2024-2025學年福建省晉江市高二上學期第二次月考數學教學質量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，若，則（

）A． B． C． D．4．已知、是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知圓與圓相交于兩點，則公共弦的長度是（

）A．2 B．1 C．3 D．56．正四面體的棱長為4，點M、N分別是棱、的中點，則點A到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．7．已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且該直線不經過拋物線的焦點，那么以線段為直徑的圓與該拋物線的準線的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．與直線l的位置有關8．正方體的棱長為1，M是面內一動點，且，N是棱上一動點，則周長的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中，正確的命題有（

）A．是，共線的充要條件B．若，則存在唯一的實數，使得C．對空間中任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面D．若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底10．已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，直線過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（

）A．若直線的斜率為，則B．的最小值為C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為，則點M的橫坐標為D．若點，則的周長最小值為11．已知平面內一動點與兩定點連線的斜率的乘積為定值時，若該定值為正數，則該動點軌跡是雙曲線（兩定點除外）；若該定值是負數，則該動點軌跡是圓或橢圓（兩定點除外）.如圖，給定的矩形中，，，E、F、G、H分別是矩形四條邊的中點，M、N分別是直線、的動點，，，其中，且直線與直線交于點P.下列說法正確的是（

）A．若，則P的軌跡是雙曲線的一部分B．若，則P的軌跡是橢圓的一部分C．若，則P的軌跡是雙曲線的一部分D．若，則P的軌跡是橢圓的一部分三、填空題（本大題共3小題）12．已知點，是橢圓內的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為．13．已知二面角的大小為且，，則.14．數學美的表現形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優美的曲線，對于此曲線，若是曲線上任意一點，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．（1）直線過點且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）直線過點且與軸正半軸分別交于兩點，為坐標原點，求三角形面積取最小值時直線的方程．16．已知圓C過點，圓心C在直線上，且圓C與x軸相切．(1)求圓C的標準方程；(2)過點的直線l與圓C相交于A、B兩點，若為直角三角形，求直線l的方程．17．如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，側面是等邊三角形.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.18．若雙曲線的一個焦點是，且離心率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，過焦點的直線與雙曲線的兩支相交于A，B兩點，求直線MA和MB的斜率之和的最大值．19．已知橢圓的半焦距，離心率，且過點為坐標原點.(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與橢圓分別交于不同的兩點，若，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為60°.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：D.3．【正確答案】D【詳解】因為，所以，解得，所以.故選：D4．【正確答案】D【分析】利用勾股定理得出，利用橢圓的定義求得、，利用勾股定理可得出關于、的等量關系，由此可解得該橢圓的離心率.【詳解】如下圖所示，設，則，，所以，，所以，，由橢圓定義可得，，，所以，，所以，為等腰直角三角形，可得，，所以，該橢圓的離心率為.故選：D.方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.5．【正確答案】A【詳解】由題意所在的直線方程為：，即公共弦所在直線方程為，因為圓的圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為1，所以．故選：A．6．【正確答案】B【分析】作出輔助線，求出，利用等體積法求出點A到平面的距離.【詳解】正四面體中，取的中心為,則⊥平面，故，，其中，由勾股定理得，故點到平面的距離為，又，故，又，，取的中點，連接，則⊥，則，故，設點A到平面的距離為，故，即，解得.故選：B7．【正確答案】A【分析】先設中點為，過，，作準線的垂線，垂足分別為，，，再根據題意得到，進而即可得到答案．【詳解】設中點為，過，，作準線的垂線，垂足分別為，，，又該直線不經過拋物線的焦點，則，所以線段為直徑的圓與該拋物線的準線的位置關系是相離．故選：A．8．【正確答案】B【分析】利用展開方法，以為基準，將和翻折使其與共面，然后利用余弦定理求解.【詳解】點M在線段上運動，即動線段在內運動，動線段在內運動，動線段在內運動，以為基準，將和翻折使其與共面，如圖所示：其中翻折至，翻折至，的周長等于,最小值等于在四邊形，，由余弦定理可求得，所以，故的周長最小值等于，故選：B.9．【正確答案】CD【分析】對于A選項，向量，同向時不成立；對于B選項，為零向量時不成立；對于C選項，根據空間向量共面的條件判定；對于D選項，根據能成為基底的條件判定.【詳解】對于A選項，向量，同向時，，只滿足充分性，不滿足必要性，故A錯誤；對于B選項，應該為非零向量，故B錯誤；對于C選項，，，若共線，則三向量共線，故，，三點共線，與已知矛盾，故不共線，由向量共面的充要條件知共面，而過同一點，，，，四點共面，故C正確；對于D選項，若為空間的一個基底，則，，不共面，假設，，共面，設，，無解，，，不共面，構成空間的另一個基底，故D正確．故選CD．10．【正確答案】BCD【詳解】拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，則第一象限內的交點的縱坐標為，代入圓方程得橫坐標為1，即，所以，，即拋物線方程為，焦點為，對選項A，設直線方程為，由得，設，則，，，直線的斜率為時，，所以，A錯誤；對選項B，由拋物線定義得，所以，當且僅當，即時等號成立，因此的最小值為，B正確；對選項C，如圖，過點作準線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點，過作軸垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線定義可得，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，因此為切點，所以點縱坐標為1，又是中點，所以點縱坐標為2，而是拋物線上的點，因此其橫坐標為1，C正確；

對選項D，過作垂直于拋物線的準線，垂足為，所以的周長為，當且僅當點的坐標為時取等號（即與準線垂直），D正確．故選：BCD．11．【正確答案】CD【分析】根據已知求出的坐標，進而得出直線與直線的斜率，即可得出.然后根據已知條件得出的值，結合定義即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，則由可得，；由可得，，所以.所以，，.所以，.對于A、B項，因為，所以，顯然不是一個常數，所以此時P的軌跡既不是雙曲線，也不是橢圓，A、B均錯；對于C選項，，此時的結果為一個大于0的定值，所以P的軌跡是雙曲線（頂點除外），C對；對于D選項，，此時的結果為一個小于0的定值，所以P的軌跡為橢圓（頂點除外），D對.故選：CD.12．【正確答案】##【分析】結合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設左焦點為，根據橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故13．【正確答案】【詳解】因為二面角的大小為，所以與的夾角為，又因為，所以，所以，即．故．14．【正確答案】2【分析】結合已知條件寫出曲線的解析式，進而作出圖象，將問題等價轉化為點到直線的距離，然后利用圓上一點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當，時，曲線C的方程可化為；當，時，曲線C的方程可化為；當，時，曲線C的方程可化為；當，時，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個半徑為的半圓圍成的圖形，因為到直線的距離為，所以，當d最小時，易知在曲線C的第一象限內的圖象上，因為曲線C的第一象限內的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而．即．故215．【正確答案】（1）或；（2）.【詳解】（1）若截距都為0時，則所求直線為；若截距不為0時，設直線為，則，所以；綜上，所求直線為或.（2）由題意，直線斜率一定存在且小于0，設直線為，故，所以三角形面積，當且僅當時三角形面積取最小值為4，所以，對應直線為.16．【正確答案】(1)(2)或．【分析】(1)待定系數法求圓的方程即可；(2)設，根據題意得到弦長，再結合垂徑定理和點線距離公式可求的值，從而得到直線l的方程．【詳解】（1）由題意，設圓心，由于圓C與x軸相切．半徑，所以設圓C方程為又圓C過點，解得圓C方程為．（2）由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設，即，設C到l的距離為d，則，為直角三角形，，，或，故直線l得方程為或．17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）取中點M，連接，在等邊中，有中點M，，所以，，則，.在中，有，.因為平面，平面，，平面.又平面，所以平面平面.（2）取中點為N，連接，以點為坐標原點，分別以，，為x，y，z軸正方向，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，.設平面的一個方向量是，則，取，則平面的一個方向量是.設平面的一個方向量是，則，取，可得平面的一個方向量是.因為，且二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）易得，，解得，故得，故的方程為，（2）由題意得的斜率存在，故設方程為，聯立方程組，，可得，則，，設，則，，解得，結合，故，令，故，當且僅當時取等，故直線MA和MB的斜率之和的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)【