轉了一周，且分針的旋轉速度是時針的12倍)，得α＝eq\f(24π,11)，∴到分針與時針再一次重合時，分針轉過的弧度數是eq\f(24π,11)(rad)．——易錯警示——對終邊相同的區間角理解不到位致誤【例5】已知eq\f(π,4)＋2kπ<α<eq\f(3π,4)＋2kπ，2kπ<β<eq\f(π,4)＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的范圍．【錯解】由已知兩式左右分別相加，可得eq\f(π,4)＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z.【正解】∵eq\f(π,4)＋2k1π<α<eq\f(3π,4)＋2k1π，k1∈Z，2k2π<β<eq\f(π,4)＋2k2π，k2∈Z，∴eq\f(π,4)＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π.又∵k1，k2∈Z，∴存在整數k，使得k＝k1＋k2，∴eq\f(π,4)＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z.【錯解分析】錯解錯誤的緣由是對終邊相同的區間角理解不到位，誤以為兩式中的k表示相同的整數．由于兩式所表示的角是k分別取整數值時所對應的多數個區間角的并集，故兩式中的k不肯定相等，可用k1，k2替換加以區分，然后利用不等式的性質進行求解．【防范措施】含有kπ的角的說明①關于含有kπ的角的集合求交集、并集時，每個集合都有肯定的周期規律，認清kπ的系數確定周期，不要漏角或添角．②關于含有kπ的角，求組合角時不能簡潔相加減．已知α＝1690°.(1)把α寫成2kπ＋β(k∈Z)，β∈[0,2π)的形式；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且θ∈(－4π，－2π)．解：(1)由于α的弧度數為eq\f(π,180)×1690＝eq\f(169π,18)，又eq\f(169π,18)＝8π＋eq\f(25,18)π，∴α＝4·2π＋eq\f(25,18)π(k＝4，β＝eq\f(25π,18))．(2)由－4π<2kπ＋eq\f(25π,18)<－2π(k∈Z)，得k＝－2，∴θ＝－4π＋eq\f(25π,18)＝－eq\f(47,18)π.一、選擇題1．將分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是(A)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：撥慢分針是逆時針方向．2．下列命題中，錯誤命題是(D)A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的eq\f(1,360)，一弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C．依據弧度的定義，180°肯定等于π弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關解析：依據角度和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長短無關，而是與弧長與半徑的比值有關，所以D是錯誤命題．其他A、B、C均為正確命題．∴應選D．3．在半徑為2cm的圓中，若有條弧長為eq\f(π,3)cm，則它所對的圓心角為(A)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)解析：設圓心角為θ，則θ＝eq\f(\f(π,3),2)＝eq\f(π,6).二、填空題4.如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，則劣弧eq\o\ac(AB,\s\up17(︵))的長為eq\f(4,3)π.解析：連接AO，OB，因為∠ACB＝eq\f(π,6)，所以